8/18/2019 Solución a dos problemas del Rudin

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Problemas del Rudin

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1 Problema 16 Teorema de Egoroff 

Si µ(X ) < ∞, {f n} es una sucesión de funciones complejo medibles que convergepuntualmente en cada punto punto de x y   >  0, entonces existe un conjuntomedible  E  ⊆ X  tal que  µ(X − E ) <  y {f n} converge uniformemente en  E .

Prueba   Sea

S (n, k) =

i,j>n

x : |f i(x)− f j(y)| <   1

k

Obs:1.Este conjunto es medible.2.   S (n, k) ⊆ S (n + 1, k), pues

S (n, k) = i,j>n+1

x : |f i(x)− f j(y)| <  1

k ∩

i=n+1

j>n+1

x : |f i(x)− f j(y)| <  1

k =

=   S (n + 1, k) ∩

i=n+1

j>n+1

x : |f i(x)− f j(y)| <   1

k

También tenemos que   X   = ∞

n=1 S (n, k).  Pues, dada   x ∈   X   (fijando   k), ten-emos por hipótesis que   f n  →   f   puntualmente. Entonces existe   N   tal que|f i(x)− f j(x)| <   1k , si  i,j > N  (pues toda sucesión convergente es de Cauchy),aśı  x ∈ S (N, k), por tanto  x ∈

∞

n=1 S (n, k).

Entonces tenemos una sucesión creciente de conjuntos medibles   S (n, k) conX  =

∞

n=1 S (n, k). Esto implica (por un teorema anterior) que:

µ(S (n, k)) −→ µ(X )

1

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Entonces, para cada  k  = 1, 2, 3,..., sea  nk  tal que:

|µ(S (nk, k))− µ(X )| <   2k

Sea

E  =

∞k=1

S (nk, k)

Afirmamos que este conjunto  E  cumple con lo pedido en el teorema.

Obs:   X −E  = ∞k=1 (X − S (nk, k))Entonces, tenemos que:µ(X −E )   ≤

∞k=1

µ(X − S (nk, k))

=

∞k=1

µ(X )− µ(S (nk, k))

≤∞k=1

|µ(X )− µ(S (nk, k))|

<

∞

k=1

2k

=  

Ahora veamos que   f n  −→   f   uniformemente en   E . Para   >   0, sea   k   talque   1

k  < . Notemos que si   x ∈   S (nk, k), entonces |f i(x)− f j(x)|   <   1k   < ,∀i, j ≥ nk.

Entonces, como   E  ⊆   S (nk, k), tenemos que para   >   0 existe   nk   tal que∀i, j ≥ nk  se cumple |f i(x)− f j(x)| < , ∀x ∈ E . Si fijamos i  en la expresión an-terior y tomamos el ĺımite cuando  j → ∞, tenemos: |f i(x)− f (x)| < , ∀x ∈ E .Por tanto  f n −→ f  uniformemente en  E .

2 Problema 12

Supongamos que  µ(Ω) = 1 y que  h  : Ω → [0,∞] es medible. Si

A =

 Ω

h dµ

2

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Demostrar que:

 1 + A

2

≤  Ω 1 + h2 dµ ≤ 1 + APrueba   Si   A  = ∞  o si   A   = 0 se cumple la desigualdad. Aśı que podemossuponer que 0   < A