i

SOlU

ciO

NA

riO

nÚmeros y cáLcuLo

prueba 1. Todos al tren

1 1 punto por c); 0 puntos en otro caso.2 En Villalimpia han quedado 47 – 13 + 8 = 42 pasajeros, en

Villafuerte 42 – 18 + 9 = 33 pasajeros y en Villajusta 33 –– 7 + 4 = 30 pasajeros, que son los que llegarán a Santa Bárbara. 1 punto por la solución correcta con las opera-ciones; 0,5 puntos por la solución sin las operaciones o si los cálculos están bien, pero no la solución final; 0 puntos en otro caso.

3 50 min = 49 min 60 s; 49 min 60 s – 2 min 43 s = 47 min 17 s. 1 punto por la solución correcta con las operacio-nes; 0,5 puntos por la solución sin las operaciones o si aparece la resta quitando 1 min a los 50 min para pasar-lo a segundos, pero después la operación es incorrecta;

0 puntos en otro caso.4 Ir y volver 2 veces son 4 viajes: 102 min · 4 = 408 min.

Como descansa 20 min: 408 min + 20 min = 428 min = = 7 h 8 min. Si comienza a las 8.00 a. m., terminará a las 8 h + 7 h 8 min = 15 h 8 min. (o 3.08 p. m.). 1 punto por la solución correcta con las operaciones; 0,5 puntos por la solución sin las operaciones, si se indica bien la suma de trayectos pero faltan los 20 min de descanso o si no se ha calculado la hora en que acaba la jornada del maquinis-ta; 0 puntos en otro caso.

5

1 punto por la tabla completa; 0,5 puntos si contiene un error como máximo; 0 puntos en otro caso.

6 1 punto por b); 0 puntos en otro caso.7 Sin bono, cada trayecto cuesta 15 · 2,50 = 37,50 pisas.

La ida y la vuelta son 37,50 · 2 = 75 pisas. Como son 15 personas (15 · 2 = 30 viajes), necesitan comprar 30 : 10 = = 3 bonos, que costarían 20 · 3 = 60 pisas. Si fueran en días distintos, necesitarían 4 bonos, que son 20 · 4 = = 80 pisas. Por lo tanto, los bonos solo son útiles si la ida y la vuelta tienen lugar en el mismo día. 1 punto por la so-lución correcta; 0,50 puntos si se razona pero sin el matiz de si es o no en el mismo día; 0 puntos en otro caso.

8 no llega a un bocadillo. Como tenía

dos, no se comió ni la mitad de lo que llevaba. No se co-mió la mitad de uno ni la mitad de otro. 1 punto por la solución bien razonada; 0,5 puntos por la solución sin razonar o mal razonada; 0 puntos en otro caso.

9 Como se gastó 5 pisas en transporte, le quedaron 50 – 5 = = 45 pisas. De estas, la mitad, 45 : 2 = 22,50 pisas, se las gastó en regalos; y 15 pisas en la entrada. Por lo tanto, regresó con 45 – 22,50 – 15 = 7,50 pisas. 1 punto por la solución y las operaciones; 0,50 puntos por la solución sin las operaciones o si las operaciones están bien plan-teadas, pero hay algún error; 0 puntos en otro caso.

10 Le duraría infinitos días, nunca se le acabaría. 1 punto por la solución razonada; 0 puntos en otro caso.

prueba 2. Tienes un correo electrónico

1 1 punto por a), b) y d); 0,5 puntos si se señalan dos de las tres opciones correctas y no se señala c); 0 puntos en otro caso.

2 1,07 · 1014 : 365 = 2,93 · 1011 correos. 1 punto por la so-lución correcta con las operaciones; 0,5 puntos por las operaciones si el resultado es incorrecto; 0 puntos en otro caso.

3

correos

1 punto si se indica la solución utilizando una potencia de base 10; 0,5 puntos por la solución sin utilizar la po-tencia de base 10 correcta; 0 puntos en otro caso.

4

Aproximadamente una cuarta parte eran nuevos usua-rios. 1 punto por la solución razonada; 0,5 puntos por la solución sin razonar; 0 puntos en otro caso.

5

millones de cuentas

Es decir, 2 900 000 000 = 2,9 · 109 cuentas. 1 punto por la solución correctamente expresada; 0,5 puntos por una solución válida expresada de otra forma; 0 puntos en otro caso.

6 La respuesta es abierta, si bien lo más apropiado es un diagrama de árbol. Partiendo de Marta tenemos 8 ramas. De estas, 4 se vuelven a ramificar en 8. De las 32 ramas resultantes, 16 se vuelven a ramificar en 8. 1 punto si la representación es correcta; 0,5 puntos si la representa-ción tiene algún fallo; 0 puntos en otro caso.

7 Día 0: 1 (Marta). Primer día: 8. Segundo día: (8 : 2) · 8 == 32. Tercer día: (32 : 2) · 8 = 128. Luego lo conocen: 128 + 32 + 8 + 1 = 169 chicas (también vale 168 si no se cuenta a Marta). 1 punto por la solución correcta; 0,5 puntos si hay algún error; 0 puntos en otro caso.

8 Hora 0: reciben la foto 12 chicas. Al cabo de 1 h: 122. Al cabo de 2 h: 123… Al cabo de 8 h: 129 chicas. La foto la recibieron 12 + 122 + ... + 129 chicas. 1 punto por la solución correcta; 0,5 puntos si se responde 128 chicas; 0 puntos en otro caso.

9 La cuarta parte de lo que quedaba es de , que es

. Si en 10 min borra , en 20 min borra .

Por lo tanto, va igual de rápido. 1 punto por la solución razonada; 0,5 puntos por la solución sin razonar; 0 pun-tos en otro caso.

10 Respuesta abierta. Puede servir «abrir únicamente los mensajes cuya procedencia conozca». 1 punto por una estrategia con sentido; 0,5 puntos por una estrategia cualquiera; 0 puntos en otro caso.

precio (pisas)

Tiempo (min)

santa bárbara 0 0

villajusta 0,50 10

villafuerte 0,75 15

villalimpia 1,25 25

villanueva 2,50 50

2

ii

SOlU

ciO

NA

riO

prueba 3. La tarta de chocolate

1 1 punto por a); 0 puntos en otro caso.2 Tiene razón Mónica, ya que 100 g constituirían el 10%

o más de la tarta y se trata solo de un condimento para dar sabor. 1 punto por indicar que Mónica tiene razón y argumentarlo correctamente; 0,5 puntos por decir que Mónica tiene razón; 0 puntos en otro caso.

3 Paso 1: se llena el recipiente mediano y se vierte en el vaso grande. Paso 2: se vuelve a llenar el recipiente mediano. Ahora los dos vasos contienen 150 g. Paso 3: se echa harina del recipiente mediano al recipiente gran-de hasta que se llegue a la marca de 250 g. De esta forma, se han pasado 100 g del mediano al grande y ahora hay 250 g en el recipiente grande y 50 g en el mediano. Paso 4: se vacía el recipiente grande y se echan los 50 g del mediano en el grande. Paso 5: se llena el recipiente me-diano y se vuelca en el grande. 1 punto si el razonamien-to es correcto; 0,5 puntos si se consiguen 200 g pero hay un error en algún paso; 0 puntos en otro caso.

4 La cuarta parte de medio kilogramo (500 g) es 500 : 4 == 125 g. Como en una tarta se utilizan 50 g, hay suficiente cacao para cocinar dos tartas. 1 punto si se indica que hay cacao suficiente y se justifica con el cálculo; 0,5 pun-tos si se indica que hay cacao suficiente pero no se justi-fica; 0 puntos en otro caso.

5 Un lado del molde cuadrado mide cm. El mol- de redondo tiene un diámetro de 12 · 2 = 24 cm. Les con-viene utilizar el redondo, pues es un poco más estrecho. 1 punto por la solución razonada; 0,5 puntos por la solu-ción sin razonar; 0 puntos en otro caso.

6 Se puede decir que el horno se enfriará cuando llegue de nuevo a los 20 ºC, de modo que la temperatura debe des-cender 160 – 20 = 140 ºC. Dividiendo 140 : 15 = 9,33 ºC, lo que multiplicado por los minutos da como resulta-do 9,33 · 3 = 28 min. 1 punto por la solución razonada; 0,5 puntos por la solución sin razonar o con las operacio-nes pero con un error al final; 0 puntos en otro caso.

7 Como , se necesitan 6 tartas: 5 tartas se comen

enteras y de la sexta se comen . Sobran , que es .

Tiene razón Mónica. 1 punto por la solución razonada; 0,5 puntos por la solución sin razonar; 0 puntos en otro caso.

8 Harán falta 200 · 100 000 = 20 000 000 g = 20 000 kg = 20 t de harina y 25 t de azúcar. 1 punto por la solución con las operaciones; 0,5 puntos por la solución sin las operacio-nes; 0 puntos en otro caso.

9 1 punto por b), c) y d); 0,5 puntos por dos respuestas correctas si no se señala a); 0 puntos en otro caso.

10 Se puede ir probando con el número de amistades. Para 5 amigos sería: Isabel y Mónica dan 5 abrazos cada una, lo que suma 10 abrazos. Los amigos entre sí se darían 4 + 3 + 2 + 1 = 10 abrazos, por lo tanto, la solución es 5 amigos. 1 punto por la solución razonada; 0,5 puntos por la solución sin razonar; 0 puntos en otro caso.

áLGebra y funciones

prueba 4. La balanza

1 1 punto por a); 0 puntos en otro caso.2 1 punto por b); 0 puntos en otro caso.3 Sí es posible, colocando en un platillo el medicamento

y 1 mg, y en el otro platillo 5 mg.

1 punto por la solución con el dibujo; 0,5 puntos por la solución sin dibujo; 0 puntos en otro caso.

4

mg

1 punto por la ecuación y la solución; 0,5 puntos por la ecuación o la solución; 0 puntos en otro caso.

5 Sí es posible comprobar que un medicamento pesa un número decimal no entero. Por ejemplo, con 3 pas-tillas que pesaran 10 mg, el peso de cada pastilla sería

g, que es un decimal periódico puro. 1 punto por

la solución razonada (basta con un ejemplo); 0,5 puntos por un ejemplo de peso no entero; 0 puntos en otro caso.

6 Se puede plantear en forma de sistema, , pero

no es obligatorio. El medicamento cuadrado pesa 3 mg y el redondo, 2 mg. 1 punto por la solución completa; 0,5 puntos por la masa de uno de los dos medicamentos; 0 puntos en otro caso.

7 Se puede decir que una pastilla blanca pesa tanto como tres rojas, pero no se pueden dar cifras concretas, ya que no hay datos suficientes. 1 punto si se indica que no se pueden calcular los pesos y el porqué; 0,5 puntos si se indica que no se pueden calcular sin razonar; 0 pun-tos en otro caso.

8 Dos sobres y dos pastillas iguales a los primeros deberían pesar el doble. O bien Andrés tomó dos sobres distintos o bien ha pesado mal. 1 punto por la respuesta razonada; 0,5 puntos por la respuesta sin razonar; 0 puntos en otro caso.

9 Sí es posible. Pesada 1: se ponen tres pastillas en un pla-tillo y tres en otro. Si algún platillo pesa menos, se se-leccionan esas tres; si pesan igual, se seleccionan las tres que no están en la balanza. Pesada 2: de las tres pastillas seleccionadas, se pone una en un platillo y otra en el otro platillo. Si alguna pesa menos, es esa; si pesan igual, es la que no está en la balanza. 1 punto por la solución correc-ta y bien razonada; 0 puntos en otro caso.

10 Es posible poniendo, por ejemplo, 2 aspirinas y 1 mg en un platillo y dos pesas de 10 mg y una de 5 mg en el otro platillo, lo que sería 2x + 1 = 25 2x = 24. 1 pun-to si se indica que es posible y se razona correctamente; 0,5 puntos si se indica que es posible sin razonar; 0 pun-tos en otro caso.

x −16 = 3⋅162→ x = 40

5 mg

1 mg

iii

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prueba 5. Manolito, el rey de las fi nanzas

1 1 punto por b); 0 puntos en otro caso.2 Si se hace por edades: 15 + 10 + 5 = 30; como 45 : 30 =

= 1,5 pisas/año, a Manolito le corresponderían 15 · 1,5 = = 22,5 pisas. Si se hace por diferencia de edades: 10 + 5 ++ 0 = 15; como 45 : 15 = 3 pisas/año, a Manolito le co-rresponderían 10 · 3 = 30 pisas. 1 punto por el cálculo de las dos pagas; 0,5 puntos por el cálculo de una paga; 0 puntos en otro caso.

3 O están mal las unidades del eje x, «años», o están mal las unidades del eje y, «pisas».1 punto si se indica bien el error; 0 puntos en otro caso.

4 1 punto por c); 0 puntos en otro caso.5

pisas

1 punto por la ecuación y la solución; 0,5 puntos por la ecuación o la solución; 0 puntos en otro caso.

6 1.ª: 30 + x = 20 x = –10. 2.ª: 89 + x = 125 x = 36. 1 punto por las dos ecuaciones con solución; 0,5 puntos por una ecuación con solución; 0 puntos en otro caso.

7

1 punto por el gráfico correcto; 0,5 puntos por el gráfico con dos fallos como máximo; 0 puntos en otro caso.

8 Tal y como aparecen anotadas las salidas (donde se usan números negativos), la afirmación no es correcta. Lo co-rrecto sería decir: «La suma de las entradas más la suma de las salidas es el dinero que tengo».1 punto por la res-puesta correcta razonada; 0,5 puntos por la respuesta sin razonar; 0 puntos en otro caso.

9 Para que apareciera un número negativo haría falta que Manolito gastara más de lo que tiene o que gastara lo que no tiene. Esto podría ocurrir, por ejemplo, si pidiera prestado y los intereses superaran el dinero que posee. 1 punto por la respuesta razonada; 0,5 puntos por la res-puesta sin razonar; 0 puntos en otro caso.

10 Las cantidades a devolver y los plazos son los mismos en los dos bancos, luego no hay diferencias. 1 punto por la respuesta correcta; 0 puntos en otro caso.

prueba 6. Visitas al blog

1 1 punto por c); 0 puntos en otro caso.2 (7, 1 400). 1 punto por las dos coordenadas entre parén-

tesis; 0,5 puntos por la cifra 1 400; 0 puntos en otro caso.3 En el intervalo (7, 10) la función decrece; en el intervalo

(10, 12) la función es constante. 1 punto por los dos in-tervalos (indicados con paréntesis o escritos con letras) y lo que sucede en ellos; 0,5 puntos por solo uno de los intervalos; 0 puntos en otro caso.

4 Si hubiera seguido a razón de 200 visitas más cada día, hubiera llegado a las 2 800. También se podría decir que, una vez llegado a cierto número menor de 2 800, se man-tendría constante. 1 punto por un pronóstico razonado; 0,5 puntos por un pronóstico sin razonar; 0 puntos en otro caso.

5 En la primera semana se lograron 1 400 visitas, mientras que en la segunda hubo 2 000. El crecimiento en la pri-mera semana fue continuo, mientras que en la segunda, primero hubo un descenso, después se mantuvo cons-tante en 900 visitas y, por último, hubo un gran ascenso (600 visitas más al día). Parece aconsejable, para aumen-tar el número de visitas, seguir centrándose en el depor-te nacional porque tiene un crecimiento «más rápido». 1 punto por la comparación y el consejo; 0,5 puntos por la comparación o el consejo; 0 puntos en otro caso.

6 Primera semana: 200 visitas al día. Finales de la segunda semana: 600 visitas al día. 1 punto por las dos respuestas; 0,5 puntos por una respuesta; 0 puntos en otro caso.

7 Respuesta abierta. Por ejemplo: al cambiar las noticias de deportes locales a nacionales, las personas a las que solo les interesaban las noticias locales dejaron de leer su blog. 1 punto por una respuesta razonada; 0,5 pun-tos por una respuesta poco razonable; 0 puntos en otro caso.

8 Le faltan 8 000 visitas y como su número aumenta a ra-zón de 600 visitas al día: 8 000 : 600 = 13,3 días. 1 punto por la solución y la operación; 0,5 puntos por la solución sin la operación; 0 puntos en otro caso.

9

1 punto por el gráfico correcto; 0,5 puntos por el gráfico con dos errores como máximo; 0 puntos en otro caso.

10

1 punto por la tabla completa; 0,5 puntos si contiene dos errores como máximo; 0 puntos en otro caso.

GeomeTrÍa

prueba 7. ¿Jugamos al tangram?

1 1 punto por b) y d) 0,5 puntos por b) o d); 0 puntos en otro caso.

2 Utilizando el teorema de Pitágoras, la diagonal del tan-gram es:

cm

Por lo tanto, los lados iguales del triángulo grande miden:

cm

El perímetro es:

cm

1 punto por obtener el resultado final; 0,5 puntos si se calcula uno de los lados iguales; 0 puntos en otro caso.

3 Cada triángulo grande es la cuarta parte del tangram,

x −16 = 3⋅162→ x = 40 x −16 = 3⋅

162→ x = 40

d= 302+302→d=30 2

din

ero

(pis

as)

01 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

604020

80100

140120 vi

sita

s

día

01 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

600400200

8001 000

1 4001 200

meses

din

ero

(pis

as)

día (x) 0 1 2 3 4

visitas (y) 0 200 400 600 800

día (x) 5 6 7 8 9

visitas (y) 1 000 1 200 1 400 1 300 1 200

día (x) 10 11 12 13 14

visitas (y) 1 100 1 000 900 800 700

iV

prueba 8. El deporte rey en miniatura

1 1 punto por b); 0 puntos en otro caso.2 El lateral del campo cumple esa escala, ya que:

Para obtener la medida del otro lado, se tiene que resolver:

Debe medir 150 × 80 cm. 1 punto por la solución correc-ta con las operaciones; 0,5 puntos por las operaciones si hay un error en el resultado o por el resultado sin las operaciones; 0 puntos en otro caso.

3 Esther tiene razón. Las escalas mantienen los perímetros multiplicados por el valor absoluto de la razón (en este caso 80). Además, considerando que el área de la porte-ría es un rectángulo, hay que tener en cuenta la siguiente relación (LG = lado grande, LP = lado pequeño, P = perí-metro, A = área, CR = campo real, FC = fútbol chapas):

LGCR

= 80 · LGFC

y LPCR

= 80 · LPFC

PCR

= 2 · LDCR

+ 2 · LPCR

= 2 · 80 · LGFC

+ 2 · 80 · LPFC

=

= 80(2 · LGFC

+ 2 · LPFC) = 80 · P

FC

1 punto por la solución utilizando uno de los dos razo-namientos y las operaciones; 0,5 puntos por la solución sin utilizar ninguno de los dos razonamientos; 0 puntos en otro caso.

4 El área del campo grande es 802 = 6 400 veces la del pe-queño, pues las superficies se multiplican por el cuadra-do de la razón de proporcionalidad:

ACR

= LGCR

· LPCR

= (80 · LGFC) · (80 · LP

FC) =

= 802 · LGFC

· LPFC

= 802 · AFC

1 punto por la solución razonada; 0,5 puntos por la solu-ción sin razonar; 0 puntos en otro caso.

5 Se marca un punto arbitrario O y se trazan rectas que pasen por ese punto y por puntos determinantes de la fi-gura. Como se pide el triple de la figura original, se debe cumplir que: , , ,, ,

y .

1 punto por el dibujo con algún razonamiento; 0,5 pun-tos por el dibujo sin razonar; 0 puntos en otro caso.

6 El perímetro P del centro del campo es .

Sabiendo que el perímetro P de la circunferencia es

, se aplica la fórmula del área A

del círculo:

1 punto por las dos soluciones; 0,5 puntos por una solu-ción; 0 puntos en otro caso.

7 Se tiene que aplicar el teorema de Tales. Según el di-bujo, basta con determinar si los segmentos marcados

con las medidas son proporcionales: .

A=π r 2 =π ⋅102

π 2=

100π

cm2

SOlU

ciO

NA

riO

1 punto por el razonamiento correcto; 0,5 puntos por otro razonamiento más complejo; 0 puntos en otro caso.

4 En cada uno de los dos triángulos pequeños hay un án-gulo recto. En ambos, junto al cuadrado, aparece unángulo que, por ser ángulo suplementario de uno recto (el del cuadrado), es también recto. Por ser isósceles, los otros dos lados serán iguales y medirán (180 – 90) : 2 = 45º cada uno. Luego los ángulos son 90º, 45º y 45º. 1 punto por todos los ángulos y el razonamiento; 0,5 puntos por indicar que hay uno de 90º y otro de 45º; 0 puntos en otro caso.

5 Los tres triángulos son semejantes, ya que son isósce-les y tienen un ángulo recto. 1 punto por la respuesta correcta; 0,5 puntos por indicar que hay una relación de semejanza; 0 puntos en otro caso.

6 En el vértice inferior izquierdo aparece un ángulo que es de 45º, por ser la mitad de uno de 90º, el correspondiente a la esquina. El vértice opuesto también será de 45º. Los otros dos ángulos son iguales, ya que están formados por las paralelas del romboide; y los cuatro ángulos, al tratarse de un cuadrilátero, deben sumar 360º. Por tanto, hay dos ángulos de 45º y otros dos ángulos de [360 – (45 · 2)] : 2 == 135º. 1 punto por enumerar todos los ángulos; 0,5 pun-tos por indicar el de 45º o el de 135º; 0 puntos en otro caso.

7 El triángulo pequeño mide la mitad que el cuadrado (pues los triángulos pequeños son isósceles rectángulos y los lados iguales miden lo mismo que el cuadrado), y el romboide mide lo mismo que el cuadrado (pues el rom-boide y el triángulo pequeño ocupan la misma área que el cuadrado y el triángulo pequeño). 1 punto si se reco-nocen las dos relaciones y se razonan; 0,5 puntos si solo se reconoce una relación o si no se razonan; 0 puntos en otro caso.

8

1 punto por las dos figuras; 0,5 puntos por una figura; 0 puntos en otro caso.

9 Respuesta abierta. Por ejemplo:

1 punto por obtener un triángulo con todas las piezas; 0,5 puntos si se obtiene una aproximación; 0 puntos en otro caso.

10

1 punto si se obtiene el dibujo del gallo; 0,5 puntos si hay algún error; 0 puntos en otro caso.

P =2π r =20→ r =10π

cm

3128

=38

34,5=1,10

A

A’

BB’

C C’D

D’E

E’

F

F’

O

π πππ

ππ

V

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riO

Los segmentos son proporcionales y, por tanto, las rectas generadas por la vertical del soporte, la botella y la pared son paralelas, por lo que la columna es vertical. 1 punto por la solución con algún razonamiento o cálculo; 0,5 puntos por la solución sin razonar; 0 puntos en otro caso.

8 Como no se indica la altura a la que está la lámpara ni la longitud del haz de luz desde que sale de la lámpara hasta que toca el campo (es decir, el cateto del triángu-lo), no se puede resolver la cuestión. 1 punto por indicar razonadamente que no se puede saber; 0,5 puntos por indicar solo que no se puede saber; 0 puntos en otro caso.

9 Las respuestas pueden ser muy variadas, mientras justifi-quen que las chapas no se moverán. Las más adecuadas son: un recipiente cilíndrico, con una base igual a la su-perficie de una chapa; o un prisma cuadrangular, cuya base tenga de lado el diámetro de una chapa. 1 punto por justificar un recipiente válido; 0,5 puntos por un reci-piente sin justificar; 0 puntos en otro caso.

10 Tendrá forma de ortoedro, con una base rectangular de 80 × 75 cm. Respecto a la altura, se considerará correcto cualquier valor razonable.

1 punto por indicar las dimensiones mínimas y un dibu-jo; 0,5 puntos por las dimensiones mínimas o un dibujo; 0 puntos en otro caso.

prueba 9. La urbanización

1 Se debe medir la distancia x entre A y A' (2 cm). La escala se obtiene realizando el cálculo:

1 punto por d); 0 puntos en otro caso.2 En la zona 1, pues las otras están muy cerca del río.

1 punto por la solución razonada; 0,5 puntos por la solu-ción sin razonar; 0 puntos en otro caso.

3 Si la razón de semejanza es 1/5000, 1 cm en el mapa su-ponen 5000 cm (50 m) en la realidad:

4 a)

b) Aunque un triángulo no esté dentro del otro, sí se puede usar el teorema de Tales, al tratarse de triángulos rectángulos semejantes. 1 punto por el esquema y la jus-tificación; 0,5 puntos por el esquema o la justificación; 0 puntos en otro caso.

5 Es un cono que se genera haciendo girar un triángulo rectángulo alrededor de un cateto que sirve de eje.

1 punto por el nombre de la figura y su desarrollo; 0,5 pun-tos por el nombre de la figura o el desarrollo; 0 puntos en otro caso.

6 Se trata de un cubo o hexaedro. Número de caras = 6 (de las cuales, 1 estaría en el suelo); número de vértices =

= 8 (de los cuales, 4 estarían en el suelo); número de aris-tas = 12 (de las cuales, 4 estarían en el suelo). 1 punto por la respuesta completa; 0,5 puntos por dar al menos la mitad de los datos; 0 puntos en otro caso.

7 Siendo el lado l de las aristas: 12 × l 12 × 5 = 60 m; área: 6 × l × l 6 × 5 × 5 = 150 m2; volumen: l × l ×× l 5 × 5 × 5 = 125 m3. 1 punto por la respuesta co-rrecta; 0,5 puntos si hay un error como máximo; 0 puntos en otro caso.

8 1 punto por a), b) y c); 0,5 puntos si hay un error; 0 puntos en otro caso.

9 Si el coste de una casa es 4 · 25, el coste de 10 casas es 10(4 · 25) = 1 000 pisas. Se pretende cobrar 1 250 – 1 000 == 250 pisas de más. 1 punto por la solución razonada; 0,5 puntos por la solución sin razonar; 0 puntos en otro caso.

10 Un ejemplo podría ser el siguiente, constituido por una esfera y un cono:

1 punto por diseñar un edificio correcto e indicar los nombres de las figuras; 0,5 puntos por un edificio con una única figura (poliedro o superficie de revolución) y su nombre; 0 puntos en otro caso.

esTadÍsTica y probabiLidad

prueba 10. Las compañías telefónicas

1 a) Población: todos los hogares de su ciudad; muestra: 50 hogares. b) Cuantitativo: tiempo que se consume a diario hablando por teléfono o conectándose a Inter-net; cualitativo: compañías telefónicas más solicitadas. 1 punto por contestar correctamente los dos apartados; 0,5 puntos por contestar correctamente un apartado; 0 puntos en otro caso.

2 Respuesta abierta, como por ejemplo, discreta: «¿Cuán-tos móviles hay en casa?», o continua: «¿Cuántas horas hablas de media al día?». 1 punto por dos ejemplos co-rrectos; 0,5 puntos por un ejemplo correcto; 0 puntos en otro caso.

1cm5000 cm

=x cm

500000 cm→ x =

5000005000

→ x =100 cm→1 m

2 cm5km

=2 cm

500000 cm=

1cm250000 cm

→1:250000

10 cm

75 cm

80 cm

h

y x

d

r

esfera y un cono:

Vi

SOlU

ciO

NA

riO

3

1 punto por la tabla totalmente correcta; 0,5 puntos si contiene un error como máximo; 0 puntos en otro caso.

4 Está en lo cierto, pero debe matizarse que Aphone ob-tiene el mismo número de respuestas que Movimoon. La muestra es bimodal. 1 punto por la respuesta correcta con la matización; 0,5 puntos si se responde afirmativa-mente, pero sin matizar ni razonar; 0 puntos en otro caso.

5 Se puede decir que sí, ya que la mayoría de líneas perte-nece a dos compañías, Movimoon y Aphone, lo mismo que los datos recogidos en nuestra encuesta. Cabe men-cionar que Lemon parece empezar a formar parte de este monopolio de compañías. 1 punto por la respuesta razonada; 0,5 puntos por la respuesta sin razonar; 0 pun-tos en otro caso.

6

1 punto por la tabla completa con un error como máxi-mo; 0,5 puntos si contiene tres errores como máximo; 0 puntos en otro caso.

7 Cuatro personas, lo que se corresponde con la frecuencia absoluta de la clase [150, 180). 1 punto por la solución justificada; 0,5 puntos por la solución sin justificar; 0 pun-tos en otro caso.

8 21 personas. Este dato se corresponde con la suma de las frecuencias absolutas de la clase [90, 120) hasta la clase [210, 240). También se obtiene este resultado en cuanto al número total de observaciones, aquellas cuyas llamadas han estado comprendidas entre 0 y menos de 90 minutos: 50 – 29 = 21 personas. 1 punto por la solu-ción justificada; 0,5 puntos por la solución sin justificar; 0 puntos en otro caso.

9 Sí es posible. Este valor se obtiene como resultado de la suma de las marcas de clase, según sus frecuencias abso-lutas, dividida por el número total de observaciones uti-lizando la marca de clase, de donde se obtiene 91,2 min. También es válido calcular la media utilizando los datos del problema. 1 punto por la respuesta justificada; 0,5 puntos por la respuesta sin justificar; 0 puntos en otro caso.

10

1 punto por el histograma con todos los datos; 0,5 pun-tos si contiene algún error; 0 puntos en otro caso.

prueba 11. En la tienda de ropa

1 1 punto por b); 0 puntos en otro caso.2

Hay 6 posibilidades. 1 punto por la respuesta correcta y el diagrama; 0,5 puntos por la respuesta o el diagrama; 0 puntos en otro caso.

3

1 punto por el diagrama de sectores y los porcentajes; 0,5 puntos por el diagrama o los porcentajes; 0 puntos en otro caso.

4 Hay dos prendas blancas de ocho, luego la probabilidad es:

a) y b)

1 punto por las dos respuestas; 0,5 puntos por una res-puesta; 0 puntos en otro caso.

5 No hay diferencia, aunque se trate de variaciones en el primer caso y de combinaciones en el segundo. A la hora de calcular la probabilidad es lo mismo. 1 punto por las dos respuestas; 0,5 puntos por una respuesta; 0 puntos en otro caso.

6 No es correcto, porque quedaría fuera el suceso de tener una camisa blanca y otra que no lo fuera. Lo correcto es «lo contrario de elegir dos camisas blancas es elegir dos camisas de las que, a lo sumo, una es blanca». 1 punto por la solución razonada; 0,5 puntos por la solución sin razonar; 0 puntos en otro caso.

7 Sí es posible, pues hay 10 + 11 – 15 = 6 camisas que son de la marca A y blancas.

1 punto por el diagrama y la respuesta; 0,5 puntos por el diagrama o la respuesta; 0 puntos en otro caso.

8 La suma de todos los subconjuntos es 95, luego hay 5 ca-misas que no son de manga corta, blancas ni de la marca A. 1 punto por la respuesta correcta; 0,5 puntos por inter-pretar el diagrama pero no dar la respuesta; 0 puntos en otro caso.

9 a) 80 camisas (95 son todas las camisas menos las 15 que no son blancas ni de manga corta). b) 10 camisas (15 son de marca A y blancas menos las 5 que son de manga cor-ta). 1 punto por las dos respuestas; 0,5 puntos por una respuesta; 0 puntos en otro caso.

10 P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A I B) – P(A I C) – – P(B I C) + P(A I B I C). 1 punto por la respuesta; 0,5 puntos por la fórmula con dos fallos como máximo; 0 puntos en otro caso.

compañía fi hi

Movimoon 12 12/50 = 0,24

Aphone 12 12/50 = 0,24

Lemon 11 11/50 = 0,22

Seoye 8 8/50 = 0,16

Otras 7 7/50 = 0,14

intervalo xi fi hi Fi Hi

[0, 30) 15 9 0,18 9 0,18

[30, 60) 45 13 0,26 22 0,44

[60, 90) 75 7 0,14 29 0,58

[90, 120) 105 4 0,08 33 0,66

[120, 150) 135 7 0,14 40 0,80

[150, 180) 165 4 0,08 44 0,88

[180, 210) 195 2 0,04 46 0,92

[210, 240) 225 4 0,08 50 1

15

12

9

6

3

0

Duración llamadas (min)

Frec

uen

cia

0 40 80 120 160 200 240

25%13%

62%

Blancas

5 6 4

Marca A

A

B

C

D

E

caja

público

reponer

D

E

D

E

frec

uen

cia

duración llamadas (min)

Vii

SOlU

ciO

NA

riO

prueba 12. La Guerra de las Galaxias

1 1 punto por a); 0 puntos en otro caso.2 No hace falta dibujar un árbol completo. Si llamamos a

los capitanes A, B, C, D y E, se obtiene:

Son 5 · 4 · 3 = 60 posibilidades. 1 punto por la solución con la ayuda de un árbol; 0,5 puntos por la solución sin el árbol; 0 puntos en otro caso.

3 Quedarán naves de la Alianza y 200 – 160 =

= 40 naves del Imperio. 1 punto por la respuesta con los cálculos; 0,5 puntos por la respuesta sin los cálculos; 0 puntos en otro caso.

4 No se puede asegurar, pues la probabilidad no será 100 ·· 0,01. Hay que calcular 1 – P (que ninguno alcance el objetivo). 1 punto por la respuesta razonada; 0,5 puntos por la respuesta sin razonar; 0 puntos en otro caso.

5 La media de los dos pilotos es 8, y sus desviaciones me-dias son 0,57 (Lando Calrissian) y 1,14 (Wedge Antilles). 1 punto por los tres resultados; 0,5 puntos por dos resul-tados; 0 puntos en otro caso.

6 Puede elegirse a cualquiera de los dos, siempre y cuan-do se argumente correctamente, ya que ambos tienen la misma media. Se puede decir que Lando Calrissian tiene una dispersión muy baja o resultados muy continuos. Por otro lado, Wedge Antilles es el que ha obtenido pun-tuaciones más altas. 1 punto por la respuesta razonada; 0,5 puntos por la respuesta sin razonar; 0 puntos en otro caso.

7 Como la media de las 7 pruebas es 9, la suma de todas es 7 · 9 = 63. Como las 6 pruebas que aparecen suman 56, la última prueba tiene una nota de 63 – 56 = 7. 1 punto por la respuesta razonada; 0,5 puntos por la respuesta sin razonar; 0 puntos en otro caso.

8 No se puede saber, porque desconocemos la probabi-lidad de que entren las tres a la vez. Se puede pensar que da lo mismo, pero no hay base suficiente en el enun-ciado para asegurarlo. 1 punto por la respuesta razona-da; 0,5 puntos si hay un razonamiento pero es incorrecto; 0 puntos en otro caso.

9

Tiene que fallar el primero y acertar el segundo, esto es, 0,4 · 0,6 = 0,24. 1 punto por el esquema y la respuesta; 0,5 puntos por el esquema o la respuesta; 0 puntos en otro caso.

10 El área del círculo es πr2, y la del cuadrado, (2r)2 = 4r2.

Por lo tanto, la probabilidad será . 1 punto por la

respuesta completa; 0,5 puntos si se hallan las áreas pero no se aplica la regla de Laplace; 0 puntos en otro caso.

GLobaL

prueba 13. La panadería y los donuts

1 1 punto por c) y d); 0,5 puntos por c) o d); 0 puntos en otro caso.

2 Como se producirán 30 donuts, únicamente se tienen que multiplicar las cantidades que aparecen en la tabla por 30 : 6 = 5.

3 a)

b) Se observa que 120 es el número de huevos que se deben pedir para llegar a las condiciones que pide el enunciado: 120 : 15 = 8 días. 1 punto por contestar co-rrectamente los dos apartados; 0,5 puntos por un apar-tado; 0 puntos en otro caso.

4 No se ajusta a la realidad, puesto que el enunciado inicial de la prueba menciona que pasa de 30 a 90 habitantes de golpe. El gráfico que se ajusta al modelo descrito es:

1 punto por la solución justificada y el gráfico; 0,5 puntos por la solución justificada o el gráfico; 0 puntos en otro caso.

π r 2

4r 2=π4

ingredientes cantidades para 6 donuts

leche tibia 5/2 o 2,5 L

huevos 15 unidades

mantequilla 1 000 g (o 1 kg)

harina 6 000 g (o 6 kg)

azúcar 1 kg

sal 5 cucharadas

levadura 15 cucharadas

múltiplos de 15 múltiplos de 24

15 2430 4845 7260 9675 12090 144

105 168120 192135 216150 240

A

B

C

D

E

BCDE

CDE

Aceptar

AceptarNo aceptar

meses

Viii

SOlU

ciO

NA

riO

5 Luis gana x dinero; Pedro gana el triple que Luis: 3x;

y Jorge gana , de donde concluimos que

Jorge y Luis ganan lo mismo. 1 punto por la respuesta correcta usando el lenguaje algebraico; 0,5 puntos por la respuesta usando el lenguaje algebraico pero no com-pleto; 0 puntos en otro caso.

6 Como 30 no es un cuadrado perfecto, no se puede hacer en una hornada. Haría falta combinar bandejas de 1 × 1, 2 × 2 y 5 × 5. 1 punto por las dos respuestas; 0,5 puntos por una respuesta; 0 puntos en otro caso.

7 Un ortoedro es un prisma regular en el que todas las caras son rectángulos. Las dimensiones de la caja serán: a = 10 cm, b = 2,5 cm y c = 20 cm (2 veces el diámetro del donut). Primero se calcula el área de un ortoedro A = = 2ab + 2ac + 2bc = 2(ab + ac + bc) A = 2(25 + 200 + + 50) A = 2 · 275 = 550 cm2. A

final = 15 · A = 15 · 550 =

= 8 250 cm2. Por tanto, la afirmación puede parecer que no es del todo cierta, pero se debe tener en cuenta que es necesario incluir algo de cartón extra para las solapas que permitan cerrar la caja, pudiendo llegarse a los 10 000 cm2 (1 m2), luego la estimación es correcta. 1 punto por las operaciones y una justificación sobre la validez del cálculo; 0,5 puntos por los cálculos sin con-cluir el total de cartón necesario; 0 puntos en otro caso.

8 Se aplica el teorema de Pitágoras (los edificios están dis-puestos en los vértices de un triángulo rectángulo), para obtener la distancia entre A y P, que es la ruta más corta. Esta supondrá ir desde P hasta A, de ahí a B y finalmente

a P de nuevo, o incluso valdría la ruta P-B-A-P. Distancia

PA: .

Aplicando cualquiera de las dos rutas mencionadas ante-riormente, con un reparto se recorrerían 500 + 400 + 300 == 1 200 m = 1,2 km. 1 punto por cualquiera de las solucio-nes posibles con los cálculos; 0,5 puntos por cualquiera de las soluciones sin cálculos; 0 puntos en otro caso.

9 La media mensual se obtiene de la suma de la produc-ción mensual de donuts dividida por el número de me-ses. Para obtener una estimación de lo que se produce en junio, julio o agosto:

donuts.

Los tres meses: 3 600 · 3 = 10 800 donuts.En junio, julio y agosto, la población se triplica y la pro-ducción de donuts se cuadruplica: 30 habitantes 900 donuts mensuales 90 habitantes 3 600 donuts mensuales1 punto por las dos soluciones; 0,5 puntos por una solu-ción; 0 puntos en otro caso.

10 La altura de cada barra del diagrama coincide con la fre-cuencia absoluta de cada valor. Sumando todas las frecuen-cias absolutas se obtiene el tamaño de la muestra: 3 + 5 + 5 + + 10 + 7 = 30. Dado que 30 es el número de habitantes del pueblo, la encuesta no se realizó durante Junio-Julio-Agos-to. 1 punto por la solución; 0 puntos en otro caso.

prueba 14. Brasil, Brasil, Brasil

1 1 punto por a); 0 puntos en otro caso.2 V = 500 m3 = 500 · 103 dm3 = 500 · 106 cm3. m = 500 · 106 ·

· 2,4 = 1,2 · 109 kg = 1 200 t. 1 punto por el resultado; 0,5 puntos si no se llega al resultado en toneladas, sino en kilogramos; 0 puntos en otro caso.

3

Se aplica el teorema de Pitágoras:

km = 1 226,4 m. 1 punto por la solu-ción; 0 puntos en otro caso.

4 a) Serán europeos, en barco. b) Son 0,24 mi-

llones de jóvenes, o sea, 240 000 jóvenes. 1 punto por las dos respuestas; 0,5 puntos por una res-puesta; 0 puntos en otro caso.

5 a)

3 · 2 = 6 soluciones. b) En el caso de 10 equipos sería: 10! == 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 = 3 628 800 soluciones. 1 pun-to por las dos respuestas; 0,5 puntos por una respuesta; 0 puntos en otro caso.

6 a) Hay 32 equipos en 8 grupos de 4. Si A, B, C y D son los equipos de un grupo, deben jugar AB, AC, AD, BC, BD y CD, es decir, 6 partidos por grupo en total, 48 partidos. b) Como son 8 grupos, hay 48 partidos iniciales, de los cua-les pasan 16 equipos. Estos 16 juegan 8 partidos (octavos); los 8 que ganan juegan 4 partidos (cuartos); los 4 que ganan juegan 2 partidos (semifinales) y los 2 que ganan juegan 1 partido (la final). En total en la segunda fase son 8 + 4 + 2 + 1 = 15 partidos. 1 punto por las dos respues-tas; 0,5 puntos por una respuesta; 0 puntos en otro caso.

7 Para realizar un cálculo aproximado, hallamos la media de los dos estadios y la multiplicamos por 12:

espectadores

1 punto por un cálculo correcto; 0,5 puntos si se ofrece una idea adecuada pero no se concreta; 0 puntos en otro caso.

8 Cada cuadradito son 50 m, por lo tanto, la parte rectan-gular mide 250 · 150 = 37 500 m2. Por otro lado, las partes circulares son 3/4 de círculo, y al ser 4 serán 4 · 3/4 = 3 círcu-los. Cada círculo tiene un área de πr2 = 3,14 · 502 = 7 850 m2, y al ser 3 serán 7 850 · 3 = 23 550 m2. En total mide 37 500 ++ 23 550 = 61 050 m2. 1 punto si se calcula correctamente toda el área; 0,5 puntos si se calcula el área rectangular y parte de la circular; 0 puntos en otro caso.

9 Sirve por ejemplo:

Cada cuadradito tiene 50 m de lado, por lo tanto, la parte rectangular son 200 · 150 = 30 000 m2. Los dos semicír-culos son un círculo completo de área πr2 = 3,14 · 752 = = 17 662,5 m2. En total, 30 000 + 17 662,5 = 47 662,5m2. 1 punto si se dibuja y calcula correctamente; 0,5 puntos si el dibujo es correcto pero hay algún error en el área; 0 puntos en otro caso.

10 Se pintaría entera la cinta, pues se trata de una banda de Möebius que tiene una sola cara. 1 punto por la respuesta; 0,5 puntos si la respuesta es confusa; 0 puntos en otro caso.

Brasil

Brasil

BrasilItalia

Italia

Italia

España

España

España

100 m