Solución de Ecuaciones No Lineales

METODOS COMPUTACIONALES

Prof. Oscar Tinoco G.

Introducción• La finalidad principal de las matemáticas aplicadas es

determinar valores de x que cumplan con la condición f (x) = 0. A estos valores les denominamos raíces o ceros de la ecuación.

• Para polinomios de primer a tercer orden existen fórmulas que permiten lograr el objetivo antes dicho, sin embargo para grados superiores la situación se complica.

• En muchos casos no se puede resolver la ecuación de forma analítica, salvo por aproximaciones sucesivas.

0573),(

010),(2

2

xyyyxv

xyxyxu

La solución de este sistema son los valores de ( x , y ) que hacen a las funciones u y v iguales a cero.

METODOS GRÁFICOS

• Son útiles porque proporcionan un valor inicial a ser usado por otros métodos.

Ejemplo: Localice gráficamente las raíces de f (x) = 0, siendo:

Los métodos gráficos consisten en graficar la función f(x) y observar donde la función cruza el eje x.

Solución• En primer lugar, se debe reescribir la ecuación

f (x) = 0 . . . (1)

• a una forma equivalente

f1(x) = f2(x) . . . (2)

• Siendo f1 y f2 funciones cuyas gráficas sean más simple que la de f . Asimismo las raíces de (1) serán soluciones de (2), ie, los puntos de intersección de f1 y f2.

El razonamiento

• De la ecuación, entonces f (x) = 0 |x| =

• Haciendo: f1(x) = |x|, f2(x) =

• Luego, graficamos las funciones f1 y f2.

• Del gráfico verificamos que el punto( único) de intersección, x, se sitúa en el intervalo 1, 0.

La gráfica

Existencia de raíces

• Teorema (Bolzano)

• Sea f : [a, b] R una función continua en [a, b] tal que f (a) * f (b) < 0. Entonces existe c a, b tal que f (c) = 0.

• M

El teorema en gráfica

Ejemplo 1 040138.667 146843.0 xe

xxf

x f(x)4 34.114889388 17.65345264

12 6.06694996316 -2.26875420820 -8.400624408

Encontrar la raíz de:

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 5 10 15 20 25

Ejemplo 2

x f(x)0.00 1.000.25 1.330.50 -0.890.75 0.311.00 -1.531.25 -0.891.50 0.441.75 -0.462.00 1.872.25 0.412.50 0.212.75 0.313.00 -1.903.25 -0.063.50 -0.903.75 0.054.00 1.594.25 -0.014.50 1.454.75 -0.485.00 -1.02

-2.50

-2.00

-1.50

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00

Grafica de: f(x) = sen 10x + cos 3x

Ejemplo 2 (cont.)

-0.02

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

4.18 4.20 4.22 4.24 4.26 4.28 4.30 4.32

Grafica de: f(x) = sen 10x + cos 3x

x f(x)4.20 0.084.21 0.054.22 0.024.23 0.004.24 -0.014.25 -0.014.26 -0.014.27 0.014.28 0.044.29 0.074.30 0.11

Tarea

Utilice Excel y/o Matlab para resolver los siguientes problemas.

a) Determine las raíces reales de: f(x) = –0.5x2 + 2.5x + 4.5

Gráficamente. Confirme utilizando la fórmula cuadrática.

b) Determine las raíces reales de: f(x) = 5x3 – 5x2 + 6x – 2

Gráficamente.

Métodos para Solución

• Método de Bisección• Método de Falsa Posición• Método de la Secante• Método de Newton - Raphson• Iteración del Punto Fijo

Método de la Bisección Requisitos:

• f (x) es continua en el intervalo [a, b] , f (a) y f (b) deben tener signo opuesto.

• Definición (Método de la Bisección)

• Dado un intervalo [a, b] que contiene un cero de f (x) , en cada iteración, el método de la Bisección reduce el intervalo que contiene al cero a un 50%.

• Los requisitos garantizan la existencia de al menos una raíz r en [a, b] tal que f (r) = 0 y el método de Bisección converge

Método de la Bisección

Se trata de encontrar los ceros de

f(x) = 0

Donde f es una función continua en [a,b] con f(a) y f(b) con signos diferentes.

y = f(x)

x

y

a

b

f(b)

f(a)

Método de la bisección

De acuerdo con el teorema del valor medio, existe p [a,b] tal que f(p) = 0.

El método consiste en dividir a la mitad el intervalo y localizar la mitad que contiene a p.

El proceso se repite hasta la lograr la precisión deseada.

Gráficamente

Ejemplo• Encontrar la raíz de la función f (x) = x3 − 3x + 1 en el

intervalo [0, 1].

Solución:

• f (x) es continua.

• f (0) = 1, f (1) = −1 f (a) * f (b) < 0.

• Podemos usar el método de Bisección para encontrar la raíz.

Iterando

Algoritmo

Gráficamente

Analíticamente

Cuantas Iteraciones hacer

• Teorema (Teorema de la Bisección)

• Si f es continua en [a, b], y existe s, una única raíz de f (x) = 0. Si f (a) *f (b) <0 entonces:

• y la sucesión {xk} converge a la raíz s.

a b x f(x) (b-a)/20 0 1 0.5 -0.375 0.51 0 0.5 0.25 0.265625 0.252 0.25 0.5 0.375 -0.07226563 0.1253 0.25 0.375 0.3125 0.09301758 0.06254 0.3125 0.375 0.34375 0.0093689 0.031255 0.3475 0.375 0.36125 -0.03660631 0.013756 0.36125 0.375 0.368125 -0.05448817 0.0068757 0.368125 0.375 0.3715625 -0.06339007 0.00343758 0.3715625 0.375 0.37328125 -0.06783115 0.001718759 0.37328125 0.375 0.37414063 -0.07004922 0.000859375

Encontrar la raíz de la función f (x) = x3 − 3x + 1 en el intervalo [0, 1].

Nota

• Podemos determinar a priori el número de iteraciones ”n” a efectuar, para garantizar una aproximación de la raíz con un error absoluto máximo de . Se exigirá que:

Ejemplo

• Usar el método de la bisección para aproximar la raíz de , comenzando en el intervalo [1, 2] con una precisión de 3 c.d.e

Solución• a = 1; b = 2

• f (x1) = −0,1823 <0; f (1) >0; f (2) <0

• De donde vemos que la raíz se encuentra en el intervalo [1,1.5]

• a=1; b=1.5

• La nueva aproximación es

Acotando el número de iteraciones

• Con una precisión de 3 cifras decimales exactas:

• Se requiere como mínimo: 11 iteraciones:

Finalmente

Ventajas• Simple y fácil de implementar.

• Se evalúa solo una función por iteración.

• El tamaño del intervalo que contiene el cero es reducido al 50% después de cada iteración.

• El número de iteraciones pueden ser determinado a priori.

• No se necesita la derivada.

• La función no tiene que ser diferenciable.

Desventajas

• Lenta.

• Aproximaciones intermedias buenas podrían ser descartadas.

Ejemplo: Encontrar las intersecciones en el primer cuadrante de los gráficos de las funciones f(x) = 4 + cos(x+1), g(x) = ex sen(x)

Ejemplo: Encontrar las intersecciones en el primer cuadrante de los gráficos de las funciones f(x) = 4 + cos(x+1), g(x) = ex sen(x)

Volumen del abrevadero

h

r

L

rh

ab

rhsenb

a2sectorarea r

rhsen 1

22ba

rhsenrr /

2sectorarea 122 a

2212 /2

triangularareasectorareaA hrhrhsenr

22

2alturabase2triangulararea hrh

2212 /

2hrhrhsenrLLAV

TareaUn abrevadero de longitud L tiene una sección transversal en forma de semicírculo con radio r (véase la figura) Cuando se llena de agua hasta una distancia h de la parte superior, el volumen V de agua es

V = L [ 0.5 r2 – r2 arcsen(h/r) – h(r2 – h2)1/2 ]

Escriba un programa en MatLab que lea los datos de este problema y encuentre la profundidad h del abrevadero. Utilice el método de bisección para encontrar la solución.

h

r

L

Introducción al Método de la Falsa Posición

• ¿Cuál es la recta que une los puntos (a, f (a)) y (b, f (b))?

• ¿Cuál es la intersección de la con el eje X?

Método de la Falsa Posición1. Determinar un intervalo [a,b] tal que f(a) tiene signo distinto de f(b).

2. Hallar el punto c que divide el intervalo [a,b] en partes proporcionales a f(a) y f(b).

3. La intersección de esta recta con el eje X es una aproximación a la raíz.

4. Elegir, entre [a,c] y [c,b], un intervalo en el que la función cambie de signo.

5. Repetir los pasos 2 y 3 hasta conseguir la precisión deseada.

Gráficamente

Ejemplo

• Usar el método de la falsa posición para aproximar la raíz de , comenzando en el intervalo [1, 2].

Solución

• a = 1; b = 2

• F(x1) = - 0.087384509 < 0; f(1) > 0; f(2) < 0

• El nuevo intervalo: [1, 1.397410482]

• La nueva aproximación es: 1.32 1130513

Ejemplo en Excel

xl xu xr f(xl) f(xu) f(xr)12.0000000 16.0000000 14.9113077 6.0669500 -2.2687542 -0.254277512.0000000 14.9113077 14.7941976 6.0669500 -0.2542775 -0.027257212.0000000 14.7941976 14.7817001 6.0669500 -0.0272572 -0.002907612.0000000 14.7817001 14.7803676 6.0669500 -0.0029076 -0.000310012.0000000 14.7803676 14.7802255 6.0669500 -0.0003100 -0.0000330

040138.667 146843.0 xex

xfEncontrar la raíz de:

Método de la Secante

• Dada una función f (x) continua en el intervalo [a, b] donde existe una única raíz, es posible determinar una aproximación de la raíz a partir de la intersección de la secante de la curva en dos puntos x0 y x1 con el eje X.

MÉTODO DE LAS SECANTES

• Consiste en elegir dos puntos iniciales cualquiera x0, x1 para los cuales se evalúan los valores de la función:

f(x0) = f(x1)

• Se traza una recta secante a la función por esos dos puntos.• El punto de intersección de esta recta con el eje de las

abscisas (x2, 0) constituye una segunda aproximación de la raíz.

• El proceso se repite n veces hasta que el punto de intersección xn coincide prácticamente con el valor exacto de la raíz.

Algoritmo para la Secante

1) Se dan 2 valores: Xi y Xi-1

2) Se calcula f(xi) y f(xi-1)3) Se obtiene Xi+1 mediante la fórmula de la

secante4) Se vuelve al paso 2 para encontrar una nueva

raíz

Gráficamente

• Este método requiere 2 valores iniciales de x. • Sin embargo no se necesita que f(x) cambie de signo, por lo

que no es un método cerrado.

Ejemplo 1

Resolver: xlog(x) – 10 = 0, mediante el método de la secante

x y1 -102 -9.397943 -8.5686364 -7.591765 -6.505156 -5.3310927 -4.0843148 -2.775289 -1.411817

10 0

0 2 4 6 8 10 12

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

y

y

Gráficamente

Ejemplo 1

Resolver: xlog(x) – 10 = 0Para el método de la secante, se necesitan dos valores iniciales, pero a diferencia del método de bisección estos puntos no tienen que estar alrededor de la raíz, sino que tienen que estar próximos.Se toma entonces Xo=8, X1=9

𝐎𝐉𝐎 :𝑥2=𝑥1− 𝑓 (𝑥1 )( 𝑥1−𝑥0

𝑓 (𝑥1 ) − 𝑓 (𝑥0 ) )

Ejemplo 1

Resolver: xlog(x) – 10 = 0𝐎𝐉𝐎 :𝑥2=𝑥1− 𝑓 (𝑥1 )( 𝑥1−𝑥0

𝑓 (𝑥1 ) − 𝑓 (𝑥0 ) )

Ejemplo del Método de Secante• Problema 6.5 (Chapra, Canale):Determine la menor raíz real de:

a) Gráficamenteb) Usando el método de la secante para un valor de Es

con tres cifras significativas

32 5.2172211)( xxxxf

Resolución Problema 6.532 5.2172211)( xxxxf

x y-1 30.5

-0.5 4.560 -111 -18.52 -73 8.54 135 -8.5

a) Gráficamente

4.0x

Resolución Problema 6.532 5.2172211)( xxxxf

b) Por el método de la secante (Es<0.05%)

Iteración xi-1 xi xi+1 Es(%)1 -1 0 -0.2651 -2 0 -0.2651 -0.4123 35.73 -0.2651 -0.4123 -0.3793 8.74 -0.4123 -0.3793 -0.3813 0.525 -0.3793 -0.3813 -0.3813 0.004

𝐎𝐉𝐎 :𝑥2=𝑥1− 𝑓 (𝑥1 )( 𝑥1−𝑥0

𝑓 (𝑥1 ) − 𝑓 (𝑥0 ) )

Ejercicio

• Usar el método de la secante para aproximar la raíz de:

• comenzando con x0 = 0 , x1 = 1.

Solución• Tenemos que f (x0) = 1 y f (x1) = −0,6321

• Sustituimos en la fórmula de la secante para calcular la aproximación x2:

…………….. completar

PROPUESTOS

Consideraremos las siguientes ecuaciones f(x) = 0 y valores iniciales.1. f(x) = x 2 − 4, x0 = 3 (y x1 = 3.01 para secante)2. f(x) = tan(x − 2), x0 = 3 (y x1 = 3.01 para secante)3. f(x) = x − sen(x) − 5 = 0, x0 = 6 (y x1 = 6.01 para secante)4. f(x) = x − sen(x) − 5 = 0, x0 = 4 (y x1 = 4.01 para secante)