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´ Algebra Lineal III: Sistemas de ecuaciones lineales: Definici´on y soluci´ on. Jos´ e Mar´ ıa Rico Mart´ ınez Departamento de Ingenier´ ıaMec´anica Divisi´ on de Ingenier´ ıas, Campus Irapuato-Salamanca Universidad de Guanajuato email: [email protected] 1 Sistemas de ecuaciones lineales. En esta secci´on, se introducir´an las definiciones necesarias para analizar los sistemas de ecuaciones lineales. Definici´on de una ecuaci´on lineal. Una ecuaci´ on lineal en un campo K es una ecuaci´on de la forma a 1 x 1 + a 2 x 2 + ··· + a n x n = b 1 donde a 1 ,a 2 , ··· ,a n ∈ K se denominan los coeficientes de la ecuaci´on y b 1 ∈ K se denomina el t´ ermino independiente, si el t´ ermino independiente b 1 =0, la ecuaci´ on lineal se denomina homogenea. En caso contrario, es decir, si b 1 =0, la ecuaci´ on lineal se denomina no homogenea. Adem´ as, se supone que x 1 ,x 2 , ··· ,x n ∈ K, estos valores se conocen como las inc´ognitas de la ecuaci´ on lineal. El conjunto soluci´ on de una ecuaci´on lineal, denominado C S , se define como C S = {(x 1 ,x 2 , ··· ,x n )|a 1 x 1 + a 2 x 2 + ··· + a n x n ≡ b 1 } . Una ecuaci´ on lineal de la forma 0x 1 +0x 2 + ··· +0x n =0, se denomina redundante porque cualquier (x 1 ,x 2 , ··· ,x n ) satisface la ecuaci´on. Por el contrario, una ecuaci´ on lineal de la forma 0x 1 +0x 2 + ··· +0x n = b 1 con b 1 =0, se denomina inconsistente porque ning´ un (x 1 ,x 2 , ··· ,x n ) satisface la ecuaci´on. Definici´on de un sistema de ecuaciones lineales. Un sistema de m ecuaciones lineales con n inc´ognitas no homogeneo, en un campo K, es una expresi´ on dada por la ecuaci´on (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + ··· + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + ··· + a 2n x n = b 2 (1) ··· ··· ··· ··· = · a m1 x 1 + a m2 x 2 + a m3 x 3 + ··· + a mn x n = b m 1
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Algebra Lineal III: Sistemas de ecuaciones lineales: Definicion y
solucion.
Jose Marıa Rico Martınez
Departamento de Ingenierıa Mecanica
Division de Ingenierıas, Campus Irapuato-Salamanca
Universidad de Guanajuato
email: [email protected]
1 Sistemas de ecuaciones lineales.
En esta seccion, se introduciran las definiciones necesarias para analizar los sistemas de ecuaciones lineales.Definicion de una ecuacion lineal. Una ecuacion lineal en un campo K es una ecuacion de la
formaa1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = b1
donde a1, a2, · · · , an ∈ K se denominan los coeficientes de la ecuacion y b1 ∈ K se denomina eltermino independiente, si el termino independiente
b1 = 0,
la ecuacion lineal se denomina homogenea. En caso contrario, es decir, si
b1 6= 0,
la ecuacion lineal se denomina no homogenea. Ademas, se supone que x1, x2, · · · , xn ∈ K, estosvalores se conocen como las incognitas de la ecuacion lineal. El conjunto solucion de una ecuacion lineal,denominado CS , se define como
CS = {(x1, x2, · · · , xn)|a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn ≡ b1} .
Una ecuacion lineal de la forma0x1 + 0x2 + · · ·+ 0xn = 0,
se denomina redundante porque cualquier (x1, x2, · · · , xn) satisface la ecuacion. Por el contrario, unaecuacion lineal de la forma
0x1 + 0x2 + · · ·+ 0xn = b1 con b1 6= 0,
se denomina inconsistente porque ningun (x1, x2, · · · , xn) satisface la ecuacion.Definicion de un sistema de ecuaciones lineales. Un sistema de m ecuaciones lineales con n
incognitas no homogeneo, en un campo K, es una expresion dada por la ecuacion (1)
a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · ·+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + · · ·+ a2nxn = b2 (1)
· · · · · · · · · · · · = ·
am1x1 + am2x2 + am3x3 + · · ·+ amnxn = bm
1
donde aij ∈ K ∀i = 1, 2, . . . ,m y j = 1, 2, . . . , n se denominan los coeficientes del sistema de ecuaciones,y bi ∈ K ∀i = 1, 2, . . . ,m se denominan los terminos independientes del sistema de ecuaciones. Sibi = 0, ∀ i = 1, 2, . . . ,m el sistema de ecuaciones se denomina homogeneo. En caso contrario, es decir,si bi 6= 0 para algun valor de i = 1, 2, . . . ,m, el sistema de ecuaciones se denomina no homogeneo.Finalmente, las incognitas del sistema de ecuaciones son x1, x2, . . . , xn ∈ K y, como se indica, pertenecenal campo K. En nuestro caso, el campo sera casi exclusivamente el campo de los numeros reales R, conalgunos excursiones al campo de los numeros complejos C.
El conjunto solucion del sistema de ecuaciones lineales, denominado CS , se define como
CS =
(x1, x2, · · · , xn)
∣
∣
∣
∣
∣
a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · ·+ a1nxn ≡ b1a21x1 + a22x2 + a23x3 + · · ·+ a2nxn ≡ b2· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ≡ ·
am1x1 + am2x2 + am3x3 + · · ·+ amnxn ≡ bm
Si se denomina CSi el conjunto solucion de la i-esima ecuacion lineal del sistema de ecuaciones dado porla ecuacion (1), se tiene que
CS = CS1 ∩ CS2 ∩ · · · ∩ CSm =
m⋂
i=1
CSi. (2)
Finalmente, el sistema de ecuaciones lineales dado por
a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · ·+ a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + a23x3 + · · ·+ a2nxn = 0
· · · · · · · · · = ·
am1x1 + am2x2 + am3x3 + · · ·+ amnxn = 0
en el cual todas los terminos independientes se han hecho iguales a 0, se conoce como el sistema deecuaciones homogeneo asociado al sistema de ecuaciones lineales dado por la ecuacion (1).
El objetivo del resto de estas notas es encontrar el conjunto solucion de un sistema de ecuacioneslineales arbitrario. Empezar un curso de algebra lineal con este tema tiene varias razones:
1. Un sin numero de tareas dentro del algebra lineal requieren precisamente de resolver un sistema deecuaciones lineales.
2. Este tema permite introducir a un nivel elemental el concepto de matrices, uno de los objetos deestudio del algebra lineal.
3. Las ecuaciones lineales tienen una interpretacion geometrica muy sencilla en los espacios Euclideosde dimension dos, el plano, y dimension tres, el espacio. Estas interpretaciones permiten intuir comoes el comportamiento de sistemas de ecuaciones con mas de tres variables, donde una interpretaciongeometrica ya no es posible.
2 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices.
En esta seccion se introduciran objetos conocidos como matrices que, en esta etapa del curso, nos per-mitiran tratar de manera un poco mas abstracta a los sistemas de ecuaciones lineales eliminando todareferencia a las incognitas del sistema. El sistema de ecuaciones, dado por la ecuacion (1), puede escribirseen forma matricial como
a11 a12 a13 · · · a1na21 a22 a23 · · · a2n· · · · ·
am1 am2 am3 · · · amn
x1
x2
·xn
=
b1b2·bm
(3)
2
La matriz1 A, definida como
A =
a11 a12 a13 · · · a1na21 a22 a23 · · · a2n· · · · ·
am1 am2 am3 · · · amn
se conoce como la matriz de coeficientes del sistema lineal de ecuaciones dado por la ecuacion(1), la matrix Ab, definida como
Ab =
a11 a12 a13 · · · a1n b1a21 a22 a23 · · · a2n b2· · · · ·
am1 am2 am3 · · · amn bm
se conoce como la matriz aumentada del sistema lineal de ecuaciones dado por la ecuacion (1).En el resto de estas notas se mostrara como se puede encontrar el conjunto solucion del sistema lineal deecuaciones dado por la ecuacion (1) empleando exclusivamente las matrices de coeficientes y augmentadadel sistema.
3 Solucion de un sistema lineal de ecuaciones.
Durante la educacion media superior se estudian sistemas de ecuaciones lineales con dos o tres incognitas.Allı se muestra que existen tres posibles metodos de solucion de estos sistemas de ecuaciones:
1. Suma o resta de ecuaciones.
2. Sustitucion de variables.
3. Igualacion.
En estas notas se mostrara un metodo sistematico de solucion basado en el metodo de suma o restade ecuaciones lineales. El metodo consiste en paulatinamente cambiar el sistema de ecuaciones linealesoriginal por otro mas sencillo pero que tenga el mismo conjunto solucion.
A continuacion se prueba el resultado fundamental del metodo de solucion de un sistema de ecuacioneslineales.
Teorema. Considere el conjunto de m ecuaciones lineales en n incognitas dado por la ecuacion (1),el conjunto solucion del sistema de ecuaciones lineales
CS = CS1 ∩ CS2 ∩ · · · ∩ CSm =
m⋂
k=1
CSk.
no se altera cuando se realizan las siguientes tres operaciones denominadas elementales:2
1. Se intercambian ecuaciones.
2. Se multiplica una ecuacion por un elemento del campo diferente de 0.
1Por el momento, una matriz es simplemente un arreglo rectangular de numeros pertenecientes a un campo, casi siempreel campo de los numeros reales, R.
2Debe notarse que cada una de estas operaciones elementales conduce a una operacion equivalente en las filas de lamatriz aumentada del sistema Ab. De manera mas especıfica: El intercambio de ecuaciones equivale al intercambio delas filas correspondientes de la matriz aumentada, la multiplicacion de una ecuacion por un elemento del campo diferentede 0 corresponde a la multiplicacion de la fila correspondiente de la matriz aumentada por el mismo elemento del campodiferente de 0. Finalmente, la suma del multiplo de una ecuacion a otra corresponde a la suma del mismo multiplo de lafila correspondiente a la primera ecuacion a la fila correspondiente a la segunda ecuacion.
3
3. Se suma el multiplo de una ecuacion a otra ecuacion.
Prueba: La prueba se hara evidentemente en tres partes
1. Se intercambian las ecuaciones i y j. El conjunto solucion del sistema original esta dado por
CSo = CS1 ∩ CS2 ∩ · · · ∩ CSi ∩ · · · ∩ CSj ∩ · · · ∩ CSm,
mientras que el conjunto solucion del sistema final, es decir aquel que se obtiene despues del inter-cambio de ecuaciones, esta dado por
CSf = CS1 ∩ CS2 ∩ · · · ∩ CSj ∩ · · · ∩ CSi ∩ · · · ∩ CSm.
Es, pues, suficiente probar que CSo = CSf . Este resultado se probara por doble inclusion; es decir,probando que
CSo ⊂ CSf y CSf ⊂ CSo.
Considere
(x1, x2, · · · , xn) ∈ CSo ⇔ (x1, x2, · · · , xn) ∈ CSk ∀k = 1, 2, · · · ,m ⇔ (x1, x2, · · · , xn) ∈ CSf
De esa manera se prueba el resultado.3
2. Se multiplica la ecuacion i por un elemento del campo, tambien conocido como escalar, λ ∈ K talque λ 6= 0. La ecuacion original i esta dada por
ai1x1 + ai2x2 + ai3x3 + · · ·+ ainxn = bi
y su conjunto solucion se denomina CSio, la ecuacion que se obtiene despues de multiplicar laecuacion i por un escalar λ ∈ K, tal que λ 6= 0 esta dada por
(λ ai1)x1 + (λ ai2)x2 + (λ ai3)x3 + · · ·+ (λ ain)xn = λ bi
y su conjunto solucion se denomina CSif . Como en este caso, solo se manipula la i-esima ecuacion,es suficiente probar que CSio = CSif . Nuevamente, este resultado se probara por doble inclusion;es decir, probando que
CSio ⊂ CSif y CSif ⊂ CSio
Sea (x1, x2, · · · , xn) ∈ CSio entonces
ai1x1 + ai2x2 + ai3x3 + · · ·+ ainxn ≡ bi
entoncesλ(ai1x1 + ai2x2 + ai3x3 + · · ·+ ainxn) ≡ (λbi).
Por lo tanto(λai1)x1 + (λai2)x2 + (λai3)x3 + · · ·+ (λain)xn ≡ (λbi)
y (x1, x2, · · · , xn) ∈ CSif . Se ha probado pues que CSio ⊂ CSif .
En la direccion contraria, sea (x1, x2, · · · , xn) ∈ CSif entonces
(λai1)x1 + (λai2)x2 + (λai3)x3 + · · ·+ (λain)xn ≡ (λbi)
3Una manera alternativa de probar este resultado consiste en invocar las leyes de Morgan que indican que la interseccionde conjuntos es conmutativa y asociativa.
4
puesto que λ 6= 0, existe un inverso multiplicativo en K, denominado λ−1 = 1
λtal que
λ−1[(λai1)x1 + (λai2)x2 + (λai3)x3 + · · ·+ (λain)xn] ≡ λ−1(λbi)
(λ−1 λ)ai1x1 + (λ−1 λ)ai2x2 + (λ−1 λ)ai3x3 + · · ·+ (λ−1 λ)ainxn ≡ (λ−1 λ)bi
peroλ−1 λ = 1,
donde 1 es el identico multiplicativo del campo, y 1k = k = k1 para cualquier elemento k ∈ K, porlo tanto
ai1x1 + ai2x2 + ai3x3 + · · ·+ ainxn ≡ bi
y (x1, x2, · · · , xn) ∈ CSio. Se ha probado pues que CSif ⊂ CSio. La conjuncion de estos dosresultados parciales conduce a CSif = CSio.
3. Se suma un multiplo de la ecuacion i a la ecuacion j. Las ecuaciones originales i y j estan origi-nalmente dadas por
ai1x1 + ai2x2 + ai3x3 + · · ·+ ainxn = bi (4)
yaj1x1 + aj2x2 + aj3x3 + · · ·+ ajnxn = bj (5)
y sus conjuntos solucion se denominan CSio y CSjo. La ecuacion que se obtiene despues de sumarλ veces la ecuacion i a la ecuacion j esta dada por
(λai1 + aj1)x1 + (λai2 + aj2)x2 + (λai3 + aj3)x3 + · · ·+ (λain + ajn)xn = λbi + bj (6)
y su conjunto solucion se denomina CSλi+j. Como en este caso solo se manipulan las ecuaciones i
y j es suficiente probar que CSio ∩ CSjo = CSio ∩ CSλi+j.
Nuevamente, este resultado se probara por doble inclusion; es decir, probando que
CSio ∩ CSjo ⊂ CSio ∩ CSλi+jy CSio ∩ CSλi+j
⊂ CSio ∩ CSjo
Suponga que (x1, x2, · · · , xn) ∈ CSio ∩ CSjo entonces, (x1, x2, · · · , xn) ∈ CSio y (x1, x2, · · · , xn) ∈CSjo, por lo tanto
ai1x1 + ai2x2 + ai3x3 + · · ·+ ainxn ≡ bi
yaj1x1 + aj2x2 + aj3x3 + · · ·+ ajnxn ≡ bj
Sin embargo, si se sustituye (x1, x2, · · · , xn) en la ecuacion (4), se tiene que
(λai1 + aj1)x1 + (λai2 + aj2)x2 + (λai3 + aj3)x3 + · · ·+ (λain + ajn)xn = λbi + bj
λai1x1 + aj1x1 + λai2x2 + aj2x2 + λai3x3 + aj3x3 + · · ·+ λainxn + ajnxn = λbi + bj
λ(ai1x1 + ai2x2 + ai3x3 + · · ·+ ainxn) + (aj1x1 + aj2x2 + aj3x3 + · · ·+ ajnxn) ≡ λbi + bj
Por lo tanto
(x1, x2, · · · , xn) ∈ CSλi+jy (x1, x2, · · · , xn) ∈ CSio ∩ CSλi+j
.
Entonces, se probo queCSio ∩ CSjo ⊂ CSio ∩ CSλi+j
.
En la direccion contraria, suponga que (x1, x2, · · · , xn) ∈ CSio ∩CSλi+j entonces, (x1, x2, · · · , xn) ∈CSio y (x1, x2, · · · , xn) ∈ CSλi+j , por lo tanto
ai1x1 + ai2x2 + ai3x3 + · · ·+ ainxn ≡ bi
5
y(λai1 + aj1)x1 + (λai2 + aj2)x2 + (λai3 + aj3)x3 + · · ·+ (λain + ajn)xn ≡ λbi + bj
Expandiendo y acomodando esta ultima ecuacion, se tiene que
(λai1 + aj1)x1 + (λai2 + aj2)x2 + (λai3 + aj3)x3 + · · ·+ (λain + ajn)xn ≡ λbi + bj
λai1x1 + aj1x1 + λai2x2 + aj2x2 + λai3x3 + aj3x3 + · · ·+ λainxn + ajnxn ≡ λbi + bj
λ(ai1x1 + ai2x2 + ai3x3 + · · ·+ ainxn) + (aj1x1 + aj2x2 + aj3x3 + · · ·+ ajnxn) ≡ λbi + bj(7)
Sin embargo, sustituyendo la ecuacion (5) en la ecuacion (6), se tiene que
λ bi + (aj1x1 + aj2x2 + aj3x3 + · · ·+ ajnxn) ≡ λbi + bj
o(aj1x1 + aj2x2 + aj3x3 + · · ·+ ajnxn) ≡ bj
Por lo tanto (x1, x2, · · · , xn) ∈ CSoj y (x1, x2, · · · , xn) ∈ CSio ∩ CSoj . Entonces se probo que
CSio ∩ CSλi+j ⊂ CSio ∩ CSoj .
La conjuncion de estos dos resultados conduce a
CSio ∩ CSλi+j = CSio ∩ CSoj ,
y este resultado finaliza la prueba.
4 Ejemplos.
En esta seccion se mostraran algunos ejemplos de solucion de sistemas de ecuaciones lineales:
4.1 Ejemplo 1.
Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales
2x1 − 2x2 + 2x3 = 1,
−3x1 + 6x2 + 0x3 = −1, (8)
1x1 − 7x2 + 10x3 = 2.
La matriz aumentada del sistema lineal de ecuaciones esta dada por
Ab =
2 −2 2 1−3 6 0 −11 −7 10 2
Si se suma a la segunda ecuacion 3
2de la primera ecuacion y se suma a la tercera ecuacion − 1
2de la
primera ecuacion, el sistema de ecuaciones se transforma en
2x1 − 2x2 + 2x3 = 1
0x1 + 3x2 + 3x3 =1
2
0x1 + 6x2 + 9x3 =3
2
6
En terminos de la matriz aumentada, el efecto de estas reducciones se obtiene de manera semejante. Esdecir, sumando 3
2de la primera fila a la segunda fila y sumando − 1
2de la primera fila a la tercera fila, de
esta manera, la matriz aumentada se reduce a
Ab1 =
2 −2 2 10 3 3 1
2
0 6 9 3
2
En la etapa final, si se suma a la tercera ecuacion −2 veces la segunda ecuacion, se tiene que el sistemade ecuaciones se reduce a
2x1 − 2x2 + 2x3 = 1
0x1 + 3x2 + 3x3 =1
2(9)
0x1 + 0x2 + 3x3 =1
2
En terminos de la matriz aumentada, el efecto corresponde a sumar a la tercera fila −2 veces lasegunda fila, de esta manera, la matriz augmentada se reduce a
Ab2 =
2 −2 2 | 10 3 3 | 1
2
0 0 3 | 1
2
(10)
Es importante senalar que puesto que durante este proceso se han empleado exclusivamente las opera-ciones elementales, el conjunto solucion del sistema original, vea la ecuacion (8), y el conjuntosolucion del sistema final, vea la ecuacion (9), coinciden.
Mas aun, el sistema final de ecuaciones, vea la ecuacion (9), y la matriz aumentada, vea la ecuacion(10), tienen una forma muy simple conocida como escalonada o de modo mas formal como triangularsuperior, todos los elementos por debajo de la diagonal principal son nulos, y este sistema de ecuacionespuede resolverse de manera muy sencilla por el metodo conocido como sustitucion inversa. Este procesoconsiste en resolver la tercera ecuacion para la incognita x3, sustituir este valor en la segunda ecuacion,del sistema, para resolver esta ecuacion para la incognita x2. El proceso finaliza con la sustitucion de x3
y x2 en la primera ecuacion y la solucion de esta ecuacion para la incognita x1.El conjunto solucion del sistema lineal de ecuaciones esta dado, en dos formas alternativas, por
CS =
{(
1
3, 0,
1
6
)}
=
{
x1 =1
3, x2 = 0, x3 =
1
6
}
.
5 Representacion de lıneas y planos mediante vectores y ecua-
ciones lineales.
En esta seccion se mostrara como representar lıneas y planos en el espacio mediante dos diferentesmetodos:
1. Como combinaciones de vectores.
2. Como ecuaciones o sistemas de ecuaciones.
5.1 Representacion de planos como combinaciones de vectores y como ecua-
ciones lineales.
Considere el espacio fısico tridimensional, formado por puntos, lıneas, planos, etc. Si se selecciona unorigen arbitrario, los puntos estan en una relacion biunivoca, es decir inyectiva y sobreyectiva, con las
7
Figure 1: Punto P y sus coordenadas respecto al sistema coordenado.
Figure 2: Plano determinado por un punto P y dos vectores contenidos en el plano.
triadas ordenadas de numeros reales (x, y, z), vea la figura 1, que muestra un punto arbitrario y la triadade numeros reales correspondiente.
Una manera muy sencilla de definir un plano, se muestra en la figura 2. Si se conoce un punto P ydos vectores, que por comodidad se suponen unitarios, u, v, contenidos en el plano, todos los vectores deposicion de cualquier punto, digamos Q, contenido en el plano, esta dado por
PQ = {~rQ | ~rQ = ~rP + λ u+ µ v, donde λ, µ ∈ R} .
Sin embargo, existe otra manera de representar los vectores de posicion de los puntos, digamos Q,contenidos en el plano. Considere el plano mostrado en la figura 3, sea P y Q puntos contenidos en elplano, y sea u, un vector, que por comodidad se supone unitario, que es perpendicular al plano. Supongaque los vectores de posicion de los puntos P y Q y el vector unitario u estan dados por
~rP = (xP , yP , zP ) ~rQ = (x, y, z) y u = (ux, uy, uz).
Entonces el vector ~rQ − ~rP que conecta el punto P con un punto arbitrario contenido en el plano,digamos Q, esta contenido en el plano, y es, por lo tanto, perpendicular al vector u, que es perpendicularal plano. Es decir, la ecuacion del plano esta dado por
(~rP − ~rQ) · u = 0 o ~rQ · u = ~rP · u.
Sustituyendo las coordenadas de los vectores, se tiene que
(x, y, z) · (ux, uy, uz) = (xP , yP , zP ) · (ux, uy, uz)
uxx+ uyy + uzz = uxxP + uyyP + uzzP . (11)
8
Figure 3: Plano determinado por un punto P y un vector perpendicular al plano.
Es importante darse cuenta que la ecuacion (11) es una ecuacion lineal en tres incognitas, x, y, x. En-tonces, se ha llegado a un resultado importante, un plano en el espacio fısico tridimensional, se representamediante una ecuacion lineal en las coordenadas de los puntos. Note que el plano pasa por el origenO, si y solo si, la ecuacion lineal es homogenea.
5.2 Ejemplo 1.
Considere la ecuacion de un plano dada por
2x− 2 y + 2 z = 1, (12)
Esta ecuacion puede expresarse, despues de una redefinicion de las incognitas, como
2x1 − 2x2 + 2x3 = 1;
sin embargo, puesto que se busca una interpretacion geometrica de la ecuacion se cambio el significadode las incognitas. Es evidente que el origen del sistema coordenado (0, 0, 0) no forma parte del planorepresentado por la ecuacion (12), pues
2(0)− 2(0) + 2(0) = 0 6= 1.
La figura 4 muestra el plano representado por la ecuacion (12). Esta figura verifica que el origen no formaparte del plano.
5.3 Ejemplo 2.
Considere la ecuacion de un plano dada por
x− 7y + 10z = 0, (13)
Es evidente que el origen del sistema coordenado (0, 0, 0) forma parte del plano representado por laecuacion (13), pues
(0)− 7(0) + 10(0) = 0.
La figura 5 muestra el plano representado por la ecuacion (13). Esta figura verifica que el origen formaparte del plano.
9
Figure 4: Plano representado por la ecuacion (12).
Figure 5: Plano representado por la ecuacion (13).
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6 Determinacion de los diferentes casos de solucion de sistemas
de ecuaciones lineales.
En esta seccion se analizaran los diferentes casos de solucion, o ausencia de solucion, de sistemas deecuaciones lineales. Mas aun, esos casos se interpretaran a la luz de la representacion de ecuacioneslineales como planos en un espacio fısico tridimensional. Para tal fın conviene clasificar las matricesasociadas, a los sistemas de ecuaciones lineales, de acuerdo a las filas diferentes de cero que aparecen ensu forma escalonada previa a la posible solucion del sistema por el metodo de sustitucion inversa.
1. El numero de filas diferente de cero de la matriz augmentada, en su forma escalonada,es mayor que el numero de filas diferente de cero de la matriz de coeficientes, en suforma escalonada, del sistema de ecuaciones. En este caso, el sistema de ecuaciones tiene, almenos, una ecuacion lineal inconsistente. El sistema de ecuaciones no tiene solucion algunay el sistema de ecuaciones se denomina inconsistente.
2. El numero de filas diferente de cero de la matriz augmentada, en su forma escalonada,es igual al numero de filas diferente de cero de la matriz de coeficientes, en su formaescalonada, del sistema de ecuaciones.4 En este caso, el sistema de ecuaciones no tiene ningunaecuacion lineal inconsistente. El sistema de ecuaciones si tiene, al menos, una solucion y elsistema de ecuaciones se denomina consistente. Ademas, este caso admite una clasificacionmas fina.
(a) Si el numero de filas diferente de cero de la matriz augmentada, en su forma escalonada, esigual al numero de incognitas, el conjunto solucion del sistema de ecuaciones tiene un unicoelemento. En otras palabras, la solucion es unica.
(b) Si el numero de filas diferente de cero de la matriz augmentada, en su forma escalonada, esmenor al numero de incognitas, el conjunto solucion del sistema de ecuaciones tiene un numeroinfinito de elementos. De manera mas especıfica, el conjunto solucion tiene tantas variableslibres como la diferencia entre el numero de incognitas y el numero de filas diferente de cerode la matriz augmentada, en su forma escalonada.
Estos resultados se encuentran resumidos en la figura 6; sin embargo, se debe enfatizar que no es, engeneral, posible determinar el tipo de sistema y el numero de soluciones sin encontrar primero la formaescalonada de la matriz aumentada.
Un caso especial muy importante, que merece un analisis particular, es el de los sistemas de ecuacioneshomogeneos, en este caso, el numero de filas diferente de cero de la matriz augmentada, en su formaescalonada, es siempre igual al numero de filas diferente de cero de la matriz de coeficientes, en su formaescalonada, del sistema de ecuaciones.5
Entonces, estos sistemas siempre tienen al menos una solucion, denominada la trivial, y dada por
x1 = x2 = · · · = xn = 0. (14)
Entonces, se tienen dos posibles casos
1. Si el numero de filas diferente de cero de la matriz augmentada, en su forma escalonada, es igual alnumero de incognitas, el conjunto solucion del sistema de ecuaciones tiene un unico elemento. Enotras palabras, la solucion es unica y es la trivial, dada por la ecuacion (14).
2. Si el numero de filas diferente de cero de la matriz augmentada, en su forma escalonada, es menoral numero de incognitas, el conjunto solucion del sistema de ecuaciones tiene un numero infinito
4Cual es la razon por la cual el numero de filas diferente de cero de la matriz augmentada, en su forma escalonada, nopuede ser menor que el numero de filas diferente de cero de la matriz de coeficientes, en su forma escalonada, del sistemade ecuaciones?
5Cual es la razon de este resultado?
11
Figure 6: Resumen de los diferentes tipos de sistemas de ecuaciones lineales y el numero de soluciones.
12
de elementos. De manera mas especıfica, el conjunto solucion tiene tantas variables libres comola diferencia entre el numero de incognitas y el numero de filas diferente de cero de la matrizaugmentada, en su forma escalonada.
6.1 Ejemplo 3.
Considere el sistema de ecuaciones lineales dadas por la ecuacion
2x− 2 y + 2 z = 1
−3x+ 6 y + z = −1 (15)
−6x+ 6 y − 6 z = 4
Donde la matriz augmentada del sistema esta dada por
Ab =
2 −2 2 | 1−3 6 1 | −1−6 6 −6 | 4
Anadiendo a la segunda fila de la matriz augmentada, Ab,3
2veces la primera fila y anadiendo a la
tercera fila de la matriz augmentada, Ab, 3 veces la primera fila, se llega a la matriz augmentada delsistema de ecuaciones en forma escalonada. Esta matriz esta dada por
Ab1 =
2 −2 2 | 10 3 4 | 1
2
0 0 0 | 7
Como puede observarse, la matriz de coeficientes A en su forma escalonada unicamente tiene 2 filasdiferente de cero, mientras que la matriz augmentada Ab1 en su forma escalonada tiene 3 filas diferentede cero. El sistema de ecuaciones es inconsistente, y su conjunto solucion esta dado por
CS = ∅.
Este resultado, puede verificarse rapidamente notando, que la tercera ecuacion del sistema de ecuaciones,en su forma escalonada, esta dada por
0x+ 0y + 0z = 7.
Esta es una ecuacion lineal inconsistente, cuyo conjunto solucion, CS3 esta dado por
CS3 = ∅.
Una explicacion geometica de este resultado se muestra en la figura 7. Esta figura muestra los planosasociados a cada una de las ecuaciones del sistema lineal (15). En particular, los planos asociados alas ecuaciones 1 y 3 son paralelos, y estos se interesectan solo en el infinito, recuerde que infinito no esun numero real. Es pues evidente que el sistema de ecuaciones lineales es inconsistente y su conjuntosolucion es CS = ∅.
6.2 Ejemplo 4.
Considere el sistema de ecuaciones lineales dadas por la ecuacion
2x− 2 y + 2 z = 1
−3x+ 6 y + z = −1 (16)
−6x+ 6 y − 6 z = −3
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Figure 7: Dos vistas de los planos correspondientes al sistema de ecuaciones dado por la ecuacion 15.
Donde la matriz augmentada del sistema esta dada por
Ab =
2 −2 2 | 1−3 6 1 | −1−6 6 −6 | −3
Anadiendo a la segunda fila de la matriz augmentada, Ab,3
2veces la primera fila y anadiendo a la
tercera fila de la matriz augmentada, Ab, 3 veces la primera fila, se llega a la matriz augmentada delsistema de ecuaciones en forma escalonada. Esta matriz esta dada por
Ab1 =
2 −2 2 | 10 3 4 | 1
2
0 0 0 | 0
Como puede observarse, tanto la matriz de coeficientes A como la matriz augmentada Ab en su formaescalonada tiene 2 filas diferente de cero. Este resultado indica que el sistema de ecuaciones es consistentey tiene solucion. Mas aun, el numero de filas diferente de cero, 2, es menor que el numero de incognitas,3, de manera que el sistema tiene soluciones multiples, de manera mas especıfica, el conjunto soluciontiene una variable libre.
El proceso de solucion inversa, conduce al siguiente conjunto solucion
CS =
{(
2
3−
7
3z,
1
6−
4
3z, z
)
| z ∈ R
}
Una explicacion geometrica de este resultado se muestra en la figura 8. Esta figura muestra los planosasociados a cada una de las ecuaciones del sistema lineal (16). Note que la figura unicamente muestra 2planos, la razon es que los planos asociados a las ecuaciones 1 y 3 son, ademas de paralelos, coincidentes.El conjunto solucion esta representado geometricamente por la lınea que constituye la interseccion deambos planos.
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Figure 8: Dos vistas de los planos correspondientes al sistema de ecuaciones dado por la ecuacion 16.
Figure 9: Flujos en una red.
6.3 Ejemplo 4.
a. Encuentre los patrones generales de los flujos de la red mostrada en la figura 9.b. Suponiendo que los flujos ocurren en las direcciones indicadas, encuentre los flujos mınimos en las
ramas denotadas por x2, x3, x4 y x5.6.
Solucion: Las ecuaciones asociadas a cada uno de los nodos de la red estan dadas por
1. Nodo A30 + x2 = 80 + x1 x1 − x2 = −50 Ecuacion 1
2. Nodo Bx3 + x5 = x2 + x4 x2 − x3 + x4 − x5 = 0 Ecuacion 3
3. Nodo C100 + x6 = 40 + x5 x5 − x6 = 60 Ecuacion 5
6Este es el problema 13, de la seccion 1.6 del libro Lay, D. [2012], Linear Algebra and its Applications, Fourth Edition,Boston: Addison-Wesley
15
4. Nodo D40 + x4 = 90 + x6 x4 − x6 = 50 Ecuacion 4
5. Nodo E60 + x1 = x3 + 20 x1 − x3 = −40 Ecuacion 2
Ademas, se requiere que los flujos ocurran en la direccion indicada en la figura 9, se tiene comocondicion
x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 x3 ≥ 0 x4 ≥ 0 x5 ≥ 0 x6 ≥ 0
El sistema de ecuaciones esta dado en forma matricial por
1 −1 0 0 0 01 0 −1 0 0 00 1 −1 1 −1 00 0 0 1 0 −10 0 0 0 1 −1
x1
x2
x3
x4
x5
x6
=
−50−4005060
La matriz aumentada esta dada por
1 −1 0 0 0 0 −501 0 −1 0 0 0 −400 1 −1 1 −1 0 00 0 0 1 0 −1 500 0 0 0 1 −1 60
La primera etapa de diagonalizacion de la matriz aumentada requiere de multiplicar la primera fila por−1 y sumarla a la segunda fila, el resultado es
1 −1 0 0 0 0 −500 1 −1 0 0 0 100 1 −1 1 −1 0 00 0 0 1 0 −1 500 0 0 0 1 −1 60
La segunda etapa de diagonalizacion de la matriz aumentada requiere de multiplicar la segunda fila por−1 y sumarla a la tercera fila, el resultado es
1 −1 0 0 0 0 −500 1 −1 0 0 0 100 0 0 1 −1 0 −100 0 0 1 0 −1 500 0 0 0 1 −1 60
La segunda etapa de diagonalizacion de la matriz aumentada requiere de multiplicar la tercera fila por−1 y sumarla a la cuarta fila, el resultado es
1 −1 0 0 0 0 −500 1 −1 0 0 0 100 0 0 1 −1 0 −100 0 0 0 1 −1 600 0 0 0 1 −1 60
16
Es evidente que las dos ultimas filas de la matriz aumentada son iguales; es decir, las dos ultimasecuaciones son redundantes y una de ellas puede eliminarse. La matriz aumentada en su forma reducidaes
1 −1 0 0 0 0 −500 1 −1 0 0 0 100 0 0 1 −1 0 −100 0 0 0 1 −1 60
Puesto que el numero de filas diferentes de cero de la matriz aumentada es igual al numero de filasdiferentes de cero de la matriz de coeficientes, el sistema tiene solucion. Mas aun, puesto que hay cuatrofilas diferentes de cero de la matriz de coeficientes y seis incognitas, el sistema tiene soluciones multiplesy dos variables libres. Las ecuaciones resultantes son
x1 − x2 = −50
x2 − x3 = 10
x4 − x5 = −10
x5 − x6 = 60
Como variables libres se seleccionaran x6 y x3, note que no es posible seleccionar x6 y x5. Las solucionesestan dadas por
x5 = x6 + 60
x4 = x5 − 10 = x6 + 60− 10 = x6 + 50
x2 = x3 + 10
x1 = x2 − 50 = x3 + 10− 50 = x3 − 40
El conjunto solucion del sistema de ecuaciones esta dada por
CS = {(x1 = x3 − 40, x2 = x3 + 10, x3, x4 = x6 + 50, x5 = x6 + 60, x6)|x3, x6 ∈ R}
Por la condicion de que todos los flujos deben ser mayores o iguales a cero, los flujos mınimos son
x6 = 0 x5 = 60 x4 = 50 x3 = 40 x2 = 50 x1 = 0.
6.4 Ejemplo 5.
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones en el campo de los numeros complejos, C.
(3 + 5 i) z1 + (2− 3 i) z2 = 4− 3 i
(−1 + 2 i) z1 + (5 + 4 i) z2 = 5 + 2 i
Solucion: Se mostraran dos diferentes metodos de solucion para estos sistemas de ecuaciones.
1. Primer metodo. En este primer metodo, el objetivo es escalonar el sistema sin descomponer losnumeros complejos, en sus componentes reales e imaginarios.
El primer paso consiste en multiplicar la primera ecuacion por (−1 + 2 i) y multiplicar la segundaecuacion −(3 + 5 i) y sumar termino a termino.
(−1 + 2 i)(3 + 5 i) z1 + (−1 + 2 i)(2− 3 i) z2 = (−1 + 2 i)(4− 3 i)
−(3 + 5 i)(−1 + 2 i) z1 − (3 + 5 i)(5 + 4 i) z2 = −(3 + 5 i)(5 + 2 i)
Se obtiene la ecuacion
[(−1 + 2 i)(2− 3 i)− (3 + 5 i)(5 + 4 i)] z2 = (−1 + 2 i)(4− 3 i)− (3 + 5 i)(5 + 2 i)
[−2 + 6 + 4 i+ 3 i− 15 + 20− 25 i− 12 i] z2 = −4 + 6 + 8 i+ 3 i− 15 + 10− 6 i− 25 i
(9− 30 i)z2 = −3 − 20 i
17
Puede pensarse que el sistema se ha diagonalizado a
(3 + 5 i) z1 + (2− 3 i) z2 = 4− 3 i
(9− 30 i)z2 = −3 − 20 i
El inverso multiplicativo de (9− 30 i) esta dado por
9 + 30 i
92 + (−30)2=
9 + 30 i
981
Por lo tanto
z2 =9 + 30 i
981(−3 − 20 i) =
−27 + 600− 180 i− 90 i
981=
573− 270 i
981=
191
327−
30
109i
Sustituyendo este resultado en la primera ecuacion, se tiene que
(3 + 5 i) z1 = 4− 3 i− (2− 3 i)
(
191
327−
30
109i
)
= 4− 2191
327+ 3
30
109+
(
−3 + 230
109+ 3
191
327
)
i
=
(
1308− 382 + 270
327
)
+
(
−327 + 60 + 191
109
)
i =1196
327−
76
109i
El inverso multiplicativo de (3 + 5 i) esta dado por
3− 5 i
32 + (−5)2=
3− 5 i
34
Por lo tanto
z1 =3− 5 i
34
(
1196
327−
76
109
)
i =
[
3
34
1196
327−
5
34
76
109
]
+
[
−3
34
76
109−
5
34
1196
327
]
i
=
[
1196− 380
(34)(109)
]
+
[
−684− 5980
(34)(327)
]
i =816
(34)(109)−
6664
(34)(327)i =
24
109−
196
327i
2. Segundo metodo.
En este segundo metodo, el objetivo es descomponer los numeros complejos, en sus componentesreales e imaginarios. Es decir
z1 = a1 + b1 i z2 = a2 + b2 i
Por lo tanto, el sistema de ecuaciones resulta
(3 + 5 i) (a1 + b1 i) + (2− 3 i) (a2 + b2 i) = 4− 3 i
(−1 + 2 i) (a1 + b1 i) + (5 + 4 i) (a2 + b2 i) = 5 + 2 i
Desarrollando el sistema, se tiene que
(3 a1 − 5 b1 + 2 a2 + 3 b2) + (3 b1 + 5 a1 + 2 b2 − 3 a2) i = 4− 3 i
(−a1 − 2 b1 + 5 a2 − 4 b2) + (2 a1 − b1 + 5 b2 + 4 a2) i = 5 + 2 i
Igualando las partes reales e imaginarias, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones en el campo delos numeros reales R.
3 a1 − 5 b1 + 2 a2 + 3 b2 = 4
3 b1 + 5 a1 + 2 b2 − 3 a2 = −3
−a1 − 2 b1 + 5 a2 − 4 b2 = 5
2 a1 − b1 + 5 b2 + 4 a2 = 2
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Reordenando el sistema se tiene que
a1 + 2 b1 − 5 a2 + 4 b2 = −5
3 a1 − 5 b1 + 2 a2 + 3 b2 = 4
5 a1 + 3 b1 − 3 a2 + 2 b2 = −3
2 a1 − b1 + 4 a2 + 5 b2 = 2
En la primera etapa de escalonamiento, se tiene que
a1 + 2 b1 − 5 a2 + 4 b2 = −5
11 b1 − 17 a2 + 9 b2 = −19
7 b1 − 22 a2 + 18 b2 = −22
5 b1 − 14 a2 + 3 b2 = −12
En la segunda etapa de escalonamiento, se tiene que
a1 + 2 b1 − 5 a2 + 4 b2 = −5
11 b1 − 17 a2 + 9 b2 = −19
123 a2 − 135 b2 = 109
69 a2 + 12 b2 = 37
En la etapa final de escalonamiento, se tiene que
a1 + 2 b1 − 5 a2 + 4 b2 = −5
11 b1 − 17 a2 + 9 b2 = −19
123 a2 − 135 b2 = 109
−3597 b2 = 990
Por lo tanto
b2 = −990
3597= −
30
109
a2 =109− 135 30
109
123=
7831
(109)(123)=
191
327
b1 =−19 + 17 191
327− 9(− 30
109)
11=
−19(327) + 17(191) + 27(30)
(11)(327)=
−2156
(11)(327)= −
196
327
a1 = −5− 2 (−196
327) + 5
191
327− 4(−
30
109) =
−1635 + 392 + 955 + 360
327=
72
327=
24
109
De manera que la solucion esta dada por
z1 = a1 + b1 i =24
109−
196
327i z2 = a2 + b2 i =
191
327−
30
109i
19
