Congruencias y semejanzas de figuras planas

Srta Yanira Castro Lizana

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

2

Son ideacutenticas

Ejemplos de CongruenciaEjemplos de Congruencia

ESTA S S I SON F I GU R A S CON GR U EN TESESTA S S I SON F I GU R A S CON GR U EN TES

ESTA S S I SON F I GU R A S CON GR U EN TESESTA S S I SON F I GU R A S CON GR U EN TES

ESTA SESTA S N O SON F I GU R A S CON GR U N TESSON F I GU R A S CON GR U N TES

CongruenciaCongruencia

Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma

forma y tamantildeo es decir si al colocarlas una sobre otra son coincidentes en toda su extensioacuten

Criterios de congruencia

Triaacutengulos congruentes

Dos triaacutengulos son congruentes si y soacutelo si sus partes correspondientes son congruentes

A

B C

D

E F

ABC cong DEF

Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si

Sus lados correspondientes son iguales Sus aacutengulos correspondiente son iguales En la figura

A

EFACDFBCEDAB ===

B

C

E

F D

α β

γ

α

βγ

POSTULADOS DE CONGRUENCIA

Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los de otro entonces los triaacutengulos son congruentes

Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste son congruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entre ellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otro lado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutengulo son congruentes con los del otro triangulo entonces los triaacutengulos son congruentes

Postulado LLL

Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E F

ABC cong DEF

Postulado ALA

Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A B

C

DE

ABC cong CDE

Postulado AAL

Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E

ABC cong EFD

F

Postulado LAL

Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes

A

B

C D

E

ABC cong DEF

F

Ejemplos 1) En la figura se tiene un triaacutengulo

ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes

2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones

Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

22

A

B

C

BASE MEDIA

PROPIEDAD

M N 2AC

MN =

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

24

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

SemejanzaSemejanza

bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

Dos figuras del plano son

semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por

pares cualesquiera de puntos

correspondientes son iguales

ML

MLes la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

= = =

se llama razoacuten de semejanza

29

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

32

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

x 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

33

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC

PQ QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

sim

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

37

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

αacuteα

βacute

βγacute

γ

Es decir Si α = αacute β = βacute

de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute =

ccacute

c

cacute

y α = αacute

ααacute

Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

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iquestCoacutemo son las figuras mostradas

2

Son ideacutenticas

Ejemplos de CongruenciaEjemplos de Congruencia

ESTA S S I SON F I GU R A S CON GR U EN TESESTA S S I SON F I GU R A S CON GR U EN TES

ESTA S S I SON F I GU R A S CON GR U EN TESESTA S S I SON F I GU R A S CON GR U EN TES

ESTA SESTA S N O SON F I GU R A S CON GR U N TESSON F I GU R A S CON GR U N TES

CongruenciaCongruencia

Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma

forma y tamantildeo es decir si al colocarlas una sobre otra son coincidentes en toda su extensioacuten

Criterios de congruencia

Triaacutengulos congruentes

Dos triaacutengulos son congruentes si y soacutelo si sus partes correspondientes son congruentes

A

B C

D

E F

ABC cong DEF

Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si

Sus lados correspondientes son iguales Sus aacutengulos correspondiente son iguales En la figura

A

EFACDFBCEDAB ===

B

C

E

F D

α β

γ

α

βγ

POSTULADOS DE CONGRUENCIA

Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los de otro entonces los triaacutengulos son congruentes

Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste son congruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entre ellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otro lado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutengulo son congruentes con los del otro triangulo entonces los triaacutengulos son congruentes

Postulado LLL

Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E F

ABC cong DEF

Postulado ALA

Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A B

C

DE

ABC cong CDE

Postulado AAL

Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E

ABC cong EFD

F

Postulado LAL

Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes

A

B

C D

E

ABC cong DEF

F

Ejemplos 1) En la figura se tiene un triaacutengulo

ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes

2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones

Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

22

A

B

C

BASE MEDIA

PROPIEDAD

M N 2AC

MN =

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

24

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

SemejanzaSemejanza

bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

Dos figuras del plano son

semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por

pares cualesquiera de puntos

correspondientes son iguales

ML

MLes la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

= = =

se llama razoacuten de semejanza

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SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

32

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

x 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

33

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC

PQ QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

sim

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

37

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

αacuteα

βacute

βγacute

γ

Es decir Si α = αacute β = βacute

de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute =

ccacute

c

cacute

y α = αacute

ααacute

Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

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Ejemplos de CongruenciaEjemplos de Congruencia

ESTA S S I SON F I GU R A S CON GR U EN TESESTA S S I SON F I GU R A S CON GR U EN TES

ESTA S S I SON F I GU R A S CON GR U EN TESESTA S S I SON F I GU R A S CON GR U EN TES

ESTA SESTA S N O SON F I GU R A S CON GR U N TESSON F I GU R A S CON GR U N TES

CongruenciaCongruencia

Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma

forma y tamantildeo es decir si al colocarlas una sobre otra son coincidentes en toda su extensioacuten

Criterios de congruencia

Triaacutengulos congruentes

Dos triaacutengulos son congruentes si y soacutelo si sus partes correspondientes son congruentes

A

B C

D

E F

ABC cong DEF

Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si

Sus lados correspondientes son iguales Sus aacutengulos correspondiente son iguales En la figura

A

EFACDFBCEDAB ===

B

C

E

F D

α β

γ

α

βγ

POSTULADOS DE CONGRUENCIA

Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los de otro entonces los triaacutengulos son congruentes

Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste son congruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entre ellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otro lado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutengulo son congruentes con los del otro triangulo entonces los triaacutengulos son congruentes

Postulado LLL

Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E F

ABC cong DEF

Postulado ALA

Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A B

C

DE

ABC cong CDE

Postulado AAL

Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E

ABC cong EFD

F

Postulado LAL

Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes

A

B

C D

E

ABC cong DEF

F

Ejemplos 1) En la figura se tiene un triaacutengulo

ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes

2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones

Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

22

A

B

C

BASE MEDIA

PROPIEDAD

M N 2AC

MN =

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

24

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

SemejanzaSemejanza

bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

Dos figuras del plano son

semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por

pares cualesquiera de puntos

correspondientes son iguales

ML

MLes la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

= = =

se llama razoacuten de semejanza

29

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

32

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

x 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

33

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC

PQ QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

sim

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

37

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

αacuteα

βacute

βγacute

γ

Es decir Si α = αacute β = βacute

de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute =

ccacute

c

cacute

y α = αacute

ααacute

Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

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CongruenciaCongruencia

Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma

forma y tamantildeo es decir si al colocarlas una sobre otra son coincidentes en toda su extensioacuten

Criterios de congruencia

Triaacutengulos congruentes

Dos triaacutengulos son congruentes si y soacutelo si sus partes correspondientes son congruentes

A

B C

D

E F

ABC cong DEF

Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si

Sus lados correspondientes son iguales Sus aacutengulos correspondiente son iguales En la figura

A

EFACDFBCEDAB ===

B

C

E

F D

α β

γ

α

βγ

POSTULADOS DE CONGRUENCIA

Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los de otro entonces los triaacutengulos son congruentes

Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste son congruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entre ellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otro lado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutengulo son congruentes con los del otro triangulo entonces los triaacutengulos son congruentes

Postulado LLL

Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E F

ABC cong DEF

Postulado ALA

Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A B

C

DE

ABC cong CDE

Postulado AAL

Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E

ABC cong EFD

F

Postulado LAL

Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes

A

B

C D

E

ABC cong DEF

F

Ejemplos 1) En la figura se tiene un triaacutengulo

ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes

2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones

Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

22

A

B

C

BASE MEDIA

PROPIEDAD

M N 2AC

MN =

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

24

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

SemejanzaSemejanza

bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

Dos figuras del plano son

semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por

pares cualesquiera de puntos

correspondientes son iguales

ML

MLes la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

= = =

se llama razoacuten de semejanza

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SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

32

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

x 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

33

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC

PQ QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

sim

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

37

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

αacuteα

βacute

βγacute

γ

Es decir Si α = αacute β = βacute

de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute =

ccacute

c

cacute

y α = αacute

ααacute

Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

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Criterios de congruencia

Triaacutengulos congruentes

Dos triaacutengulos son congruentes si y soacutelo si sus partes correspondientes son congruentes

A

B C

D

E F

ABC cong DEF

Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si

Sus lados correspondientes son iguales Sus aacutengulos correspondiente son iguales En la figura

A

EFACDFBCEDAB ===

B

C

E

F D

α β

γ

α

βγ

POSTULADOS DE CONGRUENCIA

Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los de otro entonces los triaacutengulos son congruentes

Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste son congruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entre ellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otro lado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutengulo son congruentes con los del otro triangulo entonces los triaacutengulos son congruentes

Postulado LLL

Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E F

ABC cong DEF

Postulado ALA

Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A B

C

DE

ABC cong CDE

Postulado AAL

Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E

ABC cong EFD

F

Postulado LAL

Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes

A

B

C D

E

ABC cong DEF

F

Ejemplos 1) En la figura se tiene un triaacutengulo

ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes

2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones

Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

22

A

B

C

BASE MEDIA

PROPIEDAD

M N 2AC

MN =

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

24

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

SemejanzaSemejanza

bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

Dos figuras del plano son

semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por

pares cualesquiera de puntos

correspondientes son iguales

ML

MLes la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

= = =

se llama razoacuten de semejanza

29

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

32

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

x 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

33

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC

PQ QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

sim

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

37

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

αacuteα

βacute

βγacute

γ

Es decir Si α = αacute β = βacute

de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute =

ccacute

c

cacute

y α = αacute

ααacute

Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

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Triaacutengulos congruentes

Dos triaacutengulos son congruentes si y soacutelo si sus partes correspondientes son congruentes

A

B C

D

E F

ABC cong DEF

Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si

Sus lados correspondientes son iguales Sus aacutengulos correspondiente son iguales En la figura

A

EFACDFBCEDAB ===

B

C

E

F D

α β

γ

α

βγ

POSTULADOS DE CONGRUENCIA

Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los de otro entonces los triaacutengulos son congruentes

Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste son congruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entre ellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otro lado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutengulo son congruentes con los del otro triangulo entonces los triaacutengulos son congruentes

Postulado LLL

Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E F

ABC cong DEF

Postulado ALA

Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A B

C

DE

ABC cong CDE

Postulado AAL

Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E

ABC cong EFD

F

Postulado LAL

Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes

A

B

C D

E

ABC cong DEF

F

Ejemplos 1) En la figura se tiene un triaacutengulo

ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes

2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones

Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

22

A

B

C

BASE MEDIA

PROPIEDAD

M N 2AC

MN =

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

24

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

SemejanzaSemejanza

bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

Dos figuras del plano son

semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por

pares cualesquiera de puntos

correspondientes son iguales

ML

MLes la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

= = =

se llama razoacuten de semejanza

29

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

32

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

x 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

33

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC

PQ QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

sim

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

37

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

αacuteα

βacute

βγacute

γ

Es decir Si α = αacute β = βacute

de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute =

ccacute

c

cacute

y α = αacute

ααacute

Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

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Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si

Sus lados correspondientes son iguales Sus aacutengulos correspondiente son iguales En la figura

A

EFACDFBCEDAB ===

B

C

E

F D

α β

γ

α

βγ

POSTULADOS DE CONGRUENCIA

Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los de otro entonces los triaacutengulos son congruentes

Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste son congruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entre ellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otro lado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutengulo son congruentes con los del otro triangulo entonces los triaacutengulos son congruentes

Postulado LLL

Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E F

ABC cong DEF

Postulado ALA

Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A B

C

DE

ABC cong CDE

Postulado AAL

Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E

ABC cong EFD

F

Postulado LAL

Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes

A

B

C D

E

ABC cong DEF

F

Ejemplos 1) En la figura se tiene un triaacutengulo

ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes

2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones

Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

22

A

B

C

BASE MEDIA

PROPIEDAD

M N 2AC

MN =

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

24

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

SemejanzaSemejanza

bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

Dos figuras del plano son

semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por

pares cualesquiera de puntos

correspondientes son iguales

ML

MLes la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

= = =

se llama razoacuten de semejanza

29

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

32

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

x 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

33

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC

PQ QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

sim

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

37

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

αacuteα

βacute

βγacute

γ

Es decir Si α = αacute β = βacute

de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute =

ccacute

c

cacute

y α = αacute

ααacute

Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

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POSTULADOS DE CONGRUENCIA

Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los de otro entonces los triaacutengulos son congruentes

Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste son congruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entre ellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otro lado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutengulo son congruentes con los del otro triangulo entonces los triaacutengulos son congruentes

Postulado LLL

Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E F

ABC cong DEF

Postulado ALA

Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A B

C

DE

ABC cong CDE

Postulado AAL

Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E

ABC cong EFD

F

Postulado LAL

Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes

A

B

C D

E

ABC cong DEF

F

Ejemplos 1) En la figura se tiene un triaacutengulo

ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes

2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones

Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

22

A

B

C

BASE MEDIA

PROPIEDAD

M N 2AC

MN =

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

24

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

SemejanzaSemejanza

bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

Dos figuras del plano son

semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por

pares cualesquiera de puntos

correspondientes son iguales

ML

MLes la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

= = =

se llama razoacuten de semejanza

29

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

32

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

x 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

33

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC

PQ QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

sim

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

37

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

αacuteα

βacute

βγacute

γ

Es decir Si α = αacute β = βacute

de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute =

ccacute

c

cacute

y α = αacute

ααacute

Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

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Postulado LLL

Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E F

ABC cong DEF

Postulado ALA

Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A B

C

DE

ABC cong CDE

Postulado AAL

Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E

ABC cong EFD

F

Postulado LAL

Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes

A

B

C D

E

ABC cong DEF

F

Ejemplos 1) En la figura se tiene un triaacutengulo

ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes

2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones

Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

22

A

B

C

BASE MEDIA

PROPIEDAD

M N 2AC

MN =

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

24

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

SemejanzaSemejanza

bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

Dos figuras del plano son

semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por

pares cualesquiera de puntos

correspondientes son iguales

ML

MLes la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

= = =

se llama razoacuten de semejanza

29

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

32

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

x 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

33

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC

PQ QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

sim

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

37

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

αacuteα

βacute

βγacute

γ

Es decir Si α = αacute β = βacute

de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute =

ccacute

c

cacute

y α = αacute

ααacute

Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

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Postulado ALA

Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A B

C

DE

ABC cong CDE

Postulado AAL

Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E

ABC cong EFD

F

Postulado LAL

Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes

A

B

C D

E

ABC cong DEF

F

Ejemplos 1) En la figura se tiene un triaacutengulo

ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes

2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones

Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

22

A

B

C

BASE MEDIA

PROPIEDAD

M N 2AC

MN =

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

24

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

SemejanzaSemejanza

bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

Dos figuras del plano son

semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por

pares cualesquiera de puntos

correspondientes son iguales

ML

MLes la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

= = =

se llama razoacuten de semejanza

29

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

32

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

x 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

33

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC

PQ QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

sim

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

37

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

αacuteα

βacute

βγacute

γ

Es decir Si α = αacute β = βacute

de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute =

ccacute

c

cacute

y α = αacute

ααacute

Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

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Postulado AAL

Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E

ABC cong EFD

F

Postulado LAL

Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes

A

B

C D

E

ABC cong DEF

F

Ejemplos 1) En la figura se tiene un triaacutengulo

ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes

2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones

Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

22

A

B

C

BASE MEDIA

PROPIEDAD

M N 2AC

MN =

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

24

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

SemejanzaSemejanza

bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

Dos figuras del plano son

semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por

pares cualesquiera de puntos

correspondientes son iguales

ML

MLes la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

= = =

se llama razoacuten de semejanza

29

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

32

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

x 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

33

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC

PQ QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

sim

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

37

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

αacuteα

βacute

βγacute

γ

Es decir Si α = αacute β = βacute

de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute =

ccacute

c

cacute

y α = αacute

ααacute

Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

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Postulado LAL

Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes

A

B

C D

E

ABC cong DEF

F

Ejemplos 1) En la figura se tiene un triaacutengulo

ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes

2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones

Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

22

A

B

C

BASE MEDIA

PROPIEDAD

M N 2AC

MN =

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

24

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

SemejanzaSemejanza

bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

Dos figuras del plano son

semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por

pares cualesquiera de puntos

correspondientes son iguales

ML

MLes la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

= = =

se llama razoacuten de semejanza

29

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

32

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

x 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

33

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC

PQ QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

sim

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

37

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

αacuteα

βacute

βγacute

γ

Es decir Si α = αacute β = βacute

de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute =

ccacute

c

cacute

y α = αacute

ααacute

Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

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Ejemplos 1) En la figura se tiene un triaacutengulo

ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes

2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones

Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

22

A

B

C

BASE MEDIA

PROPIEDAD

M N 2AC

MN =

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

24

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

SemejanzaSemejanza

bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

Dos figuras del plano son

semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por

pares cualesquiera de puntos

correspondientes son iguales

ML

MLes la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

= = =

se llama razoacuten de semejanza

29

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

32

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

x 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

33

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC

PQ QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

sim

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

37

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

αacuteα

βacute

βγacute

γ

Es decir Si α = αacute β = βacute

de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute =

ccacute

c

cacute

y α = αacute

ααacute

Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

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2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones

Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

22

A

B

C

BASE MEDIA

PROPIEDAD

M N 2AC

MN =

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

24

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

SemejanzaSemejanza

bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

Dos figuras del plano son

semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por

pares cualesquiera de puntos

correspondientes son iguales

ML

MLes la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

= = =

se llama razoacuten de semejanza

29

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

32

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

x 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

33

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC

PQ QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

sim

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

37

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

αacuteα

βacute

βγacute

γ

Es decir Si α = αacute β = βacute

de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute =

ccacute

c

cacute

y α = αacute

ααacute

Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

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PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

22

A

B

C

BASE MEDIA

PROPIEDAD

M N 2AC

MN =

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

24

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

SemejanzaSemejanza

bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

Dos figuras del plano son

semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por

pares cualesquiera de puntos

correspondientes son iguales

ML

MLes la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

= = =

se llama razoacuten de semejanza

29

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

32

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

x 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

33

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC

PQ QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

sim

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

37

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

αacuteα

βacute

βγacute

γ

Es decir Si α = αacute β = βacute

de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute =

ccacute

c

cacute

y α = αacute

ααacute

Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

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TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

22

A

B

C

BASE MEDIA

PROPIEDAD

M N 2AC

MN =

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

24

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

SemejanzaSemejanza

bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

Dos figuras del plano son

semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por

pares cualesquiera de puntos

correspondientes son iguales

ML

MLes la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

= = =

se llama razoacuten de semejanza

29

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

32

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

x 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

33

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC

PQ QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

sim

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

37

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

αacuteα

βacute

βγacute

γ

Es decir Si α = αacute β = βacute

de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute =

ccacute

c

cacute

y α = αacute

ααacute

Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

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TEOREMA DE THALES

22

A

B

C

BASE MEDIA

PROPIEDAD

M N 2AC

MN =

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

24

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

SemejanzaSemejanza

bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

Dos figuras del plano son

semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por

pares cualesquiera de puntos

correspondientes son iguales

ML

MLes la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

= = =

se llama razoacuten de semejanza

29

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

32

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

x 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

33

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC

PQ QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

sim

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

37

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

αacuteα

βacute

βγacute

γ

Es decir Si α = αacute β = βacute

de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute =

ccacute

c

cacute

y α = αacute

ααacute

Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

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22

A

B

C

BASE MEDIA

PROPIEDAD

M N 2AC

MN =

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

24

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

SemejanzaSemejanza

bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

Dos figuras del plano son

semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por

pares cualesquiera de puntos

correspondientes son iguales

ML

MLes la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

= = =

se llama razoacuten de semejanza

29

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

32

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

x 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

33

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC

PQ QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

sim

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

37

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

αacuteα

βacute

βγacute

γ

Es decir Si α = αacute β = βacute

de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute =

ccacute

c

cacute

y α = αacute

ααacute

Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

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FIGURAS SEMEJANTES

24

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

SemejanzaSemejanza

bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

Dos figuras del plano son

semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por

pares cualesquiera de puntos

correspondientes son iguales

ML

MLes la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

= = =

se llama razoacuten de semejanza

29

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

32

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

x 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

33

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC

PQ QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

sim

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

37

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

αacuteα

βacute

βγacute

γ

Es decir Si α = αacute β = βacute

de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute =

ccacute

c

cacute

y α = αacute

ααacute

Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

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24

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

SemejanzaSemejanza

bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

Dos figuras del plano son

semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por

pares cualesquiera de puntos

correspondientes son iguales

ML

MLes la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

= = =

se llama razoacuten de semejanza

29

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

32

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

x 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

33

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC

PQ QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

sim

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

37

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

αacuteα

βacute

βγacute

γ

Es decir Si α = αacute β = βacute

de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute =

ccacute

c

cacute

y α = αacute

ααacute

Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

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SemejanzaSemejanza

bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

Dos figuras del plano son

semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por

pares cualesquiera de puntos

correspondientes son iguales

ML

MLes la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

= = =

se llama razoacuten de semejanza

29

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

32

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

x 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

33

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC

PQ QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

sim

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

37

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

αacuteα

βacute

βγacute

γ

Es decir Si α = αacute β = βacute

de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

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Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute =

ccacute

c

cacute

y α = αacute

ααacute

Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

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Dos figuras del plano son

semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por

pares cualesquiera de puntos

correspondientes son iguales

ML

MLes la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

= = =

se llama razoacuten de semejanza

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SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

32

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

x 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

33

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC

PQ QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

sim

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

37

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

αacuteα

βacute

βγacute

γ

Es decir Si α = αacute β = βacute

de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute =

ccacute

c

cacute

y α = αacute

ααacute

Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

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Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

= = =

se llama razoacuten de semejanza

29

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

32

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

x 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

33

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC

PQ QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

sim

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

37

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

αacuteα

βacute

βγacute

γ

Es decir Si α = αacute β = βacute

de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute =

ccacute

c

cacute

y α = αacute

ααacute

Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

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SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

32

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

x 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

33

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC

PQ QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

sim

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

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CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

αacuteα

βacute

βγacute

γ

Es decir Si α = αacute β = βacute

de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute =

ccacute

c

cacute

y α = αacute

ααacute

Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

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78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

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32

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

x 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

33

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC

PQ QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

sim

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

37

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

αacuteα

βacute

βγacute

γ

Es decir Si α = αacute β = βacute

de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute =

ccacute

c

cacute

y α = αacute

ααacute

Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

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Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC

PQ QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

sim

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

37

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

αacuteα

βacute

βγacute

γ

Es decir Si α = αacute β = βacute

de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute =

ccacute

c

cacute

y α = αacute

ααacute

Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

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sim

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

37

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

αacuteα

βacute

βγacute

γ

Es decir Si α = αacute β = βacute

de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute =

ccacute

c

cacute

y α = αacute

ααacute

Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

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Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

37

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

αacuteα

βacute

βγacute

γ

Es decir Si α = αacute β = βacute

de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute =

ccacute

c

cacute

y α = αacute

ααacute

Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

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Distancias o alturas aplicando semejanza

Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

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CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

αacuteα

βacute

βγacute

γ

Es decir Si α = αacute β = βacute

de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute =

ccacute

c

cacute

y α = αacute

ααacute

Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

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CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

αacuteα

βacute

βγacute

γ

Es decir Si α = αacute β = βacute

de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

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Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute =

ccacute

c

cacute

y α = αacute

ααacute

Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

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Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

αacuteα

βacute

βγacute

γ

Es decir Si α = αacute β = βacute

de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

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Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute =

ccacute

c

cacute

y α = αacute

ααacute

Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

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Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)

2 LLL (lado-lado-lado)

3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

αacuteα

βacute

βγacute

γ

Es decir Si α = αacute β = βacute

de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute =

ccacute

c

cacute

y α = αacute

ααacute

Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

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SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

αacuteα

βacute

βγacute

γ

Es decir Si α = αacute β = βacute

de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute =

ccacute

c

cacute

y α = αacute

ααacute

Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

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Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

αacuteα

βacute

βγacute

γ

Es decir Si α = αacute β = βacute

de lo anterior se deduce que γ = γacuteEntonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute =

ccacute

c

cacute

y α = αacute

ααacute

Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

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Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute =

ccacute

c

cacute

y α = αacute

ααacute

Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

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II Segundo criterio LLL

Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

aaacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute =

bbacute =

ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces ∆ ABC semejante con ∆AacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute =

ccacute

c

cacute

y α = αacute

ααacute

Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

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EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute =

ccacute

c

cacute

y α = αacute

ααacute

Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

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III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute =

ccacute

c

cacute

y α = αacute

ααacute

Entonces ∆ ABC semejante a ∆ AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

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EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

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Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

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Ejercicio

Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza

a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

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Ejercicio

Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

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5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

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12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

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Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

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Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

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Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

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Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

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Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

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Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

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Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC angcongang

CDEBAC angcongang Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

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