Congruencias y solución de problemas

Instituto de VeranoAFAMaC 2010Arturo Portnoy

Congruencias

● Supongamos que en este momento son las 10:00 am. ¿Qué hora será dentro de 2500 horas? ¿Y qué hora fue hace 2500 horas?

Congruencias

● Decimos que a≡b (mod n) si n|a-b.● La congruencia induce una relación de

equivalencia en los enteros.● Encontrar las clases de equivalencia módulo 4.

Congruencias

● Encontrar 2 enteros positivos y 2 negativos ≡ 38 (mod 3).

Congruencias

● Propiedades algebráicas de la congruencia.

Congruencias

● Encontrar el residuo módulo 5 de 37^4+49(801)+120.

Congruencias

● Principio de sustitución: en sumas y productos en una congruencia podemos sustituir cantidades congruentes.

● OJO: 12^6≡2^6 (mod 5) pero 2^6 no es congruente a 2^1 (mod 5).

Congruencias

● Demostrar que módulo 3 y módulo 9, cualquier número es congruente a la suma de sus dígitos. Estos son los criterios de divisibilidad para el 3 y 9.

Congruencias

● Encontrar el dígito de las unidades de 2(325)+3(8^7)+5104+123^5.

Congruencias

● Encontrar el dígito de las unidades de 3^2008+3^2006.

Congruencias

● Deducir el criterio de divisibilidad del 11, usando congruencias.

Congruencias

● Se tienen 2003 tarjetas numeradas. Se remueven de 3 consecutivas en 3 consecutivas hasta quedar 2. Juan dice que quedó la tarjeta 1002. ¿Miente o dice la verdad?

Congruencias

● Conjuntos de residuos: Zn.● Operaciones en Zn.

Congruencias

● Probar que en cualquier colección de 7 o más enteros siempre hay dos cuya suma o diferencia es divisible entre 11.

Congruencias

● Escribir tabla de suma y producto para Z2, Z3, Z4, Z5 y Z6. Observar inversos aditivos y multiplicativos.

Congruencias

● Encontrar el inverso multiplicativo de 3 módulo 17.

Congruencias

● Encontrar el inverso multiplicativo de 12 módulo 15.

Congruencias

● Aparear cada uno de los elementos invertibles bajo el producto de Z12 con sus inversos. Repetir para Z17.

Congruencias

● Encontrar, si existen, las soluciones de 4x≡5 (mod 7).

● Repetir para 4x≡5 (mod 6).● Repetir para 4x≡8 (mod 6).

Congruencias

● Un vendedor de naranjas quiere saber cuantas naranjas tenía ayer. Solo recuerda que eran mas de 100 pero menos de 150 y que cuando hacía montones de 2, 3, 4, 5, 6 naranjas siempre sobraba 1.

Congruencias

● Si S(n) denota la suma de los dígitos de un número natural n, encuentre todas las soluciones de n(S(n)-1)=2010, mostrando que son las únicas. (Problema 1, XII OMCC)

Congruencias

● Solución de Marcos Pertierra (estudiante de OMPR).

● Sabemos que S(n)≡n (mod 9).

● n(S(n)-1)≡n(n-1)≡2010≡3 (mod 9).

● n²-n-3≡n²-n-12≡0 (mod 9).

● (n+3)(n-4)≡0 (mod 9).

● Por lo tanto, n≡6 (mod 9) o n≡4 (mod 9).

● Además, como n|2010, los únicos factores que satisfacen lo anterior son 6, 15, 67, 402, 670 y 1005.

● Probando cada uno vemos que el único que sirve es 402.