Polinomios y Ecuaciones -...

Ejercicios de Cálculo 10 Prof. María D. Ferrer G.

1

Polinomios y Ecuaciones

1.1. Polinomios: Un polinomio o función polinómica es una expresión de la forma:

( ) 1 2 2

1 2 2 1 0

n n n

n n nP x a x a x a x a x a x a− −

− −= + + + ⋅⋅⋅+ + + (1)

Los números 1 2 3, , ,...,n

a a a a , se denominan coeficientes del polinomio y son valores

reales.

La letra x se denomina variable.

Los exponentes de la variable tienen que ser números enteros.

Los términos de la forma p

ia x se denominan monotérminos.

El número na se denomina coeficiente principal.

El número 0a se denomina término independiente.

1.1.1Grado de un Polinomio: Si 0n

a ≠ se dice que el polinomio tiene grado n . Es

decir, el grado del polinomio viene dado por el mayor exponente o mayor grado

de la variable.

Ejemplos:

a) 23 4 2x x− + es de segundo grado porque el mayor exponente de x es 2.

b) 3 25 4 3 1x x x− + − es de tercer grado porque el mayor exponente de x es 3.

1.1.2Clases de Polinomios: De acuerdo a la forma de los polinomios, éstos pueden

tener diferentes nombres.

a) Polinomio Nulo: Es el que tiene todos sus coeficientes nulos.

b) Polinomio Constante: Es el que tiene todos sus coeficientes nulos menos el término

independiente. Es decir, se obtiene para 0i

a = con 1 i n≤ ≤ y 0 0a ≠ , quedando la

expresión (1) como: ( ) 0P x a= .

c) Polinomio Lineal: Es un polinomio de primer grado que se obtiene para 0i

a = con

2 i n≤ ≤ , quedando la expresión (1) como: ( ) 1 0P x a x a= + . El valor de 0a puede ser cero

o distinto de cero.

d) Polinomio Cuadrático: Es un polinomio de segundo grado que se obtiene para 0i

a =

con 3 i n≤ ≤ y 2 0a ≠ , quedando la expresión (1) como: ( ) 2

2 1 0P x a x a x a= + + . Los

valores de 1a y 0a pueden ser cero o distinto de cero.


2

e) Monomio: Es el polinomio que tiene todos sus coeficientes nulos menos uno de ellos

Ejemplos: 35x ; 3x ;

23

2x− ;

2 31

2a x− ; etc

Un monomio está compuesto del signo, coeficiente, letras y exponentes.

Si tenemos 2 31

2a x− , entonces el signo es negativo, el coeficiente es

1

2, las letras son

a y x y, los exponentes son 2 y 3 .

Dos monomios son iguales cuando tienen el mismo signo, el mismo coeficiente y las

mismas letras elevadas a los mismos exponentes.

Dos monomios son diferentes cuando difieren por lo menos, en alguna de sus

componentes.

Dos monomios son semejantes cuando su parte literal con sus exponentes son iguales, y

en lo único que difieren es en el signo y en el coeficiente.

f) Binomio: Es el polinomio que tiene todos sus coeficientes nulos menos dos de ellos

Ejemplos: 22x x− ;

3 25x x− ; 3 5x + ; etc

g) Trinomio: Es el polinomio que tiene todos sus coeficientes nulos menos tres de ellos

Ejemplos: 3 23 5 2x x x− + ;

24 3 2x x+ − ; etc

1.1.3Comparación de Polinomios: Dos polinomios son iguales, cuando siendo del

mismo grado, los coeficientes de los términos semejantes son iguales. Dos

polinomios son diferentes cuando no cumplen las características anteriores.

1.1.4Adición y Sustracción de Polinomios: Para sumar o restar dos polinomios es

necesario que sean semejantes, es decir, que sean del mismo grado. El polinomio

resultante de la suma de dos polinomios dados, se obtiene sumando

algebraicamente los coeficientes de los monotérminos semejantes. Por otra parte,

para restar a un polinomio ( )p x otro polinomio ( )q x sumamos a ( )p x el

simétrico de ( )q x , es decir, ( )q x− . Por lo tanto:

( ) ( ) ( ) ( )p x q x p x q x− = + − .

Ejemplos: Calcular ( ) ( )p x q x+ y ( ) ( )p x q x− si: ( ) 5 33 2 7p x x x x= − + − + y

( ) 4 3 25 3 7 2 8q x x x x x= − + + − .

a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 4 3 23 0 0 5 2 3 0 7 1 2 7 8p x q x x x x x x+ = − + + + + − + + + − + + −

( ) ( ) 5 4 3 23 5 7 1p x q x x x x x x+ = − + − + + −

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 4 3 23 0 0 5 2 3 0 7 1 2 7 8p x q x x x x x x− = − + + − + + + − + − − + +

( ) ( ) 5 4 3 23 5 5 7 3 15p x q x x x x x x− = − − + − − +


3

Cuando sumamos varios polinomios de grados diferentes, el grado del polinomio suma

es del mismo grado que el polinomio de mayor grado.

Cuando sumamos varios polinomios de igual grado, hay ocasiones en que el grado del

polinomio suma es menor que el de los sumandos, porque hay términos semejantes que

se pueden anular.

Para la resta de dos polinomios, el grado del polinomio resultante se obtiene igual que

en el caso anterior.

1.1.5Multiplicación de Polinomios: Se define el producto de dos polinomios, al

polinomio formado por la suma algebraica de los productos parciales de cada

término de uno de ellos por todos los términos del otro.

El grado del polinomio producto es igual a la suma de los grados de los

polinomios que se multiplican.

Si se tiene que multiplicar varios polinomios, se multiplica el primero por el

segundo, el resultado obtenido por el tercero, el resultado obtenido por el cuarto,

y así se continúa hasta multiplicar por el último.

Cuando hay operaciones combinadas de sumas o restas con productos, se

recomienda efectuar primero las sumas y restas y después el producto.

Ejemplo: Calcular ( ) ( )p x q x× para los polinomios dados: ( ) 3 23 2 5 6p x x x x= − + − y

( ) 33 2q x x= − .

3 23 2 5 6x x x− + −

32 3x− +

6 5 4 36 4 10 12x x x x− + − +

3 29 6 15 18x x x− + −

6 5 4 3 26 4 10 21 6 15 18x x x x x x− + − + − + −

Luego:

( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 6 5 4 3 23 2 5 6 3 2 6 4 10 21 6 15 18p x q x x x x x x x x x x x× = − + − ⋅ − = − + − + − + −

1.1.6División de Polinomios: Dados ( )p x y ( )d x , dos polinomios con grado

( ) ( )d x p xp , siempre existen polinomios ( )q x y ( )r x tales que:

( ) ( ) ( ) ( )p x d x q x r x= ⋅ + .

Siendo grado de ( )r x menor que el grado de ( )d x , además ( )q x es el

polinomio cociente y ( )r x el resto de la división ( ) ( )p x d x . A ( )p x se le

denomina dividendo y a ( )d x divisor.


4

La división de polinomios es similar a la división de números enteros. Se divide

el término de mayor grado del dividendo por el término de mayor grado del

divisor; el resultado es el primer término del cociente. A continuación se

multiplica dicho resultado por el divisor y el producto se resta del dividendo, con

lo cual se obtiene un nuevo dividendo. Se repite el proceso para obtener el

segundo término del cociente. Y así sucesivamente. La operación se termina al

obtener un dividendo de grado menor que el divisor, en cuyo caso dicho

dividendo es el resto de la división. Veamos un ejemplo:

Ejemplo: Encontrar el resto que se obtiene al dividir el polinomio 6 33 5 4 7x x x− + −

entre 21 x x+ − .

6 5 4 3 23 0 0 5 0 4 7x x x x x x+ + − + + −

2 1x x− + + 6 5 43 3 3x x x− + +

4 3 23 3 6 4 10x x x x− − − − −

5 4 3 23 3 5 0 4 7x x x x x+ − + + −

5 4 33 3 3x x x− + +

4 3 26 2 0 4 7x x x x− + + −

4 3 26 6 6x x x− + +

3 24 6 4 7x x x+ + −

3 24 4 4x x x− + +

210 8 7x x+ −

210 10 10x x− + +

18 3x +

De donde:

( ) 4 3 23 3 6 4 10q x x x x x= − − − − −

( ) 18 3r x x= +

Luego:

( ) ( ) ( ) ( )p x d x q x r x= × + . Es decir;

( ) ( ) ( )6 3 2 4 3 23 5 4 7 1 3 3 6 4 10 18 3x x x x x x x x x x− + − = − + + ⋅ − − − − − + +

El algoritmo de la división se ejecuta mientras el grado de ( )r x sea mayor que el grado

de ( )d x .

1.1.7Regla de Ruffini: Permite dividir un polinomio ( )p x entre un polinomio de la

forma x a− .

En términos generales, la regla de Ruffini se utiliza para dividir un polinomio

( )p x entre un polinomio de la forma ax b− .


5

Ejemplos:

a) Encontrar el resto que se obtiene al dividir el polinomio 4 3 25 22 11 13 4x x x x− + − +

entre 3x − .

Tenemos que 3 0x − = cuando 3x = .

Se escriben los coeficientes del polinomio de mayor a menor potencia

3

5 22 11 13 4

15 21 30 129

5 7 10 43 125

− −− − −

− − − −

Luego: ( ) ( )

( )

( )( )

( )( ){

3 23 5 7 10 43 125

r xd x q x

p x x x x x= − ⋅ − − − −123 144424443

Si realizamos el algoritmo de la división estudiado anteriormente, debemos llegar al

mismo resultado.

b) Encontrar el resto que se obtiene al dividir el polinomio 3 23 5 4x x x− + − entre

2 1x + .

Se tiene que: 2 1 0 1 2x x+ = ⇒ = −

1

2−

( )

3 1 5 4

3 5 25

2 4 4

5 25 573

2 4 8r x

− −

− −

− − →

Luego: ( )

( ) ( ) ( ){

21 5 25 573

2 2 4 8

r xd x q x

p x x x x = + ⋅ − + − 14243 1442443

1.1.8Teorema del Resto: Sea a R∈ y ( )p x un polinomio. Entonces ( )p a , el valor

numérico del polinomio ( )p x en el valor real a , es el resto que se obtiene al

dividir ( )p x entre x a− . Así pues, que dado un polinomio ( )p x , se tiene que:

( ) ( ) ( ) ( )p x x a q x p a= − ⋅ + .

Ejemplo: Encontrar el resto que se obtiene al dividir el polinomio 3 23 5 4x x x− + −

entre 2 1x + .


6

3 21 1 1 1

3 5 42 2 2 2

1 57

2 8

p

p

− = − − − + − −

− = −

Resultado obtenido en el ejercicio anterior aplicando la regla de Ruffini.

1.1.9Divisibilidad: Se dice que el polinomio ( )p x es divisible entre ( )d x , si existe un

polinomio ( )q x tal que: ( ) ( ) ( )p x d x q x= ⋅ .

En otras palabras, el resto de la división de ( )p x entre ( )d x es cero. En caso de

que ( )p x sea divisible entre ( )d x entonces ( )d x y ( )q x son factores de ( )p x .

Ejemplo: Probar que el polinomio 3 22 5 6x x x− − + es divisible por 2x + .

( ) ( ) ( ) ( )( )

3 22 2 2 2 5 2 6

2 0

p

p

− = − − − − − +

− =

Por el teorema del resto, se obtiene que el resto de la división de 3 22 5 6x x x− − + entre

2x + es cero. Por lo tanto, 3 22 5 6x x x− − + es divisible entre 2x + .

Aplicando la regla de Ruffini se obtiene:

-2

1 2 5 6

2 8 6

1 4 3 0

− −− −−

Luego: ( ) ( )3 2 22 5 6 2 4 3x x x x x x− − + = + − +

1.1.10Raíz de un polinomio: Si el valor numérico de a evaluado en el polinomio

( )p x es igual a cero, es decir, ( ) 0p a = , entonces se dice que a es raíz del

polinomio. Si a es una raíz del polinomio ( )p x , entonces x a− es un factor, es

decir: ( ) ( ) ( ) ( )p x x a q x r x= − ⋅ + , donde ( ) 0r x = . Por lo tanto,

( ) ( ) ( )p x x a q x= − ⋅

Ejemplo: Como se puede observar en el ejemplo anterior, 2x = − es raíz del polinomio

( ) 3 22 5 6p x x x x= − − + , ya que ( )2 0p − = . Luego se tiene que:

( ) ( ) ( )22 4 3p x x x x= + − +


7

1.1.11Factorización de Polinomios: Factorizar un polinomio consiste en transformarlo

en el producto de dos o más factores de menor grado.

§ Factorización por factor común: Se procede de la siguiente manera:

Ø El factor común se determina mediante el producto de los elementos con menor

exponente que se repiten en todos los monotérminos del polinomio.

Ø Dividimos cada término del polinomio entre el factor común

Ø El polinomio es igual al producto del factor común por la suma algebraica de

estos cocientes.

Ejemplos: Factorizar los siguientes polinomios:

a) ( ) 4 216 8 4p x x x= + − . El factor común es 4. Por lo tanto, ( ) ( )4 24 4 2 1p x x x= + −

b) ( ) 4 3 2 2 2 6 6 4 5 3 5 44 2 8 4q x a b x a b x a b x a b x= − + −

El 2, la a , la b y la x están en todos los términos. El menor exponente de 2 es 1, el de

la a es 2, el de la b es 2 y el de la x es 2. Por lo tanto, el factor común es: 2 2 22a b x .

Ahora dividimos cada término del polinomio entre el factor común. Así:

4 3 2

2

2 2 2

42

2

a b xa b

a b x= ;

2 2 64

2 2 2

2

2

a b xx

a b x

− = − ;

6 4 54 2 3

2 2 2

84

2

a b xa b x

a b x= ;

3 5 43 2

2 2 2

42

2

a b xab x

a b x

− = −

Luego:

( )4 3 2 2 2 6 6 4 5 3 5 4 2 2 2 2 4 4 2 3 3 24 2 8 4 2 2 4 2a b x a b x a b x a b x a b x a b x a b x ab x− + − = − + −

§ Factorización de diferencia de cuadrados ( )2 2a b− : Se procede como sigue:

Ø Se determina la raíz cuadrada de cada uno de los términos que forman el binomio.

Ø La factorización es el producto de dos paréntesis en cuyo interior se escriben la

suma y la diferencia de dichas raíces.

Ejemplos: Factorizar los siguientes polinomios:

a) ( )( )2 4 2 281 16 9 4 9 4x y xy xy− = − +

b)

2 6 3 3

4 6 2 3 2 3

4 9 2 3 2 3x y x y x y

y x y x y x

− = − +

§ Factorización de cuadrados perfectos: Se procede como sigue:

Ø Se ordena el trinomio con relación a una de sus letras y se tiene que cumplir que

el primero y tercer término tengan el mismo signo y raíz cuadrada.

Ø Se obtiene la raíz cuadrada del primer y tercer términos.


8

Ø Se comprueba si el doble del producto de dichas raíces es igual al segundo

término. Si no es igual, el trinomio no es factorizable por éste método.

Ø Dentro de un paréntesis elevado al cuadrado escribimos dichas raíces separadas

por el signo que tenga el segundo término del trinomio ordenado.

Ejemplo: Factorizar 2 29 12 4x xy y− +

El trinomio ya está ordenado respecto a la letra x . Las raíces del primer y tercer

téminos son respectivamente 3x y 2y . Luego se verifica que ( )( )2 3 2 12x y xy= que es

igual al segundo término. Por lo tanto, la factorización viene dada por:

( )22 29 12 4 3 2x xy y x y− + = −

§ Factorización de trinomios de la forma 2

x ax b+ + : Se procede como sigue:

Ø Se obtienen las raíces mediante la fórmula cuadrática: 2

1,2

4

2

b b acr

a

− ± −=

Ø El polinomio se escribe como: ( ) ( )( )1 2p x x r x r= − −

Ø Si 2 4 0b ac− = , las raíces son reales e iguales.

Ø Si 2 4 0b ac− f , las raíces son reales y diferentes.

Ø Si 2 4 0b ac− p , las raíces son complejas conjugadas. La unidad imaginaria viene

dada por 1i = − , de donde se origina el número complejo a ib+ , y su

conjugado está definido por a ib− .

Ø Si las raíces son complejas conjugadas, la factorización en el campo de los reales

viene dada por el mismo polinomio.

1.1.12Naturaleza de las raíces de un polinomio: Existen algunos resultados sobre la

naturaleza de las raíces de un polinomio; en particular en el caso de polinomios

con coeficientes reales. Estos resultados son los siguientes:

§ Sea ( ) 1

1 1 0

n n

n np x a x a x a x a−

−= + + ⋅⋅⋅+ + , tal que ia , con 0 i n≤ ≤ son todos enteros.

Entonces u v es una posible raíz de ( )p x si u divide a 0a y v divide a na .

§ Si los coeficientes del polinomio son reales y si el número complejo ( )a ib+ es raíz,

también lo será su conjugado ( )a ib− .

§ Si los coeficientes del polinomio son reales y su grado es un número impar, el

polinomio admite por lo menos una raíz real.

§ Si los coeficientes del polinomio son reales y racionales y si el número irracional

a b+ es raíz, también lo será a b− con ,a b Q∈

Ejemplos:

a) Factorizar en el campo de los reales el polinomio ( ) 3 22 5 4 3p x x x x= + − −

Escribimos las posibles raíces racionales:


9

{ }1, 3u = ± ± 1 3

1, , 3,2 2

u

v

= ± ± ± ±

{ }1, 2v = ± ±

Aplicamos el teorema del resto para determinar las raíces:

( ) ( ) ( ) ( )3 21 2 1 5 1 4 1 3 0p = + − − = . Resto es igual a cero, por lo tanto es raíz

( )1 4p − = ; 1 7

2 2p = −

; 1

02

p − =

; ( )3 84p = ; ( )3 0p − = ; 3

92

p =

;

3 15

2 2p − =

Por lo tanto, la factorización en el campo de los reales viene dada por:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 1 1 2 3 1 2 1 3p x x x x p x x x x= − + + → = − + +

b) Hallar un polinomio ( )p x de grado 4, tal que 2 i+ es raíz, ( )1 64p − = , ( )2 10p = y

es divisible entre 2 1x + .

Si 2 i+ es raíz también lo será 2 i− . Por lo tanto, ( )p x será de la forma:

( ) ( ) ( )( )22 2p x x i x i ax bx c= − − − + + + . Realizando el producto de los dos primeros

factores, se obtiene: ( ) ( )( )2 24 3p x x x ax bx c= − + + + .

Sabemos que ( )1 64p − = , al sustituir obtenemos:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )2 21 1 4 1 3 1 1 8 64p a b c a b c− = − − − + − + − + = − + =

De donde: 8a b c− + = ; (1)

Sabemos que ( )2 10p = , al sustituir obtenemos:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )2 22 2 4 2 3 2 2 4 2 10p a b c a b c− = − + + + = − + + =

De donde: 4 2 10a b c+ + = − ; (2)

Si ( )p x es divisible entre 2 1x + entonces el resto de la división de ( )p x entre 2 1x +

debe ser cero y, de acuerdo al Teorema del Resto, el resto de esa división viene dado

por el valor numérico que se obtiene al evaluar ( )p x en 1 2x = − . Por lo tanto,

tenemos que: 1

02

p − =

2 21 1 1 1 1 21

4 3 02 2 2 2 2 4 4 2

a bp a b c c

− = − − − + − + − + = − + =


10

De donde: 04 2

a bc− + = ; (3)

Consideremos la ecuación (1) multiplicada por 2 y la ecuación (3), así obtenemos la

ecuación (4):

( )

2 2 2 16

4 2 10

6 0 3 6 2 2 4

a b c

a b c

a b c a c

− + =+ + = −+ + = → + =

Consideremos la ecuación (1) multiplicada por 1 2− y la ecuación (2), así obtenemos la

ecuación (5):

( )

42 2 2

04 2

4 2 16 54 2

a b c

a bc

a ca c

− + − = −

− + =

− + = − → − + = −

Con las ecuaciones (4) y (5) obtenemos los valores de a y de c :

Luego de (5):

2 16

12 16 4

a c

a a

= += − + → =

Sustituyendo los valores de a y de c en (1), obtenemos b :

8

4 6 8 10

b a c

b b

= + −= − − → = −

Por lo tanto, ( )p x viene dado por:

( ) ( )( )( ) ( )( )

2 2

2 2

4 3 4 10 6

2 4 3 2 5 3

p x x x x x

p x x x x x

= − + − −

= − + − −

Se deja al lector como ejercicio comprobar los resultados

2 2

2 4 32

5 30 6

a c

a c

c c

+ =− + = −

= − → = −


11

Fórmulas de Productos Especiales

a) ( )( ) 2 2a b a b a b− + = −

b) ( )2 2 22a b a ab b+ = + +

c) ( )2 2 22a b a ab b− = − +

d) ( )3 3 2 2 33 3a b a a b ab b+ = + + +

e) ( )3 3 2 2 33 3a b a a b ab b− = − + −

Fórmulas Especiales de Factorización

a) ( )( )2 2a b a b a b− = − +

b) ( )( )3 3 2 2a b a b a ab b− = − + +

c) ( )( )3 3 2 2a b a b a ab b+ = + − +

d) ( )22 22a ab b a b+ + = +

e) ( )22 22a ab b a b− + = −

Ejercicios Propuestos

1) De las funciones que se dan a continuación, indicar cuáles son polinómicas y cuáles

no, explicando por qué.

a) ( ) 25 3 1f x x x= − +

b) ( ) 3 27 5 2 4p x x x x= − + − −

c) ( ) 23 2 7f x x x−= + −

d) ( ) 27 15

3 6g x x x= + −

e) ( ) 3

2 1 1

4h x

x x= + −

f) ( ) 2

3p x x

x= +

2) En cada una de las siguientes funciones polinómicas, indicar: sus términos; el grado

de cada término; el grado del polinomio; sus coeficientes y el término independiente.

a) ( ) 25 4 7p x x x= − −

b) ( ) 3 23 1

4 5g x x x= + −

c) ( )4

235

xp x x= − +

d) ( ) 43

2

xs x x= − +

e) ( )2

35 12

3 2

xq x x= + −

3) Eliminar los signos de agrupación en cada una de las siguientes expresiones y

después agrupar los términos semejantes


12

a) ( ) ( ) ( ){ }2 2 2 2 2 24 3 2 2 3 2ax a x ax a x a x − − − − − + − + −

b) ( ) ( ){ }2 2 2 2 2 24 4 5 3 2 4a x a x ax a x ax a x − − − − − +

c) ( ) ( ){ }2 2 2 2 22 3 3 2a x ax ax a x ax a x − − − − − −

d) ( ) ( ) ( ){ }2 2 22 3 3 3 2 3 3 5a x ax ax ax ax − + − − + − − + − +

4) Realizar las operaciones indicadas:

a) ( ) ( )3 3 25 4 3 7x x x x x− − + + −

b) ( ) ( )2 23 4 4 6 9x x x x− + − − − +

c) ( )( )23 2 1x x x+ − −

d) ( ) ( )9 3x a x a− +

e) ( )23 8x −

f) ( ) ( )3 2 2 32 4a x a x

g) ( )2 3 4 3 24 5 4a x a a x+

h) 2 2 34 1

55 4

ax a x a − −

i)

222

33 3 2

a x xax x

+ −

j) ( )( )2 23 2 5 3x x x+ + −

k) ( )( ) ( )3 1 4 2 3 1x x x+ − −

l) ( ) ( )2 5 24 2a x ax÷ −

m) 3 42 3

3 5a x ax

÷ −

n) ( ) ( )2 4 3 2 24 5 2a x a x ax+ ÷

o) ( ) ( )2 3 3 2 4 33 2a x a x x ax− + ÷ −

p) ( )( )23 2 5 2a a a− + −

q) ( )2

2 5 3+

r) ( )2

1 2 1x+ −

s) ( )( )25 5 25w w w− + +


13

t) ( )( )2 3 1 3 3 2− +

5) Dados los polinomios: ( ) 3 213 4

2 3

xp x x x= + + − ; ( )

323

4

xq x x= − + ;

( )2

23

xr x x= + − y ( ) 3 2s x x= − ; hallar:

a) ( ) ( )p x q x+

b) ( ) ( )p x r x+

c) ( ) ( )p x s x+

d) ( ) ( ) ( )p x q x r x+ +

e) ( ) ( ) ( )q x r x s x+ +

6) Dado los polinomios ( ) 4 3 23 2 3 6p x x x x x= + − + − ; ( ) 3 23 2 5q x x x= + − y

( ) 34 3r x x x= + , hallar:

a) ( ) ( )p x q x−

b) ( ) ( )r x q x−

c) ( ) ( )p x r x−

d) ( ) ( )q x r x−

e) ( ) ( )q x p x−

7) Dados los polinomios ( ) 2 13 2

3p x x x= + − ; ( )

24 2 4

3 3

xq x x= − + ;

( )2 33 1

4 2 2

x xr x

−= + + ; ( )3

4 32

xs x x= − + y ( )

2 31 3

3 2 3

x xt x = − + , hallar:

a) ( ) ( ) ( )p x t x q x− +

b) ( ) ( ) ( )t x s x r x+ −

c) ( ) ( ) ( )s x t x q x− +

d) ( ) ( ) ( )q x t x p x+ −

8) Dados los polinomios ( ) 24 3 2p x x x= + − ; ( ) 3q x x= − y ( ) 3 213 2

3r x x x= + − ,

determinar:


14

a) ( ) ( ) ( )r x p x q x⋅ +

b) ( ) ( ) ( )p x q x r x⋅ −

c) ( ) ( ) ( ) ( )p x r x q x r x⋅ ⋅ +

9) Dados los polinomios ( )22 1

3 3

xp x x= + − ; ( )

2 1

2 2

xq x = − y ( ) 3 21

3 23

r x x x= + − ,

determinar:

a) ( ) ( ) ( ) ( )p x q x q x r x+ ⋅ −

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )p x q x r x p x q x+ + ⋅ −

c) ( ) ( ) ( )p x q x r x+ ⋅

10) Encontrar el cociente y el resto cuando el primer polinomio es dividido por el

segundo

a) 3 2

2 9 3x x x+ − + ; 2x −

b) 3 2

6 3 9x x x− + − ; 3x +

c) 2

6 2x x+ + ; 2 1x −

d) 2

12 21x x− − ; 3 4x − 11) Factorizar o descomponer en factores los siguientes polinomios:

a) 6 3

2 48x x+ −

b) 3 2

3 2x x x+ +

c) 5 3

4 20 144x x x+ −

d) 3 2

4 10 8 6x x x+ − −

e) 3 2

2 8 2 12x x x− + − −

f) 3

1x −

g) 6 4 2

6 12 8x x x+ + +

h) 2

9 64x −

i) 2

6 16b b+ −

j) 2

6 13 28t t+ −

k) 6

64x −

l) 2

2 6x x+ −

m) ( ) ( )21 3 1 108t t− + − −

n) 2

20 9 20t t− −

o) 2

11 18ax ax a− +

p) 6

1t −

q) 5

w w−


15

r) 3 2

3 9 27x x x+ − −

s) 4 3 2

8 18 75 46 120a a a a− − + +

t) 5 4

2 8 3 12a a a− + −

u) 3

8 27a − 12) Usando los productos notables y la factorización de polinomios, simplifique las

siguientes expresiones racionales:

a)

12

4

1

1

x

x

−−

b)

6

2

1

1

n

n

++

c)

10 1

1

x

x

+−

d)

2

2

20

2 10

x x

x x

+ −+

e)

2

2

6 7 3

12 6 3

x x

x x

− −− −

f)

2 2

3 3

9

27

x y

x y

−+

g)

2 2 8

16 4

x x

x

− −−

13) Encuentre el resto que se obtiene al dividir el polinomio 6 3

3 4 2 7x x x− + − entre 2

2x− +

14) Determine si el polinomio ( ) 4 3 23 19 21 51 14p x x x x x= − + + + + es divisible entre:

a) 4x − ; b) 1x − ; c) 2x + ; d) 5x − ; e) 1x + ; f) 7x + ; g) 7x − ; h) 2x −

15) Encuentre un polinomio de grado tres, cuyas raíces sean 2− , 4 y 3− .

16) Encuentre un polinomio ( )p x de grado cuatro, tal que ( )0 2 3p = y cuyas raíces

sean 3

4− , 1, 2− y

1

8− .

17) Sea ( ) 3 22 2 3 2p x x x x= − − + . Encuentre el valor de ( )p x en:

a) 2x = − ; b) 1x = − ; c) 1

2x = y 1x a= −


16

18) Aplique sucesivamente la regla de Ruffini a ( ) 3 22 5 28 15p x x x x= − − + y exprese

( )p x como producto de factores lineales.

19) Encuentre α tal que ( )3 25 2 4 15x x xα α− + − + sea divisible por 3x + .

20) Determine los valores de m y n para que el polinomio

( ) ( )3 22 1 1 8x m x n x+ − + + + sea divisible por ( )( )2 4x x− − .

21) Encuentre k de tal modo que las raíces de 2

3 5 0x kx− + − = tenga raíces reales e

iguales.

22) Sea ( ) 3 2 3p x ax bx c= + + . Encuentre a , b y c , sabiendo que ( )1 8p − = ;

( )1 2p = − y que x es un divisor de ( )p x .

23) Hallar el valor de k para que 2

3x kx+ − tenga igual resto cuando lo dividimos entre 2x − o entre 1x +

24) Al dividir un polinomio ( )p x por 2x + se obtiene un resto de 79. En cambio, al

dividirlo por 1x − el resto es -2. Con estos datos, ¿ es posible calcular el resto de la

división de ( )p x por 2

2x x+ − ?

1.2Ecuaciones: Una ecuación es una igualdad de dos expresiones en las que intervienen

variables (llamadas incógnitas), cuyo valor se ha de calcular. Por ejemplo, 2 5x + =

es una ecuación (cuya solución es 3x = ); la expresión que está a la izquierda del

signo igual (=) se llama primer miembro y la que está a la derecha, segundo

miembro.

Las ecuaciones suelen llevar una serie de operaciones indicadas, que es necesario

realizar para resolverlas. Hechas estas operaciones y una vez simplificada la

ecuación, si ésta resulta de la forma 0ax b+ = , donde x es la incógnita y a y b son

números reales con 0a ≠ , la ecuación es lineal o de primer grado y su solución es

x b a= − . Si, en cambio, la ecuación resulta de la forma 2

0ax bx c+ + = con 0a ≠ ,

entonces es cuadrática o de segundo grado y sus soluciones vienen dadas por la

fórmula: 2 4

2

b b acx

a

− ± −= .

El número 2

4b acδ = − recibe el nombre de discriminante de la ecuación. Si 0δ f

(es decir, si δ es un número positivo), la ecuación tiene dos soluciones (sus

soluciones son dos números reales diferentes). Por ejemplo, si la ecuación es 2

3 10 0x x+ − = entonces:


17

( )( )2

1

2

3 3 4 1 10 23 49 3 7

52 1 2 2

xx

x

− ± − − =− ± − ±= = = = = −⋅

Si 0δ = la ecuación sólo tiene una solución. Por ejemplo, 2

4 4 1 0x x− + = ; tiene

como solución: ( )2

4 4 4 4 1 4 0 1

2 4 8 2x

± − − ⋅ ⋅ ±= = =⋅

Si 0δ p (es decir, si δ es un número negativo), la ecuación carece de solución en

el conjunto de los números reales (tiene dos soluciones, pero son dos números

complejos). Por ejemplo, la ecuación 2

2 2 0x x+ + = carece de soluciones reales,

porque su discriminante es -4.

2

1

2

12 2 4 1 2 2 4 2 2

12 1 2 2

x iix

x i

= − +− ± − ⋅ ⋅ − ± − − ±= = = = = − −⋅

Propiedades de las Soluciones de una Ecuación de Segundo Grado

Sean 1x y 2x las soluciones. Entonces 1 2x x b a+ = − , 1 2x x c a⋅ = . Estas

propiedades se pueden utilizar para comprobar las soluciones y también para

resolver mentalmente ecuaciones que tengan soluciones enteras. Por ejemplo, para

resolver 2

5 6 0x x− + = , bastará encontrar dos números cuyo producto sea 6 y

sumen 5; fácilmente encontramos que son 2 y 3.

Consejos prácticos para resolver ecuaciones

Existe una serie de técnicas, bastante conocidas, para resolver ecuaciones y sistemas

de ecuaciones. Cuando se carece de la experiencia adecuada, estas técnicas se

prestan a errores y confusiones. Por ello, ante cualquier duda, debe uno preguntarse

si la modificación que va a realizar se fundamenta en alguna propiedad conocida,

como, por ejemplo, las propiedades de las igualdades numéricas y la propiedad

distributiva de la multiplicación respecto de la suma.

Veamos los casos más frecuentes:

a) Todo término se puede trasladar al otro miembro de una ecuación, cambiándolo

de signo. Por ejemplo: 3 7 15 3 7 15x x x x+ = − → + + =

3 15 7 4 8 8 4 2x x x x+ = − → = → = = Nos hemos basado en la siguiente propiedad de las igualdades numéricas: si se

suma o resta un mismo número a ambos miembros de una igualdad, la igualdad

subsiste. Por ejemplo, al pasar x− del segundo miembro al primer miembro,

implícitamente hemos sumado x en ambos miembros:


18

3 7 15 3 7 15x x x x x x+ + = − + → + + = En cambio, en la siguiente ecuación no es posible trasladar x− al primer miembro,

porque hay pendiente una multiplicación: (Primero resolvemos la multiplicación)

( )3 7 2 15 3 7 30 2x x x x+ = − → + = −

3 2 30 7 5 23 23 5x x x x+ = − → = → =

b) Toda expresión que esté dividiendo a un miembro puede pasar multiplicando al

otro miembro. Por ejemplo:

2 73 2 7 3 5 2 15 7 8 2 4

5

xx x x

+ = → + = ⋅ → = − → = =

Nos hemos basado en la siguiente propiedad de las igualdades numéricas: si se

multiplican los dos miembros de una igualdad por un mismo número, la igualdad

subsiste. Así, pasar el 5 multiplicando al segundo miembro, equivale a multiplicar

ambos miembros por 5, lo cual es una operación lícita:

2 75 3 5 2 7 15

5

xx

+⋅ = ⋅ → + =

Sin embargo, en la ecuación: 1

112

xx

+ + = , no es posible pasar el 2 multiplicando

al segundo miembro, ya que 2 sólo está dividiendo a una parte del primer miembro.

Lo correcto es dar previamente común denominador 2 en el primer miembro o,

mejor, multiplicar ambos miembros por 2:

1 12 2 11 2 2 22

2 2

x xx x

+ + ⋅ + = ⋅ → ⋅ + =

1 2 22 3 21 21 3 7x x x x x+ + = → = → = → =

c) Toda expresión, cuyo valor sea distinto de cero, que esté multiplicando a un

miembro, puede pasar dividiendo al otro miembro. Es lo que acabamos de aplicar

para resolver la ecuación 3 21x = . Se basa en la propiedad de las igualdades

numéricas que afirma que si se dividen los dos miembros de una igualdad por un

número distinto de cero (recuérdese que la división por cero no está permitida), la

igualdad subsiste. Así, al pasar el 3 dividiendo al segundo miembro, implícitamente

hemos dividido ambos miembros por 3: 3 21

3 3

x =

La aplicación incorrecta de esta propiedad suele dar origen a la pérdida de

soluciones de una ecuación. Por ejemplo, consideremos la ecuación 2

2x x= , cuyas

soluciones son 0 y 2. Si pasamos la x del segundo miembro dividiendo al primer

miembro, resulta 2x = ; es decir, la solución 0x = se ha esfumado. La incorrección

se debe a que hemos dividido por 0, aunque, eso sí, de una forma enmascarada. La

ecuación se resuelve correctamente aplicando la fórmula de la ecuación de segundo

grado o mejor, mediante una descomposición en factores:

( )2 22 2 0 2 0x x x x x x= → − = → − =


19

Para que un producto dé cero, hace falta que uno de los dos factores valga 0, por lo

que se tiene que o bien 0x = (primera solución) o bien 2 0x − = , de donde se

obtiene 2x = (segunda solución)

Ejemplos:

1) Un tren de correo sale de Madrid, con dirección a Murcia, a las 14:00 y con una

velocidad media de 45 /km h . A las 15:20, con el mismo origen y destino, sale un

coche a 90 /km h . Sabiendo que el tren llega 4 minutos antes que el coche y que por

carretera son 11 km menos, se pide la longitud de la vía férrea.

Sea x la distancia pedida; entonces la longitud de la carretera es 11x − . El tren

tarda 45x horas y el coche ( )11 90x − . Como el tren ha tardado (80 minutos es el

tiempo que hay desde las 14:00 a las 15:20) 80 4 76− = minutos (que son

76 60 horas) más que el coche, resulta:

11 76

45 90 60

x x −− =

Resolvamos la ecuación:

( )4 2 11 3 762 22 228 103

180 180

x xx x

− − ⋅= → + = → =

La distancia pedida es 103 km

2) ¿A qué hora, entre las tres y las cuatro, se superponen las manecillas del reloj?

Sea x el número de minutos que han de transcurrir a partir de las 3. En dicho

tiempo, el minutero recorre x divisiones (de un total de 60) y el horario 12x .

Como a las 3 el horario le lleva al minutero una ventaja de 15 divisiones, resulta:

1512

xx − = , resolviendo la ecuación resulta 180 11 16,363636x = ≅ , lo que da

3 16 21,82h m s

1.2.1Ecuaciones Polinómicas: Las ecuaciones polinómicas de primer grado y de

segundo grado ya han sido estudiadas. Las ecuaciones polinómicas de grado 3 en

adelante, que tengan todos sus coeficientes enteros, si tienen soluciones enteras,

se resuelven aplicando la regla de Ruffini tanteando divisores del término

independiente. Si tienen soluciones racionales, se hallan similarmente, tanteando

fracciones irreducibles cuyo numerador sea divisor del término independiente y

su denominador divisor del coeficiente del término de mayor grado (coeficiente

principal).

Ejemplos:


20

1) Las posibles soluciones enteras, si las admite, de la ecuación

( ) 3 24 6 0p x x x x= − + + = , son los divisores de 6: 1; 2; 3; 6± ± ± ± . Probemos 1x =

1 4 1 6

1 1 3 2

1 3 2 4 1x no es solucion

− →− −

− − → =

Probemos 1x = −

( ) ( )( )2

1 4 1 6

1 1 5 6

1 5 6 0 1 5 6p x x x x

− →− − −

− → = + − +

1x = − es una solución. Las restantes soluciones se obtienen resolviendo la ecuación de

segundo grado 2 5 6 0x x− + = ; son 2 y 3. Luego, la ecuación propuesta tiene tres

soluciones: 1 21; 2x x= − = y 3 3x = .

2) Resolver la ecuación 3 212 8 13 3 0x x x+ − + =

Para una fracción como solución, los numeradores posibles son 1± y 3± , los

denominadores posibles son 1; 2; 3; 4; 6± ± ± ± ± y 12± . Por tanteo se hallan las

soluciones 1 1 3x = ; 2 3 3x = − ; 3 1 2x = .

3) Resolver la ecuación 9 6 34 6 0x x x− + + =

Mediante el cambio de variable 3

t x= , la ecuación se transforma en 3 24 6 0t t t− + + = ,

cuyas soluciones según el ejemplo primero, son 1 1t = − ; 2 2t = y 3 3t = . Teniendo en

cuenta que 3

t x= , se obtiene: 1 1x = − ; 3

2 2x = y 3

3 3x = .

Ecuación Bicuadrada: Es una ecuación de cuarto grado de la forma: 4 2 0ax bx c+ + = ,

que se resuelve mediante el cambio de variable 2

t x= .

Ejemplo: Resolver la ecuación 4 212 64 0x x− − =

Haciendo el cambio de variable 2

t x= la ecuación se transforma en una de segundo

grado 2 12 64 0t t− − = , cuyas soluciones son 1 16t = y 2 4t = − . De la primera solución

resulta 2 16x = , de donde se obtiene 1 4x = y 2 4x = − . De la segunda solución se

obtiene 2 4x = − , que no proporciona más soluciones reales de la ecuación propuesta.


21

1.2.2Ecuaciones Fraccionarias: Las ecuaciones fraccionarias se resuelven hallando el

común denominador, para así transformarlas en una ecuación polinómica. Es muy

importante comprobar las soluciones obtenidas.

Ejemplo: Resolver la ecuación: 1

11

xx

+ =+

En primer lugar 1x + debe ser diferente de cero. Por lo tanto, 1 0 1x x+ ≠ → ≠ −

Luego, hallemos común denominador en el primer miembro

( ) 22 2

1 1 11 1 1 1 0 0

1 1

x x x xx x x x x

x x

+ + + += → = → + + = + → = → =+ +

Luego, la ecuación sólo admite la solución 0x =

1.2.3Ecuaciones Irracionales: Se dice que una ecuación es irracional si la incógnita

figura dentro de algún radical. Estas ecuaciones se resuelven aislando en un

miembro una de las raíces y elevando al cuadrado ambos miembros, si la raíz es

cuadrada y si la raíz es cúbica elevamos al cubo y en general, elevamos al índice

de la raíz. El proceso se repite cuantas veces sea menester, hasta que hayan

desaparecido los radicales. Hecho esto, se resuelve la ecuación obtenida, cuya

solución (o soluciones) hay que comprobar en la ecuación original, pues es

posible que al elevar a potencias los miembros, se hayan introducido soluciones

extrañas.

Ejemplos:

1) Resolver la ecuación 6x x+ = .

Aislemos x en el primer miembro y elevemos los dos miembros al cuadrado:

( ) ( )2 2 2 26 6 36 12 13 36 0x x x x x x x x x= − → = − → = − + → − + = . Las

soluciones de ésta última ecuación son 9 y 4. La solución 9x = no satisface la ecuación

propuesta, pues 9 9 12 6+ = ≠ ; en cambio 4x = sí la satisface, 4 4 6+ = . Luego la

única solución de la ecuación es 4x = .

2) Resolver la ecuación: 3 2 1 2 4 1x x+ − − = .

Procedemos de forma similar al ejemplo anterior. Aislamos 3 2 1x + en el primer

miembro y elevamos los dos miembros al cuadrado:

( ) ( )3 2 1 1 2 4 9 2 1 1 4 4 4 4x x x x x+ = + − → + = + − + −

Aislamos de nuevo el radical: 4 4 22 8x x− = − . Ahora dividimos todo entre dos.

2 4 11 4x x− = − y luego elevamos al cuadrado ambos miembros de nuevo:

( ) ( )2 24 4 121 88 16 121 84 0 121 84 0x x x x x x x− = − + → − = → − =

Las soluciones de esta última ecuación son 1 0x = y 2 84 121x = . La primera solución

no satisface la ecuación propuesta mientras que la segunda sí la satisface.


22

3) Resolver la ecuación 24 3 2 0x x− − = .

Aislamos el radical al primer miembro y elevamos ambos miembros a la cuarta potencia

2 2 4 4 24 3 2 3 2 3 2 0x x x x x x− = → − = → − + =

La anterior es una ecuación bicuadrada cuya descomposición en factores viene dada por

( )( ) ( )21 1 1 0x x x− + + = . De donde las únicas soluciones reales son: 1 1x = − y 2 1x = .

Ambos valores de x son solución de la ecuación propuesta. (El factor 2 1x + tiene

raíces complejas conjugadas)

1.2.4Ecuaciones Logarítmicas: Se dice que una ecuación es logarítmica si la incógnita

figura dentro de un logaritmo, es decir, en este tipo de ecuaciones a la incógnita o

a expresiones que la contienen se les ha tomado el logaritmo, por lo que para

resolverlas es necesario invertir la operación (aplicar función exponencial). Las

soluciones obtenidas se deben comprobar en la ecuación original porque se

podrían obtener soluciones extrañas.

Previo a la resolución de ejercicios, recordaremos las propiedades de los

logaritmos.

Propiedades de los Logaritmos

)1 El logaritmo de 1 en cualquier base es 0, es decir, log 1 0a

= .

)2 El logaritmo de la base es igual a 1, es decir, log 1a

a = .

)3 El logaritmo de un número negativo no existe, es decir, ( )loga b no existe− =

)4 El logaritmo decimal (logaritmo en base 10) de cualquier número real comprendido

entre 0 y 1 es negativo.

)5 El logaritmo decimal de un número real mayor que 1 es positivo.

)6 El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. Es

decir: ( )log log loga a am n m n⋅ = +

)7 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo

del divisor. Es decir: log log loga a a

mm n

n

= −

)8 El logaritmo de cualquier potencia de la base es igual al exponente. Es decir:

log n

aa n=

)9 El logaritmo de una potencia de base a y exponente p , es igual al exponente

multiplicado por el logaritmo de la base. Es decir: ( )log logp

a an p n= ⋅

)10 El logaritmo de una raíz de índice r , de un número n , es igual al logaritmo del

número n dividido por el índice r . Es decir: log

log r aa

nn

r=

Ejemplos: Resolver las siguientes ecuaciones:


23

1) ( ) ( )log 5 1 1 log 2 1x x+ = + −

Como 101 log 10 log10= = , podemos escribir: ( ) ( )log 5 1 log10 log 2 1x x+ = + −

Aplicando propiedades logarítmicas (propiedad 6), tenemos que:

( ) ( )log 5 1 log 10 2 1x x+ = ⋅ −

Como el resultado obtenido es una igualdad de logaritmos, se deduce que:

( ) 115 1 10 2 1 5 1 20 10 15 11

15x x x x x x+ = ⋅ − → + = − → = → =

2) log 810

xx =

Tomamos logaritmo en ambos miembros: log log 8log10x x⋅ =

( )33 22log log 8 log 8 log 8 log 4x x x x x⋅ = → = → = → = . Luego:

log 4 410 10 10x x= → =

3) ( ) ( ) 1log 4 log 3 10 logx x

x

− − − =

. Aplicamos propiedad 7 de los logaritmos

4 1log log

3 10

x

x x

− = − . Se cumple entonces que:

4 1

3 10

x

x x

− =− obtenemos una ecuación

fraccionaria, cuyas soluciones son 1 5x = y 2 2x = . Al sustituir las soluciones en la

ecuación original, el valor 2x = hay que descartarlo ya que no la satisface.

1.2.5Ecuaciones Exponenciales: En estas ecuaciones la incógnita o una expresión de

ella, aparece en el exponente. La solución de este tipo de ecuaciones puede

obtenerse tomando logaritmos en cualquier base mediante el uso de las

propiedades de la potenciación. En este último caso es conveniente recordar que:

1) ( ) ( )m nm n n ma a a⋅ = = . Así ( ) ( )2

2 23 3 3x

x x= =

2) Si m n

a a= , entonces m n= . Así, si 2 2x y= entonces x y=

3) 1m

ma

a

− =

4) Cualquier número 0a ≠ elevado a la potencia cero, es igual a 1. De manera que el

número 1 puede ser expresado convenientemente como cualquier número distinto de

cero elevado a la potencia cero. Así ( )0 0 0 01 2 3 100 0a a= = = = ≠ .

5) m n m n

x x x+ = ⋅ . Así

5 3 2x x x= ⋅

6)

mm n

n

xx

x

− = . Así

75

2

xx

x=

Ejemplos: Resolver las siguientes ecuaciones


24

1) 3 25 2x x−=

Tomamos logaritmos decimales

23 2 log 5 log 2

log 5 log 23 2

x xx x

−−= → =

( )log5 log 22

3 2x x⋅ = − ⋅ , como log 5 0,70= y log 2 0,30= , tenemos que:

( ) ( )0,70 0,302 0, 23 0,15 2 0,23 0,15 0,30

3 2x x x x x x= − → = − → = −

( )0, 23 0,15 0,30 0,08 0,30 3,75x x x− = − → = − → = −

2) 2 2 53 27x x− − = . Como

327 3= , tenemos que: 2 2 5 3 23 3 2 5 3x x

x x− − = → − − =

2 2 8 0x x− − = , de donde 1 4x = y 2 2x = − .

3) 17 2 7 5 0x x−− ⋅ − = . Como

1 77 7 7

7

x x

x

− −= ⋅ = , tenemos que:

2 7 147 5 0 7 5 0

7 7

x x

x x

⋅− − = → − − = . Multiplicando por 7x:

14 77 7 5 7 0

7

xx x x

x

⋅⋅ − − ⋅ =

27 5 7 14 0x x− ⋅ − = . Si hacemos el cambio de variable, 7xu= , entonces

2 27 xu= y

tendremos: 2 5 14 0u u− − = , de donde 1 7u = y 2 2u = − . Como 7x

u = , tenemos: 7 7x =

de donde 1x = y 7 2x = − , solución no válida, ya que para cualquier valor real de x ,

7 0xf .

4) 32 2 72x x++ = . Como

3 32 2 2 8 2x x x+ = ⋅ = ⋅ , tendremos:

( )3

2 8 2 72 2 1 8 72

729 2 72 2 2 8 2 2 3

9

x x x

x x x xx

+ ⋅ = → + =

⋅ = → = → = → = → =

Ejercicios Propuestos

1) Resolver las ecuaciones:

a) ( ) ( )4 5 15 3 4 2 9 9x x x− + = − − −

b) ( ) ( )2 3 2 3 4 5

5 2 10

x x x− −− =

c) ( ) ( )2 23 2 53x x+ + − =

d) ( )( )2

2 2

3 11 3 2

1 2 11

xx x x

x x xx

++ + ++ =− − +−

e) 2 3 2 2x x+ − − =

f) 2 3 1x x+ + − =


25

g) 3 2 2x x= −

2) Hallar a para que sean iguales las dos soluciones de la ecuación 2 0x ax a− + =

3) Calcular c para que las soluciones de la ecuación 2 9 0x x c− + = sean una el doble

de la otra.

4) Un obrero gana Bs. 44400 diarios, pero debe abonar Bs. 22200 por cada día que falte

el trabajo. Al cabo de 58 días recibe Bs.1642800. ¿Cuántos días ha trabajado y cuántos

ha faltado?

5) Dos grifos, manando juntos, llenan un depósito en 7 horas. Uno de ellos lo llenaría en

12 horas. ¿Cuánto tiempo tardaría el otro en llenarlo?

6) Si se mezclan 6 litros de vino de cierta clase con 3 litros de otra, se obtiene una

mezcla que vale Bs. 20000 por litro. Pero si se mezclan 4 litros de la primera con 6

litros de la segunda, la nueva mezcla vale Bs. 640 más por litro. ¿Cuánto vale el litro de

cada uno de los vinos?

7) Marina y Ana parten de A , en moto, a las 8 de la mañana y convienen en encontrarse

en B , a 200Km de A . Sabiendo que Marina va a 10 Km h más que Ana y llega una

hora antes, se pide la velocidad de cada una.

8) Dos obreros trabajando juntos, realizan una obra en 18 días. ¿Cuánto tardaría en

realizarla cada uno por separado, sabiendo que el primero tardaría 27 días más que el

otro?

9) Simplificar cada expresión. Asumir que todas las variables representan números

positivos:

a) ( ) ( )4 2 52 3x y xy− ⋅ − h)

1 3

1

3 2

2

−

−

− ⋅

b) ( ) ( )1 14 62 34 8x x+ − i) 1

1

1−

−−

c) ( )2

2 2

2 2

ab a b

a b

+ j)

1

2

3

3

−

−

d) 34

1

4x k) ( ) ( )( )2

2 4 2 5− − −

e) ( )( )

31 6

29 12 3

2

8

a b

a b

−

−−

− l) ( ) ( )26 4 1 3− − −

f) 27 8 32− + m) 2

327−

−

g) 3 9 012x y z n)

( ) ( )( ) ( )( )

23 4 3 9

3 2 5 1

− − − +− − − −

10) Simplificar:


26

a)

5 3

2 41 2

2

x x

x

−

− c)

2

2

13

2

54

2

y

y

−−

+−

b)

2

4 5

4 2

1 3

2 2

y y

y y

−− −

−− +

d) 2 3

3 3 4

1

65 3

8 10

a b

a b a b−

)11 Resolver las siguientes ecuaciones:

a) 1 3

2 4

x x

x x

− +=− + e) 2

3 1 1

9 3

x

x x x

−= −− −

b) 2 2

3 5 3

4 4

x x

x x

− −=− − f)

1 1 1

1 1x x x+ =

− +

c) 2 8

03 3

x x

x x

− ++ =+ + g) 2

5 2

4 2

x

x x=

− −

d) 1 3

02

x x

x x

− −+ =−

)12 Simplificar cada fracción:

a)

4

44 4

4

aaa

aa

+++−

+

c)

2 3

14 2

1

t t

t tt t

t t

+ −−−+ −+

−

b)

6

2

4 15

2

yy

y

yy

y

+−++−+

d)

3 4

2 21 3

2 2

x x

x x

−+ −

−+ −

)13 Resolver las siguientes ecuaciones logaritmicas y comprobar las respuestas:

a) ( )log 2 1 log 1x x+ − = i) 2 2log logx x=

b) ( )2log log 1x = j) ( ) ( )log 3 1 log 1 2x xx x+ + − =

c) ( )2 2log log 2x = k) log 2x

x x=

d) log 2

2 2x = l) ( )2log 2 32 2x x+ = +

e) ( ) ( )log 2 8 log5 log 1x x+ − = − m) log 1 610x

x− =

f) ( ) ( )2log 1 2 log 1x x− − = + n) 1 1 2

2 log log 2 3x x+ = −

+ −


27

g) ( )ln ln 1 ln 6x x+ − = o) ( )2log 2 4 1x x− = −

h) ( ) ( )22log logx x=

)14 Resolver las siguientes ecuaciones:

a) 13 2x x+= h)

110 1x x− = +

b) 2 24 5x x−= i)

2 12 5 2 6 0u u−− ⋅ − =

c) ( ) ( )1 0,5

2 7x x+

= j) 2 121 2 5x x x+= ⋅

d) ln4 1x = k)

2 3 12 6 0x x+ −− =

e) ln 4x

x = l) 1 25 5 5 155x x x+ ++ + =

f) 23 81x+ = m)

23 5 5 0, 2 0x x−⋅ + − =

g) 2 5 110 100000x x+ − = n) 1,51

x x

x x

e e

e e

−

−

+ = −−

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