Solucionario de redes[1]

8/8/2019 Solucionario de redes[1]

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Solucionario de redes

Qu es un servidor DHCP?

DHCP (Protocolo Dinmico de Configuracin de Anfitrin) es unprotocolo de red

que permite a los nodos de una red IP obtener sus parmetros de configuracin

automticamente. Se trata de un protocolo de tipo cliente/servidoren el que

generalmente un servidor posee una lista de direcciones IP dinmicas y las va asignando

a los clientes conforme stas van estando libres, sabiendo en todo momento quin haestado en posesin de esa IP, cunto tiempo la ha tenido y a quin se la ha asignado

despus.

Ejemplo:

El valor depender del parmetro que queramos configurar; podr ser un valor lgico

(on u off, por ejemplo), una direccin, un nombre predefinido u otro valor segn el

caso.

En este fichero tambin se definen las subredes en las que acta el servidor DHCP y qu

rangos de direcciones puede asignar. Existen unos parmetros que pueden ser globales o

se pueden especificar dentro de una declaracin de subred. Cualquier parmetro

especificado en una subred tiene preferencia en esta subred sobre los establecidos de

forma global.

Qu es DNS?

Para registrar un dominio es imprescindible disponer de servicio de DNS. Para quetu o tu empresa seis visibles en Internet debers tener tus nombres de dominioinstalados en dos ordenadores que estn conectados a la red y que se denominanservidores de DNS.

La principal tarea de un servidor de DNS es traducir tu nombre de dominio (p.ej.midominio.com) en una direccin IP.El servicio de DNS permite, una vez configurado, que tu Web y tu correo electrnicosean localizados desde cualquier lugar del mundo mediante tu nombre de dominio.

Ejemplo:

En la ilustracin siguiente se describe la misma red que en el ejemplo Un nico servidor

DNS para una intranet, pero en este caso la empresa ha aadido una conexin a Internet.

En este ejemplo, la empresa puede acceder a Internet, pero el cortafuego est

configurado para que bloquee el trfico de Internet en la red.
http://es.wikipedia.org/wiki/Protocolo_de_redhttp://es.wikipedia.org/wiki/Protocolo_de_Internethttp://es.wikipedia.org/wiki/Cliente/servidorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Cliente/servidorhttp://publib.boulder.ibm.com/html/as400/v5r1/ic2931/info/rzakk/rzakkscenario1.htmhttp://publib.boulder.ibm.com/html/as400/v5r1/ic2931/info/rzakk/rzakkscenario1.htmhttp://es.wikipedia.org/wiki/Protocolo_de_redhttp://es.wikipedia.org/wiki/Protocolo_de_Internethttp://es.wikipedia.org/wiki/Cliente/servidorhttp://publib.boulder.ibm.com/html/as400/v5r1/ic2931/info/rzakk/rzakkscenario1.htmhttp://publib.boulder.ibm.com/html/as400/v5r1/ic2931/info/rzakk/rzakkscenario1.htm


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Para resolver las direcciones de Internet, debe realizar al menos una de estas acciones:

Que es un URL?

URL significa Uniform Resource Locator, es decir, localizador uniforme de recurso. Esuna secuencia de caracteres, de acuerdo a un formato estndar, que se usa para nombrar

recursos, como documentos e imgenes en Internet, por su localizacin.

Los URL fueron una innovacin fundamental en la historia de laInternet. Fueron

usadas por primera vez porTim Berners-Leeen 1991, para permitir a los autores de

documentos establecer hiperenlaces en la World Wide Web (WWW o Web). Desde

1994, en los estndares de laInternet, el concepto de URL ha sido incorporado dentro

del ms general de URI (Uniform Resource Identifier- Identificador Uniforme deRecurso), pero el trmino URL an se utiliza ampliamente.

Aunque nunca fueron mencionadas como tal en ningn estndar, mucha gente cree que

las iniciales URL significan Universal Resource Locator (Localizador Universal de
http://es.wikipedia.org/wiki/Tim_Berners-Leehttp://es.wikipedia.org/wiki/Tim_Berners-Leehttp://es.wikipedia.org/wiki/Tim_Berners-Lee


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Recurso). Esta interpretacin puede ser debida al hecho de que, aunque la U en URL

siempre ha significado Uniforme, la U de URI signific en un principio Universal, antes

de la publicacin del RFC 2396.

El URL es la cadena de caracteres con la cual se asigna una direccin nica a cada uno

de los recursos de informacin disponibles en laInternet. Existe un URL nico paracada pgina de cada uno de los documentos de la World Wide Web, para todos loselementos de Gophery todos los grupos de debate USENET, y as sucesivamente.

El URL de un recurso de informacin es su direccin en Internet, la cual permite que el

navegadorla encuentre y la muestre de forma adecuada. Por ello el URL combina el

nombre del ordenador que proporciona la informacin, el directorio donde se encuentra,

el nombre del archivo y el protocolo a usar para recuperar los datos.

Ejemplo: URL en HTTP

Los URL empleados porHTTP, el protocolo usado para transmitir pginas web, es el

tipo ms popular de URL y puede ser usado para mostrarse como ejemplo. La sintaxis

de un URL HTTP es:

esquema://anfitrin:puerto/ruta?parmetro=valor#enlace

Que router utiliza la telefonica?

Routers Greles

Routers Ethernet
http://tools.ietf.org/html/rfc2396http://es.wikipedia.org/wiki/Internethttp://es.wikipedia.org/wiki/Internethttp://es.wikipedia.org/wiki/Navegador_webhttp://es.wikipedia.org/wiki/HTTPhttp://es.wikipedia.org/wiki/HTTPhttp://tools.ietf.org/html/rfc2396http://es.wikipedia.org/wiki/Internethttp://es.wikipedia.org/wiki/Navegador_webhttp://es.wikipedia.org/wiki/HTTP


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Qu modelos de router no utilce la telefonica?

Wireless


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..6.3 LA HIPERBOLADefiniciones

i. Sean F y F? dos puntos de un plano (F F?). Se define la hiprbola de focos F y F? como ellugar geomtrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancia a los focos esconstante e igual a 2a. (a > 0).

ii. Las rectas: La que pasa por los focos F y F? y la recta mediatriz del segmento F?F se llaman:Ejes de simetra de la hiprbola.

iii. El punto de interseccin 0 de dos ejes de simetra, se llama CENTRO de la hiprbola. Lospuntos A y A? se llaman: VERTICES de la hiprbola.

fig. 6.3.1.

Observaciones:

i. Como en el caso de la elipse, cualquier par de puntos del plano pueden servir como focos deuna hiprbola. Por simplicidad, solo se considerarn inicialmente, aquellos casos en los cuales

los focos estn en el mismo eje (eje x eje y) y son simtricos uno del otro con respecto alorigen (fig. 6.3.1.).

ii. Si se obtiene la rama derecha de la hiprbola; mientras que

si se obtiene la otra rama.

iii. Note que 2a < 2c, ya que la diferencia de los lados de un tringulo siempre es menor que el

tercer lado. Adems, se toma .

6.3.1. Ecuaciones Analticas de la Hiprbola


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caso 1. Hiprbola con focos F?(-c, 0) y F(c, 0) ; c > 0.

TEOREMA:

La ecuacin de la hiprbola centrada en el origen y cuyos focos estn en los puntos F(-c, 0) yF(c, 0) viene dada por:

(1).

Demostracin:

Si P(x, y) es un punto que pertenece a la hiprbola considerada (fig. 6.3.1.), se tiene deacuerdo a la definicin i. que:

De donde,

Es decir,

Equivalentemente, usando la frmula de distancia, se puede escribir:

Elevando ambos miembros al cuadrado en la ltima igualdad y simplificando se obtiene:

Elevando nuevamente ambos miembros al cuadrado en la ltima igualdad y despus desimplificar y factorizar se puede escribir:

Recordando adems que (observacin iii.) y al dividir ambos miembros de la

ltima igualdad por , se obtiene finalmente, que corresponde a laecuacin pedida.


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Caso 2. Hiprbola con focos en F?(0, -c) y F(0, c) ; c > 0.

TEOREMA:

La ecuacin de la hiprbola centrada en el origen y cuyos focos estn en los puntos F?(0, -c) yF(0, c) viene dada por:

(1).

fig. 6.3.2.

La demostracin es similar a la anterior, se deja por lo tanto como ejercicio.

Caso 3. (Caso General)

Si en vez de considerar el centro de la hiprbola en el punto (0, 0), como se hizo en los doscasos anteriores, se considera el punto C (h, k), las ecuaciones de la hiprbola correspondiente,se transformarn utilizando las ecuaciones de traslacin (seccin 6.1.2.) en:

(3)

(4)

Segn que el eje focal sea una recta paralela al eje x o al eje y respectivamente.

Observaciones:


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i. En la figura 6.3.3., se ha trazado la hiprbola centrada en el origen y focos en los puntosF1(c,0) y F2(-c, 0). Los puntos V1 y V2 son los vrtices de la hiprbola y sus coordenadas sonV1(a, 0) y V2(-a, 0). Los puntos M, N, P y Q tienen coordenadas:M (a, b), N(-a, b), P(-a, -b) y Q(a, -b).

El rectngulo MNPQ recibe el nombre de rectngulo auxiliar de la hiprbola.

fig. 6.3.3.

ii. La grfica de la hiprbola es simtrica con respecto al eje x y con respecto al eje y.

iii. Las rectas que pasan, la primera por M y P y la segunda por N y Q, se llaman asntotasoblicuas de la hiprbola y sus ecuaciones vienen dadas respectivamente por:

y

Una forma "nemotcnica" de obtener las ecuaciones de las los asntotas de la hiprbola es lasiguiente: En la ecuacin de la hiprbola, sustituir el 1 (uno) del segundo miembro por un 0(cero).

As, en el caso particular de la hiprbola ,

Hacemos: (factorizando)


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Estas son las ecuaciones de las asntotas

iv. En el caso particular, cuando a = b, las ecuaciones de la hiprbola se transforman en:

R>

En ambos, la hiprbola se llama: Hiprbola Equiltera y tienen como asntotas las rectas

y = xe y = -x

6.5.3. Ejercicios resueltos sobre la hiprbola1. Los focos y los vrtices de una hiprbola son los puntos: F(5, 0), F?(-5, 0), V1(4, 0) yV2(-4, 0), respectivamente. Determine la ecuacin de la hiprbola. Dibujar su grfica eindicar las asntotas.

SOLUCINComo los focos estn sobre el ejex, la ecuacin de la hiprbola es de la

forma: .

fig. 6.5.13.

En este caso: a = 4; c = 5, de donde (Ver fig. 6.5.13.) En

consecuencia, la ecuacin de la hiprbola es: .


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Ahora,

Luego, las ecuaciones de las asntotas son las rectas: , y,

2. Dada la hiprbola cuya ecuacin viene dada por: . Determine:coordenadas de los focos, de los vrtices, ecuaciones de las asntotas. Trazar la grfica.

SOLUCIN

La ecuacin: , puede escribirse en las formas equivalentes:

La ltima ecuacin corresponde a una hiprbola cuyo eje focal coincide con el eje y(fig. 6.5.14.)

fig. 6.5.14.

En este caso: . Luego, .

Con estos datos, se tiene: F(0, 4), F?(0, -4), V1(0, 3) y V2(0, -3).


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Adems de la ecuacin: , se deduce que las ecuaciones de las asntotas

son las rectas de ecuacin: e ...

3. Una hiprbola cuyo centro es el punto C(2, 3), tiene sus focos sobre la recta y = 3.Adems, la distancia entre los focos es 10 unidades y la distancia entre sus vrtices es 8unidades. Trazar la grfica y determine: coordenadas de los vrtices, focos y ecuaciones delas asntotas.

SOLUCINComo la distancia entre los vrtices es 8, se sigue que a = 4. Igualmente, como 2c = 10,se sigue que c = 5y por lo tanto b2 = c2 ? a2 = 9. Asi que b = 3 (fig. 6.5.15.).

fig. 6.5.15.

Ahora, puesto que los focos estn sobre la recta y = 3 (paralela al eje x), la ecuacin de lahiprbola pedida tiene la forma:

Las coordenadas de los focos son: y y = 3. Esto es: F(7, 3) y F?(-3, 3).

Igualmente, las coordenadas de los vrtices son: y y = 3. Esto es, V1(6, 3) yV2(-2, 3).

Adems, de la ecuacin: , se deduce

que: ; y

son las ecuaciones de las asntotas.


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4. Dada la hiprbola, cuya ecuacin en su forma general es: 3y2 ? x2 + 4x ? 6y ? 13 = 0.Determine y grafique: centro, focos, vrtices y ecuaciones de las asntotas.

SOLUCINLa ecuacin general, puede escribirse en las formas equivalentes:

Esta ltima ecuacin corresponde a una hiprbola cuyo centro es el punto C(2, 1) y su ejefocal es una recta paralela al eje y que pasa por C(2, 1). En esta caso,x = 2 (fig. 6.5.16.)

fig. 6.5.16.

Adems, a2 = 4, b2 = 12. Con lo cual: .

Las coordenadas de los focos son:x = 2 e . Esto es F(2, 5) y F?(2, -3).Igualmente, las coordenadas de los vrtices son:x = 2 e . Esto es V1(2, 3) y V2(2,-1).

Las ecuaciones de las asntotas son las rectas: , e, .

5 .En el SISTEMA DE NAVEGACIN DE LARGO ALCANCE (LORAN, por sus siglas en ingls),una estacin principal de radio y una estacin secundaria emiten seales que pueden ser

recibidas por un barco en el mar (ver fig. 6.5.17.). Aunque un barco recibe siempre las dosseales, por lo regular se halla mas cerca de una de las dos estaciones y, por lo tanto, haycierta diferencia en las distancias que recorren las dos seales, lo cual se traduce en una


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pequea diferencia de tiempo entre las seales registradas. Mientras la diferencia detiempo permanezca constante, la diferencia de las dos distancias tambin ser constante.Si el barco sigue una ruta que mantenga fija la diferencia de tiempo, seguir la trayectoriade una hiprbola cuyos focos estn localizados en las posiciones de las dos estaciones deradio.

fig. 6.5.17.

Asi que para cada diferencia de tiempo se tiene como resultado una trayectoria hiperblicadiferente, cada una llevando al barco a una posicin distinta en la costa. Las cartas denavegacin muestran las diferentes rutas hiperblicas correspondientes a diferencias detiempo distintas.

Dos estaciones LORAN estn separadas 250 millas a lo largo de una costa recta.

a) Un barco registra una diferencia de tiempo de 0.00086 seg. entre las seales LORAN.Establezca un sistema de coordenadas rectangulares apropiado para determinar donde el

barco alcanzar la costa si contina sobre la trayectoria de la hiprbola correspondiente aesta diferencia de tiempo.

b) Si el barco debe entrar a un puerto localizado entre las dos estaciones a 25 millas desdela estacin principal, qu diferencia de tiempo debe observar?.c) Si el barco est a 80 millas de la costa cuando se obtiene la diferencia de tiempodeseada, cul es su ubicacin exacta? (Nota: la velocidad de cada seal de radio es de186.000 millas/seg.).

..SOLUCIN

a. Se puede establecer un sistema de coordenadas rectangulares de tal forma que las dos

estaciones estn sobre el eje x y el origen de coordenadas en la mitad del camino entre ellas(Ver fig. 6.5.18.).


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fig. 6.5.18. 0).

ii. Las rectas: La que pasa por los focos F y F? y la recta mediatriz del segmento sellaman EJES DE SIMETRA DE LA ELIPSE.iii. El punto de interseccin O de los dos ejes de simetra, se llama CENTRO DE LA ELIPSE. Lospuntos A?, A, B y B? se llaman VERTICES DE LA ELIPSE.

Si el segmento es mayor que el segmento , ambos segmentos se llamanrespectivamente EJE MAYOR y EJE MENOR de la elipse.


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fig. 6.2.1.

Observaciones:i. De hecho, cualquier par de puntos del plano pueden servir como focos de una elipse. Porsimplicidad, solo se considerarn inicialmente aquellos casos en los cuales los focos estn en elmismo eje (eje x, eje y) y son simtricos uno del otro con respecto al origen (fig. 6.2.2.).

ii. Ntese tambin que como , se sigue que(teorema de Pitgoras).

fig. 6.2.2.

0Eje mayor: Longitud 2a (2a > 0)Eje menor: Longitud 2b (2b > 0)

TEOREMA:La ecuacin de la elipse con focos en los puntos F?(-c, 0) y F(c, 0), eje mayor 2a, y eje menor2b, (fig. 6.2.3.) viene dada por:

(1)


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fig. 6.2.3. fig. 6.2.4.DemostracinSi p(x, y) es un punto que pertenece a la elipse considerada, se tiene de acuerdo a la

definicin i que , o equivalentemente,

(frmula de distancia entre dos puntos)Transponiendo el primer radical al segundo lado y elevando ambos miembros al cuadrado, se

obtiene:Simplificando la ltima igualdad se llega a:

Al elevar nuevamente ambos miembros al cuadrado en la ltima ecuacin, se obtiene:

La cual se reduce a:

Recordando adems que y al dividir ambos miembros de la ltima igualdad

por , se obtiene finalmente : que corresponde a la ecuacin pedida.

Caso 2. Elipses con focos F?(0, -c) y F(0, c) ; c > 0

Eje mayor: Longitud 2a (a > 0)Eje menor: Longitud 2b (b > 0)

TEOREMA:La ecuacin de la elipse con focos en los puntos F?(0, -c) y F(0, c), eje mayor 2a, y, eje menor2b (fig. 6.2.4.), viene dada por:

(2)Demostracin:Es similar a la anterior, se deja por lo tanto como ejercicio.NOTA:Ntese que si en las ecuaciones (1) y (2) de la elipse, se hace a = b, las ecuaciones setransforman en la ecuacin de una circunferencia de centro en el origen y radio a.Caso 3. (Caso General).


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Si en vez de considerar el centro de la elipse en el punto (0, 0), como se hizo en los doscasos anteriores, se considera el punto C (h, k), la ecuacin de la elipse correspondiente, setransforma utilizando las ecuaciones de traslacin (seccin 6.1.2.) en:

(3)

Si a > b, el eje focal es paralelo al eje x. (sobre la recta y = k)Si b > a, el eje focal es paralelo al eje y. (sobre la recta x = h)

fig. 6.2.5.(a) (x-h)2 + (y-k)2 (b) (x-h)2 +

(y-k)2a2 b2

b2 a2Observaciones:

i. La ecuacin (3) se deduce considerando que los ejes de la elipse son paralelos a los ejescoordenados.ii. Si a > b, la ecuacin (3) corresponde a una elipse con centro en C(h, k) y cuyo eje focal esparalelo al eje x (fig. 6.2.5. a).Si b > a, la ecuacin (3) corresponde a una elipse con centro en C(h, k) y cuyo eje focal esparalelo al eje y (fig. 6.2.5. b).

6.2.2. Construccin de la Elipse

Existen muchas construcciones geomtricas de la elipse, pero en la mayora de ellas serequiere conocer algunos elementos adicionales (la directriz, la excentricidad, ...etc.) de laelipse que no han sido mencionados hasta ahora. Por esta razn, solo se presentan dosmtodos geomtricos sencillos para construir la elipse.

Construccin 1Supngase que en el plano se tienen dos puntos fijos F y F?. Se toma una cuerda de longitud2a (mayor que la distancia entre los focos). Con la punta P de un lpiz se tensiona la cuerda. Almover el lpiz manteniendo en todo momento tensionada la cuerda, el punto P describe laelipse pedida. (fig. 6.2.6.)


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fig. 6.2.6.Construccin 2Supngase que nos plantean el problema de construir la elipse de ecuacin dada

por , con a > b.Se procede entonces como sigue: Se trazan los llamados crculos directores, que son crculos

concntricos , con centro en 0, uno de radio y el otro de radio . (Ver fig.6.2.7.)

fig. 6.2.7.Se traza luego un rayo cualquiera con origen en 0, el cual intercepta a los crculos en lospuntos S y N. Por estos puntos, se trazan paralelas a los ejes x e y respectivamente, las cualesse cortan en el punto M(xm, ym).

Se puede afirmar que el punto M est en la elipse de ecuacin .

En efecto, basta demostrar que .Para ello, ntese que:


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Sumando miembro a miembro las ltimas igualdades, se concluye que6.2 Ejercicios Resueltos Sobre La Elipse1. Halle la ecuacin de la elipse que tiene su centro en (0, 0) y cuyos focos son los puntosF(3, 0) y F?(-3, 0), adems el intercepto de la grfica con el eje x es el punto (5, 0).Solucin:Como la elipse corta al eje x en el punto (5, 0) se sigue que a = 5 y como c = 3 (fig. 6.5.8) se

tiene que, y por tanto .

fig. 6.5.8.De esta forma, los vrtices de la elipse son los puntos V1(5, 0), V2(-5, 0), V3(0, 4) yV4(0, -4). Adems, su ecuacin viene dada por :

2. Trazar la elipse cuya ecuacin viene dada por:25x2 + 4y2 = 100Solucin:La ecuacin: 25x2 + 4y2 = 100, puede escribirse en las formas equivalentes:x 2 + y 2= 1 (porqu?)4 25

La ltima ecuacin corresponde a una elipse centrada en el origen cuyo eje mayor es b = 5 yeje menor es a = 2. Adems, los focos de la elipse estn localizados sobre el eje y.

De otro lado, , de donde y en consecuencia, los focos se

encuentran localizados en los puntos y .Adems, los vrtices de la elipse son los puntos: V1(2, 0), V2(5, 0), V3(-2, 0) y V4(-5, 0).La figura 6.5.9. recoge toda la informacin obtenida.


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fig. 6.5.9.3. Determine el centro, los vrtices, los focos y dibujar la elipse que tiene por ecuacin:

4x2 + y2 ?16x + 2y + 13 = 0

Solucin:La ecuacin dada se puede escribir en las formas equivalentes:

(completacin de cuadrado)

(factorizacin y simplificacin)

(dividiendo por 4)

Esta ltima ecuacin corresponde a la elipse cuyo centro es el punto C(2, -1), semiejes;a = 1 y b = 2. Como a < b, el eje focal es paralelo al eje y y tiene por ecuacin x = 2 (ver fig.6.5.10.).Los vrtices son los puntos V1(2, 1), V2(2, -3), V3(3, -1) y V4(1, -1).

Como , se tiene que los focos estn localizados en los puntos

y .


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fig. 6.5.10.

4. Propiedad ptica de la ElipseEn geometra plana se demuestra el siguiente resultado: Si se tiene un tringulo ABC y unpunto D sobre BC (ver figura 6.5.11), entonces:

es Bisectriz del ngulo .

Esta propiedad permite construir la normal y por ende latangente en un punto cualquiera de la elipse.

Al unir el punto P1 de la elipse con F?y con F, puededemostrarse que la bisectriz del ngulo F?P1Fes la normal nn a la curva por P1 (fig. 6.5.12.).

fig. 6.5.11.Esta propiedad se conoce como la propiedad ptica o focal de la elipse y tiene interesantsimasaplicaciones:

fig. 6.5.12.1) Considrese un rayo de luz que se enfoca desde un foco hacia un punto P1 de la curva.Como nn es bisectriz del ngulo F?P1F, entonces, ngulo de incidencia = ngulo de reflexin ypor tanto el rayo se reflejar pasando por el otro foco. Este hecho es utilizado en la


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construccin de conchas acsticas.Supongamos que la elipse se hace rotar alrededor del eje x formando una superficie derevolucin e imaginemos un saln cuyos techos y paredes son la superficie anterior. Cuandouna persona habla desde un foco F, puede ser escuchada en el otro foco a pesar de estarmuy lejos del anterior y puede no ser audible en otros puntos intermedios a causa de que lasondas de sonido chocan contra las paredes y son reflejadas en el segundo foco y llegan a l

en el mismo tiempo ya que ellas viajan el mismo tiempo.2) Estudiando una gran cantidad de datos experimentales, Kepler (1571 ? 1630) determinempirica- mente los tres siguientes hechos sobre el movimiento de los planetas conocidoscomo las leyes de Kepler:1. La rbita de cada planeta es una elipse con el sol en uno de los focos.2. El radio vector trazado desde el sol barre reas iguales en tiempos iguales.3. Los cuadrados de los perodos de los planetas son proporcionales a los cubos de los semiejesmayores de la rbita elptica.Newton (1642 ? 1727) partiendo de estas tres leyes empricas y utilizando elementos delclculo diferencial e integral pudo deducir la ley de gravitacin universal: "la fuerza que ejerceel sol sobre un planeta es una fuerza de atraccin radial e inversamente proporcional alcuadrado de la distancia entre los dos centros del sol y del planeta y viene dada por

donde m: masa del planeta, M: masa del sol y constante de gravitacinuniversal".Fijadas la directriz, el foco F y la excentricidad , sabemos que si llamamos p: distancia foco -

directriz, la ecuacin de la elipse es (1) donde ydonde como se puede demostrar fcilmente que a > b.

Ahora, cuando , dejando fijos los dems elementos; directriz, foco y p, la elipse seaproxima a una circunferencia y por tanto la rbita es cada vez mas cercana a unacircuferencia En efecto:

.

Si y y por tanto, a y b se acercan al mismo valor yla ecuacin (1) tiende a ser la ecuacin de una circunferencia.Esto puede verse tambin en el siguiente cuadro.p = 1

0.5

0.4

0.2

0.1

0.01

0.6666

0.4762

0.2083

0.1010

0.0100

0.57735

0.4364

0.2041

0.1005

0.0100


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0.002

0.001

0.002

0.001

0.002

0.001

Muchos de los planetas incluyendo la tierra tienen rbitas que son aproximadamentecirculares:

Mercurio

Venus

Tierra

Marte

Jpiter

0.21

0.01

0.02

0.09

0.05

Saturno

Urano

Neptuno

Plutn

0.06

0.05

0.01

0.25

Uno de los objetos mas importantes del sistema solar es el cometa Halley que tiene una

excetrici- dad de y una rbita de alrededor de 7 U.A. de ancho x 35 U.A. de largo(1 U.A.: 150 millones de kilmetros = semieje mayor de la rbita de la tierra distanciatierra ? sol). El perodo de revolucin de este cometa es de 76 aos. Fue observado por elastrnomo Edmund Halley en 1682 el cual predijo que volvera a aparecer en 1758. Asiefectivamente fue pero Halley no pudo ver verificada su prediccin ya que muri en 1742.Esta periodicidad de la rbita del Halley fue uno de los sucesos mas convincentes a favor dela teora de Gravitacin de Newton.6.2 Ejercicios Resueltos Sobre La Elipse1. Halle la ecuacin de la elipse que tiene su centro en (0, 0) y cuyos focos son los puntosF(3, 0) y F?(-3, 0), adems el intercepto de la grfica con el eje x es el punto (5, 0).Solucin:Como la elipse corta al eje x en el punto (5, 0) se sigue que a = 5 y como c = 3 (fig. 6.5.8) se

tiene que, y por tanto .

fig. 6.5.8.De esta forma, los vrtices de la elipse son los puntos V1(5, 0), V2(-5, 0), V3(0, 4) yV4(0, -4). Adems, su ecuacin viene dada por :

2. Trazar la elipse cuya ecuacin viene dada por:25x2 + 4y2 = 100


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Solucin:La ecuacin: 25x2 + 4y2 = 100, puede escribirse en las formas equivalentes:x 2 + y 2= 1 (porqu?)4 25

La ltima ecuacin corresponde a una elipse centrada en el origen cuyo eje mayor es b = 5 yeje menor es a = 2. Adems, los focos de la elipse estn localizados sobre el eje y.

De otro lado, , de donde y en consecuencia, los focos se

encuentran localizados en los puntos y .Adems, los vrtices de la elipse son los puntos: V1(2, 0), V2(5, 0), V3(-2, 0) y V4(-5, 0).La figura 6.5.9. recoge toda la informacin obtenida.

fig. 6.5.9.3. Determine el centro, los vrtices, los focos y dibujar la elipse que tiene por ecuacin:4x2 + y2 ?16x + 2y + 13 = 0

Solucin:La ecuacin dada se puede escribir en las formas equivalentes:

(completacin de cuadrado)

(factorizacin y simplificacin)

(dividiendo por 4)

Esta ltima ecuacin corresponde a la elipse cuyo centro es el punto C(2, -1), semiejes;a = 1 y b = 2. Como a < b, el eje focal es paralelo al eje y y tiene por ecuacin x = 2 (ver fig.6.5.10.).Los vrtices son los puntos V1(2, 1), V2(2, -3), V3(3, -1) y V4(1, -1).

Como , se tiene que los focos estn localizados en los puntos

y .


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fig. 6.5.10.

4. Propiedad ptica de la ElipseEn geometra plana se demuestra el siguiente resultado: Si se tiene un tringulo ABC y unpunto D sobre BC (ver figura 6.5.11), entonces:

es Bisectriz del ngulo .

Esta propiedad permite construir la normal y por ende latangente en un punto cualquiera de la elipse.

Al unir el punto P1 de la elipse con F?y con F, puededemostrarse que la bisectriz del ngulo F?P1Fes la normal nn a la curva por P1 (fig. 6.5.12.).

fig. 6.5.11.Esta propiedad se conoce como la propiedad ptica o focal de la elipse y tiene interesantsimasaplicaciones:

fig. 6.5.12.1) Considrese un rayo de luz que se enfoca desde un foco hacia un punto P1 de la curva.Como nn es bisectriz del ngulo F?P1F, entonces, ngulo de incidencia = ngulo de reflexin ypor tanto el rayo se reflejar pasando por el otro foco. Este hecho es utilizado en la


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construccin de conchas acsticas.Supongamos que la elipse se hace rotar alrededor del eje x formando una superficie derevolucin e imaginemos un saln cuyos techos y paredes son la superficie anterior. Cuandouna persona habla desde un foco F, puede ser escuchada en el otro foco a pesar de estarmuy lejos del anterior y puede no ser audible en otros puntos intermedios a causa de que lasondas de sonido chocan contra las paredes y son reflejadas en el segundo foco y llegan a l

en el mismo tiempo ya que ellas viajan el mismo tiempo.2) Estudiando una gran cantidad de datos experimentales, Kepler (1571 ? 1630) determinempirica- mente los tres siguientes hechos sobre el movimiento de los planetas conocidoscomo las leyes de Kepler:1. La rbita de cada planeta es una elipse con el sol en uno de los focos.2. El radio vector trazado desde el sol barre reas iguales en tiempos iguales.3. Los cuadrados de los perodos de los planetas son proporcionales a los cubos de los semiejesmayores de la rbita elptica.Newton (1642 ? 1727) partiendo de estas tres leyes empricas y utilizando elementos delclculo diferencial e integral pudo deducir la ley de gravitacin universal: "la fuerza que ejerceel sol sobre un planeta es una fuerza de atraccin radial e inversamente proporcional alcuadrado de la distancia entre los dos centros del sol y del planeta y viene dada por

donde m: masa del planeta, M: masa del sol y constante de gravitacinuniversal".Fijadas la directriz, el foco F y la excentricidad , sabemos que si llamamos p: distancia foco -

directriz, la ecuacin de la elipse es (1) donde ydonde como se puede demostrar fcilmente que a > b.

Ahora, cuando , dejando fijos los dems elementos; directriz, foco y p, la elipse seaproxima a una circunferencia y por tanto la rbita es cada vez mas cercana a unacircuferencia En efecto:

.

Si y y por tanto, a y b se acercan al mismo valor yla ecuacin (1) tiende a ser la ecuacin de una circunferencia.Esto puede verse tambin en el siguiente cuadro.p = 1

0.5

0.4

0.2

0.1

0.01

0.6666

0.4762

0.2083

0.1010

0.0100

0.57735

0.4364

0.2041

0.1005

0.0100


27/30

0.002

0.001

0.002

0.001

0.002

0.001

Muchos de los planetas incluyendo la tierra tienen rbitas que son aproximadamentecirculares:

Mercurio

Venus

Tierra

Marte

Jpiter

0.21

0.01

0.02

0.09

0.05

Saturno

Urano

Neptuno

Plutn

0.06

0.05

0.01

0.25

Uno de los objetos mas importantes del sistema solar es el cometa Halley que tiene una

excetrici- dad de y una rbita de alrededor de 7 U.A. de ancho x 35 U.A. de largo(1 U.A.: 150 millones de kilmetros = semieje mayor de la rbita de la tierra distanciatierra ? sol). El perodo de revolucin de este cometa es de 76 aos. Fue observado por elastrnomo Edmund Halley en 1682 el cual predijo que volvera a aparecer en 1758. Asiefectivamente fue pero Halley no pudo ver verificada su prediccin ya que muri en 1742.Esta periodicidad de la rbita del Halley fue uno de los sucesos mas convincentes a favor dela teora de Gravitacin de Newton.1. Encontrar la ecuacin de la parbola que satisface las condiciones dadas:a. F(3, 0), V(2, 0)b. F(0, 0), V(-1, 0)c. F(2, 3), directriz: x = 6d. V(-1, 4), eje focal vertical, y la parbola pasa por el punto (2, 2)e. V(4, 4), eje focal horizontal, y la parbola pasa por el punto (2, 2)f. Eje focal vertical, y la parbola pasa por los puntos A(-8, 5), B(4, 8) y C(16, -7)2. Cada una de las ecuaciones descritas a continuacin corresponden a parbolas. Localizar elvrtice, el foco, la ecuacin de la directriz, ecuacin del eje focal, y la ecuacin de la tangenteen el vrtice.a. y2 + 4x ? 4y ? 20 = 0b. y2 ? 8x + 4y + 12 = 0c. y2 + 4x + 4y = 0d. 4y2 + 24x + 12y ? 39 = 0e. 8y2 + 22x ? 24y ? 128 = 0f. x2 ? 6x ? 12y ? 15 = 0g. x2 + 4x + 4y ? 4 = 0h. x2 ? 8x + 3y + 10 = 0i. 6x2 ? 8x + 6y + 1 = 0

j. 5x2 ? 40x + 4y + 84 = 03. Demuestre que la ecuacin de la tangente a la parbola: x2 = 4cy en el punto (p, q) de lacurva, viene dada por: px = 2c(y + q).4.a. Demuestre que la ecuacin de la normal a la parbola: y2 = 4cx en el punto (p, q) de la

curva, viene dada por: .

b. Demuestre que la ecuacin de la normal a la parbola: x2 = 4cy en el punto (p, q) de la


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curva, viene dada por: .5.a. Demuestre que la perpendicular desde el foco a la tangente trazada por un punto cualqui-era de la parbola corta a esta en un punto localizado sobre el eje y.

b. Si Z denota el punto de interseccin de la perpendicular desde el foco a la tangente,demuestre que: , donde : es el radio vector asociado al punto P.6. Determine el punto mximo (mnimo) de las siguientes parbolas:a. y = x2 ? 2x ? 8b. y = x2 ? 6x + 9c. y = 5 ? 4x - x2d. y = 9 ? x27. Para cada una de las siguientes ecuaciones que representan elipses, se pide dibujarlasdeterminando adems los vrtices y los focos:a. 16x2 + 25y2 = 100b. 9x2 + 4y2 = 36c. 4x2 + y2 = 16d. x2 + 9y2 = 18e. 4y2 + x2 = 8f. 4x2 + 9y2 = 368. En los siguientes ejercicios encuentre la ecuacin de la elipse que satisface las condicionesdadas. Trace su grfica.Centro en (0, 0); foco en (3, 0); vrtice en (5, 0).Centro en (0, 0); foco en (-1, 0); vrtice en (3, 0).Centro en (0, 0); foco en (0, 1); vrtice en (0, -2).Focos en ( 2, 0); longitud del eje mayor 6.Focos en (0, 3); las intersecciones con el eje x son 2.Centro en (0, 0), vrtice en (0, 4); b = 1.Vrtices en ( 5, 0); c = 2.

Centro en (2, -2), vrtice en (7, -2); focos en (4, -2).Focos en (5, 1) y (-1, 1); longitud del eje mayor es 8.Centro en (1, 2); focos en (1, 4); pasa por el punto (2, 2).9. En cada uno de los ejercicios siguientes encuentre el centro, los focos y los vrtices de cadaelipse. Trace la grfica correspondiente.

10. Demuestre que una ecuacin de la forma: Ax2 + Cy2 + F = 0 con A 0, C 0, F 0 dondeA y C son del mismo signo:


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a. Es la ecuacin de una elipse con centro en (0, 0) si A Cb. Es la ecuacin de un crculo con centro en (0, 0) si A = C11. Demuestre que la grfica de una ecuacin de la forma Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0; A 0, C 0, donde A y C son del mismo signo:

a. Es una elipse si tiene el mismo signo que A.

b. Es un punto si

c. No tiene puntos si tiene el signo contrario de A.

12. La excentricidad e de una elipse se define: e = c/a donde c y a son los nmeros dados enlas ecuaciones de la elipse. Escriba un prrafo breve acerca de la forma general de cada una delas siguientes elipses. Justifique sus conclusiones.a. e cercana a 0.

b. e = 0.5c. e = 113. Considere la circunferencia C(o, r): centro en el origen y radio r. Sea A un punto fijo en el

interior de C con . Encontrar el lugar de los puntos P(x, y) del plano tales qued(P, A) = d(P, C)14. Para cada una de las siguientes ecuaciones que representan hiprboles, se pide dibujarlas,determinando adems los vrtices, los focos y las ecuaciones de las asntotas.a. 16x2 ? 25y2 = 100b. 9x2 ? 4y2 = 36c. 4x2 ? y2 = 16d. x2 ? 9y2 = 18e. 4y2 ? x2 = 8

f. 4y2 ? 9x2 = 3615. En los siguientes ejercicios encuentre la ecuacin de la hiprbola que satisface lascondiciones dadas. Trace su grfica y las asntotas.Centro en (0, 0); vrtice en (3, 0); foco en (5, 0).Centro en (0, 0); vrtice en (-1, 0); foco en (-3, 0).Centro en (0, 0); vrtice en (0, -1); foco en (0, -3).Centro en (0, 0); vrtice en (0, 3); foco en (0, 5).V1(-3, 2), V2(-3, -2); 2b = 6.F(-7, 3), F?(-1, 3); 2a = 4.V1(4, 0), V2(-4, 0); asntota la recta y = 2x.16. En cada uno de los ejercicios siguientes encuentre el centro, los focos, los vrtices y lasecuaciones de las asntotas de cada hiprbola. Trace la grfica correspondiente.


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17. Demuestre que la grfica de una ecuacin de la forma: Ax2 + Cy2 + F = 0; A 0, C 0, F

0 donde A y C son de signos opuestos, es una hiprbola con centro en (0, 0).18. Demuestre que la grfica de una ecuacin de la forma Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0; A 0, C 0, donde A y C son de signos opuestos:

a. Es una hiprbola si

b. Son dos rectas que se cortan si19. La excentricidad e de una hiprbola se define como el nmero e = c/a, donde c y a son losnmeros dados en las ecuaciones de la hiprbola. Como c > a, se deduce que e > 1. Describala forma general de una hiprbola cuya excentricidad es cercana a 1. Cul ser la forma si e

es muy grande?.20. Dos estaciones LORAN estn separadas 200 millas a lo largo de una costa recta:a. Un barco registra una diferencia de tiempo de 0.00038 seg. entre las seales LORAN.Establezca un sistema de coordenadas rectangulares para determinar donde alcanzar el barcola costa si sigue la trayectoria de la hiprbola correspondiente a esta diferencia de tiempo.b. Si el barco quiere entrar al puerto localizado entre las dos estaciones a 20 millas de laestacin central, Qu diferencia de tiempo est buscando?.c. Si el barco se encuentra a 50 millas mar adentro al obtener la diferencia de tiempo deseada,cul es la ubicacin exacta del barco? (Nota: la velocidad de cada seal de radio es de186.000 millas/seg.).21. En cada uno de los ejercicios siguientes identificar la curva que representa cada una de lasecuaciones dadas. Trazar la grfica con todos sus elementos:

a.b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

k.22. Formule una estrategia para analizar y trazar la grfica de una ecuacin de la forma: Ax2+ Cy2 + Dx + Ey + F = 0

Solucionario de redes[1]

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