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SOLUCIONARIO DE LA PRIMERA PRUEBA DE

SEGUNDO DE SECUNDARIA 01. Si a un número impar se le adiciona los tres números pares que le preceden y los dos

impares que le siguen, se obtiene 219. Calcule el número y dé como respuesta la suma de sus cifras.

a) 10(*) b) 9 c) 12 d) 8 e) 15

Resolución Designamos p : Número par i : Número impar

Sea x el número impar considerado, entonces

p p pip p i i i iImpares que le siguenPares que le preceden

x - 5 : : x - 3 : : x - 1 : x : : x + 2 : : x + 4

Del enunciado

( ) ( ) ( ) ( ) ( )x - 5 + x - 3 + x - 1 + x + x + 2 + x + 4 = 219

Efectuamos y resolvemos

6x - 3 = 219 6x = 222 x = 37⇒ ⇒

Siendo la suma de sus cifras 3 + 7 = 10.

Respuesta a 02. Sabiendo que

a + b a - ba # b = -

3 5

Calcule el valor de n en 10 # n = 12

a) 15 b) 12 c) 16 d) 8 e) 20 (*)

Resolución Siendo a = 10 b = n∧ , establecemos

10 + n 10 - n - = 123 5

Efectuamos

( ) ( )50 + 5n - 30 - 3n = 180 n = 20⇒

Respuesta e

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03. Una pareja de esposos dispone de una suma de dinero para ir al cine con sus hijos. Si compra entradas de S/.12 le faltaría S/.13, pero si compra de S/.10 le sobraría S/.3 ¿Cuántos hijos tienen? a) 9 b) 8 c) 6 (*) d) 10 e) 7

Resolución Sea n el número de asistentes al cine, si compran entradas de S/.12 les faltaría S/.13, entonces el dinero que tienen es 12n - 13 . Pero si compran entradas de S/.10 les sobra S/.3, entonces disponen de 10n + 3 . Como la cantidad de dinero es la misma en los dos casos, procedemos a igualar y efectuar

12n 13 = 10n + 3 2n = 16 n = 8− ⇒ ⇒ Debemos considerar que en los ocho asistentes están los esposos (2), entonces el número de hijos es 8 – 2 = 6.

Respuesta c

04. Se tiene ( ) x+2f x -1 = 8 ; ( ) x-1g x - 2 = 4 .Calcule ( )( )

f 9g 16

a) 16 b) 8 c) 32 d) 4 (*) e) 0,25

Resolución Establecemos

( ) ( ) + 3 + 1

x+2 x-1

f x 1 = 8 ; g x 2 = 4− −

Entonces

( ) ( )

( ) ( )

+ 3 + 1 9+3 16+1

12 17

f 9 = 8 ; g 16 = 4

f 9 = 8 ; g 16 = 4

Reemplazamos ( )( )

12

17f 9 8=

g 16 4

Como 8 y 4 son potencias de 2, expresamos las bases del numerador y denominador en función de 2 y efectuamos

( )( )

12312 36 217 17 342

28 2= = = 2 = 44 22

Respuesta d

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05. Si los conjuntosA, B y (A∪B) tienen 16; 8 y 32 subconjuntos de manera respectiva. ¿Cuántos subconjuntos tiene (A∩B)? a) 16 b) 2 c) 4 (*) d) 32 e) 8

Resolución Designamos

( ) ( ) ( )n A = a ; n B = b y n A B = c∪

Del enunciado

( )[ ] a a 4n A = 16 2 = 16 2 = 2 a = 4⇒ ⇒ ⇒P

( )[ ] b b 3n B = 8 2 = 8 2 = 2 b = 3⇒ ⇒ ⇒P

( )[ ] c c 5n A B = 32 2 = 32 2 = 2 c = 5∪ ⇒ ⇒ ⇒P

Empleamos diagramas de Venn.

( )n A = 4

( )n B = 3

( )n A B = 5∪

Si ( ) ( ) ( )n A B = 5 n A = 4 n B A = 1∪ ∧ ⇒ −

Como ( ) ( )n B = 3 n A B = 2⇒ ∩

Se concluye

( ) ( )[ ] ( )[ ]2n A B = 2 n A B = 2 n A B = 4∩ ⇒ ∩ ⇒ ∩P P

Respuesta c

A B

U

A B

1

U

A B

2 1

U

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06. El precio de un radio es de $ 80. Si compro n radios, me sobraría $ 120, pero si me

rebajan la quinta parte en el precio de cada uno, podría comprar cinco radios más y me sobraría $ 56. ¿Cuánto dinero tengo?

a) $ 1 200 b) $ 1 360 c) $ 1 280 d) $ 1 400 (*) e) $ 1 320

Resolución Si cada radio cuesta $ 80, en la compra de n radios gastaría $ 80n, y como me sobraría $ 120, tengo80n + 120 …(1)

Pero si me rebajan la quinta parte ($80/5 = $16) solo pagaría por cada uno $80 $16 = $64− y podría comprar ( )n + 5 radios y me sobrarían $ 56, entonces tengo

( )64 n + 5 + 56 …(2)

Igualamos las expresiones (1) y (2)

( )80n + 120 = 64 n + 5 + 56 Efectuamos

80n + 120 = 64n + 320 + 56 16n = 256 n = 16⇒ ⇒

Reemplazamos en la expresión (1) y resulta $80 ×16 + $120 = $1400

Respuesta d

07. Si Víctor le diera a Ernesto S/.30, los dos tendrían la misma cantidad, pero si Ernesto le diera a Víctor S/.30, éste tendría cuatro veces el dinero que le quedaría a Ernesto. ¿Cuánto dinero reúnen? a) S/.240 b) S/.180 c) S/.210 d) S/.200 (*) e) S/.150

Resolución Del enunciado: SiVíctor(V) le diera S/.30 a Ernesto(E) los dos tendrían igual cantidad de dinero, entonces Víctor tiene S/.60 más que Ernesto.

V: x + 60 ; E: x A su vez: Si Ernesto le diera a Víctor S/.30, tendrían

1

1

V : x + 60 V : x + 90 + 30E : x E : x - 30

Entonces ( 1V ) tendría cuatro veces el dinero que le quedaría a ( 1E ).

( )x + 90 = 4 x 30−

Efectuamos y resulta x + 90 = 4x 120 3x = 210 x = 70− ⇒ ⇒ Cada uno tiene V: S/.130 ∧ E: S/.70 Y juntos reúnen S/.130 + S/.70 = S/.200

Respuesta d

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08. Sean A y B dos subconjuntos tales que ( ) ( )n A + n B = 50 , ( )( )

n A 7= 3n B y

( ) ( )n A - B = 2n B . Calcule ( )n A B∪ .

a) 40 b) 41 c) 43 d) 45 (*) e) 48

Resolución Empleamos diagramas de Venn y designamos a, b, c y del número de elementos de cada conjunto. Del enunciado

( ) ( )n A + n B = 50 …(1)

Además

( )( )

( )( )

n A n A7 7x= =3 3xn B n B⇒ …(2)

Sustituimos (2) en (1), y obtenemos

7x + 3x = 50 x = 5⇒ …(3) Entonces ( )n A = 35 a + b = 35⇒ …(4)

( )n B = 15 b + c = 15⇒ …(5) Siendo ( ) ( ) ( )n A - B = 2n B a = 2 b + c⇒ …(6)

Reemplazamos (6) en (4) y efectuamos

( )2 b + c + b = 35 3b + 2c = 35⇒ …(7)

Multiplicando por 2 la expresión (5) 2b + 2c = 30 ...(8) Restamos (7) – (8) y resulta b = 5 , sustituimos en (4) y (5).

a + 5 = 35 a = 30⇒ 5 + c = 15 c = 10⇒

Luego ( )n A B = a + b + c∪

( )n A B = 45∴ ∪ Respuesta d

A B

a b c

U

d

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09. Se define

a + 8a = 2

si a es par ; a + 5a = 2

si a es impar

Calcule 6 15−

a) 6 b) 1− c) 4 d) 3− (*) e) 2

Resolución Siendo 6 un número par y 15 impar, aplicamos las reglas correspondientes

6 + 8 15 + 5 2 2

−

Se obtiene 7 – 10

Procedemos de igual manera 7 + 5 10 + 8 = 6 9 = 3

2 2− − −

Respuesta d

10. En un examen de 30 preguntas cada respuesta correcta vale 4 puntos, la incorrecta 1− punto y en blanco 0 puntos. Si un estudiante obtuvo 82 puntos y notó que por

cada respuesta en blanco tenía tres correctas. ¿Cuántas preguntas fueron respondidas de manera incorrecta? a) 10 b) 7 c) 11 d) 2 (*) e) 21

Resolución Si por cada respuesta en blanco (RB) hay tres correctas (RC) establecemos

RB : nRC : 3n

Como en total hay 30 preguntas el número de respuestas incorrectas (RI) es 30 4n− , es decir

RB : nRC : 3nRI : 30 4n−

Por respuesta correcta recibe 4 puntos, por incorrecta -1 y por las no respondidas 0, siendo 82 el puntaje total.

( ) ( )4 3n - 30 - 4n = 82 Efectuamos y resulta

12n - 30 + 4n = 82 16n = 112 n = 7⇒ ⇒ Siendo el número de respuestas incorrectas

30 - 4n = 30 - 4 × 7 = 2 Respuesta d

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11. En la figura ABCD es un trapecio donde BC = 24 cm . Calcule la longitud de la mediana.

a) 36 cm (*) b) 48 cm c) 12 2 cm d) 30 cm e) 24 3 cm

Resolución Por ser ángulos alternos

Establecemos ABCH es un rectángulo, donde AH = 24cm ACD es un triángulo isósceles, donde AH = HD = 24cm Siendo la mediana (m) la semisuma de las bases establecemos.

BC + AD 24 + 48m = m = m = 36cm2 2

⇒ ⇒

Respuesta a

12. Sabiendo que 1 + 2 + 3 + . . . + ab = 2485 Calcule a + b.

a) 9 b) 14 c) 12 d) 15 e) 7 (*) Resolución Designamos ab = n

1 + 2 + 3 + . . . + n = 2485 Aplicamos la fórmula correspondiente (suma de los n primeros números naturales ∗

) en el primer miembro

( )n n+1= 2485

2

Efectuamos y resulta ( )n n + 1 = 4970 n = 70⇒

Como n = ab , igualamos ab = 70 a + b = 7⇒

Respuesta e

A

B C

D

α

α

A

B C

D

α

α

24

α 24 cm 24 cm H

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13. Sabiendo que N × 3 = . . . 804N × 2 = . . . 536

Calcule la suma de las tres últimas cifras de N × 14 .

a) 13 b) 17 c) 11 d) 14 (*) e) 12

Resolución Multiplicamos la primera expresión por 2 y la segunda por 4.

( ) ( )N × 3 = ...804 N × 3 × 2 = ...804 × 2⇒ …(1)

( ) ( )N × 2 = ...536 N × 2 × 4 = ...536 × 4⇒ …(2)

Resulta N × 6 = ...608

N × 8 = ...144 Sumamos miembro a miembro las dos expresiones, y obtenemos

N × 14 = ...752 Siendo la suma de las tres últimas cifras 7 + 5 + 2 = 14.

Respuesta d

14. A una hoja de papel de 28 cm por 16 cm, se le recorta en cada esquina cuadrados iguales, de modo que el área final es 432 cm2. ¿Cuánto mide el lado de los cuadrados recortados? a) 1 cm b) 1,5 cm c) 2 cm (*) d) 2,5 cm e)1,25 cm Resolución Graficamos

Sea la medida de cada lado recortado de las esquinas, entonces el área de uno de ellos es 2

, pero como son 4, el área recortada es 24 y planteamos 228 × 16 - 4 = 432

Simplificamos, efectuamos y resulta 2 2 228 × 4 - = 108 112 - = 108 = 4 = 2cm⇒ ⇒ ⇒

Respuesta c

28cm

16cm

fig. 1

fig.2

28cm

16cm

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15. En la figura ABC es un triángulo isósceles, donde AB = BC. Si DEF es un triángulo equilátero, la relación correcta entre a, b y c es

a) b - ca =2

b)a - b - c = 0 c) a - cb =2

d) b + ca =2

(*) e) a + cb =2

Resolución

En el triángulo ADE por ser ángulo exterior. a + θ = b + 60º …(1)

En el triángulo EFC por ser ángulo exterior

c + θ = a + 60º …(2)

Restamos miembro a miembro las expresiones (1) y (2)

a - c = b - a Entonces

b + c2a = b + c a =2

⇒

Respuesta d

A E C

F

c

B

D b

a

A E C

F

c

B

D b

a

60º

θ

A E C

F

c D b

a

60º θ θ

B

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16. Sentadas alrededor de una mesa circular se encuentran cuatro amigas: Rosa, Lucia, Esther y María. Sabiendo que − Rosa no está sentada a la derecha de María. − Entre Lucía y Esther está sentada Rosa. − Esther no está sentada a la izquierda de Rosa.

¿Quién está sentada a la derecha de María?

a) Esther y Lucía b) Lucía (*) c) Esther o Lucía d) Esther e) Nadie

Resolución Graficamos la ubicación frente a la mesa de los cuatro amigas.

Si Rosa (R) no está sentada a la derecha de María (M) se presentan dos casos, frente o a la izquierda. Si entre Lucía y Esther se sienta Rosa, el segundo caso no es posible, pero el caso 1 a su vez tiene dos opciones. Como Esther (E) no está a la izquierda de Rosa (R) el caso 4 es el correcto. A su vez la persona que está sentada a la derecha de María (M) es Lucía (L).

Respuesta b

M R

Caso 3

L

E

E

L

M R

Caso 4

M R

Caso 1

M

Caso 2

R

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17. Efectúe 3 3 4

2 3 3 2216 × 50 × 20 × 640 × 30 × 12 × 36

a) 144 b) 30 c) 54 (*) d) 12 e) 72

Resolución Procedemos a expresar cada número en sus factores primos

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

3 3 43 3 2 2

2 3 233 2 2 2

2 × 3 2 × 5 2 × 5 2 × 3

2 × 5 2 × 3 × 5 2 × 3 2 × 3

Como ( )n n na × b = a × b , el caso anterior indica que el exponente eleva a la potencia respectiva a cada uno de los factores.

9 9 2 6 3 4 4

6 2 3 3 3 6 3 4 42 × 3 × 2 × 5 × 2 × 5 × 2 × 3

2 × 5 × 2 × 3 × 5 × 2 × 3 × 2 × 3

Sabemos que m n m+na × a = a es decir cuando multiplicamos bases iguales los exponentes se suman.

20 13 5

19 10 52 × 3 × 52 × 3 × 5

A su vez n m-nn

a = aa

, nos indica que en la división de bases iguales los exponentes se

restan, y resulta 32 × 3 = 2 × 27 = 54 Respuesta c

18. Sabiendo que 23a # b = a + b . Calcule ( ) ( )3 # 2 - 2 # 3

a) 16 b) 18 c) 12 d) 46 (*) e) 20

Resolución Procedemos a darle a cada expresión la forma respectiva.

3 33 # 2 = a # b 3 # 2 = 9 # 8⇒ 332 # 3 = a # b 2 # 3 = 4 # 27⇒

Reemplazamos y resulta.

( ) ( ) ( ) ( )333 # 2 - 2 # 3 = 9 # 8 - 4 # 27

Como 23a # b = a + b , establecemos

( ) ( ) ( ) ( )2 2339 # 8 - 4 # 27 = 9 + 8 - 4 + 27

Efectuamos y obtenemos ( ) ( )81+ 8 - 16 + 27 = 89 - 43 = 46 Respuesta d

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19. Indique la figura que continúa en la siguiente sucesión.

a) b) c) d) e) Resolución Designamos a las franjas ( f) de la parte superior a la inferior f1, f2, f3 y f4. Cada figura sucesiva tiene una franja menos, se da la vuelta y va alternando los colores de los círculos, por lo tanto continúa.

Respuesta d

20. Un número comprendido entre 200 y 300 es tal que leído de izquierda a derecha es el doble del número que le sigue al inicial. Calcule el número y dé como respuesta la suma de sus cifras.

a) 16 b) 14 c) 19 d) 15 e) 17 Resolución

Sea el número2ab , del enunciado ( )ba2 = 2 2ab + 1 .

Cuando descomponemos polinómicamente

( )100b + 10a + 2 = 2 200 + 10a + b + 1

Efectuamos y se obtiene

98b = 10a + 400 98b = a0 + 400⇒ Como al operar en el segundo miembro el resultado termina en cero, los valores son

b = 5 a = 9∧ , siendo el número2ab = 295, y la suma de sus cifras 2 + 9 + 5 = 16 Respuesta a

Franja 4

Franja 1 Franja 2

Franja 3 . . .

. . .