Congruencias y semejanzas de figuras planas

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

2

Son ideacutenticas

Ejemplos de Congruencia

ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES

ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES

ESTAS NO SON FIGURAS CONGRUNTES

Congruencia Dos figuras son congruentes cuando

tienen la misma forma y tamantildeo es decir si al colocarlas una sobre otra son coincidentes en toda su extensioacuten

Criterios de congruencia

Triaacutengulos congruentes

Dos triaacutengulos son congruentes si y soacutelo si sus partes correspondientes son congruentes

A

B C

D

E F

ABC DEF

Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si

Sus lados correspondientes son igualesSus aacutengulos correspondiente son igualesEn la figura

A

EFACDFBCEDAB

B

C

E

F D

POSTULADOS DE CONGRUENCIA Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno

son respectivamente congruentes con los de otro entonces los triaacutengulos son congruentes

Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste son congruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entre ellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otro lado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutengulo son congruentes con los del otro triangulo entonces los triaacutengulos son congruentes

Postulado LLL

Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E F

ABC DEF

Postulado ALA

Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A B

C

DE

ABC CDE

Postulado AAL

Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E

ABC EFD

F

Postulado LAL

Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes

A

B

C D

E

ABC DEF

F

Ejemplos

Ejemplos1) En la figura se tiene un triaacutengulo

ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes

2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones

Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras

Ejemplos

Ejemplos

Ejemplos

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

21

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N 2ACMN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

23

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionalesSon semejantes

Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma

aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

SEMEJANZA

Dos figuras del plano son

semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por

pares cualesquiera de puntos

correspondientes son iguales

MLML

es la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c ka b c

se llama razoacuten de semejanza

SEMEJANZA

27

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

28

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute

acute

de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados

proporcionales son semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

ccacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =35

7 510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

ccacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y

halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

1278

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8 = 65

10 = 7812 = 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm

respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =Y

4Z5 = 3

1 =3

Escala de ampliacioacuten

X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

5030

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
• Ejemplos
• Ejemplos (2)
• Ejemplos (3)
• Ejemplos (4)
• PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
• Slide 20
• Slide 21
• FIGURAS SEMEJANTES
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
• SEMEJANZA
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 31
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 42

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

2

Son ideacutenticas

Ejemplos de Congruencia

ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES

ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES

ESTAS NO SON FIGURAS CONGRUNTES

Congruencia Dos figuras son congruentes cuando

tienen la misma forma y tamantildeo es decir si al colocarlas una sobre otra son coincidentes en toda su extensioacuten

Criterios de congruencia

Triaacutengulos congruentes

Dos triaacutengulos son congruentes si y soacutelo si sus partes correspondientes son congruentes

A

B C

D

E F

ABC DEF

Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si

Sus lados correspondientes son igualesSus aacutengulos correspondiente son igualesEn la figura

A

EFACDFBCEDAB

B

C

E

F D

POSTULADOS DE CONGRUENCIA Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno

son respectivamente congruentes con los de otro entonces los triaacutengulos son congruentes

Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste son congruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entre ellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otro lado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutengulo son congruentes con los del otro triangulo entonces los triaacutengulos son congruentes

Postulado LLL

Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E F

ABC DEF

Postulado ALA

Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A B

C

DE

ABC CDE

Postulado AAL

Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E

ABC EFD

F

Postulado LAL

Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes

A

B

C D

E

ABC DEF

F

Ejemplos

Ejemplos1) En la figura se tiene un triaacutengulo

ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes

2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones

Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras

Ejemplos

Ejemplos

Ejemplos

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

21

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N 2ACMN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

23

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionalesSon semejantes

Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma

aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

SEMEJANZA

Dos figuras del plano son

semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por

pares cualesquiera de puntos

correspondientes son iguales

MLML

es la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c ka b c

se llama razoacuten de semejanza

SEMEJANZA

27

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

28

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute

acute

de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados

proporcionales son semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

ccacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =35

7 510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

ccacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y

halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

1278

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8 = 65

10 = 7812 = 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm

respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =Y

4Z5 = 3

1 =3

Escala de ampliacioacuten

X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

5030

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
• Ejemplos
• Ejemplos (2)
• Ejemplos (3)
• Ejemplos (4)
• PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
• Slide 20
• Slide 21
• FIGURAS SEMEJANTES
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
• SEMEJANZA
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 31
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 42

Ejemplos de Congruencia

ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES

ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES

ESTAS NO SON FIGURAS CONGRUNTES

Congruencia Dos figuras son congruentes cuando

tienen la misma forma y tamantildeo es decir si al colocarlas una sobre otra son coincidentes en toda su extensioacuten

Criterios de congruencia

Triaacutengulos congruentes

Dos triaacutengulos son congruentes si y soacutelo si sus partes correspondientes son congruentes

A

B C

D

E F

ABC DEF

Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si

Sus lados correspondientes son igualesSus aacutengulos correspondiente son igualesEn la figura

A

EFACDFBCEDAB

B

C

E

F D

POSTULADOS DE CONGRUENCIA Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno

son respectivamente congruentes con los de otro entonces los triaacutengulos son congruentes

Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste son congruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entre ellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otro lado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutengulo son congruentes con los del otro triangulo entonces los triaacutengulos son congruentes

Postulado LLL

Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E F

ABC DEF

Postulado ALA

Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A B

C

DE

ABC CDE

Postulado AAL

Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E

ABC EFD

F

Postulado LAL

Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes

A

B

C D

E

ABC DEF

F

Ejemplos

Ejemplos1) En la figura se tiene un triaacutengulo

ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes

2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones

Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras

Ejemplos

Ejemplos

Ejemplos

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

21

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N 2ACMN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

23

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionalesSon semejantes

Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma

aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

SEMEJANZA

Dos figuras del plano son

semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por

pares cualesquiera de puntos

correspondientes son iguales

MLML

es la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c ka b c

se llama razoacuten de semejanza

SEMEJANZA

27

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

28

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute

acute

de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados

proporcionales son semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

ccacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =35

7 510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

ccacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y

halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

1278

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8 = 65

10 = 7812 = 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm

respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =Y

4Z5 = 3

1 =3

Escala de ampliacioacuten

X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

5030

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
• Ejemplos
• Ejemplos (2)
• Ejemplos (3)
• Ejemplos (4)
• PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
• Slide 20
• Slide 21
• FIGURAS SEMEJANTES
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
• SEMEJANZA
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 31
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 42

Congruencia Dos figuras son congruentes cuando

tienen la misma forma y tamantildeo es decir si al colocarlas una sobre otra son coincidentes en toda su extensioacuten

Criterios de congruencia

Triaacutengulos congruentes

Dos triaacutengulos son congruentes si y soacutelo si sus partes correspondientes son congruentes

A

B C

D

E F

ABC DEF

Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si

Sus lados correspondientes son igualesSus aacutengulos correspondiente son igualesEn la figura

A

EFACDFBCEDAB

B

C

E

F D

POSTULADOS DE CONGRUENCIA Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno

son respectivamente congruentes con los de otro entonces los triaacutengulos son congruentes

Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste son congruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entre ellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otro lado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutengulo son congruentes con los del otro triangulo entonces los triaacutengulos son congruentes

Postulado LLL

Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E F

ABC DEF

Postulado ALA

Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A B

C

DE

ABC CDE

Postulado AAL

Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E

ABC EFD

F

Postulado LAL

Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes

A

B

C D

E

ABC DEF

F

Ejemplos

Ejemplos1) En la figura se tiene un triaacutengulo

ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes

2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones

Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras

Ejemplos

Ejemplos

Ejemplos

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

21

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N 2ACMN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

23

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionalesSon semejantes

Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma

aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

SEMEJANZA

Dos figuras del plano son

semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por

pares cualesquiera de puntos

correspondientes son iguales

MLML

es la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c ka b c

se llama razoacuten de semejanza

SEMEJANZA

27

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

28

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute

acute

de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados

proporcionales son semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

ccacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =35

7 510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

ccacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y

halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

1278

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8 = 65

10 = 7812 = 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm

respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =Y

4Z5 = 3

1 =3

Escala de ampliacioacuten

X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

5030

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
• Ejemplos
• Ejemplos (2)
• Ejemplos (3)
• Ejemplos (4)
• PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
• Slide 20
• Slide 21
• FIGURAS SEMEJANTES
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
• SEMEJANZA
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 31
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 42

Criterios de congruencia

Triaacutengulos congruentes

Dos triaacutengulos son congruentes si y soacutelo si sus partes correspondientes son congruentes

A

B C

D

E F

ABC DEF

Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si

Sus lados correspondientes son igualesSus aacutengulos correspondiente son igualesEn la figura

A

EFACDFBCEDAB

B

C

E

F D

POSTULADOS DE CONGRUENCIA Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno

son respectivamente congruentes con los de otro entonces los triaacutengulos son congruentes

Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste son congruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entre ellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otro lado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutengulo son congruentes con los del otro triangulo entonces los triaacutengulos son congruentes

Postulado LLL

Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E F

ABC DEF

Postulado ALA

Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A B

C

DE

ABC CDE

Postulado AAL

Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E

ABC EFD

F

Postulado LAL

Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes

A

B

C D

E

ABC DEF

F

Ejemplos

Ejemplos1) En la figura se tiene un triaacutengulo

ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes

2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones

Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras

Ejemplos

Ejemplos

Ejemplos

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

21

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N 2ACMN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

23

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionalesSon semejantes

Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma

aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

SEMEJANZA

Dos figuras del plano son

semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por

pares cualesquiera de puntos

correspondientes son iguales

MLML

es la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c ka b c

se llama razoacuten de semejanza

SEMEJANZA

27

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

28

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute

acute

de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados

proporcionales son semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

ccacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =35

7 510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

ccacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y

halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

1278

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8 = 65

10 = 7812 = 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm

respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =Y

4Z5 = 3

1 =3

Escala de ampliacioacuten

X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

5030

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
• Ejemplos
• Ejemplos (2)
• Ejemplos (3)
• Ejemplos (4)
• PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
• Slide 20
• Slide 21
• FIGURAS SEMEJANTES
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
• SEMEJANZA
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 31
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 42

Triaacutengulos congruentes

Dos triaacutengulos son congruentes si y soacutelo si sus partes correspondientes son congruentes

A

B C

D

E F

ABC DEF

Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si

Sus lados correspondientes son igualesSus aacutengulos correspondiente son igualesEn la figura

A

EFACDFBCEDAB

B

C

E

F D

POSTULADOS DE CONGRUENCIA Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno

son respectivamente congruentes con los de otro entonces los triaacutengulos son congruentes

Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste son congruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entre ellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otro lado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutengulo son congruentes con los del otro triangulo entonces los triaacutengulos son congruentes

Postulado LLL

Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E F

ABC DEF

Postulado ALA

Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A B

C

DE

ABC CDE

Postulado AAL

Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E

ABC EFD

F

Postulado LAL

Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes

A

B

C D

E

ABC DEF

F

Ejemplos

Ejemplos1) En la figura se tiene un triaacutengulo

ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes

2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones

Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras

Ejemplos

Ejemplos

Ejemplos

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

21

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N 2ACMN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

23

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionalesSon semejantes

Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma

aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

SEMEJANZA

Dos figuras del plano son

semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por

pares cualesquiera de puntos

correspondientes son iguales

MLML

es la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c ka b c

se llama razoacuten de semejanza

SEMEJANZA

27

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

28

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute

acute

de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados

proporcionales son semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

ccacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =35

7 510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

ccacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y

halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

1278

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8 = 65

10 = 7812 = 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm

respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =Y

4Z5 = 3

1 =3

Escala de ampliacioacuten

X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

5030

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
• Ejemplos
• Ejemplos (2)
• Ejemplos (3)
• Ejemplos (4)
• PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
• Slide 20
• Slide 21
• FIGURAS SEMEJANTES
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
• SEMEJANZA
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 31
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 42

Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si

Sus lados correspondientes son igualesSus aacutengulos correspondiente son igualesEn la figura

A

EFACDFBCEDAB

B

C

E

F D

POSTULADOS DE CONGRUENCIA Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno

son respectivamente congruentes con los de otro entonces los triaacutengulos son congruentes

Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste son congruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entre ellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otro lado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutengulo son congruentes con los del otro triangulo entonces los triaacutengulos son congruentes

Postulado LLL

Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E F

ABC DEF

Postulado ALA

Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A B

C

DE

ABC CDE

Postulado AAL

Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E

ABC EFD

F

Postulado LAL

Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes

A

B

C D

E

ABC DEF

F

Ejemplos

Ejemplos1) En la figura se tiene un triaacutengulo

ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes

2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones

Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras

Ejemplos

Ejemplos

Ejemplos

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

21

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N 2ACMN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

23

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionalesSon semejantes

Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma

aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

SEMEJANZA

Dos figuras del plano son

semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por

pares cualesquiera de puntos

correspondientes son iguales

MLML

es la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c ka b c

se llama razoacuten de semejanza

SEMEJANZA

27

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

28

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute

acute

de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados

proporcionales son semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

ccacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =35

7 510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

ccacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y

halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

1278

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8 = 65

10 = 7812 = 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm

respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =Y

4Z5 = 3

1 =3

Escala de ampliacioacuten

X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

5030

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
• Ejemplos
• Ejemplos (2)
• Ejemplos (3)
• Ejemplos (4)
• PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
• Slide 20
• Slide 21
• FIGURAS SEMEJANTES
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
• SEMEJANZA
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 31
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 42

POSTULADOS DE CONGRUENCIA Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno

son respectivamente congruentes con los de otro entonces los triaacutengulos son congruentes

Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste son congruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entre ellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otro lado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutengulo son congruentes con los del otro triangulo entonces los triaacutengulos son congruentes

Postulado LLL

Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E F

ABC DEF

Postulado ALA

Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A B

C

DE

ABC CDE

Postulado AAL

Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E

ABC EFD

F

Postulado LAL

Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes

A

B

C D

E

ABC DEF

F

Ejemplos

Ejemplos1) En la figura se tiene un triaacutengulo

ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes

2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones

Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras

Ejemplos

Ejemplos

Ejemplos

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

21

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N 2ACMN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

23

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionalesSon semejantes

Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma

aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

SEMEJANZA

Dos figuras del plano son

semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por

pares cualesquiera de puntos

correspondientes son iguales

MLML

es la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c ka b c

se llama razoacuten de semejanza

SEMEJANZA

27

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

28

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute

acute

de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados

proporcionales son semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

ccacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =35

7 510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

ccacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y

halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

1278

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8 = 65

10 = 7812 = 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm

respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =Y

4Z5 = 3

1 =3

Escala de ampliacioacuten

X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

5030

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
• Ejemplos
• Ejemplos (2)
• Ejemplos (3)
• Ejemplos (4)
• PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
• Slide 20
• Slide 21
• FIGURAS SEMEJANTES
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
• SEMEJANZA
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 31
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 42

Postulado LLL

Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E F

ABC DEF

Postulado ALA

Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A B

C

DE

ABC CDE

Postulado AAL

Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E

ABC EFD

F

Postulado LAL

Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes

A

B

C D

E

ABC DEF

F

Ejemplos

Ejemplos1) En la figura se tiene un triaacutengulo

ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes

2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones

Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras

Ejemplos

Ejemplos

Ejemplos

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

21

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N 2ACMN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

23

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionalesSon semejantes

Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma

aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

SEMEJANZA

Dos figuras del plano son

semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por

pares cualesquiera de puntos

correspondientes son iguales

MLML

es la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c ka b c

se llama razoacuten de semejanza

SEMEJANZA

27

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

28

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute

acute

de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados

proporcionales son semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

ccacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =35

7 510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

ccacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y

halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

1278

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8 = 65

10 = 7812 = 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm

respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =Y

4Z5 = 3

1 =3

Escala de ampliacioacuten

X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

5030

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
• Ejemplos
• Ejemplos (2)
• Ejemplos (3)
• Ejemplos (4)
• PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
• Slide 20
• Slide 21
• FIGURAS SEMEJANTES
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
• SEMEJANZA
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 31
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 42

Postulado ALA

Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A B

C

DE

ABC CDE

Postulado AAL

Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E

ABC EFD

F

Postulado LAL

Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes

A

B

C D

E

ABC DEF

F

Ejemplos

Ejemplos1) En la figura se tiene un triaacutengulo

ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes

2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones

Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras

Ejemplos

Ejemplos

Ejemplos

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

21

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N 2ACMN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

23

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionalesSon semejantes

Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma

aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

SEMEJANZA

Dos figuras del plano son

semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por

pares cualesquiera de puntos

correspondientes son iguales

MLML

es la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c ka b c

se llama razoacuten de semejanza

SEMEJANZA

27

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

28

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute

acute

de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados

proporcionales son semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

ccacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =35

7 510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

ccacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y

halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

1278

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8 = 65

10 = 7812 = 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm

respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =Y

4Z5 = 3

1 =3

Escala de ampliacioacuten

X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

5030

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
• Ejemplos
• Ejemplos (2)
• Ejemplos (3)
• Ejemplos (4)
• PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
• Slide 20
• Slide 21
• FIGURAS SEMEJANTES
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
• SEMEJANZA
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 31
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 42

Postulado AAL

Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E

ABC EFD

F

Postulado LAL

Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes

A

B

C D

E

ABC DEF

F

Ejemplos

Ejemplos1) En la figura se tiene un triaacutengulo

ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes

2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones

Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras

Ejemplos

Ejemplos

Ejemplos

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

21

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N 2ACMN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

23

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionalesSon semejantes

Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma

aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

SEMEJANZA

Dos figuras del plano son

semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por

pares cualesquiera de puntos

correspondientes son iguales

MLML

es la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c ka b c

se llama razoacuten de semejanza

SEMEJANZA

27

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

28

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute

acute

de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados

proporcionales son semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

ccacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =35

7 510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

ccacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y

halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

1278

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8 = 65

10 = 7812 = 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm

respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =Y

4Z5 = 3

1 =3

Escala de ampliacioacuten

X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

5030

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
• Ejemplos
• Ejemplos (2)
• Ejemplos (3)
• Ejemplos (4)
• PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
• Slide 20
• Slide 21
• FIGURAS SEMEJANTES
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
• SEMEJANZA
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 31
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 42

Postulado LAL

Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes

A

B

C D

E

ABC DEF

F

Ejemplos

Ejemplos1) En la figura se tiene un triaacutengulo

ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes

2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones

Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras

Ejemplos

Ejemplos

Ejemplos

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

21

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N 2ACMN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

23

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionalesSon semejantes

Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma

aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

SEMEJANZA

Dos figuras del plano son

semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por

pares cualesquiera de puntos

correspondientes son iguales

MLML

es la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c ka b c

se llama razoacuten de semejanza

SEMEJANZA

27

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

28

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute

acute

de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados

proporcionales son semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

ccacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =35

7 510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

ccacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y

halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

1278

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8 = 65

10 = 7812 = 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm

respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =Y

4Z5 = 3

1 =3

Escala de ampliacioacuten

X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

5030

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
• Ejemplos
• Ejemplos (2)
• Ejemplos (3)
• Ejemplos (4)
• PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
• Slide 20
• Slide 21
• FIGURAS SEMEJANTES
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
• SEMEJANZA
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 31
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 42

Ejemplos

Ejemplos1) En la figura se tiene un triaacutengulo

ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes

2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones

Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras

Ejemplos

Ejemplos

Ejemplos

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

21

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N 2ACMN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

23

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionalesSon semejantes

Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma

aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

SEMEJANZA

Dos figuras del plano son

semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por

pares cualesquiera de puntos

correspondientes son iguales

MLML

es la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c ka b c

se llama razoacuten de semejanza

SEMEJANZA

27

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

28

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute

acute

de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados

proporcionales son semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

ccacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =35

7 510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

ccacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y

halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

1278

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8 = 65

10 = 7812 = 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm

respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =Y

4Z5 = 3

1 =3

Escala de ampliacioacuten

X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

5030

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
• Ejemplos
• Ejemplos (2)
• Ejemplos (3)
• Ejemplos (4)
• PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
• Slide 20
• Slide 21
• FIGURAS SEMEJANTES
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
• SEMEJANZA
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 31
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 42

2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones

Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras

Ejemplos

Ejemplos

Ejemplos

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

21

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N 2ACMN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

23

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionalesSon semejantes

Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma

aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

SEMEJANZA

Dos figuras del plano son

semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por

pares cualesquiera de puntos

correspondientes son iguales

MLML

es la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c ka b c

se llama razoacuten de semejanza

SEMEJANZA

27

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

28

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute

acute

de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados

proporcionales son semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

ccacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =35

7 510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

ccacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y

halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

1278

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8 = 65

10 = 7812 = 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm

respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =Y

4Z5 = 3

1 =3

Escala de ampliacioacuten

X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

5030

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
• Ejemplos
• Ejemplos (2)
• Ejemplos (3)
• Ejemplos (4)
• PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
• Slide 20
• Slide 21
• FIGURAS SEMEJANTES
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
• SEMEJANZA
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 31
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 42

Ejemplos

Ejemplos

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

21

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N 2ACMN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

23

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionalesSon semejantes

Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma

aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

SEMEJANZA

Dos figuras del plano son

semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por

pares cualesquiera de puntos

correspondientes son iguales

MLML

es la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c ka b c

se llama razoacuten de semejanza

SEMEJANZA

27

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

28

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute

acute

de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados

proporcionales son semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

ccacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =35

7 510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

ccacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y

halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

1278

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8 = 65

10 = 7812 = 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm

respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =Y

4Z5 = 3

1 =3

Escala de ampliacioacuten

X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

5030

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
• Ejemplos
• Ejemplos (2)
• Ejemplos (3)
• Ejemplos (4)
• PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
• Slide 20
• Slide 21
• FIGURAS SEMEJANTES
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
• SEMEJANZA
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 31
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 42

Ejemplos

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

21

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N 2ACMN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

23

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionalesSon semejantes

Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma

aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

SEMEJANZA

Dos figuras del plano son

semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por

pares cualesquiera de puntos

correspondientes son iguales

MLML

es la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c ka b c

se llama razoacuten de semejanza

SEMEJANZA

27

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

28

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute

acute

de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados

proporcionales son semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

ccacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =35

7 510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

ccacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y

halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

1278

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8 = 65

10 = 7812 = 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm

respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =Y

4Z5 = 3

1 =3

Escala de ampliacioacuten

X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

5030

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
• Ejemplos
• Ejemplos (2)
• Ejemplos (3)
• Ejemplos (4)
• PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
• Slide 20
• Slide 21
• FIGURAS SEMEJANTES
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
• SEMEJANZA
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 31
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 42

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

21

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N 2ACMN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

23

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionalesSon semejantes

Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma

aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

SEMEJANZA

Dos figuras del plano son

semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por

pares cualesquiera de puntos

correspondientes son iguales

MLML

es la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c ka b c

se llama razoacuten de semejanza

SEMEJANZA

27

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

28

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute

acute

de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados

proporcionales son semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

ccacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =35

7 510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

ccacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y

halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

1278

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8 = 65

10 = 7812 = 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm

respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =Y

4Z5 = 3

1 =3

Escala de ampliacioacuten

X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

5030

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
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• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
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• Ejemplos (3)
• Ejemplos (4)
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• TEOREMA DE THALES (2)
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• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
• SEMEJANZA
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• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 31
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
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TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

21

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N 2ACMN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

23

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionalesSon semejantes

Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma

aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

SEMEJANZA

Dos figuras del plano son

semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por

pares cualesquiera de puntos

correspondientes son iguales

MLML

es la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c ka b c

se llama razoacuten de semejanza

SEMEJANZA

27

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

28

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute

acute

de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados

proporcionales son semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

ccacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =35

7 510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

ccacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y

halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

1278

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8 = 65

10 = 7812 = 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm

respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =Y

4Z5 = 3

1 =3

Escala de ampliacioacuten

X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

5030

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
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• Postulado ALA
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• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
• SEMEJANZA
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• Slide 27
• Slide 28
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• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 31
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
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TEOREMA DE THALES

21

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N 2ACMN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

23

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionalesSon semejantes

Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma

aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

SEMEJANZA

Dos figuras del plano son

semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por

pares cualesquiera de puntos

correspondientes son iguales

MLML

es la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c ka b c

se llama razoacuten de semejanza

SEMEJANZA

27

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

28

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute

acute

de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados

proporcionales son semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

ccacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =35

7 510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

ccacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y

halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

1278

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8 = 65

10 = 7812 = 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm

respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =Y

4Z5 = 3

1 =3

Escala de ampliacioacuten

X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

5030

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
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• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 31
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 42

21

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N 2ACMN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

23

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionalesSon semejantes

Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma

aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

SEMEJANZA

Dos figuras del plano son

semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por

pares cualesquiera de puntos

correspondientes son iguales

MLML

es la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c ka b c

se llama razoacuten de semejanza

SEMEJANZA

27

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

28

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute

acute

de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados

proporcionales son semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

ccacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =35

7 510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

ccacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y

halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

1278

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8 = 65

10 = 7812 = 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm

respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =Y

4Z5 = 3

1 =3

Escala de ampliacioacuten

X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

5030

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
• Ejemplos
• Ejemplos (2)
• Ejemplos (3)
• Ejemplos (4)
• PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
• TEOREMA DE THALES
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• Semejanza
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• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
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• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
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• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
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FIGURAS SEMEJANTES

23

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionalesSon semejantes

Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma

aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

SEMEJANZA

Dos figuras del plano son

semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por

pares cualesquiera de puntos

correspondientes son iguales

MLML

es la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c ka b c

se llama razoacuten de semejanza

SEMEJANZA

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SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

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CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute

acute

de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados

proporcionales son semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

ccacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =35

7 510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

ccacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y

halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

1278

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8 = 65

10 = 7812 = 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm

respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =Y

4Z5 = 3

1 =3

Escala de ampliacioacuten

X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

5030

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
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• Postulado AAL
• Postulado LAL
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• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
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• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
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• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
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23

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionalesSon semejantes

Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma

aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

SEMEJANZA

Dos figuras del plano son

semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por

pares cualesquiera de puntos

correspondientes son iguales

MLML

es la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c ka b c

se llama razoacuten de semejanza

SEMEJANZA

27

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

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CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute

acute

de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados

proporcionales son semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

ccacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =35

7 510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

ccacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y

halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

1278

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8 = 65

10 = 7812 = 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm

respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =Y

4Z5 = 3

1 =3

Escala de ampliacioacuten

X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

5030

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
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• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
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• Ejemplos (2)
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• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
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• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
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• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
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Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma

aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

SEMEJANZA

Dos figuras del plano son

semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por

pares cualesquiera de puntos

correspondientes son iguales

MLML

es la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c ka b c

se llama razoacuten de semejanza

SEMEJANZA

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SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

28

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute

acute

de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados

proporcionales son semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

ccacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =35

7 510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

ccacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y

halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

1278

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8 = 65

10 = 7812 = 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm

respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =Y

4Z5 = 3

1 =3

Escala de ampliacioacuten

X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

5030

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
• Ejemplos
• Ejemplos (2)
• Ejemplos (3)
• Ejemplos (4)
• PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
• Slide 20
• Slide 21
• FIGURAS SEMEJANTES
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
• SEMEJANZA
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 31
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 42

SEMEJANZA

Dos figuras del plano son

semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por

pares cualesquiera de puntos

correspondientes son iguales

MLML

es la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c ka b c

se llama razoacuten de semejanza

SEMEJANZA

27

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

28

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute

acute

de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados

proporcionales son semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

ccacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =35

7 510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

ccacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y

halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

1278

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8 = 65

10 = 7812 = 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm

respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =Y

4Z5 = 3

1 =3

Escala de ampliacioacuten

X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

5030

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
• Ejemplos
• Ejemplos (2)
• Ejemplos (3)
• Ejemplos (4)
• PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
• Slide 20
• Slide 21
• FIGURAS SEMEJANTES
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
• SEMEJANZA
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 31
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 42

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c ka b c

se llama razoacuten de semejanza

SEMEJANZA

27

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

28

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute

acute

de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados

proporcionales son semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

ccacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =35

7 510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

ccacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y

halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

1278

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8 = 65

10 = 7812 = 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm

respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =Y

4Z5 = 3

1 =3

Escala de ampliacioacuten

X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

5030

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
• Ejemplos
• Ejemplos (2)
• Ejemplos (3)
• Ejemplos (4)
• PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
• Slide 20
• Slide 21
• FIGURAS SEMEJANTES
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
• SEMEJANZA
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 31
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 42

27

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

28

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute

acute

de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados

proporcionales son semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

ccacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =35

7 510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

ccacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y

halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

1278

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8 = 65

10 = 7812 = 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm

respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =Y

4Z5 = 3

1 =3

Escala de ampliacioacuten

X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

5030

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
• Ejemplos
• Ejemplos (2)
• Ejemplos (3)
• Ejemplos (4)
• PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
• Slide 20
• Slide 21
• FIGURAS SEMEJANTES
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
• SEMEJANZA
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 31
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 42

28

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute

acute

de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados

proporcionales son semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

ccacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =35

7 510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

ccacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y

halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

1278

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8 = 65

10 = 7812 = 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm

respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =Y

4Z5 = 3

1 =3

Escala de ampliacioacuten

X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

5030

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
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• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
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• Ejemplos (2)
• Ejemplos (3)
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• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
• SEMEJANZA
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• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
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• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 42

Criterios de semejanza de triaacutengulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute

acute

de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados

proporcionales son semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

ccacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =35

7 510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

ccacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y

halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

1278

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8 = 65

10 = 7812 = 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm

respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =Y

4Z5 = 3

1 =3

Escala de ampliacioacuten

X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

5030

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
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• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
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• Ejemplos (2)
• Ejemplos (3)
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• TEOREMA DE THALES (2)
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• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
• SEMEJANZA
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• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
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• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 42

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute

acute

de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados

proporcionales son semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

ccacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =35

7 510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

ccacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y

halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

1278

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8 = 65

10 = 7812 = 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm

respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =Y

4Z5 = 3

1 =3

Escala de ampliacioacuten

X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

5030

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
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• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
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• Ejemplos (2)
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• Ejemplos (4)
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• TEOREMA DE THALES (2)
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• FIGURAS SEMEJANTES
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
• SEMEJANZA
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• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
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• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
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• Ejercicio (2)
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SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute

acute

de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados

proporcionales son semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

ccacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =35

7 510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

ccacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y

halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

1278

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8 = 65

10 = 7812 = 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm

respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =Y

4Z5 = 3

1 =3

Escala de ampliacioacuten

X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

5030

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
• Ejemplos
• Ejemplos (2)
• Ejemplos (3)
• Ejemplos (4)
• PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
• Slide 20
• Slide 21
• FIGURAS SEMEJANTES
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
• SEMEJANZA
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 31
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 42

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

acute

acute

acute

Es decir Si acute

acute

de lo anterior se deduce que acuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados

proporcionales son semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

ccacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =35

7 510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

ccacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y

halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

1278

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8 = 65

10 = 7812 = 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm

respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =Y

4Z5 = 3

1 =3

Escala de ampliacioacuten

X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

5030

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
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• Postulado ALA
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• Ejemplos (2)
• Ejemplos (3)
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• TEOREMA DE THALES
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• Semejanza
• SEMEJANZA
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• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 31
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 42

EjemploiquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de

sus aacutengulos congruentes cumplen

con el criterio AA

II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados

proporcionales son semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

ccacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =35

7 510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

ccacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y

halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

1278

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8 = 65

10 = 7812 = 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm

respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =Y

4Z5 = 3

1 =3

Escala de ampliacioacuten

X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

5030

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
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• Ejemplos (2)
• Ejemplos (3)
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• PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
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• TEOREMA DE THALES (2)
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• Semejanza
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• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
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• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 42

II Segundo criterio LLL Dos triaacutengulos que tienen los tres lados

proporcionales son semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

ccacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =35

7 510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

ccacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y

halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

1278

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8 = 65

10 = 7812 = 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm

respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =Y

4Z5 = 3

1 =3

Escala de ampliacioacuten

X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

5030

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
• Ejemplos
• Ejemplos (2)
• Ejemplos (3)
• Ejemplos (4)
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• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
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• Slide 21
• FIGURAS SEMEJANTES
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
• SEMEJANZA
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
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• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 31
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 42

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =35

7 510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son

iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

ccacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y

halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

1278

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8 = 65

10 = 7812 = 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm

respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =Y

4Z5 = 3

1 =3

Escala de ampliacioacuten

X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

5030

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
• Ejemplos
• Ejemplos (2)
• Ejemplos (3)
• Ejemplos (4)
• PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
• Slide 20
• Slide 21
• FIGURAS SEMEJANTES
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
• SEMEJANZA
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 31
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 42

III Tercer criterio LAL

Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

ccacute

y = acute

acute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y

halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

1278

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8 = 65

10 = 7812 = 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm

respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =Y

4Z5 = 3

1 =3

Escala de ampliacioacuten

X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

5030

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
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• Ejemplos (2)
• Ejemplos (3)
• Ejemplos (4)
• PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
• TEOREMA DE THALES
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• FIGURAS SEMEJANTES
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
• SEMEJANZA
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• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 31
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 42

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales

3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y

halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

1278

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8 = 65

10 = 7812 = 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm

respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =Y

4Z5 = 3

1 =3

Escala de ampliacioacuten

X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

5030

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

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• Semejanza
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• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
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• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 42

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y

halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

1278

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8 = 65

10 = 7812 = 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm

respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =Y

4Z5 = 3

1 =3

Escala de ampliacioacuten

X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

5030

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
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• Criterios de congruencia
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• II Segundo criterio LLL
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Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y

halla la razoacuten de semejanza a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

1278

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones65 10 = 65

52 8 = 65

10 = 7812 = 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm

respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =Y

4Z5 = 3

1 =3

Escala de ampliacioacuten

X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

5030

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

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• Semejanza
• SEMEJANZA
• Slide 26
• Slide 27
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• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
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• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
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• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
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Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm

respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =Y

4Z5 = 3

1 =3

Escala de ampliacioacuten

X3 = 3

Y4 =3

Z5 =3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

5030

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

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• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
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• Ejemplo
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• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
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Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza

5030

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una

de las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
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• Postulado ALA
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• Postulado LAL
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• Ejemplos (2)
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• PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
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• TEOREMA DE THALES (2)
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• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
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• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
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• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 42

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el aacutengulo de elevacioacuten que forman los rayos

solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
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• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
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