Polinomios Legendre

NOTAS PARA LOS ALUMNOS DEL CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES

POLINOMIOS Y FUNCIONES DE LEGENDRE

Ing. Juan Sacerdoti

Departamento de Matemática

Facultad de Ingeniería

Universidad de Buenos Aires

2002

V 2.03

INDICE 1.- PORQUE LEGENDRE 2.- ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LEGENDRE. 2.1.- FORMA CANÓNICA 2.2.- FORMAS MODIFICADAS DE LA ECUACIÓN DE LEGENDRE 2.2.1.- PRIMERA FORMA MODIFICADA 2.2.2.- SEGUNDA FORMA MODIFICADA 2.2.3.- TERCERA FORMA MODIFICADA

3.- RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LEGENDRE. 3.1.- SOLUCIÓN POR EL METODO DE FUCHS EN V(0) 3.2.- POLINOMIOS DE LEGENDRE 3.2.1.- OBTENCIÓN DE LOS POLINOMIOS DE LEGENDRE A PARTIR DE LAS FUNCIONES DE LEGENDRE. PRIMERA EXPRESIÓN 3.2.2.- TABLA DE LOS PRIMEROS POLINOMIOS DE LEGENDRE 3.3.- SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE LEGENDRE EN V(1) 3.3.1.- PRIMERA SOLUCIÓN POR EL METODO DE FUCHS EN V(1) 3.3.2.- SEGUNDA EXPRESIÓN DE LOS POLINOMIOS DE LEGENDRE 3.3.3.- TERCERA EXPRESIÓN: OLINDO RODRIGUES 3.4.- SEGUNDA SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE LEGENDRE EN V(1) 3.4.1.- LA ECUACIÓN DE RECURRENCIA GENERALIZADA DE ΓΓΓΓ ’ 3.4.2.- SEGUNDA SOLUCIÓN POR EL METODO DE D’ALEMBERT EN V(1) 3.4.3.- SEGUNDA SOLUCIÓN POR REDUCCIÓN DEL ORDEN EN V(1) 3.5.- SEGUNDA SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE LEGENDRE EN V(0) CASO νννν = n 3.5.1.- SEGUNDA SOLUCIÓN POR REDUCCIÓN DEL ORDEN EN V(0) CASO νννν = n 3.5.2.- TABLA DE LAS PRIMERAS FUNCIONES Qn DE LEGENDRE 4.- REPRESENTACIONES INTEGRALES DE LOS POLINOMIOS DE LEGENDRE 4.1.- REPRESENTACIÓN DE SCHLAFLI 4.2.- REPRESENTACIÓN DE LAPLACE DE LOS POLINOMIOS DE LEGENDRE 4.3.- REPRESENTACIÓN INTEGRAL DE LAS FUNCIONES DE LEGENDRE 5.- PROPIEDADES: PRIMERA PARTE 5.1.- PARIDAD 5.2.- VALORES NOTABLES 5.3.- ACOTACIÓN 5.4.- COEFICIENTES NOTABLES 5.5.- CEROS DE LOS POLINOMIOS DE LEGENDRE 5.5.1.- PROPIEDADES DE LOS CEROS 5.5.2- ACOTACIÓN DE LOS CEROS

6.- FORMULAS DE RECURRENCIA DE LOS POLINOMIOS DE LEGENDRE 6.1.- PRIMERA FORMULA DE RECURRENCIA 6.2.- SEGUNDA FORMULA DE RECURRENCIA 6.3.- TERCERA FORMULA DE RECURRENCIA

7.- FUNCIÓN GENERATRIZ 8.- PROPIEDADES: SEGUNDA PARTE 8.1.- FORMACIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LOS POLINOMIOS DE LEGENDRE A PARTIR DE LA FORMULA DE OLINDO RODRIGUES 8.2.- FORMACIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LEGENDRE A PARTIR DE LA FORMULA SCHLAFLI 9.- LOS POLINOMIOS DE LEGENDRE COMO SISTEMA ORTOGONAL 9.1.- ORTOGONALIDAD 9.2.- FORMA AUTOADJUNTA DE STURM-LIOUVILLE 9.3.- NORMA 9.4.- SISTEMA ORTONORMADO 10.- SERIES DE FOURIER-LEGENDRE 10.1.- SERIE ASOCIADA DE FOURIER-LEGENDRE 10.2.- NÚCLEO DE FOURIER-LEGENDRE 10.3.- SUMA ENÉSIMA DE FOURIER-LEGENDRE 10.4.- IDENTIDAD DE DARBOUX-CHRISTOFFEL 10.5.- APLICACIÓN DE LA IDENTIDAD DE DARBOUX-CHRISTOFFEL 10.6.- ESTUDIO DEL NÚCLEO 10.7.- CONVERGENCIA 10.8.- VALOR ASINTOTICO DE LOS POLINOMIOS DE LEGENDRE

11.- EJERCICIOS

Ejercicio 1 Calcular ∫1

0 Pn dx

Ejercicio 2 Desarrollar en Serie de F-L la función u(x) en x∈∈∈∈ ] –1 1[ Ejercicio 3 Desarrollar en Serie de F-L la función sg(x) en x∈∈∈∈ ] –1 1[

Ejercicio 4 Verificar a partir de la ED de Legendre que ∫−1

1 Pn dx = 0 para n > 0

Ejercicio 5 Calcular P’n(0)

Ejercicio 6 Calcular ∫1

0x Pn dx

Ejercicio 7. Desarrollar en Serie de F-L a la función | x | en x∈∈∈∈ ] –1 1[

Ejercicio 8.- Calcular ∫−1

1xn Pk dx = 0 para n > 0

Ejercicio 9 Calcular ∫θ

0 2/1)cos(cos)2/)1n2cos((

θ−ϕϕ+ dϕϕϕϕ

12.- APLICACIONES MATEMATICAS Y FISICAS DE LOS POLINOMIOS DE LEGENDRE 12.1.- APLICACIONES MATEMÁTICAS 12.1.2.- ESTUDIO DE LAS RAICES DE z – a – w f(z) = 0 12.2.- APLICACIONES FISICAS 12.2.1.- MOVIMIENTO DE LOS PLANETAS: ECUACIÓN DE KEPLER 12.2.2.- APLICACIONES A LA ELECTROSTATICA 12.2.2.1.- POTENCIAL DE UN CAMPO ELECTRICO GENERADO POR UNA CARGA PUNTUAL 12.2.2.2.- POTENCIAL DE UN CAMPO ELECTRICO GENERADO POR UNA CARGA

PUNTUAL EN EL INTERIOR DE UNA ESFERA PUESTA A TIERRA 12.2.2.3.- POTENCIAL DE UN CAMPO GENERADO POR UN ANILLO CIRCULAR 12.2.3.- ECUACIÓN DE LAPLACE EN COORDENADAS ESFERICAS APÉNDICE I 3.2.3-. CUARTA EXPRESIÓN DE LOS PRIMEROS POLINOMIOS DE LEGENDRE 3.2.4.- DEDUCCIÓN DE LA TERCERA EXPRESIÓN DE LOS POLINOMIOS DE LEGENDRE: OLINDO RODRÍGUEZ A PARTIR DE LA CUARTA EXPRESIÓN

FUNCIONES Y POLINOMIOS DE LEGENDRE 1.- PORQUÉ LEGENDRE Los Polinomios de Legendre son uno de los ejemplos más importantes de los Polinomios Ortogonales, porque

aparecen como soluciones en varios problemas clásicos de la física como: 1.- Movimiento de los planetas: Ecuación de Kepler. 2.- Resolución de los modelos de la física con Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales (EDDP) en

coordenadas esféricas. Son ejemplo de estos modelos de la física, los campos conservativos, no conservativos, propagación de calor, propagación de ondas, propagación de señales telegráficas, propagación de ondas de partículas simples.

Una lista de algunos de los modelos más destacados es

EDDP ECUACIÓN MODELO Laplace ∇2u = 0 Potencial de campos conservativos

a.- Potencial gravitatorio en el vacío b.- Potencial de velocidades de un fluido ideal incompresible, sin torbellinos, sin fuentes ni sumideros y distribución continua. c.- Potencial electrostático en régimen permanente generado por corrientes eléctricas en conductores aislados d.- Distribución de Temperaturas en sólidos para régimen estacionario

Poisson ∇2u = f Potencial de campos no conservativos a.- Potencial de velocidades de un fluido ideal incompresible e irrotacional, con fuentes y sumideros y distribución continua. b.- Potencial electrostático con cuerpos cargados c.- Distribución de Temperaturas en sólidos para régimen estacionario generada por focos caloríficos discretos d.- Función de esfuerzos de torsión en barras elásticas

Fourier ∇2u = b ut Propagación del calor D’Alembert ∇2u = a utt Propagación de ondas

a.- Vibraciones de cuerdas, membranas y cuerpos sólidos a.- Propagación de ondas sonoras, luminosas, de radio etc. con velocidad independiente de la longitud de onda.

Raleigh ∇2u = a utt + b ut Propagación de señales telegráficas Schrödinger ∇2u = c(E-V) u Propagación de ondas en la mecánica ondulatoria

a)Probabilidad de posición de una partícula cuya función de onda es u General ∇2u = a utt + b ut + c u + f Maxwell D = ε E

B = µ H ι = γ E

RotE = – tB∂∂

RotH = ι + tD∂∂

divB = 0 divD = ρ

Potenciales eléctricos y magnéticos

3.- Aplicaciones de matemática. Algunas de las aplicaciones de los polinomios de Legendre son: 1.- Cálculo de Integrales 2.- Series de Fourier-Legendre 3.- Estudio de raíces de z – a – w f(z) = 0 2.- ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LEGENDRE. 2.1.- FORMA CANÓNICA

Se define como Ecuación Diferencial de Legendre en su forma canónica a:

Def.- (1 – x2) y’’ – 2 x y’ + λλλλ y = 0

cuya solución general es entonces la combinación lineal de dos soluciones linealmente independientes y(x) = A y1(x) + B y2(x)

Como caso particular de estas soluciones si λ = ν (ν+1) con ν = n ∈ N una de dichas soluciones es un Polinomio de Legendre de orden n. En este caso la solución general toma la forma: y(x) = A Pn (x) + B Qn (x)

2.2.- FORMAS MODIFICADAS DE LA ECUACIÓN DE LEGENDRE Las Forma canónica de la ED de Legendre ha sido elegida como tal por la simplicidad en los cálculos de las

soluciones. Las Formas Modificadas de la ED de Legendre se obtienen a partir de la Canónica por medio de un cambio de variables que se emplean en demostraciones matemáticas o en aplicaciones físicas.

2.2.1- PRIMERA FORMA MODIFICADA La Ecuación Diferencial de Legendre en la resolución de Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales en los

Modelos usuales de la Física (Campos Conservativos, Transmisión de Calor, Transmisión de Ondas, etc.) planteadas en Coordenadas Esféricas aparece bajo la primera forma modificada.

T1.- x = cosθθθθ (1– x2) y’’ – 2 x y’ + λλλλ y = 0 ⇔⇔⇔⇔ y’’θθθθθθθθ + cotgθθθθ y’θθθθ + λλλλ y = 0

y(x) = A y1(x) + B y2(x) ⇔⇔⇔⇔ y(θθθθ) = A y1(cosθθθθ) + B y2(cosθθθθ)

λλλλ = νννν (νννν+1) ∧∧∧∧ νννν = n∈∈∈∈ N y(x) = A Pn (x) + B Qn (x) ⇔⇔⇔⇔ y(θθθθ) = A Pn(cosθθθθ) + B Qn(cosθθθθ).

D.- Esta forma modificada de la Ecuación de Legendre se obtiene con el cambio de variable x = cos θ

Partiendo de la Ecuación de Legendre canónica (1 – x2) y’’ – 2 x y’ + λ y = 0

Cambiando de variable x = cos θ

y’x = θ

θ

''

xy =

θ−θ

siny'

y’’xx = [ θ−

θθ

siny '' +

θθ2sin

y' cos θ ] [θ− sin

1 ]

Reemplazando estas expresiones en la ED resulta

sin2θ [ θθθ2sin

y '' –

θθ3sin

y' cos θ ] – 2 cos θ [θ−

θ

siny' ] + λ y = 0

y’’θθ + cotgθ y’θ + λ y = 0

que es la ED modificada, cuya solución general será de la forma: y(θ) = A y1(cosθ) + B y2(cosθ)

si λ = ν (ν+1) con ν = n ∈ N las soluciones con Polinomios de Legendre de orden n tendrán la solución general de la forma: y(θθθθ) = A Pn(cosθθθθ) + B Qn(cosθθθθ).

2.2.2- SEGUNDA FORMA MODIFICADA Una segunda forma modificada se obtiene por translación z = x–a para llevarla a un desarrollo en un V(a).

En particular se aplicará este cambio de variable en V(1) para encontrar otras formas de las soluciones de la ED de Legendre.

T2.- z = x–a (1 – x2) y’’ – 2 x y’ + λλλλ y = 0 ⇔⇔⇔⇔ (1 – ( z + a)2) y’’ – 2 (z + a) y’ + λλλλ y = 0

Partiendo de la ED canónica:

(1 – x2) y’’ – 2 x y’ + λλλλ y = 0

z = x–a ⇒ x = z + a x – 1 = z + a – 1 x + 1 = z + a + 1 se obtiene la segunda forma de ED modificada:

(1 – ( z + a)2) y’’ – 2 (z + a) y’ + λλλλ y = 0

2.2.3.- TERCERA FORMA MODIFICADA Esta tercera forma modificada de la ED de Legendre se emplea en la acotación de raíces de los Polinomios de

Legendre.

T3.- y = 2/1)(sin

zθθθθ

λλλλ = νννν (νννν+1)

(1 – x2) y’’ – 2 x y’ + λλλλ y = 0 ⇔⇔⇔⇔ z’’ + [ (νννν +21 )2 + 2)(sin4

1θθθθ

] z = 0

A partir de la ED modificada


por el cambio de variable

y = 2/1)(sin

zθ

y’ = 2/1)(sin

'zθ

– 21

2/3)(sincoszθθ

y’’ = 2/1)(sin

''zθ

– 2 21

2/3)(sincos'zθθ +

21

23

2/5

2

)(sin)(cosz

θθ +

21

2/3)(sinsinzθθ

Reemplazando en:


queda:

2/1)(sin''zθ

–2/3)(sin

cos'zθθ +

43

2/5

2

)(sin)(cosz

θθ +

21

2/1)(sinzθ

+ cotgθ[2/1)(sin

'zθ

–21

2/3)(sincoszθθ ] + λ

2/1)(sinzθ

= 0

z’’ + [43

2

2

)(sin)(cosθθ +

21 –

21

2

2

)(sin)(cosθθ + λ ] z = 0

Eligiendo λ = ν (ν+1)

z’’ + [41

2

2

)(sin)(sin1

θθ− +

21 + ν (ν+1) ] z = 0

z’’ + [ ν2 + ν + 41 +

2)(sin41θ

] z = 0

resultando:

z’’ + [ (ν +21 )2 +

2)(sin41θ

] z = 0

3.- RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LEGENDRE.

3.1.- SOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE FUCHS EN V(0) La ED Legendre

(1–x2) y’’ – 2 x y’ + λλλλ y = 0 tiene por campo de convergencia a

p(x) = – 2x1

x2−

⇒ CV(p) = { | x | < 1}

⇒ CV(y) = { | x |<1}

q(x) = 2x1−

λ ⇒ CV(q) = { | x | < 1}

Se ensaya la solución aplicando el método de Fuchs

y = ∑∞

=0k

Ck x k + r

y’ = ∑∞

=0k

Ck (k + r) x k+ r –1

y’’ = ∑∞

=0k

Ck (k + r) (k + r –1) x r + k –2

λ y = ∑∞

=0k

λ Ck x k + r

– 2 x y’ = ∑∞

=0k

– 2 Ck (k+r) x k+ r

(1 – x2) y’’ = ∑∞

=0k

Ck (k + r) (k + r –1) x k + r – 2 + ∑∞

=0k

– Ck (k + r) (k + r – 1) x r + k

0 =

Tomando el coeficiente de la potencia x k + r – 2 se forma la Ecuación de Recurrencia

Ck (k + r) (k + r –1) – Ck –2 [ (k + r –2) (k + r –3) + 2 (k + r –2) – λ ] = 0 Ck (k + r) (k + r –1) – Ck –2 [ (k + r –2) (k + r –1) – λ ] = 0

Que lleva a la Ecuación característica

C0 (r) (r – 1) = 0 de donde

r1 = 1; r2 = 0; ∆ = 1

Se está en presencia de un caso III de Fuchs cuyo subcaso se discrimina en la ecuación de recurrencia con:

r = r2 = 0 k = ∆ = 1

C1 (1) (0) – C–1 [ (–1) (0) – λ ] = 0

Donde se observa que la Condición Complementaria – C–1 [ (–1) (0) – λ ] = 0 es siempre nula porque C–1 = 0. Por lo tanto la Ecuación de Legendre es un Caso IIIA del método de Fuchs, es decir las dos soluciones son

de la forma general y = ∑∞

=0k

Ck x r + k

Para operar con mayor facilidad con la Ecuación de Recurrencia más fácilmente se transforma el segundo

término en producto de monomios

[ (k + r –2) (k + r –1) – λ ] = (k + r)2 – 3 (k + r) + 2 – λ Para ello se buscan las raíces de este polinomio de 2º grado

(k + r) = 3/2 ± λ+)4/1(

para ello se completa el cuadrado perfecto tomando λ = ν(ν+1)

= 3/2 ± ( ν + 1/2) = ν + 2 = –ν + 1 queda [ (k + r –2) (k + r –1) – λ ] = (k –2 + r – ν) (k –1 + r + ν) Para hallar la Primera y Segunda solución simultáneamente se desarrollará la función y(x, r):

Ck = 1)-rr)(k(k

)r1-(k )-r2-(k C 2 -k

++ν++ν+

resulta entonces:

C0 = C0 arbitrario y no nulo. C1 = 0 válido para la primera solución, y elegido arbitrariamente nulo para la segunda. Además se arrastra C1 = 0 ⇒ C2p+1 = 0

C2 = 1)2)(r(r

)r (1 )-(r C 0

++ν++ν

C2p = )1(r 2)(r )3(r )4(r ... 1)-2p(r 2p)(r

)r1 - (2p ... )r(3 )r (1 )-r2-(2p ... )-r (2 )-(r C0

++++++ν++ν++ν++ν+ν+ν

Entonces:

y(x, r) = C0 ∑∑∑∑+∞+∞+∞+∞

====0p )1(r 2)(r )3(r )4(r ... 1)-2p(r 2p)(r )1-2p(r ... )3(r )1(r )-2-2p(r ... )-2(r )-(r

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ νννννννννννννννννννννννν x 2p+r

Para obtener la Primera solución y1 se remplaza en y(x,r): r = r1 = 1

y1 = y(x,r) 1rr 1 ========

= C0 ∑∑∑∑+∞+∞+∞+∞

====0p )!1(2p )(2p ... )(4 )(2 )-1-(2p ... )-(3 )-(1

++++++++++++++++ νννννννννννννννννννννννν x 2p+1

y para la Segunda solución y2 se remplaza en y(x,r): r = r2 = 0

y2 = y(x,r) 0rr 2 ========

= C0 ∑∑∑∑+∞+∞+∞+∞

====0p (2p)! )1-(2p ... )(3 )(1 )-2-(2p ... )-(2 )(- νννννννννννννννννννννννν ++++++++++++ x 2p

Estas soluciones y1 e y2 son las funciones de Legendre que generan a la solución general de la Ecuación de Legendre como la combinación lineal: y = A y1 + B y2 CV(y) = { | x |<<<<1}

3.2.- POLINOMIOS DE LEGENDRE Las funciones de Legendre para ciertos valores particulares de ν son Polinomios. En efecto dichas funciones

para valores naturales de νννν se reducen a Polinomios. La constante C0 se fija de manera tal que dichos Polinomios, llamados de Legendre Pn(x) , tengan valor 1 para x = 1. n∈∈∈∈ N ∪∪∪∪ {0} C0: Pn(1) = 1

Obs: Por supuesto que en el caso de los Polinomios de Legendre su Campo de Convergencia se extiende a todo

el Plano Complejo y en particular se puede estudiar su comportamiento en otros puntos como el V(1). 3.2.1.- OBTENCIÓN DE LOS POLINOMIOS DE LEGENDRE A PARTIR DE LAS FUNCIONES DE LEGENDRE. PRIMERA EXPRESIÓN Una primera forma o expresión de los Polinomios de Legendre se deduce de la siguiente manera:

I.- En la primera solución y1, si νννν = n es Natural e Impar se obtiene un Polinomio de orden n pues los

coeficientes de la serie se anulan a partir de 2p+1 > n νννν = n∈∈∈∈ Impar ⇒⇒⇒⇒ ∀∀∀∀p > (n –1)/2 C2p = 0

y1 = Pn(x) = C0 ∑∑∑∑−−−−

====

2/)1n(

0p )!1(2p )n(2p ... )n(4 )n(2 n)-1-(2p ... n)-(3 n)-(1

++++++++++++++++ x 2p+1

Con la convención que C0 : Pn(1) = 1

II.- En la segunda solución y2, si νννν = n es Natural y Par también se obtiene un Polinomio de orden pues los

coeficientes de la serie se anulan a partir de 2p > n νννν = n∈∈∈∈ Par ⇒⇒⇒⇒ ∀∀∀∀p > n/2 C2p = 0

y2 = Pn(x) = C0 ∑∑∑∑====

2/n

0p (2p)! )n1-(2p ... )n(3 )n(1 n)-2-(2p ... n)-(2 (-n) ++++++++++++ x 2p

siempre con la convención que C0 : Pn(1) = 1 3.2.2.- TABLA DE LOS PRIMEROS POLINOMIOS DE LEGENDRE

n

y1(x) si n∈∈∈∈Par y2 (x) si n ∈∈∈∈Impar

C0

Pn(x)

0

C0

1

1

1

C0 x

1

x

2 C0 [ 1 –

!23.2 x2 ] –

21

21 [ 3 x2 –1]

3 C0 [ x –

!35.2 x3 ] –

23

21 [ 5 x3 – 3 x]

4 C0 [ 1 –

!25.4 x2 +

!47.5.2.4 x4]

83

81 [ 35 x4 – 30 x2 + 3]

5 C0 [ x –

!37.4 x3 +

!59.7.2.4 x5]

815

81 [ 63 x5 – 70 x3+ 15]

3.3.- SOLUCION DE LA ECUACION DE LEGENDRE EN V(1)

3.3.1.- PRIMERA SOLUCION POR EL METODO DE FUCHS EN V(1) Si a la ED Legendre la llevamos al V(1) con la translación z = x – 1

(1 – x2) y’’ – 2 x y’ + λλλλ y = 0

z = x–1 ⇒ x = z + 1 x + 1 = z + 2 toma la forma de ED modificada:

– z (z + 2) y’’ – 2 (z + 1) y’ + λ y = 0 z (z + 2) y’’ + 2 (z + 1) y’ – λλλλ y = 0

Cuyo campo de convergencia es

p(x) = )2z(z)1z(2

++++++++ ⇒⇒⇒⇒ CV(p) = { 0 <<<< | z | <<<< 2}

⇒⇒⇒⇒ CV(y) = { 0 <<<< | z | <<<< 2 }

q(x) = – )2z(z ++++

λλλλ ⇒⇒⇒⇒ CV(q) = { 0 <<<< | z | <<<< 2}

Aplicando el método de Fuchs

y = ∑∞

=0k

Ck zr + k

y’ = ∑∞

=0k

Ck (r+k) z r + k –1

y’’ = ∑∞

=0k

Ck (r+k) (r+k – 1) z r + k–-2

– λ y = ∑∞

=0k

– λ Ck z r + k

2 (z+1) y’ = ∑∞

=0k

2 Ck (r+k) zr + k + ∑∞

=0k

2 Ck (r+k) zr + k–1

z (z+2) y’’ = ∑∞

=0k

Ck (r+k) (r+k–1) z r + k + ∑∞

=0k

2 Ck (r+k) (r+k–1) z r + k–1

Tomando el coeficiente de la potencia z r + k–1 se forma la Ecuación de Recurrencia

Ck [2 (r+k) (r+k–1) + 2 (r+k)] + Ck –1 [ (r+k–1) (r+k–2) + 2(r+k–1) –λ ] = 0 Ck 2 (r+k)2 + Ck –1 [ (r+k–1) (r+k) – λ ] = 0

Que lleva a la Ecuación característica

C0 2 r2 = 0 de donde

r1 = 0; r2 = 0; ∆ = 0 II Caso de Fuchs

Para operar la Ecuación de Recurrencia más fácilmente se transforma el segundo término en producto de

monomios

[ (r+k-1) (r+k) – λ ] = (r+k)2 – (r+k) – λ Para ello se buscan las raíces de este polinomio de 2º grado

1/2 ± λ+)4/1(

y se completa el cuadrado perfecto dentro del radicando, tomando λ = ν(ν+1)

= 1/2 ± ( ν + 1/2) = ν + 1 = –ν

queda

Ck 2 (r+k)2 + Ck –1 (r+k – ν – 1 ) (r+k+ ν) = 0

Para hallar la primera solución y1 con r1 = 0;

Ck = k 2

)(k )k1( C 2

1 -k ν+−+ν

De donde eligiendo C0 = 1 recordando la convención Pn(x)1x =

= Pn(z)0z =

= 1

C0 = 1

C1 = 1 2

)1( )( 2+νν

C2 = )(2! 2

)2( )1( )1( )( 22

+ν+ν−νν

Ck = )(k! 2

)k)...(2( )1( )k1( )...1( )(2k

+ν+ν+ν−+ν−νν = )(k! 2

)1k()1k(

2k

+−νΓ++νΓ

Entonces la primera solución de la ecuación de Legendre es:

y1 = ∑∞

=0k

)(k! 2

)1k()1k(

2k

+−νΓ++νΓ

z k

3.3.2.- SEGUNDA EXPRESIÓN DE LOS POLINOMIOS DE LEGENDRE En el caso de ν = n ∈ N ∪ {0} la solución y1 se reduce a Polinomios de grado ν = n que son los Polinomios

de Legendre.

Pn (z) = ∑∑∑∑====

n

0k

kn

++++k

kn (

2z ) k

Pn (x) = ∑=

n

0k

kn

++++k

kn (

21x − ) k

En efecto:

∀ k ≥ n+1 ⇒ )1kn(

1+−Γ

= 0

y1 = ∑=

n

0k

)(k! 2

)1kn()1k(n

2k+−Γ++Γ

z k

Si k ≤ ν = n entonces:

Ck = 2k )(k! )!k(n 2

)!k(n −+ =

2k )(k! n! )!k(n 2 )!k(n n!

−+

Ck = k2

1

kn

+k

kn

y1 = ∑∑∑∑====

n

0k

kn

++++k

kn (

2z ) k =: Pn (z)

3.3.3.- TERCERA REPRESENTACIÓN: FÓRMULA DE OLINDO RODRIGUES

Lema (x2 – 1) = (x – 1) (x + 1) = z (z + 2) (x2 – 1) n = z n (z + 2) n

= =

n

0k��

�

kn

z k+n 2n– k

D(n)(x2 – 1) n = =

n

0k��

�

kn

(k+ n ) (k+ n –1) ... (k+1) z k 2n– k

= =

n

0k��

�

kn

k!

)!k(n + z k 2n – k

= 2n n! =

n

0k��

�

kn

��

�

+k

kn (z/2) k

= 2n n! Pn (z)

De aquí resulta la fórmula de Olindo Rodrigues.

P n(x) = n! 2

1n D(n) (x2 – 1) n

De la cual se deducen los primeros Polinomios de Legendre que coinciden con lo ya vistos:

n

Fórmula de Olindo Rodrigues Pn(x)

P0 (x) !02

10 D(0) (x2 – 1) 0

1

P1(x) !12

11 D(1) (x2 – 1)1

x

P2 (x) !22

12

D(2) (x2 – 1)2

21 [ 3 x2 –1]

P3 (x) !32

13 D(3) (x2 – 1) 3

21 [ 5 x3 – 3 x]

P4 (x) !42

14 D(4) (x2 – 1) 4

81 [ 35 x4 – 30 x2 + 3]

P5 (x) !52

15 D(5) (x2 – 1) 5

81 [ 63 x5 – 70 x3+ 15]

3.4.- SEGUNDA SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE LEGENDRE EN V(1)

3.4.1.- LA ECUACIÓN DE RECURRENCIA GENERALIZADA DE ΓΓΓΓ ’ Se recuerda la Fórmula de Recurrencia de Γ ’. Derivando en forma logarítmica la Fórmula de recurrencia de

Γ Γ(α+k+1) = (α+k) (α+ k – 1) (α+k – 2) ... (α+1) α Γ(α)

se obtiene la Fórmula de Recurrencia de Γ ’

)1k()1k('

++++

αΓαΓ =

k1+α

+1k

1−+α

+2k

1−+α

+ ... +1

1+α

+α1 +

)()('

αΓαΓ

Para el caso de α = 1 y k = p – 1 la expresión se reduce a:

)1p()1p('

++

ΓΓ =

p1 +

1p1−

+2p

1−

+ ... +21 + 1 +

)1()1('

ΓΓ

y definiendo la Suma Armónica H(p) de p términos

H(p) := p1 +

p1 +

1p1−

+2p

1−

+ ... +21 + 1

H(0) := 0 Queda

)1p()1p('

++

ΓΓ = H(p) + Γ ’(1)

3.4.2.- SEGUNDA SOLUCIÓN POR EL MÈTODO DE D’ALEMBERT EN

V(1)

Partiendo de la Ecuación de Recurrencia en V(1) sin reemplazar r

Ck 2 (r+k)2 + Ck –1 (r+k – ν – 1 ) (r+k+ ν) = 0

Se halla la solución y(z, r)

Ck = k) 2(r

)kr( ))kr1( C 2

1 -k

+++ν−−+ν

resulta entonces:

C0 = C0 arbitrario y no nulo.

Ck = C0 2k )]k(r ... 2)(r )1[(r2 )kr( ... )2r( )1r( )1kr( ... )1r( )r(

+++++ν++ν++ν+−−ν−−ν−ν

= C0 )1kr-( )1r( +−νΓ

+−νΓ1)r(

)1kr( ++νΓ+++νΓ

)1k(r )1r(

2

2

++Γ+Γ

k2 1

Para simplificar se elige la constante C0 de manera que:

1 = C0 )1r( )1r(

++νΓ+−νΓ

Γ2(r+1)

C0 = )1r( )1r(

)1r( 2 +Γ+−νΓ++νΓ

Se destaca que para r =0 se mantiene la convención establecida para los Polinomios de Legendre

C0 = )1( )1(

)1( 2Γ+νΓ

+νΓ = 1 = Pn(x)1x =

= Pn(z)0z =

= 1

Entonces construyendo y(z, r) con el C0 elegido:

y(z, r) = z r ∑+∞

=0k )1kr-( )1kr(

+−νΓ+++νΓ

)1k(r 1

2 ++Γ k2 1 z k

y(z, r) = ∑+∞

=0k )1kr-( )1kr(

+−νΓ+++νΓ

)1k(r 1

2 ++Γ k2 1 z r+k

Para la Primera solución y1 se remplaza r = r1 = 0 en y(z , r):

y1 = y(z, r) 0rr 1 ==

= ∑+∞

=0k )1k( )1k(

+−νΓ++νΓ

2)!k(1

k

k

2 z

que es la solución y1 ya hallada anteriormente. La Segunda solución y2 por el método de D’Alembert se obtiene derivando y(z, r) respecto de r y luego

reemplazando r = 0.

y2 = r)r,z(y

∂∂

0rr 2 ===

= y1 Lz +∑+∞

=0k )1kr-( )1kr(

+−νΓ+++νΓ

)1k(r 1

2 ++Γ[

)1kr( )1kr('

+++νΓ+++νΓ

– (–1))1kr-( )1kr('

+−νΓ+−−νΓ

–21)k(r

)1kr(' ++Γ++Γ

]k

kr

2z +

0r =

= y1 Lz +∑+∞

=0k )1k( )1k(

+−νΓ++νΓ

2)!k(1 [

)1k( )1k('

++νΓ++νΓ

+)1k( )1k('

+−νΓ+−νΓ

– 21)(k

)1k(' +Γ+Γ

] k

k

2z

= y1 Lz + H2(z)

En el caso de νννν = n ∈∈∈∈ N ∪∪∪∪ {0} la solución y1 se reduce al Polinomio Pn (z) de grado con νννν = n . Y en la

segunda solución y2 la serie H2(z) se reduce a un polinomio porque:

∀ k ≥ n+1 ⇒ )1kn(

1+−Γ

= 0

H2(z) =∑∑∑∑====

n

0k )!k(n)!k(n

−+

2)!k(1 [

)1k(n )1k(n'

++Γ++Γ

+)k1(n )k1(n'

−+Γ−+Γ

– 21)(k

)1k(' +Γ+Γ

] k

k

2z

Que en función de la Suma Armónica H(p) queda:

H2(z) =∑∑∑∑====

n

0k )!k(n)!k(n

−+

2)!k(1 [ H(n+k) + H(n –k) – 2 H(k)]

k

k

2z

Entonces la segunda solución es de la forma:

y2 = r)r,z(y

∂∂

0rr 2 === Qn (z)

= Pn(z) Lz +∑∑∑∑====

n

0k )!k(n)!k(n

−+

2)!k(1 [ H(n+k) + H(n –k) – 2 H(k)]

k

k

2z

Si k ≤ ν = n entonces como ya se ha visto:

2k )(k! )!k(n 2 )!k(n

−+ =

2k )(k! n! )!k(n 2 )!k(n n!

−+ =

k2 1

kn

+k

kn

Qn (z) = Pn(z) Lz +∑∑∑∑====

n

0k

kn

+k

kn[ H(n+k) + H(n –k) – 2 H(k)]

k

k

2z

3.4.3.- SEGUNDA SOLUCIÓN POR REDUCCIÓN DEL ORDEN EN

V(1) Por el método de reducción del orden la segunda solución y2(z) está dada por:

y2(z) = y1 (z) ∫ )(y1

21

exp (– ∫ 2)z(z)1z(2

++

dz ) dz

= y1 (z) ∫ )(y1

21

exp (– ∫ z1 +

2z1+

dz ) dz

= y1 (z) ∫ )(y1

21

[ z

1 2z

1+

] dz

Como por lo visto el término independiente de y1(z) es C0 = 1

C0 = 1 ⇒ )(y

12

1

∈ H/V(0)

y además

2z

1+

∈ H/V(0) ⇒ )(y

12

1 2z1+

∈ H/V(0)

= y1 (z) ∫ z1 H3(z) dz

= y1 (z) [ L(z) + H4(z)] = y1 (z) L(z) + H2(z)

Obs: Nótese que la segunda solución y2 en V(1) tiene L(z) en la solución. Análogo hecho se demuestra en V(–1) En particular para los Polinomios de Legendre se tiene

y2 = Qn (z) = Pn (z) ∫ P12n

exp (– ∫ 2)z(z)1z(2

++

dz ) dz

Qn (z) = Pn(z) Lz + H2(z)

3.5.- SEGUNDA SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE LEGENDRE EN V(0) CASO νννν = n 3.5.1.-- SEGUNDA SOLUCIÓN POR REDUCCIÓN DEL ORDEN EN V(0) CASO νννν = n Para el caso que λ = n(n+1) una de las soluciones, como se sabe es un Polinomio de Legendre. Puede

obtenerse una forma de la segunda solución correspondiente a partir del Método de Reducción del Orden.

Qn = Pn ∫ 2n

2 )P)(x1(1

− dx

La forma de la segunda solución es entonces:

Qn = u Pn(x)

que introducida en la Ecuación Diferencial da: (1–x2) [u’’ Pn + 2 u’ Pn’ + u Pn’’ ] –2x [u’ Pn + u P’n ] + n(n+1) u Pn = 0 (1–x2) Pn u’’ + [ 2 (1–x2) Pn’ – 2 x Pn ] u’ + [ (1–x2) Pn’’ – 2 x Pn’ + n(n+1)] u = 0 (1–x2) Pn u’’ + [ 2 (1–x2) Pn’ – 2 x Pn ] u’ = 0 por lo tanto

'u''u + 2

n

n

P'P –

2x1x2−

= 0

L u’ + L (Pn)2 + L (1 – x2) = 0

u’ = 2

n2 )P)(x1(1

−

u = ∫ 2n

2 )P)(x1(1

− dx

se obtiene entonces la forma general de la segunda solución correspondiente a los Polinomios de Legendre,

que se denomina Qn , a:

Qn = Pn ∫ 2n

2 )P)(x1(1

− dx

Para obtener la expresión de Qn se considera

2n

2 )P)(1x(1

− =

1xA−

+ 1x

B+

+ ∑=

n

1k2

k

k

)xx(D−

+ k

k

xxE−

donde los valores xk son los ceros (todos simples) del Polinomio Pn y los coeficientes de las fracciones

simples toman los valores expresados a continuación. Los valores x = 1 y x = –1 no son ceros de Pn pues Pn(1) = 1 y Pn(–1) = (–1)n

A = 2

n ))1(P.(21 =

.21

B = –2

n ))1(P.(21−

= –.2

1

El cálculo de los coeficientes Dk es el siguiente: Llamando f(x) a la función a descomponer por fracciones simples, la expresión de los coeficientes Dk es

Dk =

kxxlim→

(x-xk)2 f(x)

por lo tanto recordando que Pn(xk) = 0

2n

2

2k

))x(P)(1x()xx(

−−

= 2

k

kn2 ]xx

)x(P)x(P)[1x(

1

−−

−

Pasando al Límite de esta expresión para x → xk se obtiene:

Dk = 2

kn2

k )]x('P)[1x(1

−

El valor de los Ek se obtiene a partir de:

Ek =

kxxlim→

D’ (x-xk)2 f(x)

reemplazando f(x)

D 2

n2

2k

))x(P)(1x()xx(

−−

= 4

n22

nn22

n2

k2

n2

k

P)1x(]'PP2)1x(xP2[)xx(P)1x)(xx(2

−

−+−−−−

= n

22k

P)1x()xx(2

−−

2n

n2

nkn2

P

]'P )1x(P x)[xx(P)1x( −+−−−

El primer factor tiende a un valor no nulo

n22k

P)1x()xx(2

−−

→→ kxx

'P)1x(2

n22 −

≠ 0

En el segundo factor es un limite indeterminado, y por lo tanto aplicando L'Hospital

'PP 2

]''P)1x( 'P x2 'P xP)[xx(]'P)1x(P x[ 'P)1x(P x2

nn

n2

nnnkn2

nn2

n −+++−−−+−−+=

Simplificando y reemplazando en virtud de la ED 2x Pn’ + (x2 –1) Pn’’ = n(n+1) Pn

='PP 2

]P1)n(n 'P xP)[xx( P x

nn

nnnkn +++−−=

='PP 2

]P1)n n( 'P x)[xx( P x

nn

n2

nkn +++−−=

Aplicando L'Hospital otra vez

=''PP 2)'P( 2

]'P1)n n( ''P x 'P )[xx( ]P1)n n( 'P x[ 'P x P

nn2

n

n2

nnkn2

nnn

+++++−−+++−+

=

=''PP 2)'P( 2

]'P1)n n( ''P x 'P )[xx( P1)n n( P

nn2

n

n2

nnkn2

n

+++++−−++−

→→ kxx 0

Por lo tanto

Ek = 0

Observación: Otra forma de asegurar que Ek = 0 es a partir de que Qn ∈∈∈∈ H/xk pues el Campo de Convergencia de las soluciones de Legendre en el V(0) era CV(y) = { | x |<<<<1} . Suponiendo lo contrario que Ek ≠ 0

Ek ≠ 0 ⇒ ∫ k

k

xxE−

dx = Ek L(x - xk)

esto implica Qn ∉ H/xk lo cual es absurdo.

volviendo a las fracciones simples

2n

2 )P)(1x(1

− =

1xA−

+ 1x

B+

+ ∑=

n

1k2

k

k

)xx(D−

+ k

k

xxE−

queda entonces:

2n

2 )P)(1x(1

− =

1x2/1−

– 1x2/1+

+ ∑=

n

1k2

k

k

)xx(D−

integrando este resultado

u = ∫ 2n

2 )P)(x1(1

− dx = – ∫ 1x

2/1−

– 1x2/1+

+ ∑=

n

1k2

k

k

)xx(D−

u = 21 L

x1x1

−+ +∑

=

n

1k )xx(D

k

k

−

se obtiene finalmente

Qn = u Pn(x) = Pn(x) [ 21 L

x1x1

−+ +∑

=

n

1k )xx(D

k

k

− ]

que es otra forma de presentar a la segunda solución Qn 3.5.2.- TABLA DE LAS PRIMERAS FUNCIONES Qn DE LEGENDRE Los primeros valores de Qn son:

n Qn(x) Qn(x) Qn(x)

Q0(x) ∫ )( 2x1

1−

dx 21 L

x1x1

−+

Q0(x)

Q1(x) x ∫ 22 xx1

1)( −

dx 21 x L

x1x1

−+ – 1

P1 Q0 – 1

Q2(x) P2 ∫ 2

22 Px11

))(( − dx

21 P2 L x1

x1−+ –

23 P1 P2 Q0 –

23 P1 = P2 Q0 –

23 x

Q3(x) P3 ∫ 2

32 Px11

))(( − dx

21 P3 L x1

x1−+ –

310 P2 –

31 P0 P3 Q0 – 3

5 P2 – 61 P0 = P3 Q0 – 2

5 x2 +32

4.- REPRESENTACIONES INTEGRALES DE LOS POLINOMIOS DE LEGENDRE 4.1.- REPRESENTACIÓN INTEGRAL DE SCHLAFLI Una representación de los Polinomios de Legendre es la Integral de Schlafli.

T.- Integral de Schlafli γγγγ∈∈∈∈ Lazo ⊂⊂⊂⊂ V(x) x ∈∈∈∈ V(x)

Def: Pn(x) ⇒⇒⇒⇒ Pn(x) = n21

i21ππππ

∫∫∫∫γγγγ 1n

n2

)xt()1t(++++−−−−

−−−− dt

D.- Esta representación se obtiene a partir del teorema de las derivadas sucesivas de Cauchy que se recuerda f(t) ∈ H/V(x) γ∈ Lazo ⊂ V(x)

x ∈ V(x) ⇒ !n

)x(f )n( =

i21π ∫γ

1n)xt()t(f+−

dt

eligiendo f(t)

f(t) =!n2

1n

(t 2 – 1) n

!n)x(f )n(

= !n2

1n i2

1π

∫γ 1n

n2

)xt()1t(+−

− dt

siendo

f (n)(x) = Pn(x)

queda la fórmula de Schlafli

Pn(x) = n21

i21ππππ

∫∫∫∫γγγγ 1n

n2

)xt()1t(++++−−−−

−−−− dt

4.2.- REPRESENTACIÓN INTEGRAL DE LAPLACE DE LOS POLINOMIOS DE LEGENDRE

Otra representación Integral de los Polinomios de Legendre es la de Laplace, que tiene dos expresiones, una

para |x| < 1 y otra para x > 1

T. Representación Integral de Laplace de los Polinomios de Legendre

Def Pn(x) ⇒⇒⇒⇒ |x| < 1 x = cosθθθθ Pn(cosθθθθ) = π1∫π

0 (cos θθθθ + i sinθθθθ cos ϕϕϕϕ) n dϕϕϕϕ

x > 1 x = chθθθθ Pn(chθθθθ) = π1∫π

0 (ch θθθθ + shθθθθ cos ϕϕϕϕ) n dϕϕϕϕ

D.- I.- Para el caso de |x| < 1 se elige en la Integral de Schlafli x = cosθ

y el camino c: circunferencia de radio r = | sinθ |

t – x = sinθ e iϕ dt = i sinθ e iϕ dϕ t = cosθ + sinθ e iϕ t2 – 1 = – 1 + cos2θ + 2 cosθ sinθ e iϕ + sin2θ e i2ϕ = – 1 + 1 – sin2θ + 2 cosθ sinθ e iϕ + sin2θ e i2ϕ = 2 cosθ sinθ e iϕ + sin2θ ( e i2ϕ – 1) = 2 cosθ sinθ e iϕ + sin2θ e iϕ ( e iϕ – e – iϕ) = 2 sinθ e iϕ (cosθ + i sinθ sinϕ )

reemplazando en Schlafli resulta

Pn(cosθ) = i2

1π

n2

1∫

α+π

α+

2

0 2n sinnθ e inϕ (cosθ + i sinθ sinϕ )n

ϕ++ θ )1n(i1n e sin1 sinθ e iϕ i dϕ

Pn(cosθ) = π2

1 ∫α+π

α+

2

0 (cos θ + i sinθ sinϕ) n dϕ

Cambiando de variable ϕ → π/2−ϕ

Pn(cosθ) = π2

1 ∫α+π−π

α+π

22/

2/ (cos θ + i sinθ cosϕ) n (−dϕ)

En particular invirtiendo el orden de integración y tomando α = π

Pn(cosθ) = π2

1 ∫π+

π− (cos θ + i sinθ cosϕ) n dϕ

Por paridad

Pn(cosθ) = π1 ∫

π

0 (cos θ + i sinθ cosϕ) n dϕ

II.- Por otro lado en el caso x > 1

se elige x = chθ

y el camino c: circunferencia de radio r = | shθ | t – x = shθ e iϕ dt = i shθ e iϕ dϕ t = chθ + shθ e iϕ t2 – 1 = – 1 + ch2θ + 2 chθ shθ e iϕ + sh2θ e i2ϕ = – 1 + 1 + sh2θ + 2 chθ shθ e iϕ + sh2θ e i2ϕ = 2 chθ shθ e iϕ + sh2θ ( e i2ϕ + 1) = 2 chθ shθ e iϕ + sh2θ e iϕ ( e iϕ + e –iϕ ) = 2 shθ e iϕ (chθ + shθ cosϕ )

reemplazando en Schlafli resulta

Pn(chθ) = i2

1π

n2

1∫

α+π

α+

2

0 2n shnθ e inϕ (chθ + shθ cosϕ )n

ϕ++ θ )1n(i1n e sh1 shθ e iϕ i dϕ

Pn(chθ) = π2

1 ∫α+π

α+

2

0 (ch θ + shθ cosϕ) n dϕ

Por paridad

Pn(chθ) = π1 ∫

π

0 (chθ + shθ cosϕ) n dϕ

4.3.- REPRESENTACIÓN INTEGRAL DE LAS FUNCIONES DE LEGENDRE

Las soluciones de la Ecuación Diferencial de Legendre para un νννν genérico (no necesariamente n∈∈∈∈N) pueden expresarse bajo Formas Integrales semejantes a la Integral de Schlafli.

Para que la integral de Schlafli sea solución basta que la función integrando:

2

12

)xt()1t(+ν

+ν

−−

retome el mismo valor al final del recorrido de un lazo sobre el cual se desarrolle la integral. Debe observarse

que la función anterior tiene 3 puntos de ramificación: +1 –1 x. Eligiendo γ de forma conveniente se logran distintas formas de la solución de la ED de Legendre. Dos

ejemplos de estos lazos son: Ejemplo 1:

si se toma ΓΓΓΓ1 como indica la figura, se verifica que la función integrando retoma el valor inicial:

(t2 – 1)ν+1 → (t2 – 1)ν+1 e2πi(ν+1)

(t –x)ν+2 → (t – x)ν+2 e2πi(ν+2)

2

12

)xt()1t(+ν

+ν

−− →

2

12

)xt()1t(+ν

+ν

−− e2πi – 4πi

Ejemplo 2:

eligiendo Γ2 de acuerdo a la figura también la función integrando retoma el valor inicial:

(t2 – 1)ν+1 → (t2 – 1)ν+1 e2πi(ν+1) – 2πi(ν+1)

5.- PROPIEDADES: PRIMERA PARTE 5.1.- PARIDAD

T1. Def Pn(x) ⇒⇒⇒⇒ Pn(x) tiene la paridad de n D1.- A partir de la fórmula de Olindo Rodrigues

Pn(x) = !n2

1n

D(n) (x2 – 1)n

se implica directamente que Pn(x) tiene la paridad de n.

5.2.- VALORES NOTABLES Como corolario de las Fórmulas de Laplace se obtienen las siguientes propiedades:

T. Def Pn(x) ⇒⇒⇒⇒ T2.- Pn(1) = 1 ⇒⇒⇒⇒ T3.- Pn(−−−−1) = (−−−−1)n

⇒⇒⇒⇒ T4.- Pn(0) → += 1k2n P2k+1(0) = 0

→ = k2n P2k(0) = (−−−−1)k 2k2 )!k(2

)!k2(

D.- Pn(cosθθθθ) =π1 ∫

π

0 (cos θθθθ + i sinθθθθ cos ϕϕϕϕ) n dϕϕϕϕ |x| < 1

Pn(chθθθθ) =π1 ∫

π

0 (ch θθθθ + shθθθθ cos ϕϕϕϕ) n dϕϕϕϕ x > 1

Pasando al límite en la representación Integral de Laplace

T2.- Pn(cosθθθθ) →

→→θ

1x0 Pn(1) = 1

T3.- Pn(cosθθθθ) →−→π→θ

1x Pn(−−−−1) = (−−−−1)n

En el caso de θ = π/2 x = 0

T4.- Pn(0) = π

ni ∫π

0 (cos ϕϕϕϕ) n dϕϕϕϕ → += 1k2n P2k+1(0) = 0

→ = k2n P2k(0) = π

ni B( k+21 ,

21 ) = (−−−−1)k

π1

)1k()2/1()2/1k(

+ΓΓ+Γ

= (−−−−1)k !k

)2/1)(2/3)...(2/3k)(2/1k( −−

= (−−−−1)k 2k2 )!k(2

)!k2(

En particular los primeros valores de P2k(0) son:

P0(0)

P2(0) P4(0) P6(0) P8(0)

1 –

21

83 –

165

12835

5.3.- ACOTACIÓN

Hay varios teoremas de acotación de los Polinomios de Legendre. Algunos son los siguientes:

T5. Primera Acotación de los Polinomios de Legendre x ∈∈∈∈ [-1 ,1] ⇒⇒⇒⇒ | Pn(x) | = | Pn(cosθθθθ) | ≤≤≤≤ 1 D.- |x| = 1 ⇒ | Pn(x) | = | Pn(cosθ) | = 1 |x| < 1

| Pn(cosθ) | ≤ π1 ∫

π

0 | cos θ + i sinθ cos ϕ | n dϕ

Expresión que se puede acotar por el módulo de su parte real:

≤ π1 ∫

π

0 | cos2θ + sin2θ cos2ϕ | n/2 dϕ

y también por

≤ π1 ∫

π

0 | cos2θ + sin2θ | n/2 dϕ = 1

T6.-. Segunda Acotación de los Polinomios de Legendre

x ∈∈∈∈ ]-1 ,1[ ⇒⇒⇒⇒ | Pn(x) | = | Pn(cosθθθθ) | ≤≤≤≤ 21

θθθθsin1

)23

2n(

)12n(

++++

++++

ΓΓΓΓ

ππππΓΓΓΓ

Partiendo de

| Pn(cosθ) | ≤ π1 ∫

π

0 | cos2θ + sin2θ cos2ϕ | n/2 dϕ =

π2 ∫

π 2/


≤ π2 ∫

π 2/

0 | cos2θ + sin2θ (1– sin2ϕ) | n/2 dϕ

≤ π2 ∫

π 2/

0 | 1 – sin2θ sin2ϕ | n/2 dϕ

Como en ϕϕϕϕ∈∈∈∈[0 ππππ/2] ⇒ sinϕ ≥≥≥≥ πϕ2

se tiene

| Pn(cosθ) | < π2 ∫

π 2/

0 | 1 – sin2θ (

πϕ2 ) 2 | n/2 dϕ

| Pn(cosθ) | < θθθθ2sin n

2 ∫∫∫∫+∞+∞+∞+∞

0

2t e −−−− dt =θθθθ2sin n

2 2ππππ

Pn(cosθ) | < θ

π2sin n2

= n2ππππ

|sin|1θθθθ

5.4.- COEFICIENTES NOTABLES

T8.-. Def Pn(x) ⇒⇒⇒⇒ Coef(x n) = !n2

1n D(n) x2n

1x ==== =

!n!n2)!n2(

n

D.- Derivando n veces x2n se obtiene el resultado.

5.5.- CEROS DE LAS SOLUCIONES 5.5.1.- PROPIEDADES DE LOS CEROS

Se recuerdan los teoremas sobre los ceros de EDLH de segundo orden

T1.- Los ceros de cualquier solución de una EDLH de segundo orden son simples H1 L(y) := y’’ + p(x) y’ + q(x) y = 0 H2 y1 : L(y1) = 0 ∧ y1 ≠ σ H3 y1(ζk ) = 0 ⇒ ζk ∈ Cero simple

T2.- Dos soluciones li de cualquier solución de una EDLH de segundo orden no pueden tener ceros comunes H1 L(y) := y’’ + p(x) y’ + q(x) y = 0 H2 y1 : L(y1) = 0 ∧ y2 : L(y2) = 0 {y1 y2 } ∈ li H2 y1(ζk ) = 0 ⇒ y2(ζk ) ≠ 0

T3.- Dos soluciones li de cualquier solución de una EDLH de segundo orden tiene los ceros intercalados (entre dos ceros consecutivos de una solución se intercalan uno solo de otra solución) H1 L(y) := y’’ + p(x) y’ + q(x) y = 0 H2 y1 : L(y1) = 0 ∧ y2 : L(y2) = 0 {y1 y2 } ∈ li H3 y1(ζk ) = 0 y1(ζk+1) = 0 ceros consecutivos ⇒ ∃ωk ∈ ] ζk ζk+1 [ : y2(ωk) = 0 ωk ∈ único en [ ζk ζk+1 ]

5.5.2- ACOTACIÓN DE LOS CEROS

Una acotación de los Ceros de las Soluciones de Legendre está dada por la siguiente expresión de Bruns:

21n

21k

+

−π < θk <

21n

k

+ π

que se demuestra a continuación. A partir de la ED modificada

y’’θθθθθθθθ + cotgθθθθ y’θθθθ + λλλλ y = 0

por el cambio de variable

y = 2/1)(sin

zθ

queda la ED

z’’ + [ (n +21 )2 +

2)(sin41θ

] z = 0

que puede compararse con la ED

w" + (n +21 )2 w = 0

a los efectos de aplicar el Teorema de Sturm que asegura que z tendrá 1 cero entre 2 ceros consecutivos de w.

Una integral particular de la ED en w es

w = sin(n +21 )ϕ

y sus raíces son

sin(n +21 )ϕ = 0

(n +21 )ϕk = kπ

ϕk =

21n

k

+ π

por lo tanto un primer resultado es

21n

1k

+

− π < θk <

21n

k

+ π

cambiando ahora de subíndice

k → n+1-k

21n

kn

+

− π < θn+1- k <

21n

k1n

+

−+ π

tomando esta desigualdad para

π – θk

n – k → n – k – n – 21

n+1– k → n+1 – k – n – 21

–

21n

21k

+

+ π < – θk < –

21n

21k

+

−π

21n

21k

+

− π < θk <

21n

21k

+

+ π

reuniendo este resultado con el primero se obtiene esta Desigualdad de Bruns

21n

21k

+

−π < θk <

21n

k

+π

6.- FÓRMULAS DE RECURRENCIA DE LOS POLINOMIOS DE LEGENDRE 6.1.- PRIMERA FÓRMULA DE RECURRENCIA

T.- Def. Pn(x) ⇒⇒⇒⇒ (n+1) Pn+1 – (2n+1) x Pn + n Pn–1 = 0

D1.- Partiendo de la fórmula de Olindo Rodrígues Pn(x) = !n2

1n

D(n) (x2 – 1)n

Pn+1(x) = )!1n(2

11n ++

D(n+1) (x2 – 1)n+1 = )!1n(2

11n ++

D(n) [ D(x2 – 1)n+1 ]

= !n2

1n

D(n) [ x (x2 – 1)n ]

I.- Desarrollando esta derivada como producto de funciones

!n2

1n

D(n) [ x (x2 – 1)n ] = x!n2

1n

D(n) (x2 – 1)n +!n2

1n

n D(n–1 ) (x2 – 1)n

= x Pn + !n2

1n

n D(n–1) [ (x2 – 1)n ]

II.- Por otra parte derivando una vez a la misma expresión D(n) [ (x2 – 1)n x ] = D(n–1) [ (x2 – 1)n + 2 n x2 (x2 – 1)n–1 ] = D(n–1) [ (2n+1) (x2 – 1)n + 2n (x2 – 1)n–1 ] = (2n+1) D(n–1) (x2 – 1)n + 2 n 2n–1 (n–1)! Pn–1

Entonces

Pn+1(x) = )!n(2

1n

D(n) [ (x2 – 1)n x ] =)!n(2

1n

[(2n+1) D(n–1) (x2 – 1)n + 2 n 2n–1 (n–1)! Pn–1 ]

Pn+1(x) = )!n(2)1n2(

n+ D(n–1) (x2 – 1)n + Pn–1

III.- Eliminando D(n–1) (x2 – 1)n entre las dos igualdades se obtiene:

n

1n2 + [ Pn+1 – x Pn ] = )!n(2)1n2(

n+ D(n–1) [ (x2 – 1)n ] = [ Pn+1 – Pn–1 ]

(n+1) Pn+1 – (2n+1) x Pn + n Pn–1 = 0 D2.- . Un segundo método para llegar a la primera formula de recurrencia es partir de desarrollar el polinomio x Pn de orden n+1 en función de los mismos Polinomios de Legendre: x Pn = cn+1 Pn+1 + cn Pn + cn–1 Pn–1 + ... +

Multiplicando por Pq con (q < n –1 ) e integrando en el intervalo [–1 1]

∫−1

1 x Pn Pq dx = cq ∫−

1

1( Pq )2 dx q = n–2 , n–3 , n–4 ,.., 0

La primera integral es nula porque: calculando la primitiva

2n n! 2q q! ∫ 2 x Pn Pq dx = ∫ D(n) (x2 – 1)n D(q) (x2 – 1)q d (x2 – 1)

= D(n–1) D(q) + D(n–2) D(q+1) + D(n–3) D(q+2) + ... + D(n–q–1) D(2q)

se anula en los extremos del intervalo [–1 1] y por lo tanto

cq ∫−1

1( Pq )2 dx = 0

cq = 0 q = n–2 , n–3 , n–4 ,.., 0 Queda x Pn = cn+1 Pn+1 + cn Pn + cn–1 Pn–1

Los polinomios x Pn , Pn+1 , Pn–1 tienen la misma paridad, distinta de la paridad de Pn y por lo tanto cn = 0 x Pn = cn+1 Pn+1 + cn–1 Pn–1

para x = 1 1 = cn+1 + cn–1 igualando los coeficientes de xn+1

en los dos miembros

!n!n2)!n2(

n = cn+1

)!1n()!1n(2)!2n2(

1n +++

+

cn+1 = )1n2)(2n2()1n(2 2

+++

=)1n2(

)1n(++

cn–1 = 1 – cn+1 = )1n2(

n+

Finalmente (n+1) Pn+1 – (2n+1) x Pn + n Pn–1 = 0 Ejercicio: Aplicar la fórmula de Olindo Rodrigues y la relación de recurrencia anterior para construir los polinomios P0 ,P1_, P2 , P3, P4 _

P0 (x) = !02

10

D(0) (x2 – 1) 0 = 1

P1(x) = !12

11

D(1) (x2 – 1) 1 = x

2 P2 = 3 x P1 – P0 P2(x) =

21 ( 3 x2 – 1)

3 P3 = 5 x P2 – 2P1 P3 (x) = 21 ( 5 x3 – 3 x)

4 P4 = 7 x P1 – 3P0 4 P4 = 27 x ( 5 x3 – 3 x) –

21 (3 x3 – x)

P4 (x) = 81 ( 35 x4 – 30 x2 + 3x

6.2.- SEGUNDA FÓRMULA DE RECURRENCIA

T.- Def. Pn(x) (1– x2) P'n = (n+1) ( x Pn – Pn+1 ) D.- Para demostrar ésta segunda fórmula de recurrencia se puede aplicar la formula de Schlafli

Pn+1(x) =1n2

1+ i2

1π

∫γ 2n

1n2

)xt()1t(+

+

−− dt

La integral de la derivada con relación a t es (!!! Z !!! Ver Observación 1)

0 = 1n2

)1n(2++

i21π

∫γ 2n

n2

)xt()1t(t+−

− dt – 1n2

)2n(++

i21π

∫γ 3n

1n2

)xt()1t(+

+

−− dt

La primera Integral se desarrolla:

∫γ 2n

n2

)xt()1t(t+−

− dt = ∫γ 2n

n2

)xt()xxt()1t(

+−+−− dt = ∫γ

1n

n2

)xt()1t(+−

− dt + x ∫γ 2n

n2

)xt()1t(+−

− dt

queda entonces:

0 = n2

)1n( +i2

1π

[ ∫γ 1n

n2

)xt()1t(+−

− dt + x ∫γ 2n

n2

)xt()1t(+−

− dt ] – 1n2

)2n(++

i21π

∫γ 3n

1n2

)xt()1t(+

+

−− dt

0 = (n+1) Pn + x P’n – P’n+1 si se integra esta expresión: 0 = (n+1) ∫ Pn + ∫ x P’n – Pn+1 – cte

0 = (n+1) ∫ Pn + x Pn – ∫ Pn – Pn+1 – cte

n ∫ Pn + x Pn – Pn+1 = cte

Por otra parte si se recuerda la Ecuación de Legendre

[( 1-x2 ) P’n ]’ + n (n+1) Pn = 0

y se integra ( 1–x2 ) P’n + n (n+1) ∫ Pn = cte

y en virtud de la relación anterior

( 1–x2 ) P’n – (n+1) [ x Pn – Pn+1 ] = cte

y teniendo en cuenta que Pn(1) = Pn+1(1) = 1 ⇒ cte =0 ( 1–x2 ) P’n = (n+1) [ x Pn – Pn+1 ]

Observación 1: (!!! Z !!!) La derivación respecto del parámetro t de integración, merece especial cuidado:

T.- f(t) = ∑+∞

−∞=n

an (t – a)n

γ∈Lazo Simple Frontera D a ∈ punto aislado Int(D) ⇒ ∫γ f’(t) dt = 0

∫γ f (t) dt = 2πi R(a)

∫γ f (t) dt = ∫γ ∑+∞

−∞=n

an (t – a)n dt

La integral de la derivada

∫γ f ’(t) dt = ∫γ ∑+∞

≠−∞=0n

n

n an (t – a)n–1 dt

La serie derivada no tiene el término en (t– a) –1 y por lo tanto es nula

∫γ f ’(t) dt = 0

Observación 2: Esta igualdad también se puede obtener derivando con respecto a t

2n

n2

)xt()1t(+−

−

o también

2n

n2

)xt()1t(t+−

−

En particular resulta la Primera Ecuación de Recurrencia: (n+1) Pn+1 – (2n+1) x Pn + n Pn–1 = 0

6.3.- TERCERA FÓRMULA DE RECURRENCIA Una tercera fórmula de recurrencia es

T.- Def. Pn(x) ⇒⇒⇒⇒ (2n+1) Pn = P’n+1 – P’n–1 D.-

P’n+1(x) = )!1n(2

11n ++

D(n+2) (x2 – 1)n+1

= )!1n(2

11n ++

D(n+1) D[ (x2 – 1)n+1 ]

= )!1n(2

11n ++

2 (n+1) D(n+1) [ (x2 – 1)n x]

= !n2

1n

D(n+1) [ x (x2 – 1)n]

= !n2

1n

D(n) [ (x2 – 1)n + 2n x2 (x2 – 1)n–1]

= Pn(x) + 2n Pn(x) + )!1n(2

11n −−

D(n) (x2 – 1)n–1

= Pn(x) + 2n Pn(x) + P’n–1(x) (2n+1) Pn = P’n+1 – P’n–1

7.- FUNCIÓN GENERATRIZ 7.1.- PRIMERA DEMOSTRACIÓN DE LA FUNCIÓN GENERATRIZ La expresión de la Función Generatriz de los Polinomios de Legendre es

2/12 )hhx21(1+−

=∑+∞

=0n

Pn(x) hn

Los polinomios de Legendre tienen su origen histórico como coeficientes del desarrollo de la serie entera de la

función:

2/12 )hhx21(1+−

=∑+∞

=0n

an(x) hn

Debe probarse entonces que;

an(x) = Pn(x)

El desarrollo propuesto es posible si x y h son suficientemente pequeños

2/1)y1(1

− =∑

+∞

=0n !n!n2)!n2(

n2 yn =

=∑+∞

=0n )!n2()!1n2( −

yn = 1 +21 y +

83 y2 + ... +

)n2...(6.4.2)1n2....(5.3.1 −

yn +… con | y | < 1

haciendo y = 2xh – h2 con | 2hx – h2 | < 1

2/12 )hhx21(1+−

= 1 + 21 (2xh – h2) +

83 (2xh – h2)2 + ... +

)n2...(6.4.2)1n2....(5.3.1 −

(2xh – h2)n +…

Se hará un cambio de orden en el índice de sumación.

= 1 + x h + (23 x2 –

21 ) h2 + (

25 x3 –

23 x) h3 + …

2/12 )hhx21(1+−

=∑+∞

=0n

Pn(x) hn

Observación 1: (!!!Z!!!) Este cambio de orden debe ser hecho con mucho cuidado porque no existen reglas

generales para ello, y podría ser abusivo. En las series dobles de potencias con respecto a (x, h) es condición suficiente la Convergencia Absoluta

(CA) de la misma.

∑+∞

=0n∑+∞

=0p

∈ CA ⇒ ∑+∞

=0n∑+∞

=0p

= ∑+∞

=0p∑+∞

=0n

Para el análisis de la CA basta encontrar una Serie Mayorante de la forma

| ∑+∞

=0n∑+∞

=0p

a p,n xp hn | ≤ ∑+∞

=0n∑+∞

=0p

| a p,n | | xp | | hn |

que es convergente con la condición suficiente

| 2xh | + | h |2 < 1

que es más estricta que la anterior

| 2xh | – | h |2 < 1 Puede encontrarse una relación de recurrencia entre los coeficientes an(x) derivando con respecto a h el

desarrollo:

2/12 )hhx21(1+−

=∑+∞

=0n

an(x) hn

2/32 )hhx21(hx+−− =∑

+∞

=0n

an(x) n hn-1

( x – h) ∑+∞

=0n

an(x) hn = (1 – 2xh + h2) ∑+∞

=0n

an(x) n hn-1

identificando el coeficiente de hn en ambos miembros de la igualdad lleva a la ecuación de recurrencia:

x an – an-1 = (n+1) an+1 – 2 x n an + (n-1) an-1 (n+1) an+1 – (2n+1)x an + n an-1 = 0

que es la relación de recurrencia ya encontrada para los Polinomios de Legendre Pn(x), y como

a0(x) = 1 = P0(x) a1(x) = x = P1(x)

se implica

an(x) = Pn(x)

resulta la Función Generatriz

2/12 )hhx21(1+−

=∑+∞

=0n

Pn(x) hn

Observación 2: Se pueden verificar fácilmente los primeros términos aplicando la Serie de Taylor

an(x) = !n

)0(f )n( =

!n1 D(n) [

2/12 )hhx21(1+−

]0h =

7.2.- SEGUNDA DEMOSTRACIÓN DE LA FUNCIÓN GENERATRIZ El desarrollo de la serie

2/12 )hhx21(1+−

=∑+∞

=0n

an(x) hn

tiene por coeficiente

an(x) =i2

1π

�γ 2/12 )hhx21(

1+− 1nh

1+

dh

y cambiando de variable h = 1/u

an(x) = –i2

1π

∫ −γ '

2/12 )uxu21(u+− 2

1n

uu +

du

an(x) =i2

1π

∫ +γ '

2/12

n

)uxu21(u+−

du

introduciendo otro cambio de variable u → t

(1 – 2xu + u2)1/2 = u – t

1 – 2xu + u2 = u2 – 2tu + t2 u 2(t – x) = t2 – 1

u = )xt(2)1t( 2

−−

du = xtut

−− dt

En este cambio de variable el lazo γ’ que encierra a O se transforma en el lazo γ’’ que encierra a x. Se llega a

an(x) = n21

i21ππππ

∫γ '' 1n

n2

)xt()1t(++++−−−−

−−−− dt

aplicando Schlafli

an(x) = Pn(x) 8.- PROPIEDADES: SEGUNDA PARTE

8.1.- FORMACIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LOS POLINOMIOS DE LEGENDRE A PARTIR DE LA FÓRMULA DE OLINDO RODRIGUES

Los Polinomios de Legendre son una solución de un caso particular de la Ecuación de Legendre:

T.- Pn(x) = !n2

1n

D(n) (x2 – 1) n ⇒⇒⇒⇒ (1 – x2) y’’ – 2 x y’ + n(n+1) y = 0 Forma canónica

⇒⇒⇒⇒ [(1 – x2) y’]’ + n(n+1) y = 0 Forma autoadjunta Partiendo de la formula de Olindo Rodrigues

Pn(x) = !n2

1n

D(n) (x2 – 1) n

y llamando

w = (x2 – 1) n ⇒ Pn(x) = !n2

1n

D(n) w

derivando w en forma logarítmica

w'w =

)1x(x2n

2 −

(x 2-1) w' – 2nx w = 0 derivando n+1 veces (x 2-1) w(n+2) + (n+1) 2x w(n+1) + (n+1)n w(n) – 2nx w(n+1) – 2(n+1)n w(n) = 0 (x 2-1) w(n+2) + 2x w(n+1) – (n+1)n w(n) = 0 (x 2-1) [w(n)]’’ + 2x [w(n) ]’– (n+1)n [w(n) ] = 0 Resulta entonces Pn(x) una integral particular de la llamada ecuación diferencial de Legendre (caso Particular) (1 – x2) y’’ – 2 x y’ + n(n+1) y = 0 Forma canónica [(1 – x2) y’]’ + n(n+1) y = 0 Forma autoadjunta

8.2.- FORMACIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LEGENDRE A PARTIR DE LA FÓRMULA

DE SCHLAFLI

Sea I

I = �γ 1n

n2

)xt()1t(+−

− dt = 2n 2π i Pn(x)

I’x = (n+1) �γ 2n

n2

)xt()1t(+−

− dt = 2n 2π i P’n(x)

I"xx = (n+2)(n+1) �γ 3n

n2

)xt()1t(+−

− dt = 2n 2π i P’’n(x)

Se deberá verificar que I cumple: (1 – x2) I’’ – 2 x I’ + n(n+1) I = 0 reemplazando las expresiones obtenidas:

(1 – x2) (n+2)(n+1) �γ 3n

n2

)xt()1t(+−

− dt – 2 x (n+1) �γ 2n

n2

)xt()1t(+−

− + n(n+1) �γ 1n

n2

)xt()1t(+−

− dt =

= �γ 3n

n2

)xt()1t(+−

− [ (n+2)(n+1)(1 – x2) – 2x (n+1) (t – x) + (n+1)n (t – x)2] dt =

= �γ 3n

n2

)xt()1t(+−

− (n+1) [ (–(n+2) + 2 + n) x2 + (–2t – 2nt) x + (n+2) + n t2 ] =

= �γ 3n

n2

)xt()1t(+−

− (n+1) [ n t2 – 2t (n+1) x + (n+2) ] = 2π i R(x)

Siendo x un polo de orden n+3 el residuo será:

R(x) =)!2n()1n(

++

D(n+2) {( t2 – 1) n [ nt2 – 2t(n+1)x + (n+2) ] } x

=)!2n()1n(

++

{ [ nt2 – 2t(n+1)x + (n+2) ] D(n+2) (t2 – 1)n + (n+2) [ 2nt – 2(n+1)x ] D(n+1) (t2 – 1)n

+ 21 (n+2)(n+1) [ 2n ] D(n) (t2 – 1)n }

x

=)!2n()1n(

++

{ [ nx2 – 2(n+1)x2 + (n+2) ] D(n+2) (x2 – 1)n + (n+2) [ 2nx – 2(n+1)x ] D(n+1) (x2 – 1)n

+ 21 (n+2)(n+1) [ 2n ] D(n) (x2 – 1)n }

=)!2n(

)2n)(1n(+++

{ [1–x2] D(n+2) (x2 – 1)n + [–2x] D(n+1) (x2 – 1)n + (n+1) n D(n) (x2 – 1)n }

R(x) = 2n { (1–x2) P’’n(x) –2x P’n(x) + (n+1) n Pn(x) } = 0 siendo por lo tanto nulo el residuo R(x) = 0

9.- LOS POLINOMIOS DE LEGENDRE COMO SISTEMA ORTOGONAL 9.1.- ORTOGONALIDAD

Los Polinomios de Legendre conforman un Sistema Ortogonal sobre el intervalo real [–1,1] con respecto al núcleo p(x) =1

Def Pn ⇒⇒⇒⇒ {Pn(x)} ∈∈∈∈ SOG/ [–1,1] ; p(x) = 1

Pm(x) •••• Pn(x) = ∫−1

1 Pm Pn = 0 m ≠≠≠≠ n

Se plantea la Ecuación Diferencial de Legendre para los pares (m Pm) y (n Pn). [ (1 – x2) P’m ]’ + (m+1)m Pm = 0 | * Pn [ (1 – x2) P’n ]’ + (n+1) n Pn = 0 | * Pm multiplicando las igualdades por Pn y Pm respectivamente se pueden restar miembro a miembro: [ (1 – x2) P’m ]’ Pn – [ (1 – x2) P’n ]’ Pm + [(m+1)m – (n+1)n] Pm Pn = 0 Los dos primeros términos se pueden expresar como: [ (1 – x2) P’m ]’ Pn – [ (1 – x2) P’n ]’ Pm = = (1 – x2) P’’m Pn + (1 – x2)’ P’m Pn – (1 – x2) P’’n Pm – (1 – x2)’ P’n Pm = (1 – x2) [ P’’m Pn – P’’n Pm ] + (1 – x2)’ [P’m Pn – P’n Pm ] Definiendo el determinante W

W :=

mn

mn

'P'PPP

con m ≠ n

por lo tanto

W’ =

mn

mn

''P''PPP

se puede escribir entonces [ (1 – x2) P’m ]’ Pn – [ (1 – x2) P’n ]’ Pm = = (1 – x2) W’ + (1 – x2)’ W = [ (1 – x2) W ]’ volviendo a la expresión original y reemplazando el último resultado queda [ (1 – x2) W ]’ + [(m+1)m – (n+1)n] Pm Pn = 0 integrando en [ –1 , 1]

[(m+1)m – (n+1)n] ∫−1

1 Pm Pn = 0

el primer corchete se anula para m = n y m = – (n+1), por lo tanto para valores naturales de m y n con m ≠ n

∫−1

1 Pm Pn = 0

lo cual demuestra la ortogonalidad sobre el intervalo real [– 1,1] y con respecto al núcleo p(x) = 1.

9.2.- ORTOGONALIDAD EN GENERAL: MODELO DE STURM-LIOUVILLE El teorema de Sturm-Liouville enuncia dos soluciones de una ED que cumpla con la forma definida en la

Hipótesis 1 (Forma Autoadjunta de SL) y con Condiciones de Contorno establecidas en la Hipótesis 2, son ortogonales.

Teorema

H1.- EDSL (Forma Autoadjunta)

(r y')' + (λ p + q) y = 0 r r' p q : R → R

r' p q ∈ IR p(x) ≥ 0

H2.- Condición de Contorno

(λ1 y1) ∈ S

(λ2 y2 ) ∈ S : r W( 2y y1 ) ab

= 0

⇒ T1 ∀i λi = iλ (λi ∈ R) ⇒ T2 λ1 ≠ λ2 ⇒ y1 • y2 = 0 ⇒ T3 y1 • y2 ≠ 0 ⇒ λ1 = λ2

La Ecuación Diferencial de Legendre [ (1 – x2) y’ ]’ + (ν+1)ν y = 0

satisface la primera hipótesis del teorema de Sturm - Liouville con: r = 1 – x2 p = 1 q = 0

y en cuanto a las condiciones de contorno puede hay varias que cumplen con Sturm-Liouville

W(a)=0 W(b)=0

W(a)=0 r(1)=0

r(–1)=0 W(b)=0

r(–1)=0 r(1)=0

De aquí entonces las Funciones de Legendre que satisfagan las condiciones anteriores son ortogonales. Se recuerda sin embargo que las Funciones de Legendre, no Polinomios no son CV en V(1) y V(–1) 9.3.- NORMA

La Norma de los Polinomios de Legendre es

H.- Def Pn ⇒⇒⇒⇒ || Pn ||2 = ∫+

−

1

1 Pn

2(x) dx = 1n2

2+

D1.- Una forma de obtener la Norma es a partir del cuadrado de la Función Generatriz

)hhx21(1

2+− =∑

+∞

=0n

Pn2(x) h2n + ∑

+∞

=0n∑+∞

≠= nm,0m

Pn(x) Pm(x) hn+m

Integrando sobre el intervalo [–1,1]

∫+

−

1

1 )hhx21(1

2+− dx =

h21 L

2

2

hh21hh21

+−++

= h1 L

h1h1

−+

= h2 ∑

+∞

=0n

1n2

h 1n2

+

+ =

h2 ( h +

3h 3

+ 5

h 5+ ... )

Por lo tanto el resultado obtenido

∑+∞

=0n∫+

−

1

1 Pn

2(x) h2n dx = 2 ∑+∞

=0n

1n2

h n2

+

lleva a:

∫+

−

1

1 Pn

2(x) dx = 1n2

2+

D2.- Una segunda forma de obtener la Norma es:

Integrando por partes n veces se tiene:

∫ u(n) v dx = u(n–1) v – ∫ u(n –1) v’ dx

= u(n–1) v – u(n–2) v’ + ∫ u(n –2) v’’ dx

= u(n–1) v – u(n–2) v’ + u(n–3) v’’ – u(n–4) v(3) + ... + (–1)n–2 u’ v(n–2) + (–1)n–1 u v(n–1) + (–1)n ∫ u v(n) dx

Por otro lado

(x2 – 1)n = (x – 1)n(x + 1)n 11−+

= 0

p < n ⇒ D(p) (x2 – 1)n = D(p) (x – 1)n(x + 1)n 11−+

= 0

|| Pn ||2 = ∫+

−

1

1 Pn

2(x) dx = ∫+

−

1

1

!n21n

D(n) (x2 – 1)n !n2

1n

D(n) (x2 – 1)n dx

= (!n2

1n

)2 ∫+

−

1

1 D(n) (x2 – 1)n D(n) (x2 – 1)n dx

Aplicando los lemas anteriores

|| Pn ||2 = ∫+

−

1

1 Pn

2(x) dx = (!n2

1n

)2 (–1)n ∫+

−

1

1 (x2 – 1)n D(2n) (x2 – 1)n dx

Como D(2n) (x2 – 1)n = (2n)!

|| Pn ||2 = ∫+

−

1

1 Pn

2(x) dx = 2n2 )!n(2

)!n2( (–1)n ∫+

−

1

1 (x2 – 1)n dx

= 2n2 )!n(2

)!n2( ∫+

−

1

1 (1 – x2)n dx

∫+

−

1

1 (1 – x2)n dx = 2 ∫

+1

0 (1 – x2)n dx

= → ϕ=sinx 2 ∫π 2/

0 cos2n+1ϕ dϕ = B(

21 ,n+1) =

)23n(

)1n( )21(

+Γ

+ΓΓ

=

21

23)...

21n)(

21n(

!n

−+=

1.3)...1n2)(1n2(!n2 1n

−+

+=

)!1n2()!n(2 21n2

+

+

de donde

|| Pn ||2 = ∫+

−

1

1 Pn

2(x) dx =2n2 )!n(2

)!n2()!1n2()!n(2 21n2

+

+=

1n22+

9.4.- SISTEMA ORTONORMADO Los Polinomios de Legendre ortonormalizados son entonces:

H.- Def Pn ⇒⇒⇒⇒ { 2

1n2 + Pn(x) } ∈∈∈∈ SON/[ –1,1] ; p(x) = 1

Ejercicio 1: La ortogonalidad de los Polinomios de Legendre permite calcular fácilmente ∫+

−

1

1Pn(x) dx

pues siendo P0 = 1 uno de los Polinomios del Sistema Ortogonal

∫+

−

1

1Pn(x) dx → =0n = 2

→ >0n = 0

Ejercicio 2: Calcular

∫+

−

1

1 2/12 )rrx21(1+−

2/12 )RRx21(

1+−

dx =

= ∑+∞

=0n∫+

−

1

1 Pn

2(x) (rR)n dx

= 2 ∑+∞

=0n

1n2

)rR( n

+

= 2/1)rR(

2 ∑+∞

=0n

1n2])rR[( 1n22/1

+

+

y en virtud del desarrollo conocido

Lx1x1

−+ = 2 ∑

+∞

=0n 1n2x 1n2

+

+

se obtiene:

∫+

−

1

1 2/12 )rrx21(1+−

2/12 )RRx21(

1+−

dx = 2/1)rR(

1 L2/1

2/1

)rR(1)rR(1

−+

10.- SERIES DE FOURIER-LEGENDRE 10.1.- SERIE ASOCIADA DE FOURIER-LEGENDRE Sea f continua por partes en [–1 1]

f ∈∈∈∈ CP/[–1 1] La Serie Asociada de Fourier-Legendre para dicha función se define como

f(x) →SAFL c0 P0(x) + c1 P1(x) + c2 P2(x) + … + cn Pn(x) + ... donde los coeficientes se toman en la definición como los obtenidos a partir de la expresión:

∫+

−

1

1f Pn(x) dx = cn ∫

+

−

1

1Pn

2(x) dx

= cn 1n22+

En resumen la Serie Asociada de Fourier-Legendre es por definición:

f(x) →SAFL ∑+∞

=0n

cn Pn(x) .

cn = 2

1n2 + ∫+

−

1

1f Pn(x) dx

10.2.- NÚCLEO DE FOURIER-LEGENDRE Para el estudio de convergencia de las series de Fourier-Legendre es conveniente definir el Núcleo de

Fourier-Legendre

Def. Kn(t,x) =∑=

n

0k

2

1k2 + Pk(t) Pk(x)

Kn(t,x) : Núcleo de Fourier-Legendre Como una de las propiedades del Núcleo puede calcularse el valor de la integral

∫+

−

1

1Kn(t,x) dt = ∫

+

−

1

1 ∑=

n

0k 21k2 + Pk(t) Pk(x) dt

= ∑=

n

0k 21k2 + Pk(x) ∫

+

−

1

1Pk(t) dt

por la ortogonalidad de { Pk } estas integrales son todas nulas salvo para k = 0, y además teniendo en cuenta

que P0(x) = 1

∫+

−

1

1Kn(t,x) dt =

21 ∫

+

−

1

11 dt = 1

10.3.- SUMA ENÉSIMA DE FOURIER-LEGENDRE La Suma Enésima de la Serie Asociada de Fourier-Legendre es:

Sn(x) = ∑=

n

0k

ck Pk(x)

= ∑=

n

0k

[2

1k2 + ∫+

−

1

1 f(t) Pk(t) dt ] Pk(x)

La Suma Enésima expresada en función del Núcleo es entonces:

Sn(x) = ∫+

−

1

1 Kn(t,x) f(t) dt

10.4.- IDENTIDAD DE DARBOUX-CHRISTOFFEL Para el estudio de convergencia también se establece la fórmula de Darboux-Christoffel (D-C).

(t – x) ∑=

n

0k

(2k+1) Pk(t) Pk(x) = (n+1) [Pn+1(t) Pn(x) – Pn+1(x) Pn(t) ]

Ello se hace a partir de

(2k+1) x Pk(x) = (k+1) Pk+1(x) + k Pk–1 (x) (2k+1) x Pk(x) Pk(t) = (k+1) Pk+1(x) Pk(t) + k Pk–1(x) Pk(t)

(2k+1) t Pk(t) Pk(x) = (k+1) Pk+1(t) Pk(x) + k Pk–1(t) Pk(x)

(2k+1) (t – x) Pk(t) Pk(x) = (k+1) [ Pk+1(t) Pk(x) – Pk+1(x) Pk(t) ] + k [ Pk–1(t) Pk(x) – Pk–1(x) Pk(t) ]

se obtiene entonces la fórmula o identidad de D-C

(t – x) ∑=

n

0k

(2k+1) Pk(t) Pk(x) = (n+1) [Pn+1(t) Pn(x) – Pn+1(x) Pn(t) ]

10.5.- APLICACIÓN DE LA IDENTIDAD DE DARBOUX-CHRISTOFFEL Una primera aplicación de la Identidad de Darboux-Christoffel es:

(n+1) x1

)x(P)x(P 1nn

−− + = Pn

’(x) + Pn+1’(x)

Como

(2n+1) Pn(x) = Pn+1’(x) – Pn–1’(x)

sumando

∑=

n

0k

(2k+1) Pk(x) = P0(x) + 3 P1(x) + 5 P2(x) + … + (2n+1) Pn(x).

= 1+ [P2’– P0’] + [P3’– P1’] + [P4’– P2’] + [P5’– P3’] + ... + [Pn-1’– Pn-3’] + [Pn’– Pn-2’] + [Pn+1’– Pn-1’] = 1 – P0’ – P1’ + Pn’ + Pn+1’ = Pn’ + Pn+1’ la identidad D-C en particular para t = 1

(1– x) ∑=

n

0k

(2k+1) Pk(x) = (n+1) [ Pn(x) – Pn+1(x)]

(n+1) x1

)x(P)x(P 1nn

−− + = Pn

’(x) + Pn+1’(x)

10.6.- ESTUDIO DEL NÚCLEO Por medio de la identidad de Darboux-Christoffel se obtiene la siguiente expresión del Núcleo

Kn(t, x) = 2

1n + xt

)t(P)x(P)x(P)t(P n1nn1n

−− ++

Recordando la definición del Núcleo

Kn(t, x) = ∑=

n

0k

2

1k2 + Pk(t) Pk(x)

Aplicando la identidad de Darboux-Christoffel D-C

Kn(t, x) = 2

1n + xt


−− ++

10.7.- CONVERGENCIA El teorema de Hobson da condiciones suficientes para la convergencia de la serie de Fourier-Legendre a f(x) El enunciado es el que sigue: Teorema de Hobson

H1 ∃∃∃∃ ∫+

−

1

1 2)x1(

)x(f−

dx

H2 | f( ±x ) | < M x∈∈∈∈]-1 1[ ⇒⇒⇒⇒ Sn(x) = 2

1n + ∫+

−

1

1 xt)t(P)x(P)x(P)t(P n1nn1n

−− ++ f(t) dt

Sn(x) → +∞→n 21 [ f(x–) + f(x+) ]

H2’ f ∈∈∈∈ Lipschitz/ V(x) ⇒⇒⇒⇒ Sn(x) → +∞→n f(x)

H2’’ f ∈∈∈∈C ∪∪∪∪ [ | f( ±x ) | < M] / I2⊃⊃⊃⊃I1 ⇒⇒⇒⇒ Sn(x) → 1I/CU f(x) Partiendo de la expresión de la Suma Enésima

Sn(x) = ∫+

−

1

1 Kn(t,x) f(t) dt

Sn(x) = 2

1n + ∫+

−

1


−− ++ f(t) dt

en particular si para la función constante f(x) = 1

f(x) = 1 ⇒ Sn(x) = 1 ⇒ Sn(x) = 1 → +∞→n S(x) = 1

⇒ S(x) = f(x)

1 = 2

1n + ∫+

−

1


−− ++ dt

f(x0) = 2

1n + ∫+

−

1

1 f(x0) xt


−− ++ dt

y también

Sn(x0) = 2

1n + ∫+

−

1

1 0

n01n0n1n

xt)t(P)x(P)x(P)t(P

−− ++ f(t) dt

de donde

f(x0) = 2

1n + ∫+

−

1

1 0

n01n0n1n

xt)t(P)x(P)x(P)t(P

−− ++ f(x0) dt

Sn(x0) – f(x0) = 2

1n + ∫+

−

1

1 0

0

xt)x(f)t(f

−−

[Pn+1(t) Pn(x0) – Pn+1(x0) Pn(t) ] dt

Sn(x0) – f(x0) = 2

1n + Pn(x0) ∫+

−

1

1 0

0

xt)x(f)t(f

−−

Pn+1(t) dt – 2

1n + Pn+1(x0) ∫+

−

1

1 0

0

xt)x(f)t(f

−−

Pn(t) ] dt

Si se supone la existencia de las dos semiderivadas finitas entonces la función

0

0

xt)x(f)t(f

−−

∈ CP/[-1 1] es continua por partes

El paso siguiente es demostrar que la diferencia Sn(x0) – f(x0) tiende a cero para n tendiendo a infinito. I.- En primer lugar se ha visto previamente que:

| Pn(cosθ) | ≤ θ

π2sin n2

| Pn(cosθ) | ≤ n2π

|sin|1θ

entonces

| Pn(x0) | ≤ n2π

2/120 |)x(1|1

−

21n + | Pn(x0) | ≤

21n +

n2π

2/120 |)x(1|1

−

≤ M n1/2

Esto acota 2

1n + | Pn(x0) | con M independiente de x.

II.- En segundo lugar el coeficiente de Fourier de f en el Ortonormado {||P||

P

n

n } es cn || Pn ||

Por el Teorema de la desigualdad de Bessel (Tesis de Bessel-Riemann)

cn || Pn || → +∞→n 0 es decir

21n2 + ∫

+

−

1

1 f Pn → +∞→n 0

o sea

n1/2 ∫+

−

1

1 f Pn → +∞→n 0

y entonces

| Sn(x0) – f(x0) | = |2

1n + Pn(x0) ∫+

−

1

1 0

0

xt)x(f)t(f

−−

Pn+1(t) dt – 2

1n + Pn+1(x0) ∫+

−

1

1 0

0

xt)x(f)t(f

−−

Pn(t) ] dt |

≤ M n1/2 ( | Cn+1 | + | Cn | )

donde Cn son los coeficientes de la SAFL de la función 0

0

xt)x(f)t(f

−−

. Entonces

Sn(x0) → +∞→n f(x0) x∈∈∈∈ ] –1 1[

Si en particular x0 es un punto de discontinuidad de primera especie con dos semiderivadas finitas

Sn(x) → +∞→n 21 [ f(x–) + f(x+) ]

Variantes de la H2 son las siguientes con las cuales se puede demostrar


H2’’ f ∈∈∈∈C ∪∪∪∪ [ | f( ±x ) | < M] / I2⊃⊃⊃⊃I1 ⇒⇒⇒⇒ Sn(x) → 1I/CU f(x) En resumen se ha demostrado el Teorema de Hobson que expresa:

H1 ∃∃∃∃ ∫+

−

1

1 2)x1(

)x(f−

dx

H2 | f( ±x ) | < M x∈∈∈∈]-1 1[ ⇒⇒⇒⇒ Sn(x) = 2

1n + ∫+

−

1


−− ++ f(t) dt

Sn(x) → +∞→n 21 [ f(x–) + f(x+) ]


H2’’ f ∈∈∈∈C ∪∪∪∪ [ | f( ±x ) | < M] / I2⊃⊃⊃⊃I1 ⇒⇒⇒⇒ Sn(x) → 1I/CU f(x) 10.8.- VALOR ASINTÓTICO DE LOS POLINOMIOS DE LEGENDRE

Se aplica un método para aproximar integrales del tipo

I(n) := ∫γ e n f(z) dz

donde f es una función de variable compleja holomorfa en el vecinal de un punto z0 f = P + i Q ∈∈∈∈ V(z0) z = x + i y z0 es un punto de ensilladura de la función P, o sea donde no existe ni máximo ni mínimo, pero se cumple

f ’(z0) = 0 si f(z) puede escribirse

f(z) = f(z0) + !1

)0('f (z – z0 ) + !2)0(''f (z – z0 )2 + ... +

!n)0(f )n(

(z – z0 )n + ...

y como f ’(z0) = 0 entonces puede aproximarse

f(z) ≅≅≅≅ f(z0) + !2

)0(''f (z – z0 )2

resulta entonces

I(n) ≅ )z(nf 0e ∫γ 2

00 )zz)(z(''f21n

e−

dz

tomando

z – z0 = λ eiθ

dz = eiθ dλ

de donde

| f ’’(z0) (z – z0 )2 | = λ2 | f ’’(z0) | Arg ((z – z0 )2 )+ Arg (f ’’(z0)) = π

2 θ + Arg (f ’’(z0)) = π

I(n) ≅ ]i)z(f[n 0e θ+ ∫γ )|z(''f|n

21

02

eλ−

dλ

I(n) ≅ ]i)z(f[n 0e θ+ |)z(''f|n

2

0

π

Este resultado puede aplicarse a los Polinomios de Legendre para tener su valor asintótico. A partir de la

representación de Laplace

Pn(cosθ) = π1 ∫

π

0 (cosθ + i sinθ cosϕ)n dϕ

puede escribirse

Pn(cosθ) = π1 ∫

π

0

)sini(cosnLe θ+θ dϕ

llamando

f(ϕ) = L(cosθ + i sinθ cosϕ) f(0) = L(e iθ) = iθ

f ’(ϕ) = ϕθ+θ

ϕθ−cossinicos

sinsini f ’(0) = 0

f ’’(ϕ) = 2

2

)cossini(cos)sinsini()cossini(coscossini

ϕθ+θϕθ−ϕθ+θϕθ− f ’’(0) =

θθ−

iesini

entonces

I(n) ≅ θni2e |sin|n

2θ

π

11.- EJERCICIOS

Ejercicio 1.- Calcular ∫1

0 Pn dx

Para n = 0 ∫1

0 1 dx = 1

Para n > 0 Recordando la tercera Ecuación de Recurrencia (2n+1) Pn = P’n+1 – P’n–1 e integrando

(2n+1) ∫1

0 Pn = ∫

1

0 P’n+1 – ∫

1

0 P’n–1 = Pn–1(0) – Pn+1(0)

Recordando Pn(0) → += 1k2n P2k+1(0) = 0

→ = k2n P2k(0) = (−1)k 2k2 )!k(2)!k2(

(2n+1) ∫1

0 Pn = Pn–1(0) – Pn+1(0) → = k2n = 0

→ =−+=k21n1k2n

= P2k(0) – P2k+2(0)

= (−1)k 2k2 )!k(2)!k2( − (−1)k+1 22k2 ))!1k((2

)!2k2(++

+

= (−1)k 2k2 )!k(2)!k2( − (−1)k+1 22k2 ))!1k((2

)!2k2(++

+

= (−1)k 2k2 )!k(2)!k2( [1 +

2)1k(4)1k2)(2k2(

+++ ]

= (−1)k 2k2 )!k(2)!k2( [1 +

)1k(21k2++ ]

= P2k(0) [2k23k4

++ ]

En resumen dividiendo por 2n+1 = 4k+3

∫1

0 Pn dx → =0n = 1

→ = k2n = 0

→ =−+=k21n1k2n

= P2k(0) [2k2

1+

]

Los primeros valores son

∫1

0 P0 ∫

1

0 P1 ∫

1

0 P3 ∫

1

0 P5 ∫

1

0 P7 ∫

1

0 P9

P0(0)

21 P2(0)

41 P4(0)

61 P6(0)

81 P8(0)

101

1 2

1 −81

161 −

1285

2567

Ejercicio 2.- Desarrollar en Serie de Fourier-Legendre la función :

El coeficiente cn será:

cn = 2

1n2 +∫−

1

1 f Pn

n=0 c0 = 21∫−

1

1 f P0 =

21∫

1

0 1 dx =

21

n>0 2 cn = (2n+1) ∫−1

1 f Pn = (2n+1) ∫

1

0 Pn dx = ∫

1

0 P’n+1 – ∫

1

0 P’n-1 = Pn-1(0) – Pn+1(0)

Recordando Pn(0) → += 1k2n P2k+1(0) = 0

→ = k2n P2k(0) = (−1)k 2k2 )!k(2)!k2(

Pn-1(0) – Pn+1(0) → = k2n = 0 ⇒ c2k = 0

→ =−+=k21n1k2n

= P2k(0) [2k23k4

++ ] ⇒ c2k+1 = P2k(0) [

4k43k4

++ ]

c0 c1 c3 c5 c7 c9

P0(0) 43 P2(0)

87 P4(0)

1211 P6(0)

1615 P8(0)

2019

21

43

167−

3211

25675−

512133

f(x) = 21 +

43 P1 (x) +

167− P3 (x) +

3211 P5 (x) +

25675− P7 (x) +

512133 P9 (x) + ...

Ejercicio 3: Desarrollar en Serie de Fourier-Legendre la función :

El desarrollo de Fourier-Legendre de f se puede obtener multiplicando la serie Ejercicio 2 por 2 y restando 1

f(x) = + 23 P1 (x) +

87− P3 (x) +

1611 P5 (x) +

12875− P7 (x) +

256133 P9 (x)...

Ejercicio 4.- Verificar a partir de la ED de Legendre que ∫−1

1 Pn dx = 0 para n > 0

Partiendo de la ED e integrando en [ –1 1] [(1– x2) y’]’ + n(n+1) y = 0

(1– x2) P’n 11−

= – n (n+1) ∫−1

1 Pn

Para n > 0 ∫−1

1 Pn = 0

Obs: Siendo P0(x) = 1 una de las funciones de la sucesión ortogonal { Pn(x) } / p(x) =1, [–1 1] es inmediato que

∫−1

1 P0 Pn = ∫−

1

1Pn = 0

Ejercicio 5.- Calcular P’n(0)

Para n = 0 P’0(0) = 0 Para n > 0 una primera forma de calcular P’n(0) es a partir de la ED de Legendre [(1 – x2) y’]’ + n(n+1) y = 0

Integrando en [0 1]

(1 – x2) P’n 01

= – n (n+1) ∫1

0 Pn

– P’n(0) = – n (n+1) ∫1

0 Pn

P’n(0) = n (n+1) ∫1

0 Pn dx → = k2n = 0

→ += 1k2n = P2k(0) (2k +1) (2k+2) [2k2

1+

] = P2k(0) (2k +1)

Una segunda forma de calcular P’n(0) es a partir de la integral Schlafli

Pn(x) =n2

1i2

1π

∫γ 1n

n2

)xt()1t(+−

− dt

P’n(x) =n2

)1n( +i2

1π

∫γ 2n

n2

)xt()1t(+−

− dt

P’n(x) =n2

)1n( + R (

2n

n2

)xt()1t(+−

− , 0 )

Para el calculo de este residuo en el caso de que n sea par (n = 2k) el Desarrollo de Laurent de la función

2n

n2

t)1t(

+−

solo existen potencias pares, por lo tanto P’2k(0) = 0

En el caso de que n sea impar (n =2k+1) debe calcularse el residuo de:

P’2k+1(0) =1k22

)2k2(++

R (3k2

1k22

t)1t(+

+− , 0 )

Buscando el residuo como coeficiente de 1/t

(t2 – 1)2k+1 = ∑+

=

1k2

0p

C2k+1, p t2p (–1)2k+1– p

El término correspondiente a p = k+1 es C2k+1, k+1 t2k+2 (–1)k

P’2k+1(0) =1k22

)2k2(++

C2k+1, k+1 (–1)k

=1k22

)2k2(++

!k)!1k(

)!1k2(++

(–1)k

= (-1)k !k!k2

)!k2(k2

(2k+1)

= P2k(0) (2k +1)


P’1(0) P’3(0) P’5(0) P’7(0) P’9(0)

P0(0) 1 P2(0) 3

P4(0) 5 P6(0) 7 P8(0) 9

1 23−

815

1635−

128315

Ejercicio 6.- Calcular ∫1

0x Pn dx

Para n=0 ∫1

0 x 1 dx =

21

Para n>0 Recordando la primera Ecuación de Recurrencia (2n+1) x Pn = (n+1) Pn+1 + n Pn–1

(2n+1) ∫1

0 x Pn = (n+1) ∫

1

0 Pn+1 + n ∫

1

0 Pn–1

Recordando ∫1

0 Pn dx → =0n = 1

→ = k2n = 0

→ += 1k2n = P2k(0) [2k2

1+

]

∫1

0 x Pn = → += 1k2n = 0

→ = k2n = ∫1

0 x P2k =

1k41+

[(2k+1) ∫1

0 P2k+1 + 2k ∫

1

0 P2k-1 ]

= 1k4

1+

[ 2k21k2

++ P2k(0) + P2k-2(0) ]


∫1

0 x P0 ∫

1

0x P2 ∫

1

0x P4 ∫

1

0 x P6 ∫

1

0x P8

51 [

43 P2(0)+P0(0)]

91 [

65 P4(0)+P2(0)]

131 [

87 P6(0)+P4(0)]

171 [

109 P8(0)+P6(0)]

51 [

43

2)1(−

+1] 91 [

65

83 +

2)1(−

] 131 [

87

16)5(− +

83 ]

171 [

109

12835 +

16)5(− ]

21

81 −

481

1281 −

2561

Ejercicio 7. Desarrollar en Serie de Fourier-Legendre a la función | x | en x∈∈∈∈ ] –1 1[

El coeficiente cn será:

cn = 2

1n2 +∫−

1

1 | x | Pn

n=0 c0 = 21 2 ∫

1

0 x dx =

21

n>0 2 cn = (2n+1) ∫−1

1 | x | Pn = → += 1k2n = 0 ⇒ c2k+1 = 0

→ = k2n = (4k+1) 2 ∫1

0 x P2k dx

⇒ c2k = 2k21k2

++ P2k(0) + P2k–2(0)

c0 c2 c4 c6 c8

43 P2(0)+P0(0)

65 P4(0)+P2(0)

87 P6(0)+P4(0)

109 P8(0)+P6(0)

[

43

2)1(−

+1] [65

83 +

2)1(−

] [87

16)5(− +

83 ] [

109

12835 +

16)5(− ]

21

85 −

163

12813 −

25617

f(x) = 21 +

85 P2 (x) −

163 P4 (x) +

12813 P6 (x) −

25617 P8 (x) + ...

Ejercicio 8.- Calcular ∫−1

1xn Pk dx = 0 para n > 0

I.- Para n < k puede desarrollarse xn en serie de Fourier-Legendre

xn = ∑=

n

0i

ci Pi(x)

por la ortogonalidad de los Polinomios de Legendre (todos son diferentes a Pk) se verifica que la integral es nula

∫−1

1xn Pk dx = ∫−

1

1[∑=

n

0i

ci Pi(x) ] Pk(x) dx = 0

II.- Para el caso de n ≥≥≥≥ k se recuerdan las siguientes fórmulas: II.I) Integrando sucesivamente por partes se obtiene

∫ u v(k) = u v(k–1) – u’ v(k–2) + u’’ v(k–3) – ... + (–1)i u(i) v( k–i–1 ) + ... + (–1)k–1 u(k–1) v + (–1)k ∫ u(k) v

II.II) Las derivadas de orden n-j con 0<j≤ n de la función (x2–1)n se anulan en los puntos x =1 y x =–1

D(n–j) (x–1)n (x+1)n 1

1−

= 0 0 < j ≤ n

Recordando que n ≥ k y que la integral que se quiere calcular es

∫−1

1xn Pk dx =

!k21k ∫−

1

1 xn D(k) (x2–1)n dx

Aplicando ahora I y II en la integral se obtiene

= !k2

)1(k

k−∫−

1

1[ D(k) x n ] (x2–1)k dx

= !k2

)1(k

k−)!kn(

!n− ∫−

1

1xn–k (x2–1)k dx

Analizando la función integrando se observa que la paridad depende de xn–k , por lo tanto

∫−1

1xn Pk dx → ∈− parIm)kn( = 0

→ ∈− Par)kn( = 2 ∫1

0 xn–k (x2–1)k dx

Tomando la integral con n–k ∈ Par, y haciendo n–k = 2p

∫−1

1xn Pk dx =

kk,n

k

2

C)1(− 2 ∫

1

0 x2p (x2–1)k dx

resulta cambiando de variable x = y1/2 una función B

→ = 2/1yx = k

k,nk

2

C)1(− 2 ∫

1

0 y p (y–1)k

21 y –1/2 dy

= k

k,n

2

C ∫

1

0 y p-1/2 (1–y)k dy

= k

k,n

2

C B( p+

21 , k+1)

= k

k,n

2

C

)23kp(

)1k()21p(

++Γ

+Γ+Γ

Como por otra parte Γ(p+k+3/2) = (p+k+1/2) (p+k –1+1/2) ... (p+1+1/2) (p+0+1/2) Γ(p+1/2)

= 1k2

1+

(2p+2k+1) (2p+2k–1) ... (2p+3) (2p+1) Γ (p+1/2)

Multiplicando y dividiendo por (2p+2k) (2p+2k-2) ... (2p+4) (2p+2) resulta

= 1k2

1+

)1p)(2p( ... )1kp)(kp(2

)21p()1p2)(2p2( ... )1k2p2)(k2p2)(1k2p2(

k ++−++

+Γ++−++++

= 1k22

1+

)!p2(

)!1k2p2( ++

)!kp(! p+

Γ (p+21 )

Volviendo a la integral

∫−1

1xn Pk dx =

kk,n

2

C

)23kp(

)1k()21p(

++Γ

+Γ+Γ

=k

k,n

2

C 22k+1

)!1k2p2()!p2(++

! p

! )kp( +Γ (k+1)

= 2k+1

)!kn(!k)!n(−

)!1k2p2(

)!p2(++

! p

! )kp( + k!

como n–k = 2p

= 2k+1

)!1k2p2(!n++

! p

! )kp( +

= 2k+1

)!1kn(!n++

! )

2kn(

! )2

kn(

−

+

Nótese que si (n-k) es par también (n+k) lo es. En resumen

∫−1

1x n Pk dx → <kn = 0

→ ≥kn → ∈− parIm)kn( = 0

→ ∈− Par)kn( = 2k+1

)!1kn(!n++

! )

2kn(

! )2

kn(

−

+

En particular si n = k

∫−1

1x n Pn dx = 2n+1

)!1n2(!n!n+

Ejercicio 9 Calcular ∫θ


θ−ϕϕ+ dϕϕϕϕ

Partiendo de la expresión

Pn(x) = i2

1π ∫γ 2/121n )zzx21(z

1+−+

dz

donde γ es un lazo en el vecinal de 0.

Eligiendo x = cosθ 0 ≤ θ ≤π Las raíces del radicando son:

z2 – 2z cosθ + 1 = 0 z = cosθ ± (cos2θ – 1 )1/2 = e±iθ

El radicando entonces puede expresarse: z2 – 2z cosθ + 1 = (z – e+iθ )( z – e–iθ )

Por lo tanto

Pn(cosθ) = i2

1π ∫γ 2/1ii1n )]ez)e (z[z

1θ−θ++ −(−

dz

La relación del integrando tiene dos puntos de ramificación en z = e±iθ y puede uniformizarse con una cortadura entre los dos puntos. Tomando un arco de circunferencia de radio 1 como tal cortadura.

Llamando ΓΓΓΓ := ΓΓΓΓ1 ∨∨∨∨ ΓΓΓΓ2 ∨∨∨∨ ΓΓΓΓ3 ∨∨∨∨ ΓΓΓΓ4 se tiene por el corolario del teorema de Cauchy

∫Γ5

= ∫γ + ∫Γ

Donde la integral sobre ΓΓΓΓ5 ΓΓΓΓ1 y ΓΓΓΓ3 son nulas porque:

Γ5: ϕ∈[0 2π] → z = Reiϕ

ML = 2/121n |1R2R|R

R2−−

π+

→>+∞→

0nR 0 ⇒ ∫Γ5

→>+∞→

0nR 0

Γ1: ϕ∈[α ; α+2π] → z – e+iθ = r1 eiϕ α = θ – π/2

ML = 2/1ii

1i2/1

11ni

1i

1

|eere|r|ere|

r2θ−ϕθ+ϕθ −++

π →

>→

0n0r1

0 ⇒ ∫Γ1

→>→

0n0r1

0

Γ3: ϕ∈[α ; α+2π] → z – e-iθ = r3 eiϕ α = π/2 – θ

ML = 2/1

32/1ii

3i1ni

3i

3

r|eere||ere|

r2θ+ϕθ−+ϕθ− −++

π →

>→0n

0r3 0 ⇒ ∫Γ3

→>→0n

0r3 0

Pasando al cálculo de las integrales sobre ΓΓΓΓ2 y ΓΓΓΓ4 Γ2: ϕ∈[ θ ; – θ] → z = 1 eiϕ

i21π ∫Γ2

2/1ii1n )]ez)e (z[z1

θ−θ++ −(−dz =

i21π ∫

θ−

θ 2/1iiii)1n(i

i

)]ee)e (e[eei

θ−ϕθ+ϕ+ϕ

ϕ

−(−dϕ

= –π2

1∫θ

θ− 2/1iiiiin )]ee)e (e[e1

θ−ϕθ+ϕϕ −(−dϕ

Operando el denominador

(eiϕ – e+iθ ) (eiϕ –e-iθ ) = ei2ϕ – eiϕ (e+iθ + e– iθ ) + 1 = eiϕ (eiϕ +e–-iϕ ) – eiϕ (e+iθ + e–iθ ) = eiϕ ( 2 cosϕ – 2 cosθ )

Reemplazando en la integral

i21π ∫Γ2

= –π2

1∫θ

θ− 2/1iin ]e)cos(cos2[e1

ϕϕ θ−ϕdϕ

= –π2

1∫θ

θ− 2/1i

)2/1n(i

]e)cos(cos2[e

ϕ

ϕ+−

θ−ϕdϕ

Γ4: ϕ∈[ – θ ; θ] → z = 1 eiϕ

i21π ∫Γ4

2/1ii1n )]ez)e -(z[z1

θ−θ++ −(dz =

i21π ∫

θ

θ− 2/12iiiii)1n(i

i

)]e)(ee)e -(e[eei

πθ−ϕθ+ϕ+ϕ

ϕ

−(dϕ

= –π2

1∫θ

θ− 2/1i

)2/1n(i

]e)cos(cos2[e

ϕ

ϕ+−

θ−ϕdϕ

Reemplazando en la igualdad

∫Γ5

= ∫γ + ∫Γ

resulta

0 = Pn(cosθ) – 2π2

1∫θ

θ− 2/1i

)2/1n(i

]e)cos(cos2[e

ϕ

ϕ+−

θ−ϕdϕ

Pn(cosθ) =π1∫θ

θ− 2/1i

)2/1n(i

]e)cos(cos2[e

ϕ

ϕ+−

θ−ϕdϕ

Tomando la parte real de la igualdad y teniendo en cuenta la paridad del integrando

Pn(cosθ) =π2∫θ


θ−ϕϕ+ dϕ

12.- APLICACIONES MATEMÁTICAS Y FÍSICAS DE LOS POLINOMIOS DE LEGENDRE

Los Polinomios de Legendre tienen una variada gama de aplicaciones. Se dan de ejemplo las siguientes: 12.1.- APLICACIONES MATEMÁTICAS 12.1.2.- ESTUDIO DE LAS RAÍCES DE z – a – w f(z) = 0

El planteo del problema es considerando la ecuación: z – a – w f(z) = 0

donde f(z) es una función Holomorfa en el vecinal de a V(a) y el parámetro w es complejo.

Si w = 0 la única raíz de la ecuación es evidentemente z = a

Se trata de encontrar la o las raíces que tienden hacia a cuando w → 0 (es decir en V(a) ) Se probara que existe una raíz única z1 de acuerdo a la proposición f ∈∈∈∈H/V(a) w ∈∈∈∈ C z – a – w f(z) = 0 ⇒⇒⇒⇒ Existe en V(a) una única raíz de la ecuación: z1

z1 = a + ∑+∞

=1n !nw n

D(n-1) [ f(ζζζζ) ] na=ζζζζ

Si | ζ–a | > | w | | f(ζ) | se puede aplicar el teorema de Rouche (Ver Nota 1) y la fórmula de Lagrange (Ver Nota 2) en consecuencia hay una y solo una raíz z1 dada por:

z1 = i2

1π

∫ )r,a(cζ

)(wfa)('wf1ζ−−ζζ−

dζ

integral que se resuelve por la fórmula de Lagrange (Ver Nota 2)

z1 = a + ∑+∞

=1n !nw n

D(n-1) [ f(ζ)] na=ζ

y además se cumple:

dadz1

= 1 + ∑+∞

=1n !nw n

D(n) [ f(ζ)] na=ζ

Ejemplo: Como ejemplo de aplicación de este resultado, sea: (1 – 2aw + w2 ) 1/2 = 1 – z w

de donde 1 – 2aw + w2 = 1 – 2z w + z2 w2

que lleva a una ecuación del tipo del enunciado:

z – a – w 21 ( z2 – 1) = 0

Por lo tanto

Si w = 0 la única raíz es z = a Si w ≠ 0 la formula de Lagrange da en un determinado Vecinal de a: V(a) a la única raíz z1

z1 = a + ∑+∞

=1n !nw n

D(n-1) [21 (ζ 2 – 1)] n

a=ζ

dadz1

= 1 + ∑+∞

=1n !nw n

D(n) [21 (ζ 2 – 1)] n

a=ζ

que es la Función Generatriz de los Polinomios de Legendre

dadz1 =

2waw21

1

+−

Para integrar esta expresión basta tomar

z = w1 [ 1 ± 2waw21 +− ]

Debe elegirse la determinación de la raíz que para w → 0 ⇒ z → a . Aplicando L´Hospitale

w1 [ 1 ± 2waw21 +− ] →

→H'L

0w 2waw212

w2a2

+−±

+− → →0w a�

Para el signo positivo el límite es −a. Por lo tanto corresponde elegir el signo negativo: w → 0 ⇒ signo −

z = w1 [ 1 – 2waw21 +− ]

y derivando

dadz =

2waw21

1

+−

finalmente entonces la raíz buscada es

z1 = w1 [ 1 – 2waw21 +− ]

Nota 1: El teorema de Rouche mencionado es Teorema de Rouche f , g ∈∈∈∈H/D f , g ∈∈∈∈C/FR(D) z ∈∈∈∈ FR(D) ⇒⇒⇒⇒ | f | > | g ⇒⇒⇒⇒ f y f + g tienen el mismo numero de raíces en D I.- f+g no puede tener raíces sobre Fr(D) pues si z1 fuera raíz entonces: z1 ∈ Fr(D) f(z1) + g(z1) = 0 f(z1) = – g(z1) lo cual implica | f | = | g | contra la Hipótesis z ∈ Fr(D) ⇒ | f | > | g |

II.- Si 0 ≤ λ ≤ 1 f + λ g no puede tener raíces sobre Fr(D) porque:

z1 ∈Fr(D) f(z1) + λg(z1) = 0 f(z1) = −λ g(z1) lo cual implica | f(z1) | > λ | g(z1) | contra la Hipótesis z ∈ Fr(D) ⇒ | f | > | g | III.- Sea n(λ) el numero de raíces de f + λ g en D entonces sobre Fr(D) f(z) + λ g(z) ≠ 0 Por lo tanto por el Teorema de la derivada logarítmica

n(λ) = i2

1π

∫ )D(Fr )z(g)z(f)z('g)z('f

λ+λ+

dz

bajo el signo integrando se tiene una función continua de λ, por lo tanto n(λ) también es continua. Por otra parte n(λ) es un entero, y en consecuencia es constante: n(0) = n(λ) = n(1)

Nota 2: La formula de Lagrange se obtiene de la siguiente manera:

z1 = i2

1π

∫ )r,a(cζ


dζ

z1 = i2

1π

∫ )r,a(c a−ζζ (1 – w f ’(ζ ))[ 1 +

)a(wf−ζ

+ 2

22

)a(fw−ζ

+ ... +n

nn

)a(fw−ζ

+ ...] dζ

donde

(1 – w f ’(ζ ))[ 1 + )a(

wf−ζ

+ 2

22

)a(fw−ζ

+ ... +n

nn

)a(fw−ζ

+ ...] =

= 1 + w [)a(

f−ζ

– f ’ ] + w2 [2

2

)a(f−ζ

–)a(

' f f−ζ

] + ... + wn [n

n

)a(f−ζ

–1n

1n

)a(' ff−

−

−ζ] + ...

Calculando las integrales

i21π

∫ )r,a(c a−ζζ dζ = a

i21π

∫ )r,a(c 1n

n

)a(f

+−ζζ dζ =

!n1 D(n) [ ζ f n ]

a=ζ

i21π

∫ )r,a(c n

1n

)a('ff

−ζζ −

dζ = )!1n(

1−

D(n–1) [ ζ f n –1 f ’ ] a=ζ

Restando las dos últimas integrales.

i21π

∫ )r,a(c 1n

n

)a(f

+−ζζ dζ –

i21π

∫ )r,a(c n

1n

)a('ff

−ζζ −

dζ =

= !n

1 D(n) [ ζ f n ] a=ζ

– )!1n(

1−

D(n–1) [ ζ f n–1 f ’ ] a=ζ

= !n

1 [ D(n) [ ζ f n ] – n D(n–1 ) [ ζ f n–1 f ’ ] a=ζ

= !n

1 D(n–1 ) {[ ζ f n ] ’ – n [ ζ f n–1 f ’ ] } a=ζ

= !n

1 D(n–1) [ f n ] a=ζ

Entonces

z1 = i2

1π

∫ )r,a(cζ


dζ = a + ∑+∞

=1n !nw n

D(n-1) [ f n(ζ)] a=ζ

12.2.2.- APLICACIONES A LA ELECTROSTÁTICA 12.2.2.1.- POTENCIAL DE UN CAMPO ELÈCTRICO GENERADO POR UNA CARGA PUNTUAL

Sea una carga puntual unitaria situada en el punto con coordenadas esféricas (0,0, r0)

e: = carga eléctrica El problema consiste en encontrar la expresión del potencial en un punto de coordenadas M=(r,ϕ,θ).

Como V = 1re

entonces siendo e=1

V = 1r1 =

θ−+ cosrr2rr

1

022

0

Para desarrollar esta función se presentan dos posibilidades r > r0 o r < r0

V → > 0rr =r1

θ−+ cosrr

2rr

1

1

02

20

→ < 0rr =0r1

θ−+ cosrr2

rr1

1

02

0

2

aplicando ahora la Función Generatriz de los Polinomios de Legendre la expresión del potencial es:

V → > 0rr =r1∑+∞

=0n

(rr0 )n Pn(cosθ)

→ < 0rr =0r1∑+∞

=0n

(0rr )n Pn(cosθ)

12.2.2.2.- POTENCIAL DE UN CAMPO ELÈCTRICO GENERADO POR UNA CARGA PUNTUAL EN EL INTERIOR DE UNA ESFERA PUESTA A TIERRA

Sea una carga e interior a una superficie esférica de metal, puesta a tierra, es decir a potencial cero.

Sea V(r,θ) el potencial buscado, puede expresarse como la suma del potencial generado por la carga puntual

e y otro potencial u(r,θ):

V(r, θ) = 1re + u(r,θ)

donde u(r,θ) desarrollado en Serie de Polinomios de Legendre

u(r,θ) = ∑+∞

=0n

cn rn Pn(cosθ)

= ∑+∞

=0n

cn ( Rr )n Pn(cosθ)

De acuerdo al planteo del problema el potencial sobre la esfera es nulo V(R,θ) = 0 El potencial generado por la carga puntual e sobre la superficie esférica es, teniendo en cuenta que r>r0 (Ver problema anterior del potencial de un campo eléctrico generado por una carga puntual )

1r1 =

r1∑+∞

=0n

(rr0 )n Pn(cosθ)

por lo tanto sobre la esfera

Re∑+∞

=0n

(Rr0 )n Pn(cosθ) + ∑

+∞

=0n

cn Pn(cosθ) = 0

de donde se extrae la expresión de los coeficientes cn

cn = – (Rr0 )n

Re

la solución del problema planteado es entonces

V(r, θ) = 1re + u(r,θ)

V(r, θ) = 1re – e ∑

+∞

=0n

1n2

nn0

Rrr+

Pn(cosθ)

V(r, θ) = e [∑+∞

=0n1n

n0

rr+

Pn(cosθ) – ∑+∞

=0n

1n2

nn0

Rrr+

Pn(cosθ) ]

También puede obtenerse la densidad superficial sobre la esfera

σ = – π4

1 rV∂∂

Rr =

el primer termino del potencial para derivar es

1r1 =

r1∑+∞

=0n

(rr0 )n Pn(cosθ)

1r1 =∑

+∞

=0n1n

n0

rr+

Pn(cosθ)

por lo tanto

r)r/1( 1

∂∂

= – ∑+∞

=0n

(n+1)2n

n0

rr+

Pn(cosθ)

su valor para r = R es

r

)r/1( 1

∂∂

Rr =

= – ∑+∞

=0n

(n+1)2n

n0

Rr+

Pn(cosθ)

además la derivada del segundo término

ru∂∂ = – ∑

+∞

=0n

n 1n2

1nn0

Rrr+

−

Pn(cosθ)

su valor para r = R es

ru∂∂

Rr = = – ∑

+∞

=0n

n 2n

n0

Rr+

Pn(cosθ)

sumando los resultados la densidad superficial es

σ = – π4

1 rV∂∂

Rr = =

π4e∑+∞

=0n

(2n+1) 2n

n0

Rr+

Pn(cosθ)

12.2.2.3.- POTENCIAL DE UN CAMPO ELECTRICO GENERADO POR UN ANILLO CIRCULAR

Sea un anillo circular de carga e

V(r0, θ) = 1re → < 0rc

0re ∑

+∞

=0n

(0rc )n Pn(cosα)

→ > 0rc ce ∑

+∞

=0n

(cr0 )n Pn(cosα)

V(r , θ) = ∑+∞

=0n

En rn Pn(cosθ) → < 0rc ce ∑

+∞

=0n

(cr )n Pn(cosθ) Pn(cosα)

→ > 0rc ce ∑

+∞

=0n

(rc )n+1 Pn(cosθ) Pn(cosα)

12.2.3.- ECUACION DE LAPLACE EN COORDENADAS ESFÉRICAS

1.- Problema de Dirichlet 1.1.- Ecuación del potencial ∇∇∇∇2u = 0 Esfera de radio R Simetría axial Potencial u(R θθθθ) = f(θθθθ) | u | < M

∇2u := DIV(GRAD(u)) = )sin(2ρ

1

θ [

ρ∂∂∂θ∂ρu)sin(ρ 2

+ϕ∂

ϕ∂∂

θ∂ u

)sin(1

+θ

θu)sin(

∂∂∂θ∂

] = 0

= 2

2

ρu

∂∂ +

ρ2

ρu∂∂ +

)(sin2ρ

12 θ

2

2u

ϕ∂

∂ +2ρ

12

2

θu

∂∂ +

)sin(ρ)(θcos

2 θ θu∂∂ = 0

Simetría axial := ϕ∂∂u =0 ⇒

2

2u

ϕ∂

∂ = 0

∇2u = 2

2

ρu

∂∂ +

ρ2

ρu∂∂ +

2ρ1

2

2

θu

∂∂ +

)sin(ρ)(θcos

2 θ θu∂∂ = 0

Aplicando el método de separación de variables de Fourier

u = P(ρ) Θ(θ)

uu2∇ =

PP´´ +

ρ2

PP´ +

2ρ1

ΘΘ´´ +

2ρ1 cotg(θ)

ΘΘ´ = 0

ρ2 [P

P´´ + ρ2

PP´ ] = –

ΘΘ´´ – cotg(θ)

ΘΘ´ = λ

queda el sistema de dos ecuaciones en derivadas totales

=Θλ+Θθ+Θ

=ρλ−

ρ+

modificada Legendre 0´)(gcot´´

Euler 0 P´P2 P´´2

La segunda ecuación (de Legendre) tiene por solución Θ(θ) = A y1(cos(θ) , α) + B y2(α cos(θ) , α)

donde

α = - 21 ± λ+

41

La solución es finita solamente para λ = n(n+1) en ese caso queda los Polinomios y las funciones de Legendre

Θ(θ) = A Pn(cos(θ)) + B Qn(cos(θ)) donde B = 0 para que la solución sea finita

Θ(θ) = A Pn (cos(θ))

La solución de

P´´ + ρ2 P´ –

2ρλ P = 0

P´´ + ρ2 P´ –

2ρ)1n(n +

P = 0

es

P(ρ) = C ρn + Dρ -(n+1)

donde D=0 para que la solución sea finita

P(ρ) = C ρn

Queda

u(ρ θ) =∑+∞

=0n

En ρn Pn(cos(θ))

La condición de contorno que se debe cumplir es:

u(R θ) =∑+∞

=0n

En Rn Pn(cos(θ)) = f(θ)

Si f(θ) ∈ CP/ [0,π] es decir con x = cos(θ) f(x)∈CP/ [–1,1]

f( θ) =∑+∞

=0n

cn Pn(cos(θ))

cn = 2

1n2 + ∫+

−

1

1 f (t) Pn(t) dt

En Rn = cn

u(ρ θ) =∑+∞

=0n

cn n)R

( ρ Pn(cos(θ))

1.2.- Ecuación del potencial ∇∇∇∇2u = 0 Esfera de radio R Simetría axial Potencial u(R θθθθ) = 1 + cos(θθθθ) | u | < M

Aplicando la solución general el problema de Dirichlet obtenido

u(ρ θ) =∑+∞

=0n

En ρn Pn(cos(θ))


u(R θ) =∑+∞

=0n

En Rn Pn(cos(θ)) = 1 + cos(θ)

Como P0 = 1 y P1 = cos(θ) queda

u(R θ) =∑+∞

=0n

En Rn Pn(cos(θ)) = P0 + P1

E0 = 1 E1 R = 1

u(ρ θ) = 1 + Rρ cos(θ)

1.3.- Ecuación del potencial ∇∇∇∇2u = 0 Esfera de radio R Simetría axial Potencial u(R θθθθ) =

∈∈

]/2,[ V/2][0, V

2 ππππππππθθθθππππθθθθ1

| u | < M

Aplicando la solución general obtenida en 4.1. el resultado obtenido en el caso genérico.

u(ρ θ) =∑+∞

=0n

En ρn Pn(cos(θ))


u(R θ) =∑+∞

=0n

En Rn Pn(cos(θ))

Si f(θ) ∈ CP/ [0,π1] es decir con x = cos(θ) f(x) ∈ CP/ [-1,1]

f( θ) =∑+∞

=0n

cn Pn(cos(θ))

cn = 2

1n2 + ∫+

−

1

1 f (x) Pn(x) dx

En Rn =cn = 21n2 +∫+

−

1

1 f (x) Pn(x) dx → =0n c0 =

21

→ = k2n c2k = 21 (Pn-1(0) – Pn+1(0)) = 0

→ =−+=k21n1k2n

c2k+1 = 21 (Pn-1(0) – Pn+1(0)) =

21 P2k(0) [

2k23k4

++ ]

u(ρ θ) =∑+∞

=0n

cn n)R

( ρ Pn(cos(θ))

u(ρ θ) = V2 + 21 ( V1–V2) [ 1 +∑

+∞

=0k

P2k(0) [2k23k4

++ ] 1k2)

R( +ρ P2k+1(cos(θ)) ]

u(ρ θ) = 21 (V1+V2) +

21 ( V1–V2) [ ∑

+∞

=0k

P2k(0) [2k23k4

++ ] 1k2)

R( +ρ P2k+1(cos(θ)) ]

u(ρ θ) = 21 (V1+V2) +

21 ( V1–V2) [ 2

3 )R

( ρ P1(cos(θ)) – 87 3)

R( ρ P3(cos(θ)) +

1611 5)

R( ρ P5(cos(θ)) –

–12875 7)

R( ρ P7(cos(θ)) +.

256133 9)

R( ρ P9(cos(θ)) + ... ]

APÉNDICE I El estudio de los Polinomios de Legendre en V(1) hace más facil encontrar la Segunda forma de los mismos y la

Tercera Representación, que es a de Olindo Rodrigues. A partir de la ecuación de Recurrencia del método de Fuchs en el V(0) se puede tener directamente una Cuarta forma de los Polinomios de Legendre y de ella deducir la fórmula de Olindo Rodrigues.

3.2.3.- CUARTA EXPRESIÓN DE LOS POLINOMIOS DE LEGENDRE Si se analiza la Ecuación de Recurrencia obtenida por Fuchs para el caso de los Polinomios de Legendre

se tiene en los casos:

I.- Si νννν = n es Natural e Impar el Polinomio de orden n cumple:

Ck = 1)-k k)(r(r

)1-k (r )-2-k(r C 2 -k

++ν++ν+

Ck = k 1)(k

k)(n k)-1(n (-1) C 2 -k

+++

Ck-2 = k)(n k)-1(nk 1)(k (-1) Ck

+++

Como k∈<0..n–1 > entonces para k = n –1 se tiene la relación entre Cn y Cn-2

Cn-2 = 1))-n (n 1))-(n -1(n

1)-(n 1)1-(n (-1)Cn

+++

Cn-2 = 1)-(2n 2

1)-(nn (-1)Cn

Asimismo para k = n –3 se puede calcular tiene Cn-4

Cn-4 = 3)-(2n 4

3)-(n 2)-(n (-1)C 2-n

y así en forma sucesiva y decreciente pueden obtenerse los coeficientes de los Polinomios de Legendre de orden Impar.

II.- Si νννν = n es Natural y Par el Polinomio de orden n cumple:

Ck = 1)-k k)(r(r

)1-k (r )-2-k(r C 2 -k

++ν++ν+

Ck = 1)-k (k

1)-k(n k)-2(n (-1) C 2 -k ++

Ck-2 = 1)-k(n k)-2(n

1)-k (k (-1)Ck

++

Como k∈<0..n > entonces para k = n se tiene Cn : por lo tanto

Cn-2 = 1)-(2n 2

1)-(nn (-1) Cn

Asimismo para k = n –2 se puede calcular tiene Cn-4

Cn-4 = 3)-(2n 4

3)-(n 2)-(n (-1)C 2-n

y así en forma sucesiva y decreciente pueden obtenerse los coeficientes de los Polinomios de Legendre de orden

Par. Como se observa a Ecuación de Recurrencia de los coeficientes de los Polinomios de Legendre es la

misma tanto para el caso par como impar y es

Cn-2j = 1)2j-3)...(2n-1)(2n-(2n (2j) 2.4.6...

1)2j-3)...(n-1)(n-.(n 2)2j-2)...(n-n(n (-1)C jn

+++

Cn-2j = 1)2j-3)...(2n-1)(2n-(2n j! .2

1)2j-2)(n2j-3)...(n-2)(n-1)(n-n(n (-1)Cj

jn

+++

Cn-2j = j)!-(n (2n)! 2j)!-(n j! .2

n! 2 2j)!-(2n n! (-1)Cj

jjn

Cn-2j = (2n)! j)!-(n 2j)!-(n j!

n! n! 2j)!-(2n (-1)C jn

Definiendo

J:= (n-1)/2 n ∈ Impar := n/2 n ∈ Par

Los Polinomios de Legendre son:

Pn(x) = Cn (2n)!n! n! ∑

=

J

0j 2j)!-(n j)!-(n j! 2j)!-(2n (-1) j

x n-2j

Recordando la convención C0 : Pn(1) = 1

Pn(1) = Cn (2n)!n! n! ∑

=

J

0j 2j)!-(n j)!-(n j! 2j)!-(2n (-1) j

= 1

Como la suma vale ∑=

J

0j 2j)!-(n j)!-(n j! 2j)!-(2n (-1) j

= 2n

Cn (2n)!n! n! 2n = 1

Cn = n2

1 n! n!

(2n)!

Se implica una Cuarta expresión de los Polinomios de Legendre.

Pn(x) = n2

1 ∑=

J

0j 2j)!-(n j)!-(n j! 2j)!-(2n (-1) j

x n-2j

3.2.4.- DEDUCCIÓN DE LA TERCERA EXPRESIÓN DE LOS POLINOMIOS DE LEGENDRE: OLINDO RODRIGUES A PARTIR DE LA CUARTA EXPRESIÓN

Partiendo de

(x2 – 1)n = =

n

0k

(–1)k ��

�

kn

x2n–2k

Derivando n veces

D(n) (x2 – 1)n = =

n

0k

(–1)k ��

�

kn

(2n-2k)(2n-2k-1)…(n-2k+1) x n-2k

==

n

0k

(–1)k 2k)!-(n k)!-(n k!

2k)!-(2n x n-2k

Que es la primera expresión de Los Polinomios de Legendre salvo constante. Por otro lado recordando

la convención Pn (1) = 1

D(n) (x2 – 1)n = D(n) [(x – 1)n (x + 1)n ]

= =

n

0k��

�

kn

D(k) (x – 1)n D(n– k) (x +1)n

D(n) (x2 – 1)n 1x =

= =

n

0k��

�

kn

D(k) (x – 1)n D(n–k) (x +1)n 1x =

= ��

�

nn

D(n) (x – 1)n D(0) (x +1)n 1x =

= n! 2n

De aquí se deduce la fórmula de Olindo Rodrigues

Pn (x) = !n2

1n

D(n) (x2 – 1) n

Como verificación se deduce la expresión de los primeros Polinomios de Legendre a partir de esta fórmula.

P0 (x) = !02

10 D(0) (x2 – 1) 0 = 1

P1(x) = !12

11 D(1) (x2 – 1) 1 = x

P2 (x) = !22

12

D(2) (x2 – 1) 2 = 21 ( 3 x2 – 1)

P3 (x) = !32

13 D(3) (x2 – 1) 3 =

21 ( 5 x3 – 3 x)

Polinomios Legendre

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