SOBRE EL GRUPO DE GALOIS DE LOS POLINOMIOS DE LEGENDRE
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SOBRE EL GRUPO DE GALOIS DE LOS POLINOMIOS DE LEGENDRE CRISTIN J ULIETH MANTA CARO. Proyecto Curricular de Matemáticas Facultad de Ciencias y Educación Universidad Distrital Francisco José de Caldas Bogotá D.C. 2016
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SOBRE EL GRUPO DE GALOIS DE LOS POLINOMIOS DE LEGENDRE
CRISTIN JULIETH MANTA CARO.
Proyecto Curricular de MatemáticasFacultad de Ciencias y Educación
Universidad Distrital Francisco José de CaldasBogotá D.C.
2016
SOBRE EL GRUPO DE GALOIS DE LOS POLINOMIOS DE LEGENDRE
CRISTIN JULIETH MANTA CARO.
Monografía para optar al título de Matemática
Trabajo dirigido por:Luis Oriol Mora Valbuena
Profesor de planta Universidad Distrital
Proyecto Curricular de MatemáticasFacultad de Ciencias y Educación
Universidad Distrital Francisco José de CaldasBogotá D.C.
2016
Agradecimientos
Quiero agradecer a mi hermano, por su apoyo recibido en el transcurso de mi ca-rrera; al profesor Luis Oriol Mora por su dedicación, acompañamiento y dirección enel desarrollo de este trabajo; a la Universidad Distrital Francisco José de Caldas por miformación académica y a cada uno de los profesores que hicieron parte de ella.
I
ResumenLa presente monografía está basada en elartículo On the Galois groups of Legendrepolynomials de John Cullinan y GarshidHajir y pretende estudiar algunas propie-dades algebraicas que los autores utilizanpara ver cuál es el grupo de Galois de lospolinomios de Legendre.
Palabras claves: Grupo de Galois, poli-nomios ortogonales, primos en intervalos,primos en progresiones aritméticas.
AbstractThis work is based on the article On theGalois groups of Legendre polynomials byJohn Cullinan and Garshid Hajir and pre-tends to study some algebraic propertiesthat authors use to see what is the groupof Galois of the Legendre polynomials.
Keywords: Galois group, orthogonalpolynomials, primes in intervals, primesin arithmetic progressions
II
Índice general
Agradecimientos I
Resumen II
Índice general III
Introducción V
1. Preliminares 11.1. Divisibilidad, MCD y Congruencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. Extensiones campos y Grupo de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2. Conceptos Básicos 72.1. Relación entre el grupo de Galois y el discriminante de un polinomio . . . 7
2.1.1. Resultante y Discriminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.2. Grupo de Galois y Discriminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2. Funciones Especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.1. Función Gamma y Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.2. Factorial de Pochhhammer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.3. Función Hipergeométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3. Funcionales de momento y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.1. Ortogonalidad y fórmula fundamental de recurrencia . . . . . . . . 152.3.2. Existencia de SPO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3.3. Funcional positivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4. Los polinomios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.4.1. Ecuación Diferencial de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4.2. Polinomios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4.3. Fórmula de Rodrigues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5. Polinomios de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.5.1. Definición y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6. Primos de clase de congruencia prescritos en intervalos cortos . . . . . . . 282.6.1. FunciónΛ(n) de Mangoldt y funciones ψ(x) y ϑ(x) de Chebyshev . 282.6.2. Postulado de Bertrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.6.3. Primos de clases de congruencias en intervalos . . . . . . . . . . . . 31
III
3. Sobre el grupo de Galois de los polinomios de Legendre 333.1. Definición de los polinomios Jn(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2. Discriminante de Jn(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3. La raíz di scJn no es racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Conclusiones 42
Bibiografía 43
IV
Introducción
Los polinomios ortogonales desempeñan una función importante en varias áreasde la matemática y los polinomios de Legendre no son la excepción. En 1785 el mate-mático francés Adrien-Marie Legendre introdujo los polinomios que llevan su nombre,estos han jugado un papel importante en el análisis, la física e incluso la teoría de nú-meros; no obstante, las propiedades algebraicas de esta familia de polinomios no sonbien conocidas. En 1890 Stieltjes conjeturó que dichos polinomios son irreducibles so-breQ.
Asumiendo la conjetura de Stieltjes, la presente monografía tiene como finalidadel estudio parcial de los grupos de Galois de los polinomios de Legendre. Ésta buscaexhibir conceptos y propiedades elementales sobre los polinomios ortogonales, juntocon las propiedades de familias de polinómios como los polinómios de Legendre y lospolinómios de Jacobi; y conceptos que relacionan el grupo de Galois y el discriminantede un polinomio. Además de ello, introduce conceptos de teoría de números analítica,como por ejemplo la función φ(x) de Chebyshev, que interviene para dar informaciónadicional sobre el discriminante de un polinómio.
Específicamente, se representa los polinomios de Legendre en términos de otro ti-po de polinomios que denotamos por J (±1/2,0)
n (x), y busca demostrar si el grupo deGalois de ellos está contenido en An , el grupo de todas las permutaciones pares. Di-cho estudio está basada en el primer resultado del artículo On the Galois groups ofLegendre polynomials de John Cullinan y Garshid Hajir [3], e intenta reconstruir par-cialmente dicho artículo. Para ello se deben incluir conceptos previos de tres teorías:los polinomios ortogonales, el grupo de Galois de un polinomio y primos en progre-siones aritméticas.
En forma detallada, el desarrollo de este trabajo se presenta de la siguiente manera:En el primer capítulo, Preliminares, se encuentran nociones básicas sobre divisibilidady congruencias; junto con conceptos de extensiones de campos, automorfismos y al-gunas propiedades del grupo de permutaciones.
En el segundo capítulo, Conceptos básicos, se dan las herramientas necesarias parael desarrollo de nuestro objetivo general. Para ello se muestra la relación entre el grupo
V
de Galois y el discriminante de un polinomio, la definición y algunas propiedades defunciones especiales, necesarias para la definición de polinomios clásicos; se presentala teoría de funcionales de momento y los correspondientes polinomios ortogonales; ypor último se presenta la unión de dos resultados conocidos, el postulado de Bertrandy el teorema de Dirichlet.
Y para finalizar, en el tercer capítulo, Sobre el grupo de Galois de los polinomios deLegendre, se muestra el resultado en el que se centra este trabajo, utilizando las he-rramientas desarrolladas en el segundo capítulo. Se obtiene un teorema principal queproporciona información acerca del grupo de Galois de los polinomios J (±1/2,0)
n (x).
VI
Capítulo 1
Preliminares
El objetivo principal de este trabajo gira entorno a tres ramas de la matemática, co-mo ya se ha mencionado. En este capítulo se exhiben algunos conceptos de teoría denúmeros y álgebra abstracta, como por ejemplo: la definición y propiedades de divi-sibilidad, congruencias, extensiones de campos, entre otros. Esto con el fin de dar lasherramientas necesarias para el buen entendimiento de conceptos que se definirán enlos siguientes capítulos y teoremas que relacionan estos conceptos.
1.1. Divisibilidad, MCD y Congruencias
Uno de los resultados que se dan en el tercer capítulo necesita de definiciones yteoremas elementales de teoría de números. La mayor parte de los enunciados de di-chos teoremas y definiciones que se dan a lo largo de esta sección se han tomado de [9].De esta manera, introducimos en primer lugar la definición de divisibilidad.
Definición 1.1. Dados a,b ∈Z, decimos que a divide a b y denotamos a|b si b = ka paraalgún k ∈Z. De lo contrario, decimos que a no divide a b y escribimos a 6 |bTeorema 1.1. Supongamos que a,b,c son números enteros. Entonces
1. Si a 6= 0 entonces a|0, a|a, a|(−a).
2. 1|a, (−1)|a.
3. Si a|b entonces a|bc.
4. Si a|b y b|c entonces a|c.
5. Si a|b y a|c entonces para todo x, y ∈Z, a|(bx + c y).
6. Si a|b y b 6= 0 entonces |a| ≤ |b|.7. Si a|b y b|a entonces a = b o a = (−b)
Una definición sumamente relacionada con la divisibilidad de números enteros, esel máximo común divisor entre dos números enteros.
1
Definición 1.2. Si d divide a dos enteros a y b, entonces d es llamado común divisorde a y b. El conjunto de todos los divisores d es un conjunto finito de números enteros.Al máximo de este conjunto se le denomina Máximo Común Divisor, y se denota por(a,b).
Teorema 1.2. Sean a,b ∈Z no ambos cero. Entonces d = (a,b) si y solo si d satisface lassiguientes propiedades:
1. d > 0 (d es no negativo)2. d |a y d |b (d es común divisor de a y b)3. Si f |a y f |b implica f |d (todo común divisor divide a d)
Teorema 1.3. (Lema de Euclides). Si a|bc y (a,b) = 1 entonces a|c.
Corolario 1.1. Si p es primo y p|ab entonces p|a o p|bTeorema 1.4. (Teorema fundamental de la aritmética) Todo entero n > 1 o es primo, ose puede factorizar como producto de primos. Este producto es único salvo por el ordende los factores.
Si tomamos un entero n > 1 se pueden agrupar los primos iguales en su factoriza-ción debido al Teorema fundamental de la aritmética (TFA), a esta fórmula se le deno-mina forma canónica del entero n y está dada por:
n =r∏
k=1pak
k , (1.1)
donde ak > 0 y pi 6= p j si i 6= j .
Ahora se enuncia la definición de congruencia y sus propiedades junto con algunosteoremas.
Definición 1.3. Sean a,b ∈ Z y n ∈ N. Si n|(a −b) decimos que a y b son congruentesmódulo n y escribimos
a ∼= b (mod n).
Teorema 1.5. La congruencia módulo n es una relación de equivalencia sobre Z.
Teorema 1.6. Si a ∼= b (mod n) y c ∼= d (mod n) entonces
1. Para todo par de enteros r y s, ar + cs ∼= br +d s (mod n).
2. ac ∼= bd (mod n).
3. Para todo entero r , a + r ∼= b + r (mod n) y ar ∼= br (mod n).
A continuación introducimos la función φ de Euler, con el fin de enunciar el teore-ma de Euler y Fermat que será utilizado más adelante.
Definición 1.4. Para cada entero positivo n, definimos φ(n) como el número de enterospositivos menores o iguales que n y primos relativos con n.
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De esta manera los primeros valores de φ(n) se pueden ver en la siguiente tabla:
n: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10φ(n): 1 1 2 2 4 2 6 4 6 4
Teorema 1.7. (Teorema de Euler) Si (a,n) = 1 entonces
aφ(n) ∼= 1 (mod n).
Corolario 1.2. (Teorema de Fermat) Si p es un número primo y (a, p) = 1 entonces
ap−1 ∼= 1 (mod p).
La siguiente proposición es primordial para uno de los resultado de este trabajo yes una importante propiedad de los números primos.
Proposición 1.1. La raíz de un número primo p es irracional
Demostración: Sea p un primo. Supongamos que la raíz de p es racional, esto es,
pp = a
b,
con (a,b) = 1. Así, elevando al cuadrado
p = a2
b2.
Por lo que b2p = a2, de esta manera p|a2, y así p|a. Luego existe k tal que a = pk,elevando al cuadrado tenemos a2 = k2p2, y obtenemos que b2 = pk2, de esta manerap|b2, con lo que p|b. Lo cuál es una contradicción.
El siguiente teorema se conoce como el Teorema de Dirichlet, es un resultado clá-sico de la teoría analítica de números. La demostración de dicho teorema es extensa yrequiere de resultados complejos que no hacen parte de nuestro estudio. Sin embargo,para el objetivo de nuestro trabajo utilizamos una variación de él, cuya demostraciónestá a nuestro alcance.
Teorema 1.8. (Teorema de Dirichlet) Sean h,k > 0 dos enteros tales que (h,k) = 1, en-tonces existe al menos un número primo de la forma kn +h.
Proposición 1.2. Existen infinitos primos de la forma 4k +3
Demostración: Como 4k+3 = 4(k+1)−1, basta demostrar que existen infinitos primosde la forma 4k −1. Supongamos que existe un número finito de primos, p1, p2, . . . , pn ,de la forma 4k −1. Consideremos al entero N = 4p1p2 . . . pn −1, así
N ∼=−1 (mod 4)
Como N > pi , para 1 ≤ i ≤ n, y N es de la forma 4k−1, por el TFA debe ser producto denúmeros primos y debe tener como factor algún primo pi de la forma 4k −1. Así, pi |Ny pi |4p1 · · ·pn , por el item (5) del teorema 1.1, pi |4p1 · · ·pn −N , por lo que pi |1, lo cuales una contradicción.
3
Proposición 1.3. Existen infinitos primos de la forma 4n +1
Demostración: Sea N un entero cualquiera tal que N > 1. Ahora, tomemos
m = (N !)2 +1.
Nótese que m es impar y m > 1. Sea p el menor factor primo de m. Supongamos quep ≤ N entonces p|(N !)2 y como p|m entonces p|1, lo que es absurdo. Luego necesaria-mente p > N . También tenemos que
(N !)2 ∼=−1 (mod p),
elevando a ambos lados por la potencia (p −1)/2 encontramos
(N !)p−1 ∼= (−1)(p−1)/2 (mod p). (1.2)
Por el razonamiento anterior p 6 |(N !)2, por lo que p 6 |N ! y así (N !, p) = 1, luego por elteorema de Fermat
(N !)p−1 ∼= 1 (mod p). (1.3)
De (1.2) y (1.3) obtenemos(−1)(p−1)/2 ∼= 1 (mod p)
Ahora la diferencia (−1)(p−1)/2 − 1 es 0 o −2, y como p 6 | − 2 pues p|m y m es impar,entonces (−1)(p−1)/2 = 1, lo que implica que (p−1)/2 es par. Y así p ∼= 1 (mod 4). Luegoexisten infinitos primos de la forma 4k +1.
1.2. Permutaciones
En esta sección se dan algunas nociones de permutaciones y sus propiedades, ba-sadas en [4].
Definición 1.5. Una permutación de un conjunto A es una función de A en A biyectiva.
Teorema 1.9. Sea A un conjunto no vacío y sea S A la familia de todas las permutacionesde A. Entonces S A es un grupo bajo la composición.
Si A = {1,2, . . . ,n} entonces el grupo de todas las permutaciones de A es el gruposimétrico de n elementos y se denota por Sn . Este grupo tiene n! elementos.
Definición 1.6. Una permutaciónσ de un conjunto A es un ciclo de longitud k si existena1, a2, . . . , an ∈ A tales que
σ(a1) = a2, σ(a2) = a3, σ(a1) = a2, . . . , σ(an−1) = an σ(an) = a1.
y σ(x) = x para toda x ∈ A tal que x 6∈ {a1, a2, . . . , an}.
Definición 1.7. Un ciclo de longitud 2 es una transposición.
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Teorema 1.10. Cualquier permutación de un conjunto finito de al menos dos elementoses un producto de transposiciones.
Definición 1.8. Una permutación de un conjunto finito es par (resp. impar) si se puedeexpresar como composición de un número par (resp. impar) de transposiciones.
Teorema 1.11. Si n ≥ 2, la colección de todas las permutaciones pares de {1,2, . . . ,n}forma un subgrupo de orden n!/2 del grupo simétrico Sn .
Definición 1.9. El subgrupo de Sn que consta de las permutaciones pares de n elementoses el grupo alternante An .
1.3. Extensiones campos y Grupo de Galois
Con el fin de definir el grupo de Galois de un polinomio deben presentarse algunasdefiniciones y propiedades fundamentales del álgebra abstracta, éstas en su mayoríase basan en [4, 5].
Definición 1.10. Sea F un campo. Un campo K se dice una extensión de F si F ≤ K . Esdecir, F es un subcampo de K .
Definición 1.11. Un elemento α ∈ K es algebraico sobre F si es raíz de algún polino-mio no nulo, es decir si f (α) = 0 para algún f (x) ∈ F [x] no nulo. De lo contrario α estrascendente sobre F.
Definición 1.12. Sea F un campo. Un polinomio p(x) no constante en F [x] se dice irre-ducible si no puede expresarse como producto de dos polinomios de grado menor que elde p(x). En otras palabras si p(x) = q(x)s(x) con q(x), s(x) ∈ F [x] entonces q(x) o s(x) esde grado cero, es decir, es una constante.
Teorema 1.12. Sea α ∈ K algebraico sobre F con K una extensión de F , entonces existeun polinomio irreducible p(x) ∈ F [x] tal que p(α) = 0.
Al polinomio mónico del teorema anterior se le llama polinomio irreducible para αsobre F y se denota por i r r (α,F ). Como este polinomio es irreducible el ideal generadopor él , denotado por ⟨i r r (α,F )⟩ es maximal y por tanto F [x]/⟨i r r (α,F )⟩ es un campo,y lo denotamos por F (α).
Definición 1.13. Si K es de dimensión finita como espacio vectorial sobre F , entonces sedice que K es un extensión finita sobre F . El grado de K sobre F es la dimensión de Kcomo espacio vectorial sobre F y lo denotamos como [K : F ].
Con la finalidad de encontrar un campo E , extensión finita de F y de grado mini-mal, en el cual un polinomio p(x) ∈ F [x] de grado n, tenga todas sus raíces en K . Senecesitan las siguientes proposiciones:
Proposición 1.4. Si p(x) ∈ F [x] y si K es una extensión de F , entonces para cualquierelemento b ∈ K , p(x) = (x −b)q(x)+p(b), donde q(x) ∈ K [x] y g r (q(x)) = g r (p(x))−1,donde g r (q(x)) denota el grado de q(x).
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Proposición 1.5. Sea f (x) ∈ F [x] de grado n ≥ 1, Entonces existe una extensión E de F ,con [E : F ] ≤ n!, en la que f (x) tiene n raíces.
Como resultado de las anteriores proposiciones obtenemos una extensión finita Een la que un polinomio f (x) ∈ F [x], de grado n, tiene todas sus raíces en E , además f (x)se puede descomponer completamente sobre E como producto de factores lineales.Para encontrar la extensión finita de grado minimal se da la siguiente definición:
Definición 1.14. Si f (x) ∈ F [x], una extensión finita E de F se dice que es un campode descomposición de f (x) sobre F si f (x) puede ser descompuesto en un producto defactores lineales sobre E, pero no en ningún subcampo propio de E.
Definición 1.15. Sea σ una aplicación de K sobre si mismo, σ : K → K . Dados a,b ∈ Kcualesquiera, se dice que σ es un automorfismo del campo K si:
1. σ(a +b) =σ(a)+σ(b)
2. σ(ab) =σ(a)σ(b)
Dos automorfismos σ y τ se dice que son distintos si σ(a) 6= τ(a) para al menos un ele-mento a ∈ K .
Definición 1.16. Sea K un campo y sea F un subcampo de K . Entonces el grupo deautomorfismos de K relativos a F , que se denota como G(K ,F ), es el conjunto de todoslos automorfismos de K que dejan fijos todos los elementos de F , esto es, el automorfismoσ de K está en G(K ,F ) si y sólo si σ(a) = a para todo a ∈ F .
Definición 1.17. Sea f (x) un polinomio en F [x] y sea K un campo de descomposiciónsobre F . El grupo de Galois de f (x) es el grupo G(K ,F ) de todos los automorfismos de Kque dejan fijos los elementos de F .
El grupo de Galois de f (x) puede considerarse como un grupo de permutacionesde sus raíces, ya que si α es una raíz de f (x) y si σ ∈G(K ,F ) entonces σ(α) es tambiénuna raíz de F . Así, dicho grupo puede considerarse un subgrupo de Sn , donde Sn es elgrupo de todas las permutaciones de α1, . . . ,αn .
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Capítulo 2
Conceptos Básicos
2.1. Relación entre el grupo de Galois y el discriminantede un polinomio
En esta sección se definen el resultante y discriminante de un polinomio y se danalgunas propiedades de ellos, pues, el discriminante de un polinomio tiene una rela-ción cercana con el grupo de Galois de un polinomio. Así, al finalizar esta sección semuestra la relación entre ellos.
2.1.1. Resultante y Discriminante
Sean f (x) y g (x) dos polinomios en F [x], F un campo, y sea K , el campo de des-composición de f (x) y g (x) sobre F .
Definición 2.18. Sea f (x) = a(x −α1) · · · (x −αn) y g (x) = b(x −β1) · · · (x −βm) la des-composición de f y g en K [x]. Entonces el resultante R( f , g ) de f y g está dado por lassiguientes fórmulas equivalentes:
R( f , g ) = am g (α1) · · ·g (αn)
= (−1)nmbn f (β1) · · · f (βm)
= ambn∏
1≤i≤n1≤ j≤n
(αi −β j ).
Definición 2.19. Si f (x) ∈ F [x] es un polinomio de grado n tal que f (x) = ∑ni=0 ai xi , se
define el discriminante de f (x) , di sc( f ), por medio de la siguiente expresión:
di sc( f ) = (−1)12 n(n−1) 1
anR( f , f ′),
donde f ′ es la derivada de f .
7
Proposición 2.6. Sea f (x) ∈ F [x] un polinomio de grado n, y sean αi las raíces de f (x)en K . Entonces
di sc( f ) = (an)n−1+deg ( f ′) ∏1≤i< j≤n
(αi −α j )2. (2.1)
donde deg ( f ′) es el grado del polinomio obtenido por la derivada de f (x)
Demostración: Sea f (x) ∈ F [x] tal que f (x) =∑ni=0 ai xi . Podemos escribir
f (x) = an
n∏i=1
(x −αi ).
Derivando obtenemos
f ′(x) = an∑
i
n∏j 6=i
(x −α j ).
Así
f ′(αi ) = an
n∏j 6=i
(αi −α j ).
Entonces nosotros obtenemos que
R( f , f ′) = (an)n+deg ( f ′)(−1)n(n−1)/2∏i< j
(αi −α j )2,
esto prueba la proposición.Por medio de la proposición anterior y directamente de la definición de discriminantese obtiene el siguiente corolario.
Corolario 2.3. Sea f (x) ∈ F [x] un polinomio de grado n, y sean αi las raíces de f en K .Entonces
di sc( f ) = (−1)12 n(n−1)(an)n−2
n∏i=1
f ′(αi ). (2.2)
Las propiedades del discriminante de un polinomio pueden obtenerse directamen-te de la definición, y se dan a continuación:
Lema 2.1. Sea f (x) ∈ F [x] un polinomio de grado n. Entonces
1. Para todo k = cte, se tiene que di sc( f (x +k)) = di sc( f (x)).
2. di sc( f (2x)) = 2n(n−1)di sc( f (x)).
Si f (x) ∈ F [x] un polinomio mónico irreducible de grado n, con todas sus raícesα1, . . . ,αn en un campo de descomposición K de f (x) sobre F , y suponiendo que f (x)se factoriza en K [x] por
f (x) =n∏
i=1(x −αi ), (2.3)
denotamos a la raíz cuadrada del discriminante de f ,√
di sc( f (x)), por:
∆( f ) = ∏i< j
(αi −α j ). (2.4)
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2.1.2. Grupo de Galois y Discriminante
A continuación se darán las proposiciones que relacionan el grupo de Galois de unpolinomio y su discriminante.
Proposición 2.7. Para cada σ ∈ G(K ,F ) < Sn , σ es una permutación par si y sólo siσ(∆) =∆, además σ es impar si y sólo si σ(∆) =−∆Demostración: Sea σ una tansposición, σ= (αcαd ) con c < d . Hacemos
∆( f ) = ∏i< j
(αi −α j )
= (αc −αd ) ·ρ1 ·ρ2 ·ρ3 ·ρ4 ·ρ5 ·ρ6 ·ρ7,
donde
ρ1 =∏i< j
(αi −α j ) con i , j 6= c,d
ρ2 =∏i<c
(αi −αc )
ρ3 =∏i<c
(αi −αd )
ρ4 =∏
c<i<d(αi −αd )
ρ5 =∏
c< j<d(αc −α j )
ρ6 =∏
d< j(αc −α j )
ρ7 =∏
d< j(αd −α j ).
De esta manera aplicando σ se tiene
σ(∆) =σ(αc −αd )σ(ρ1)σ(ρ2)σ(ρ3)σ(ρ4)σ(ρ5)σ(ρ6)σ(ρ7). (2.5)
Así,
σ(αc −αd ) =σ(αc )−σ(αd ) =αd −αc =−(αc −αd )
σ(ρ1) =σ(∏
i< j(αi −α j )
)= ∏
i< j(σ(αi )−σ(α j )) = ∏
i< j(αi −α j ) = ρ1, i , j 6= c,d
σ(ρ2) =σ(∏
i<c(αi −αc )
)= ∏
i<c(σ(αi )−σ(αc )) = ∏
i<c(αi −αd ) = ρ3
σ(ρ3) =σ(∏
i<c(αi −αd )
)= ∏
i<c(σ(αi )−σ(αd )) = ∏
i<c(αi −αc ) = ρ2
9
σ(ρ4) =σ( ∏
c<i<d(αi −αd )
)= ∏
c<i<d(σ(αi )−σ(αd )) = (−1)d−c−1
∏c<i<d
(αc −αi ) = (−1)d−c−1ρ5
σ(ρ5) =σ( ∏
c< j<d(αc −α j )
)= ∏
c< j<d(σ(αc )−σ(α j )) = (−1)d−c−1
∏c< j<d
(α j −αd ) = (−1)d−c−1ρ4
σ(ρ6) =σ( ∏
d< j(αc −α j )
)= ∏
d< j(σ(αc )−σ(α j )) = ∏
d< j(αd −α j ) = ρ7
σ(ρ7) =σ( ∏
d< j(αd −α j )
)= ∏
d< j(σ(αd )−σ(α j )) = ∏
d< j(αc −α j ) = ρ6.
Por lo tanto σ(∆) = (−1)2(d−c−1)+1(αc −αd ) ·ρ1 ·ρ2 ·ρ3 ·ρ4 ·ρ5 ·ρ6 ·ρ7 =−∆. Se sabe queuna permutación es par (respectivamente impar) si es composición de un número par(respectivamente impar) de transposiciones. Por lo que queda probada la proposición.
Teorema 2.13. Sean F, f ,K y ∆ como se describen anteriormente.
(a) f (x) tiene como factor el cuadrado de algún polinomio irreducible en F [x] si y solosi ∆( f ) = 0.
(b) (∆( f ))2 ∈ F .
(c) ∆( f ) ∈ F si y sólo si G(K ,F ) es un subgrupo de An , el grupo de todas las permutacio-nes pares.
Demostración:(a) Sean α1, . . . ,αn las raices de f (x), si ∆( f ) = 0 se tiene que
∆( f ) = ∏i< j
(αi −α j ) = 0,
esto es, para algún factor de la productoria αi −α j = 0, con lo que αi =α j para algún i .Como f (x) se factoriza sobre K [x]
f (x) =n∏
i=1(x −αi )
= (x −α1) · · · (x −αi ) · · · (x −α j ) · · · (x −αn)
= (x −α1) · · · (x −αi )2 · · · (x −α j−1)(x −α j+1) · · · (x −αn).
Haciendo f (x) = (x −αi )2g (x), se tiene que f (x) tiene como factor el cuadrado de unpolinomio irreducible sobre F [x]. Por otra parte si f (x) = h(x)2k(x), con h(x) irreduci-ble en F [x], h debe ser mónico de grado m ≤ n. Por otra parte f se factoriza sobre K [x]por (2.3), entonces
f (x) = h(x)2k(x) =n∏
i=1(x −αi ).
10
Como K es el campo de descomposición de f sobre F , las raíces β1, . . . ,βm de h(x)están en K y h se puede factorizar en K [x], h(x) = (x −β1) · · · (x −βm). Al igual que lasraices γ1 . . . ,γs de k(x). Por lo que
f (x) = h(x)2k(x)
= [(x −β1) · · · (x −βm)]2[(x −γ1) · · · (x −γs)]
= (x −β1) · · · (x −βm)(x −β1) · · · (x −βm)(x −γ1) · · · (x −γs).
De esta manera si f (x) se factoriza por (2.3) algún αi =α j , y por tanto ∆( f ) = 0.
(b) Sea σ ∈ G(K ,F ), así σ(∆2) = (σ(∆))2 y por proposición 2.7 σ(∆2) = (±∆)2 = ∆2,así ∆2 ∈ F .
(c) Si ∆ ∈ F , para cada σ ∈ G(K ,F ), se tiene σ(∆) = ∆, y por la proposición 2.7 elsg n(σ) = 1, siendo sg n la función signo, luego σ ∈ An .
Sea G(K ,F ) subgrupo de An . Sabemos que si σ ∈ G(K ,F ) entonces σ(∆) = ±∆. Porotro lado,σ ∈ An si y solo si sg n(σ) = 1, es decirσ es par, y por proposición 2.7σ(∆) =∆,así como ∆ queda fijo por los elementos de G(K ,F ), entonces ∆ ∈ F .
2.2. Funciones Especiales
En esta sección se definen algunas funciones especiales: la función Gamma, la fun-ción hipergeométrica y el factorial de Pochhammer, la definición y propiedades de es-tas funciones pueden encontrarse en [6]. Estas funciones nos ayudan a definir un tipode polinomios ortogonales clásicos, los polinomios de Jacobi. Estos polinomios hacenparte fundamental de este trabajo, pues trabajaremos con sus propiedades, debido aque los polinomios de Legendre pueden expresarse por medio de los polinomios deJacobi.
2.2.1. Función Gamma y Propiedades
La función gamma fue introducida por primera vez en el año 1729, por el mate-mático Leonhard Euler; pero en 1811, el matemático Adrien Legendre la mofidicó y lallamó GammaΓ. Dicha función juega un papel importante en la definición del factorialde Pohlhammer.
Así, se puede definir la función gamma por medio de la integral de Euler, ademásse mostrarán algunas propiedades de dicha función.
Definición 2.20. Para x ∈R la función gamma, Γ :R→R, se define por:
Γ(x) =∫ ∞
0e−t t x−1d t x > 0. (2.6)
A continuación se puede ver la gráfica de la función Gamma.
11
Figura 2.1: Función Gamma
Proposición 2.8. Para todo x ∈R tal que x > 0, se tiene que
Γ(x +1) = xΓ(x),
además Γ(1) = 1 y si n ∈Z+, Γ(n) = (n −1)!.
Demostración:Para x ∈R con x > 0, por definición de Γ e integrando por partes obtenemos
Γ(x +1) =∫ ∞
0e−t t xd t
= −t xe−t∣∣∞0 +
∫ ∞
0xe−t t x−1d t
= x∫ ∞
0e−t t x−1d t
= xΓ(x).
(2.7)
Ahora evaluando en Γ(x) cuando x = 1, tenemos
Γ(1) =∫ ∞
0e−t d t = −e−t
∣∣∞0 = 1. (2.8)
Para finalizar nótese que si n ∈ Z+ la propiedad Γ(n) = (n −1)! se sigue utilizando lasecuaciones (2.7) y (2.8).
2.2.2. Factorial de Pochhhammer
Definición 2.21. La función (α)n es llamada la función factorial y se define por
(α)n =n∏
k=1(α+k −1)
=α(α+1)(α+2) · · · (α+n −1), n ≥ 1,
(α)0 = 1, α 6= 0.
12
Esta función es una generalización del factorial elemental, pues n! = (1)n .
Proposición 2.9. Si α es distinto de cero y no es un entero negativo, entonces
(α)n = Γ(α+n)
Γ(α). (2.9)
Demostración:Por la proposición 2.8 y para n ∈Z+, tenemos
Γ(α+n) = (α+n −1)Γ(α+n −1)
= (α+n −1)(α+n −2)Γ(α+n −2)
= ·· ·= (α+n −1)(α+n −2) · · ·αΓ(α).
Por lo que se deduce la ecuación (2.9).
Proposición 2.10. Si α es distinto de cero y no es un entero negativo, se cumplen lassiguientes propiedades:
1. n(α)n =α((α+1)n − (α)n).
2. (α)n+1 = (α+n)(α)n =α(α+1)n .
3.n
(α)n= α−1
(α−1)n− α−1
(α)n.
2.2.3. Función Hipergeométrica
Definición 2.22. La función hipergeométrica está dada por la serie de potencias
F (a,b;c; z) = 1+∞∑
n=1
(a)n(b)n
(c)nn!zn =
∞∑n=0
(a)n(b)n
(c)nn!zn , (2.10)
para c ∈Z+ y c 6= 0. Donde (x)n es el factorial de Pochhammer.
Nótese que si a,b,c son diferentes de cero y no negativos, la serie converge en losz ∈C, |z| < 1 y diverge para |z| > 1, pues si aplicamos el criterio de D’Alembert, obtene-mos
lımn→∞
∣∣∣∣ (a)n+1(b)n+1zn+1
(c)n+1(n +1!)· (c)nn!
(a)n(b)n zn
∣∣∣∣= lımn→∞
∣∣∣∣ (a +n)(b +n)z
(c +n)(n +1)
∣∣∣∣= |z|.
Proposición 2.11. Para |z| < 1 la función hipergeométrica satisface la ecuación diferen-cial lineal de segundo orden
z(1− z)w ′′+ [c − (a +b +1)z]w ′−abw = 0, (2.11)
a esta ecuación diferencial se le denomina ecuación diferencial hipergeométrica.
13
Demostración: Se define el operador D = z dd z y denotemos por
w = F (a,b;c; z) =∞∑
n=0
(a)n(b)n
(c)nn!zn .
De esta manera, aplicando D y por la propiedad (3) de la proposición 2.10 se obtiene
Dw =∞∑
n=0
n(a)n(b)n
(c)nn!zn
=∞∑
n=0
(c −1
(c −1)n− c −1
(c)n
)(a)n(b)n
n!zn
= (c −1)∞∑
n=0
(a)n(b)n
(c −1)nn!zn − (c −1)
∞∑n=0
(a)n(b)n
(c)nn!zn
= (c −1)F (a,b;c −1; z)− (c −1)w.
Por lo que(D + c −1)w = (c −1)F (a,b;c −1; z).
Aplicando nuevamente D a la ecuación anterior y junto con la propiedad (2) de la pro-posición 2.10, se tiene
D(D + c −1)w = (c −1)∞∑
n=1
(a)n(b)n
(c −1)nn!nzn
=∞∑
n=1
(a)n(b)n
(c)n−1(n −1)!zn .
Haciendo un cambio de índice
D(D + c −1)w =∞∑
n=0
(a)n+1(b)n+1
(c)nn!zn+1
= z∞∑
n=0
a(a +1)nb(b +1)n
(c)nn!zn
= zabF (a +1,b +1;c; z)
= z(D +a)(D +b)w.
Así
[D(D + c −1)− z(D +a)(D +b)]w = 0. (2.12)
Nótese que Dw = zw ′ y D(D −1)w = z2w ′′. Así, por un lado
D(D + c −1)w = D(D −1)+ cDw = z2w ′′+ czw ′,
y por otro lado
z(D +a)(D +b)w = z(D +a)(D −1+ (b +1))w
= z(D(D −1+ (b +1))+a(D +b))w
= z(z2w ′′+ (b +1)zw ′+azw ′+abw).
14
Reemplazando en la ecuación (2.12) y factorizando obtenemos
z(1− z)w ′′+ [c − (a +b +1)z]w ′−abw = 0.
Con lo que la función hipergeométrica cumple (2.11).
2.3. Funcionales de momento y propiedades
En esta sección se dan algunas definiciones y propiedades fundamentales sobre unfuncional de momentos y los correspondientes polinomios ortogonales, en su mayoríatomadas de [2, 10]. Entre estas se encuentran la ortogonalidad, la fórmula fundamen-tal de recurrencia, la existencia de una sucesión de polinomios ortogonales, funcionalpositivo, entre otras.
2.3.1. Ortogonalidad y fórmula fundamental de recurrencia
Definición 2.23. Una transformación L : C[x] → C lineal se denomina funcional demomentos, en otras palabras, una transformación C−lineal del espacio de los polino-mios con coeficientes complejos en el campo de los números complejos.
Definición 2.24. [2, pag.7] Se dice que una sucesión {Pn(x)}∞n=0 de polinomios mónicoses una SPO(sucesión de polinomios ortogonales o un sistema de polinomios ortogona-les) con respecto a un funcional de momentos L si para todo entero no negativo n y m,se tiene :
(i) Pn(x) es de grado n.
(ii) L (Pn(x)Pm(x)) =λnδnm , con λn 6= 0
Donde δnm es el delta de Kronecker.
Por simplicidad se denota la sucesión de polinomios {Pn(x)}∞n=0 como {Pn(x)}. El si-guiente teorema muestra una importante característica de los polinomios ortogonales,muestra que, dado un funcional de momentos y su correspondiente SPO, los polino-mios ortogonales pueden escribirse en términos de los polinomios inmediatamenteanteriores.
Teorema 2.14. Si {Pn(x)} es una SPO para L , existen Bn ,Cn ∈ C, n ≥ 0, con Cn 6= 0,n ≥ 1, de tal manera que se satisface la siguiente recurrencia:
Pn+1(x) = (x −Bn)Pn(x)−CnPn−1(x), (2.13)
donde P−1(x) = 0 y P0(x) = 1., y así la SPO queda determinada de manera única por(2.13).
15
Demostración: Por hipótesis {Pn(x)} es un SPO, luego Pn(x) es de grado n, por lo que{Pn(x)} es una base de C[x]. Como xPn(x) es un polinomio de grado n + 1 podemosescribirlo como combinación lineal
xPn(x) =n+1∑i=0
an,i Pi (x) para n ≥ 0, (2.14)
donde los an,i ∈C y an,n+1 = 1.Para n = 0 y n = 1 la recurrencia (2.13) se tiene, luego supongamos n ≥ 2. Al multi-
plicar Pk (x) con 0 ≤ k ≤ n −2 a ambos lados de (2.14) se tiene
xPn(x)Pk (x) =n+1∑i=0
ani Pi (x)Pk (x). (2.15)
Además xPk (x) lo podemos escribir como combinación lineal, esto es
xPk (x)k+1∑j=0
ak j P j (x).
Aplicando L se tiene
L (xPk (x)Pn(x)) =k+1∑j=0
ak j L (P j (x)Pn(x)).
Como k ≤ n −2 se tiene para j ≤ k +1 que j ≤ n −1 < n. Así L (xPk (x)Pn(x)) = 0 pordefinición, y además L (xPk (x)Pn(x)) = aknλk . Como λ : k 6= 0, implica que akn = 0para 0 ≤ k ≤ n −2. Luego reemplazando en (2.14) y haciendo ann = Bn y an,n−1 =Cn seobtiene la relación (2.13).
Por otra parte, si n ≥ 1, al multiplicar por Pn(x) en (2.13) se obtiene
P 2n(x) = (x −Bn−1)Pn−1(x)Pn(x)−Cn−1Pn−2(x)Pn(x).
Aplicando L se tiene que
L (P 2n(x)) =L (xPn−1(x)Pn(x)).
Por otro lado
Pn−1(x)Pn+1(x) = (x −Bn)Pn−1(x)Pn(x)−CnP 2n−1(x).
De igual manera aplicando L
L (P 2n(x)) =CnL (P 2
n−1(x)
Como L (P 2n(x)) 6= 0 para n ≥ 1, de esta manera Cn 6= 0. Lo que concluye la prueba.
El inverso del teorema 1.1, el cual justifica que cualquier sucesión de polinomiossatisface la relación de recurrencia (2.13) es un SPO, esta inversa se le atribuye a J. Fa-vard en 1935, y se presenta a continuación:
16
Teorema 2.15. (Teorema de Fovard). Sean {Bn}∞n=0 y {Cn}∞n=0 sucesiones arbitrarias denúmeros complejos, con Cn 6= 0, y sea {Pn(x)} una sucesión de polinomios mónicos defi-nidos por la relación de recurrencia:
xPn(x) = Pn+1(x)+BnPn(x)+CnPn−1(x) para n ≥ 0,
P−1(x) = 0,P0(x) = 1,(2.16)
existe un único funcional de momentos L tal que
L (1) = 1 L (PmPn(x)) = 0 para m 6= n, m,n = 0,1, . . .
L está bien definido y {Pn(x)}∞n=0 es su correspondiente SPO mónico. Además
λn =L (P 2n(x)) =C1 · · ·Cn .
Demostración: Definamos el funcional de momentos L con las condiciones
L (1) =µ0 = 1, L (Pn(x)) = 0 n ≥ 1. (2.17)
Como {Pn(x)} cumple (2.16) podemos extender el funcional de momentos por lineali-dad a todo C[x]. Esto es, definimos µ1 por la condición
L (P1(x)) =L ((x −B0)P0(x)−C0P−1(x)) =L (x)−B0L (1) =µ1 −B0µ0 = 0,
luego definimos µ2 por
L (P2(x)) =L ((x −B1)P1(x)−C1P0) =L (x2)− (B0 +B1)L (x)+ (B1B0 −C1)L (1)
=µ2 − (B0 +B1)µ1 + (B0B1 −C1)µ0 = 0,
y así, siguiendo el proceso para obtener µn . De esta manera L será una transforma-ción lineal de C[x] en C.
Se prueba por inducción que para m ≥ 0 fijo, L (xmPn(x)) = 0 para todo n > m.Si m = 0 tenemos que L (xmPn(x)) = L (Pn(x)) = 0, por (2.17). Supongamos que secumple para m ≤ k con 0 ≤ k +1 < n, esto es, L (xk Pn(x)) = 0. Como
xk+1Pn(x) = xxk Pn(x) = xk [Pn+1(x)+BnPn(x)+CnPn−1(x)].
Aplicando L y por linealidad, se obtiene
L (xk+1Pn(x)) =L (xk Pn+1(x))+BnL (xk Pn(x))+CnL (xk Pn−1(x)).
Así, por hipótesis de inducción cuando m = k +1
L (xk+1Pn(x)) = 0. (2.18)
17
Luego si m 6= n, L (Pm(x)Pn(x)) = 0. Si n = m se tiene que para n ≥ 1
L (xnPn) =L (xn−1xPn(x))
=L (xn−1Pn+1(x))+BnL (xn−1Pn)+CnL (xn−1Pn−1(x))
=CnL (xn−2xPn−1(x))
=Cn[L (xn−2Pn(x))+Bn−1L (xn−2Pn−1(x))+Cn−1L (xn−2Pn−2(x))]
=CnCn−1L (xn−2Pn −2(x))
...
=Cn · · ·C1.
Por consiguiente L está bien definido y {Pn(x)} es el correspondiente SPO si y sólo siCn 6= 0 para n 6= 1.
Del anterior teorema también se puede deducir que si R(x) es un polinomio degrado menor que n, entonces L (R(x)Pn(x)) = 0.
2.3.2. Existencia de SPO
Definición 2.25. Un funcional de momentos L se dice regular, si admite una SPOM,sucesión de polinomios ortogonales mónicos.
Cabe resaltar que no todo funcional de momentos admite una sucesión de poli-nomios ortogonales. A continuación se verá la condición suficiente y necesaria paraque L sea regular. Si L es un funcional de momentos, se denotará como {µn}n=0∞ a lasucesión de momentos , o por simplicidad {µn},donde µn = L f (xn). Y definamos
Γn = det(µi+ j )ni , j=0 =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣µ0 µ1 · · · µn
µ1 µ2 · · · µn+1...
.... . .
...µn µn+1 · · · µ2n
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ . (2.19)
Teorema 2.16. Sea L un funcional de momentos y {µn} la correspondiente sucesión demomentos. Una condición necesaria y suficiente para la existencia de una SPO para L
es
Γn 6= 0, n = 0,1,2, . . . (2.20)
Demostración: Supongamos que L es regular y sea {Pn(x)} un SPMO con respecto aL . Si Γn está definida por (2.19). Veamos que Γn 6= 0 para n 6= 0. Para n = 0 se tiene queΓ0 =µ0 =L (x0) = 1. Supongamos que se cumple para m ≤ k, esto es, Γk 6= 0. Sea
P (x) = 1
Γk
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
µ0 · · · µk µk+1
µ1 · · · µk+1 µk+2...
. . ....
...µk · · · µ2k µ2k+1
1 · · · xk xk+1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(2.21)
18
definido así, P (x) es mónico de grado k +1, y así existen ai ∈C de tal forma que pode-mos escribir
P (x) = Pk+1(x)k∑
i=0ai Pi (x).
Si m < k+1, sabemos que L (P (x)Pm(x)) = 0, y además para cada m = 0,1, . . . ,k se tieneque
L (Pm(x)P (x)) =L (Pm(x)Pk+1(x))+k∑
i=0ai L (Pm(x)Pi (x))
= amL (P 2m(x)) = 0.
Como L (P 2m(x)) 6= 0, entonces am = 0, para cada m = 0,1, . . . ,k, así P (x) = Pk+1(x). Por
otro lado
L (xmPn(x)) = 1
Γn−1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣µ0 µ1 · · · µn...
.... . .
...µn−1 µn · · · µ2n−1
L (xm) L (xm+1) · · · L (xm+n
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ . (2.22)
De esta manera
L (P 2k+1(x)) =L (xk+1Pk+1(x)) = Γk+1
Γk. (2.23)
Así Γk+1 6= 0.
Recíprocamente, si Γn 6= 0, veamos que para m 6= n se tiene que L (Pm(x)Pn(x)) = 0y además L (P 2
n(x)) 6= 0. Si m < n entonces en el determinante de la ecuación (2.22) unade las filas se repite, pues L (xk ) =µk , y por propiedades del determinante obtenemosque L (xmPn(x)) = 0. Por otra parte, de la ecuación (2.23) y como por hipótesis Γn 6= 0,entonces L (P 2
n(x)) 6= 0, de esta manera L es regular, lo que concluye la prueba.
2.3.3. Funcional positivo
Definición 2.26. Sea L un funcional regular, se dice que L es un funcional positivo siel correspondiente SPOM está dado por la recurrencia (1.1) y Cn > 0 para n ≥ 1.
Lema 2.2. Seaπ(x) 6= 0 un polinomio con coeficientes reales que no toma valores negati-vos en el eje real, esto es π(x) ≥ 0 para todo t ∈R. Si L es positivo, entonces L (π(x)) > 0.
Demostración: Si π(x) > 0 para todo t ∈ R entonces existen polinomios reales P (x) yQ(x) tales que π(x) = P 2(x)+Q2(x), luego basta ver que L (P 2(x)) > 0. Como {Pn(x)} elSPO de L es una base para R[x], podemos escribir
P (x) =m∑
i=0ai Pi (x) ai ∈R (2.24)
19
donde m ≥ 0 es el grado de P(x) y am 6= 0. Veamos que
P 2(x) =(
m∑i=0
ai Pi (x)
)2
=m∑
i=0a2
i P 2i (x)+2
∑0≤i< j≤m
ai a j Pi (x)P j (x).
Aplicando L y como a2m > 0 se tiene
L (P 2(x)) =m∑
i=0a2
i L (P 2i (x)) > 0. (2.25)
(2.26)
Lo que concluye la prueba.
Teorema 2.17. (Fórmula de cuadratura de Gauss) Sea L un funcional positivo. Existennúmeros Ak > 0 con k = 1, . . . ,n tales que para todo polinomio Q(x) de grado a lo más2n −1,
L (Q(x)) =n∑
k=1AkQ(xk ). (2.27)
Demostración: Sea {Pn(x)} el correspondiente SPOM de L . Sea Q(x) un polinomioarbitrario de grado menor que 2n, y construimos la interpolación polinómica de La-grange, entonces
Q(x)
Pn(x)=
n∑i=1
Q(xi )
P ′n(xi )(x −xi )
+R(x),
donde x1, . . . , xn son las raíces de Pn(x) y R(x) es un polinomio de grado menor que n.Si hacemos
Ln(x) =n∑
i=1Q(xi )`i (x),
donde
`i (x) = Pn(x)
P ′n(xi )(x −xi )
,
podemos escribirQ(x) = Ln(x)+R(x)Pn(x).
Aplicando L y como R(x) es de grado menor que n, entonces
L (Q(x)) =L (Ln(x))+L (R(x)Pn(x))
=L (Ln(x))
=n∑
i=0Q(xi )L (`i (x)).
20
Llamemos Ai =L (`i (x)). Si elegimos el siguiente polinomio de grado menor que 2n
Q(x) = `2m(x) =
(Pn(x)
P ′n(xm)(x −xm)
)2
,
y aplicando L a dicho polinomio se obtiene
L (`2m(x)) =
n∑i=0
`2m(xi )L (`i (x))
=n∑
i=0`2
m(xi )Ai
= Am > 0.
Luego los Ak son todos positivos, lo que concluye la demostración.
Notas.
Si L un funcional regular puede representarse de la forma
L (P (x)) =∫ ∞
−∞P (t )dσ(t ),
donde σ es una medida positiva con soporte en el eje real. Además, dado {Pn(x)}es su SPOM, que cumple la relación (2.13) y si el soporte deσ es infinito, entoncesL es automáticamente positivo.
Además, si P (x) 6= 0 es un polinomio con coeficientes reales, entonces∫ ∞
−∞P 2(t )dσ(t ) > 0.
Por lo que se puede concluir que bajo las anteriores condiciones podemos definirun producto interno en R[x], como
⟨p(x), q(x)⟩ =∫ ∞
−∞p(t )q(t )dσ(t ).
2.4. Los polinomios de Legendre
La sucesión {Pn(x)}∞m=0 de polinomios de Legendre es una familia de polinomiosortogonales con respecto al producto interno definido en L2[−1,1], los introdujo porprimera vez el matemático francés Adrien-Marie Legendre en 1785.
21
2.4.1. Ecuación Diferencial de Legendre
Dichos polinomios son soluciones de la ecuación diferencial de Legendre. Se puededefinir para n ∈N la ecuación
d
d x
[(1−x2)
d y
d x
]+n(n +1)y = 0. (2.28)
Se puede ver una expresión explícita de los polinomios de Legendre hallando la solu-ción de la ecuación (2.28). Así, asumimos una solución y en series de potencias, estoes:
y(x) =∞∑
k=0ak xk . (2.29)
Calculamos la primera y segunda derivada de (2.29)
y ′(x) =∞∑
k=1kak xk−1 y ′′(x) =
∞∑k=2
k(k −1)ak xk−2. (2.30)
Nótese que las dos sumatorias en (2.30) pueden iniciar con k = 0 sin afectarse, luegoreemplazando (2.29) junto con (2.30) en (2.28) se obtiene
(1−x2)∞∑
k=0k(k −1)ak xk−2 −2x
∞∑k=0
kak xk−1 +n(n +1)∞∑
k=0ak xk = 0.
Así, expandiendo la ecuación anterior se tiene
∞∑k=0
k(k −1)ak xk−2 −∞∑
k=0k(k −1)ak xk −2
∞∑k=0
kak xk +n(n +1)∞∑
k=0ak xk = 0. (2.31)
Nótese que∞∑
k=0k(k −1)ak xk−2 =
∞∑k=0
(k +2)(k +1)ak+2xk . (2.32)
Reemplazando en (2.31)
∞∑k=0
(k +2)(k +1)ak+2xk −∞∑
k=0k(k −1)ak xk −2
∞∑k=0
kak xk +n(n +1)∞∑
k=0ak xk = 0. (2.33)
Con lo que
∞∑k=0
[(k +2)(k +1)ak+2 −k(k −1)ak −2kak +n(n +1)ak ] xk = 0. (2.34)
Luego(k +2)(k +1)ak+2 − [(k(k −1)+2k −n(n +1)]ak = 0. (2.35)
Así
ak+2 =k(k +1)−n(n +1)
(k +2)(k +1)ak =− (n −k)(n +k +1)
(k +2)(k +1)ak . (2.36)
22
Los primeros coeficientes
a2 =−n(n +1)
1 ·2a0
a3 =−2−n(n +1)
6a1 =− (n +2)(n −1)
1 ·2 ·3a1
a4 = 6−n(n +1)
12a2 = (n +3)(n −2)(n +1)n
1 ·2 ·3 ·4a0
a5 = 12−n(n +1)
20a3 = (n +4)(n −3)(n +2)(n −1)
1 ·2 ·3 ·4 ·5a1
Así, probando por inducción se tiene que:
si k = 2m
a2m = (−1)m n · · · (n −2m +2)(n +1) · · · (n +2m −1)
2m!a0 (2.37)
si k = 2m +1
a2m+1 = (−1)m (n −1) · · · (n −2m +1)(n +2) · · · (n +2m)
(2m +1)!a1 (2.38)
Así la solución y de la ecuación (2.28) es
y(x) = a0 y1(x)+a1 y2(x) (2.39)
donde a0 y a1 son constantes arbitrarias y
y1(x) = 1+∞∑
m=1(−1)m n · · · (n −2m +2)(n +1) · · · (n +2m −1)
2m!x2m (2.40)
y2(x) = x +∞∑
m=1(−1)m (n −1) · · · (n −2m +1)(n +2) · · · (n +2m)
(2m +1)!x2m+1 (2.41)
2.4.2. Polinomios de Legendre
A partir de las soluciones y1(x) y y2(x) de la ecuación (2.28) se pueden obtenerlos polinomios de Legendre. Veamos que para cada n ∈N se obtiene un polinomio degrado n, en efecto, si en (2.36) se tiene k = n entonces
an+2 = n(n +1)−n(n +1)
(n +2)(n +1)an = 0,
y así an+4 = 0, an+6 = 0, . . .. De esta manera
Si n es par entonces y1(x) se reduce a un polinomio de grado n
y1(x) = 1, n = 0
y1(x) = 1−3x2, n = 2
y1(x) = 1−10x2 + 353 x4, n = 4
23
Similarmente, si n es impar se tiene la misma afirmación para y2(x)
y2(x) = x, n = 1
y2(x) = x − 53 x3, n = 3
y2(x) = x − 14
3x3 + 21
5 x5, n = 5
Definición 2.27. Los polinomios de Legendre de grado n, denotados por Pn(x), son lospolinomios y1(x) y y2(x) de grado n, multiplicados por una constante y de tal maneraque satisfacen la condición Pn(1) = 1.
Para ver una ecuación explícita de los polinomios de Legendre, tomamos una con-veniente elección para el coeficiente an de la potencia xn como sigue
an = (2n)!
2n(n!)2.
Si se coloca la relación de recurrencia (2.36) en términos de an , se obtiene
ak =− (k +2)(k +1)
(n −k)(n +k +1)ak+2 k ≤ n −2,
Si tomamos k = n −2 y reemplazando en la ecuación anterior, junto con el coeficientean se obtiene
an−2 =− n(n −1)
2(2n −1)an
=− n(n −1)
2(2n −1)· (2n)!
2n(n!)2
=− n(n −1)2n(2n −1)(2n −2)!
2(2n −1)2nn(n −1)!n(n −1)(n −2)!
= (2n −2)!
2n(n −1)!(n −2)!.
Similarmente, si tomamos k = n −4
an−4 =− (n −2)(n −3)
4(2n −3)an−2
= (2n −4)!
2n2!(n −2)!(n −4)!.
En general, cuando n −2m ≥ 0 obtenemos
an−2n = (−1)m (2n −2m)!
2nm!(n −m)!(n −2m)!.
De esta manera los polinomios de Legendre Pn(x) de grado n se pueden obtener por
Pn(x) =N∑
m=0(−1)m (2n −2m)!
2nm!(n −m)!(n −2m)!xn−2m , (2.42)
24
donde N = n/2 si n es par y N = (n −1)/2 si n es impar. Asi los primeros polinomios deLegendre vienen dados por
P0(x) = 1 P1(x) = x
P2(x) = 1
2(3x2 −1) P3(x) = 1
2(5x3 −3x)
P4(x) = 1
8(35x4 −30x2 +3) P5(x) = 1
8(63x5 −70x3 +15x)
La siguiente gráfica muestra los primeros polinomios de Legendre:
Figura 2.2: Polinomios de Legendre
2.4.3. Fórmula de Rodrigues
Una manera de expresar los polinomios de Legendre de grado n, Pn(x), es mediantela fórmula de Rodrigues.
Proposición 2.12. Para n ≥ 0 los polinomios de Legendre de grado n, Pn(x), están dadospor
Pn(x) := 1
2nn!
d n
d xn[(x2 −1)n]. (2.43)
Demostración: Sea φ(x) = (x2 −1)n , veamos que φ(k) satisface la ecuación
(1−x2)φ(k+2) +2x(n −k −1)φ(k+1) + (2n −k)(k +1)φ(k) = 0. (2.44)
La ecuación (2.44) se probará por inducción. Así, derivandoφ se tieneφ′(x) = 2nx(x2−1)n−1, y por tanto
(1−x2)φ′+2nxφ= 0 (2.45)
25
Al derivar la ecuación anterior se obtiene
(1−x2)φ′′+2(n −1)xφ′+2ny = 0.
Así la ecuación (2.44) se cumple para k = 0. Supongamos que se cumple para k−1, estoes
(1−x2)φ(k+1) +2x(n −k)φ(k) + (2n −k +1)kφ(k−1) = 0.
Derivando la ecuación anterior se obtiene
(1−x2)φ(k+2) −2xφ(k +1)+2(n −k)φ(k) +2x(n −k)φ(k +1)+ (2n −k +1)kφ(k) = 0,
la cual es precisamente (2.44).Ahora si tomamos k = n en (2.44) y definimos ϕ(x) = φ(n)(x) vemos que ϕ es un
polinomio de grado n que satisface la ecuación de Legendre (2.28), luego por definición2.27 basta encontrar K de tal forma que Pn(x) = Kϕ(x) y Pn(1) = 1. Usando la regla deLeibniz, nótemos que
ϕ(x) =φ(n)(x) = ((x2 −1)n)(n)
= ((x +1)n(x −1)n)(n)
=n∑
k=0
(n
k
)((x +1)n)(k)((x −1)n)(n−k)
= (x +1)nn!+ (x −1)q(x).
Así ϕ(1) = 2nn!. Por lo tanto
Pn(x) = 1
2nn!ϕ= 1
2nn!
d n
d xn[(x2 −1)n].
2.5. Polinomios de Jacobi
Los polinomios de Legendre pueden ser representados por medio de los polino-mios de Jacobi, a continuación se definirán y se enunciarán sus propiedades. Sze-gö [10, cap. 4] desarrolla una sección completa para estos polinomios y muestra todassus propiedades. En esta sección tomaremos algunas de estas propiedades, las utiliza-das para el objetivo de nuestro trabajo, especialmente el discriminante de los polino-mios de Jacobi. La definición formal de discrimnante se dará en la siguiente sección,con el fin de trabajar sus propiedades.
2.5.1. Definición y propiedades
Definición 2.28. Los polinomios de Jacobi de grado n P (α,β)n (x) se pueden definir vía la
función hipergeométrica por
P (α,β)n (x) = (1+α)n
n!F
(−n,n +α+β+1;α+1;
1−x
2
). (2.46)
26
Proposición 2.13. Los polinomios de Jacobi pueden expresarse de la siguiente manera
P (α,β)n (x) = 1
n!
n∑k=0
(n
k
)(n +α+b +1)k (α+k +1) · · · (α+n)
(x −1
2
)k
, (2.47)
donde (x)k es el factorial de Pochhammer.
Demostración: Directamente de la definición (2.28) y de función hipergeométrica setiene que,
P (α,β)n (x) = (1+α)n
n!
∞∑k=0
(−n)k (n +α+β+1)k
(α+1)k k !
(1−x
2
)2
= (1+α)n
n!
[n∑
k=0
(−n)k (n +α+β+1)k
(α+1)k k !
(1−x
2
)2
+∞∑
k=n+1
(−n)k (n +α+β+1)k
(α+1)k k !
(1−x
2
)2]
Nótese que (−n)k = 0 para k ≥ n +1, y como n ∈Z+, entonces (−n)k = (−1k ) n!(n−k)!
P (α,β)n (x) = (1+α)n
n!
n∑k=0
(−1k )n!
(n −k)!k !
(n +α+β+1)k
(α+1)k
(1−x
2
)2
= 1
n!
n∑k=0
(−1k )n!
(n −k)!k !(n +α+β+1)k (α+k +1) · · · (α+n)
(1−x
2
)2
= 1
n!
n∑k=0
(n
k
)(n +α+b +1)k (α+k +1) · · · (α+n)
(x −1
2
)k
.
Al igual que los polinomios de Legendre, se puede expresar los polinomios de Jaco-
bi de grado n, P (α,β)n (x), por medio de la fórmula de Rodrigues.
Proposición 2.14. Para n ≥ 0 los polinomios de Jacobi de grado n, P (α,β)n (x), están dados
por
P (α,β)n (x) := (−1)n
2nn!(1−x)−α(1+x)−β
(d
d x
)n [(1−x)n+α(1+x)n+β
]. (2.48)
De esta manera, si tomamos α= β= 0 se puede ver fácilmente que los polinomiosde Jacobi son exactamente los polinomios de Legendre, esto es, Pn(x) = P (0,0)
n (x).
Proposición 2.15. Las siguientes fórmulas se cumplen
P (α,α)2k (x) = (−1)k Γ(2k +α+1)Γ(k +1)
Γ(k +α+1)Γ(2k +1)P
(− 12 ,α)
k (1−2x2), (2.49)
P (α,α)2k+1(x) = (−1)k Γ(2k +α+2)Γ(k +1)
Γ(k +α+1)Γ(2k +2)xP
( 12 ,α)
k (1−2x2). (2.50)
Teorema 2.18. El discriminante de P (α,β)n está dado por
D (α,β)n = 2−n(n−1)
n∏k=1
kk−2n+2(k +α)k−1(k +β)k−1(n +k +α+β)n−k .
27
2.6. Primos de clase de congruencia prescritos en inter-valos cortos
En esta sección se enunciará y demostrará el postulado de Bertrand, que asegurala existencia de un primo en un intervalo. Esto con el fin de asociarlo con el teoremade Dirichlet, que indica que existen infinitos primos en una progresión aritmética. Es-tos dos resultados se desean unir con el fin de encontrar clases de congruencias deprimos en un intervalo. Más específicamente, esta sección busca dar las herramientaspara demostrar que para x ≥ 9 el intervalo [x,2x −5] contiene al menos un primo con-gruente con 1 módulo 4 y al menos un primo congruente con 3 módulo 4. Las primerasdefiniciones de esta sección se pueden encontrar en [1].
2.6.1. Función Λ(n) de Mangoldt y funciones ψ(x) y ϑ(x) de Chebys-hev
Introducimos la función de Mangoldt Λ, la cuál juega un papel importante en ladistribución de primos.
Definición 2.29. Para un entero n ≥ 1 definimos
Λ(n) ={
log p si n = pm para algún p primo y algún m ≥ 1
0 en otros casos(2.51)
De esta manera los primeros valores deΛ(n) se pueden ver en la siguiente tabla:
n: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Λ(n): 0 log2 log3 log2 log5 0 log7 log2 log3 0
Proposición 2.16. Si n ≥ 1 se tiene que
logn = ∑d |nΛ(d). (2.52)
Demostración: Si n = 1, la ecuación (2.52) se cumple. Asumamos que n > 1 y utilizan-do el teorema fundamental de la aritmética, escribimos
n =r∏
k=1pak
k ,
donde p1, . . . , pr son primos distintos y a1, . . . , ar > 0. Así, y por propiedades de logarit-mos
logn =r∑
k=1ak log pk .
Sabemos que d |n si y sólo si
d =r∏
k=1pmk
k ,
28
donde 0 ≤ mi ≤ ai para i = 1, . . . ,r . Por la definición de Λ, para cada d , Λ(d) 6= 0 sid = pm
i . Así ∑d |nΛ(d) =
r∑k=1
ak∑m=1
Λ(pmk ) =
r∑k=1
ak∑m=1
log pk =r∑
k=1ak log pk = l og n.
Con lo que se cumple (2.52).La suma parcial de la función de Mangoldt define una nueva función introducida
por Chebyshev en 1848.
Definición 2.30. Para x > 0 la función ψ de Chebyshev está dada por la fórmula
ψ(x) = ∑n≤x
Λ(n). (2.53)
Sabemos queΛ(n) = 0 de no ser que n sea potencia de un primo, por lo cual pode-mos escribir la función ψ como sigue
ψ(x) = ∑n≤x
Λ(n) =∞∑
m=1pm≤x
∑pΛ(pm) =
∞∑m=1
∑p≤x1/m
log p.
Nótese que suma sobre m es finita, pues si x1/m < 2 entonces la suma sobre p es vacía.Esto es, si (1/m) log x < log2, o si
m > log x
log2= log2 x.
De esta manera ψ puede escribirse como
ψ(x) = ∑m≤log2 x
∑p≤x1/m
log p.
Estas fórmulas pueden ser escritas de una manera ligeramente diferente , haciendouso de la función ϑ de Chebyshev, es decir, se puede escribir una en términos de laotra. Por lo que a continuación definimos la función ϑ formalmente:
Definición 2.31. Si x > 0 la función ϑ de Chebyshev está dada por la ecuación
ϑ(x) = ∑p≤x
log p, (2.54)
donde p recorre todos los primos menores iguales que x.
Por lo que las fórmulas de ψ(x) pueden reescribirse como sigue:
ψ(x) =∞∑
m=1ϑ(x1/m) ψ(x) = ∑
m≤log2 xϑ(x1/m) (2.55)
Proposición 2.17. Para x > 1, la siguiente fórmula se cumple:
log[x]! = ∑m≤x
ψ( x
m
),
donde [x] es la parte entera de x.
La demostración de la proposición anterior se obtiene directamente de la proposi-ción 2.16 y de la definición 2.30.
29
2.6.2. Postulado de Bertrand
En 1845, el matemático francés Joseph Louis François Bertrand introdujo por pri-mera vez el postulado que lleva su nombre. La primera demostración de este postuladofue dada cinco años más tarde, en 1850, por su colega ruso Pafnuti Lvóvich Chebyshov,quién utilizó métodos no elemntales, y por ello es algunas veces conocido como elteorema de Chebyshev. En 1919, Srinivasa Ramanujan otorgó una demostración mássimple basada en la función Gamma [7]. Y en 1932, Paul Erdos dio una prueba aún mássimple basada en las propiedades básicas de los coeficientes binomiales.
Teorema 2.19. (Postulado de Bertrand) Para todo n ≥ 1, existe un número primo p conn < p ≤ 2n
Demostración: De la proposición 2.17 y de la ecuación (2.55) se obtienen las siguien-tes ecuaciones
ψ(x)−2ψ(x1/2) =ϑ(x)−ϑ(x1/2)+ϑ(x1/3)−ϑ(x1/4)+ . . .
log[x]!−2log[ 12 x]! =ψ(x)−ψ( 1
2 x)+ψ( 13 x)−ψ( 1
4 x)+ . . .
Como la parte derecha de las ecuaciones son series alternadas de las funciones ψ y ϑde Chebishev, las cuales son crecientes, se obtiene
ψ(x)−2ψ(x1/2) ≤ϑ(x) ≤ψ(x); (2.56)
yψ(x)−ψ( 1
2 x) ≤ log[x]!−2log[ 12 x]! ≤ψ(x)−ψ( 1
2 x)+ψ( 13 x).
Utilizando la relación de Ramanujan
logΓ(x)−2logΓ( 12 x + 1
2 ) ≤ log[x]!−2log[ 12 x]! ≤ logΓ(x +1)−2logΓ( 1
2 x + 12 ). (2.57)
Ahora usando la aproximación de Stirling, x! >p2πx( x
e )x , en la ecuación (2.57) se de-duce que
log[x]!−2log[ 12 x]! < 3
4 x si x > 0;
log[x]!−2log[ 12 x]! > 2
3 x si x > 300.
Con lo que
ψ(x)−ψ( 12 x) < 3
4 x si x > 0; (2.58)
y
ψ(x)−ψ( 12 x)+ψ(ψ(x)−ψ( 1
3 x)) > 23 x si x > 300. (2.59)
Ahora reemplazando x por 12 x, 1
4 x, 18 x, . . . en (2.58), se obtiene
ψ( 12 x)−ψ( 1
4 x) < 38 x
ψ( 14 x)−ψ( 1
8 x) < 316 x
ψ( 18 x)−ψ( 1
16 x) < 332 x
...
30
y sumando los resultados anteriores junto con (2.58), obtenemos
ψ(x) < 32 x si x > 0. (2.60)
Así, de las ecuaciones (2.56)
ψ(x)−ψ( 12 x)+ψ( 1
3 x) ≤ϑ(x)+2ψ(x1/2)−ϑ( 12 x)+ψ( 1
3 x)
y de la ecuación (2.60)
ϑ(x)+2ψ(x1/2)−ϑ( 12 x)+ψ( 1
3 x) <ϑ(x)−ϑ( 12 x)+ 1
2 x +3x1/2. (2.61)
De esta manera de las ecuaciones (2.59) y (2.61)
ϑ(x)−ϑ( 12 x) > 1
6 x −3x1/2 si x > 300.
Además 16 x −3x1/2 ≥ 0, si x ≥ 324. Así
ϑ(2x)−ϑ(x) > 0 si x ≥ 162.
Por lo que existe al menos un primo entre x y 2x si x ≥ 162.
2.6.3. Primos de clases de congruencias en intervalos
Como ya se ha visto, el postulado de Bertrand (Teorema 2.19) asegura la existenciade un número primo en un intervalo de tamaño adecuado, por otra parte el teorema1.8 de Dirichlet asegura que una progresión aritmética contiene una cantidad infinitade números primos. A continuación se dará una manera de unir estos dos resultados.En primer lugar, definiremos una nueva función θ, la cual, es una variación de la fun-ción ϑ de Chebyshev.
Definición 2.32. Sean a,k > 0 dos enteros tales que (a,k) = 1, y p un primo, definimos:
θ(x;k, a) = ∑p∼=a(k)
p≤x
log p. (2.62)
Esta suma es sobre los primos que no exceden a x en la clase de congruencia de amod k.
Teorema 2.20. Sean x, y ∈ R+, el intervalo (x, y] contiene un primo en la clase de con-gruencia de a mod k si y sólo si θ(y ;k, a)−θ(x;k, a) > 0.
Nótese que θ(y ;k, a)−θ(x;k, a) > 0 si y sólo si∑p∼=a(k)x<p≤y
log p > 0.
Como la función logaritmo es una función monónota creciente, la serie también lo es.Por lo que existiría al menos un primo p, tal que p ∼= a (mod k), en el intervalo (x, y].
31
En el artículo primes in arithmetic progressions [8], Ramaré y Rumely realizan unaestimación explícita en el cual se establecen dos cotas para la función θ(x;k, a) en losrangos x ≥ 1010 y x < 1010. A continuación se enuncia el teorema que proporcionadichas cotas.
Teorema 2.21. [8, p. 398] Dados a,k primos relativos. Para cualquier tripla (k,ε, x0)dada, se tiene que:
max1≤y≤x
∣∣∣∣θ(y ;k, a)− y
φ(k)
∣∣∣∣≤ ε x
φ(k), x ≥ x0. (2.63)
Los autores proporcionan una estimación para ciertos valores de la tripla (k,ε, x0)(ver [8, Tabla 1]). Por ejemplo, si k = 4 entonces ε= 0,002238 para x0 = 1010.
Teorema 2.22. [8, p. 398] Para x ≤ 1010, y (a,k) = 1 se tiene que
max1≤y≤x
∣∣∣∣θ(y ;k, a)− y
φ(k)
∣∣∣∣≤ 2,072p
x. (2.64)
32
Capítulo 3
Sobre el grupo de Galois de lospolinomios de Legendre
Se sabe que los polinomios de Legendre Pn(x) de grado n pueden representarsepor la ecuación (2.42) o por la fórmula de rodrigues (2.43). Ahora bien, en 1890 Stielt-jes envía una carta a Hermite conjeturando que los polinomios P2n(x) y P2n+1(x) sonirreducibles sobre Q. Esto lleva a definir los polinomios Lm(x) de grado par, o más es-pecíficamente de grado 2bm/2c, como
Ln(x) ={
Pn(x) si n es par.
Pn(x)/x si n es impar.(3.1)
De esta manera los polinomios Ln(x) son irreducibles sobre Q para todo n. Se ha veri-ficado algunos casos de la conjetura por muchos autores, pero mostrar estos resulta-dos no son objetivo de este trabajo. Los primeros polinomios irreducibles de LegendreLn(x) se dan acontinuación:
L0(x) = 1 L1(x) = 1
L2(x) = 1
2(3x2 −1) L3(x) = 1
2(5x2 −3)
L4(x) = 1
8(35x4 −30x2 +3) L5(x) = 1
8(63x4 −70x2 +15)
Figura 3.1: Polinomios Lm(x)
33
3.1. Definición de los polinomios Jn(x)
En la sección 2.4 se definen los polinomios de Jacobi por (2.46) y se dedujeron cier-
tas propiedades. Ahora bien, definimos el polinomio J (α,β)n (x) a través de un desplaza-
miento de los polinomios de Jacobi, como sigue:
J (α,β)n (x) := P (α,β)
n (2x +1). (3.2)
Proposición 3.18. Los polinomios de J (α,β)n (x) tienen la forma
J (α,β)n (x) =
n∑k=0
(n +αn −k
)(n +α+β+k
k
)xk . (3.3)
Demostración: Utilizando la fórmula de la proposición 2.13, evaluando P (α,β)n (2x +1)
y por la ecuación 2.9 tenemos que
P (α,β)n (2x +1) = 1
n!
n∑k=0
(n
k
)(n +α+b +1)k (α+k +1) · · · (α+n)xk
= 1
n!
n∑k=0
n!
(n −k)!k !(n +α+b +1)k (α+k +1) · · · (α+n)xk
=n∑
k=0
Γ(n +α+β+k +1)
(n −k)!Γ(k +1)Γ(n +α+β+1)(α+k +1) · · · (α+n)xk
=n∑
k=0
(n +α+β+k
k
)Γ(n +α+1)
Γ(n −k +1)Γ(α+k +1)xk
=n∑
k=0
(n +αn −k
)(n +α+β+k
k
)xk .
Por lo que los polinomios J (α,β)n (x) están dados por la ecuación (3.3).
En base a los polinomios anteriores se quiere representar los polinomios Lm(x) en
términos de los polinomios J (α,β)n (x). Y para ello definimos los polinomios J
(α,β)n (x)
como sigue:
J(α,β)n (x) := 2nn!J (α,β)
n (x). (3.4)
El siguiente lema muestra la relación entre los polinomios de Legendre Lm(x) y losnuevos polinomios que hemos definido anteriormente.
Lema 3.3. Supongamos m = 2n +δ donde n ≥ 0, δ ∈ {0,1} y ε= 2δ−1. Entonces
(−1)nLm(x) = J (ε/2,0)n (−x2), (−2)nn!Lm(x) =J (ε/2,0)
n (−x2). (3.5)
Demostración: Sea n ≥ 0 y tomando δ= 0, se tiene que ε=−1 y m = 2n. Ahora, sabe-mos que para m = 2n, el polinomio L2n(x) = P2n(x) = P (0,0)
2n (x) y por la proposición 2.15
34
tenemos que
P (0,0)2n (x) = (−1)n Γ(2n +1)Γ(n +1)
Γ(n +1)Γ(2n +1)P (−1/2,0)
n (1−2x2)
= (−1)nP (−1/2,0)n (1−2x2)
= (−1)nP (−1/2,0)n (2(−x2)+1)
= (−1)n J (−1/2,0)n (−x2).
Por otra parte, y con ayuda de la ecuación anterior obtenemos
J (−1/2,0)n (−x2) = 2nn!J (−1/2,0)
n (−x2) = 2nn!(−1)nL2n(x).
Análogamente, si tomamos δ= 1, se tiene que ε= 1 y m = 2n +1. Ahora, sabemos quepara m = 2n +1, el polinomio L2n+1(x) = P2n+1(x)/x = P (0,0)
2n (x)/x y por la proposición2.15 tenemos que
P (0,0)2n+1(x) = (−1)n Γ(2n +2)Γ(n +1)
Γ(n +1)Γ(2n +2)xP (1/2,0)
n (1−2x2)
= (−1)n xP (1/2,0)n (1−2x2)
= (−1)n x J (1/2,0)n (−x2).
Utilizando la ecuación anterior podemos ver que
J (1/2,0)n (−x2) = 2nn!J (1/2,0)
n (−x2) = 2nn!(−1)nL2n+1(x).
De esta manera se satisface el lema.
3.2. Discriminante de Jn(x)
El objetivo de esta sección es obtener una fórmula explícita para el discriminate delos polinomios J (ε/2,0)
n (x), esto nos motiva a desarrollar el siguiente lema.
Lema 3.4. Para n > 1 y ε ∈ {±1}, el discriminante de J (ε/2,0)n (x) está dado por la fórmula
di sc(J (ε/2,0)n ) = 2n2−n
n∏k=1
k2k−1(2k +ε)k−1(2k +2n +ε)n−k . (3.6)
Demostración: Por el teorema 2.18 el discriminante de P (±1/2,0)n está dado por
D (±1/2,0)n = 2−n(n−1)
n∏k=1
k2k−2n+1(k ± 1/2)k−1(n +k ± 1/2)n−k
= 2−2n(n−1)n∏
k=1k1−2(n−k)(2k ±1)k−1(2n +2k ±1)n−k .
35
Ahora veamos que el discriminante de 2nn!P (±1/2,0)n es igual a di sc2nn!P (±1/2,0)
n = (2nn!)2n−2D (±1/2,0)n ,
y escribiendo n!2n−2 =∏nk=1 k2n−1, tenemos que
di sc(2nn!P (±1/2,0)n ) = n!2n−2
n∏k=1
k1−2(n−k)(2k ±1)k−1(2n +2k ±1)n−k
=n∏
k=1k2k−1(2k ±1)k−1(2n +2k ±1)n−k .
Por el lema 2.1, el discriminante es invariante bajo traslaciones y se cumple la fórmuladi sc( f (2x)) = 2n(n−1)di sc( f (x)) donde n > 1 es el grado del polinomio f (x). Así comoJ (±1/2,0)
n (x) = P (±1/2,0)n (2x +1) entonces
di sc(
J (±1/2,0)n (x)
)= 2n(n−1)di sc(P (±1/2,0)
n (x))
.
Finalmente como J (±1/2,0)n (x) = 2nn!J (±1/2,0)
n (x), su discriminante es igual a
di sc(J (±1/2,0)n (x)) = 2n(n−1)
n∏k=1
k2k−1(2k ±1)k−1(2n +2k ±1)n−k . (3.7)
que es precisamente lo que se quería probar.
3.3. La raíz di scJn no es racional
En esta sección se prueba que√
di scJ (±1/2,0)n 6∈ Q, y como consecuencia del Teo-
rema 2.13 el grupo de Galois de J (±1/2,0)n (x) no está contenido en An . Se sabe por la
proposición 1.3 que existen infinitos primos de la forma 4k +1 y por la proposición 1.2que existen infinitos primos de la forma 4k + 3, pero no sabemos cuántos primos dedichas formas hay en un intervalo. Para ello se presenta el siguiente lema:
Lema 3.5. Para todo x ≥ 9 entero, el intervalo [x,2x − 5] contiene al menos un primocongruente con 1 modulo 4 y al menos un primo congruente con 3 modulo 4.
Demostración: Como (4,1) = 1 y (4,3) = 1, por el teorema 2.20 basta demostrar que
θ(2x −5;4, a)−θ(x;4, a) > 0.
Si x ≥ 1010, por el teorema 2.21 y usando la estimación ε= 0,002238 dada en [8, p. 419],se tiene que
max1≤y≤2x−5
∣∣∣∣θ(y ;4, a)− y
φ(4)
∣∣∣∣≤ ε2x −5
φ(4)y max
1≤y≤x
∣∣∣∣θ(y ;4, a)− y
φ(4)
∣∣∣∣≤ ε x
φ(4)
Así
θ(2x −5;4, a) ≥ (1−ε)2x −5
φ(4)y θ(x;4, a) ≥ (1−ε)
x
φ(4)
36
Por lo que
θ(2x −5;4, a)−θ(x;4, a) ≥ (1−ε)2x −5
φ(4)− (1−ε)
x
φ(4)
= (1−ε)(x −5)
2= 0,498881(x −5) > 0.
Luego para x ≥ 1010 existe un primo congruente con 1 módulo 4 y uno congruente con3 módulo 4, en el intervalo [x,2x −5].
Por otra parte, por el teorema 2.22, si x ≤ 1010, entonces
max1≤y≤2x−5
∣∣∣∣θ(y ;4, a)− y
φ(4)
∣∣∣∣≤ 2,072p
2x −5 y max1≤y≤x
∣∣∣∣θ(y ;4, a)− y
φ(4)
∣∣∣∣≤ 2,072p
x
Así
θ(2x −5;4, a) ≥ 2x −5
φ(4)−2,072
p2x −5 y −θ(x;4, a) ≥− x
φ(4)−2,072
px
Por lo que
θ(2x −5;4, a)−θ(x;4, a) ≥ x −5
2−2,072(
p2x −5+p
x). (3.8)
Sin embargo la ecuación 3.8 es extríctamente mayor que cero para
x > 1036p
614773+883097
15625≈ 108,5054911.
Luego para 109 ≤ x < 1010 existe un primo congruente con 1 módulo 4 y uno congruen-te con 3 módulo 4, en el intervalo [x,2x −5].
Ahora para 9 ≤ x ≤ 108 se puede verificar caso a caso (ver tabla 3.1).
37
Tabla 3.1: Primos en el intervalo [x,2x −5] para 9 ≤ x ≤ 108.
x 2x −5 p ∼= 1 (mod 4) p ∼= 3 (mod 4)9 13 13 11
10 15 13 1111 17 13 1112 19 13, 17 1913 21 13, 17 1914 23 17 19, 2315 25 17 19, 2316 27 17 19, 2317 29 17, 29 19, 2318 31 29 19, 23, 3119 33 29 19, 23, 3120 35 29 23, 3121 37 29, 37 23, 3122 39 29, 37 23, 3123 41 29, 37, 41 23, 3124 43 29, 37, 41 31, 4325 45 29, 37, 41 31, 4326 47 29, 37 31, 43, 4727 49 29, 37 31, 43, 4728 51 29, 37 31, 43, 4729 53 29, 37, 53 31, 43, 4730 55 37, 53 31, 43, 4731 57 37, 53 31, 43, 4732 59 37, 53 43, 47, 5933 61 37, 53, 61 43, 47, 5934 63 37, 53, 61 43, 47, 5935 65 37, 53, 61 43, 47, 5936 67 37, 53, 61 43, 47, 59, 6737 69 37, 53, 61 43, 47, 59, 6738 71 53, 61 43, 47, 59, 67, 7139 73 53, 61, 73 43, 47, 59, 67, 7140 75 53, 61, 73 43, 47, 59, 67, 7141 77 53, 61, 73 43, 47, 59, 67, 7142 79 53, 61, 73 43, 47, 59, 67, 71, 7943 81 53, 61, 73 43, 47, 59, 67, 71, 7944 83 53, 61, 73 47, 59, 67, 71, 79, 8345 85 53, 61, 73 47, 59, 67, 71, 79, 8346 87 53, 61, 73 47, 59, 67, 71, 79, 8347 89 53, 61, 73, 89 47, 59, 67, 71, 79, 8348 91 53, 61, 73, 89 59, 67, 71, 79, 83
38
Tabla 3.1 (Continuación)
x 2x −5 p ∼= 1 (mod 4) p ∼= 3 (mod 4)49 93 53, 61, 73, 89 59, 67, 71, 79, 8350 95 53, 61, 73, 89 59, 67, 71, 79, 8351 97 53, 61, 73, 89, 97 59, 67, 71, 79, 8352 99 53, 61, 73, 89, 97 59, 67, 71, 79, 8353 101 53, 61, 73, 89, 97, 101 59, 67, 71, 79, 8354 103 61, 73, 89, 97, 101 59, 67, 71, 79, 83, 10355 105 61, 73, 89, 97, 101 59, 67, 71, 79, 83, 10356 107 61, 73, 89, 97, 101 59, 67, 71, 79, 83, 103, 10757 109 61, 73, 89, 97, 101, 109 59, 67, 71, 79, 83, 103, 10758 111 61, 73, 89, 97, 101, 109 59, 67, 71, 79, 83, 103, 10759 113 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113 59, 67, 71, 79, 83, 103, 10760 115 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113 67, 71, 79, 83, 103, 10761 117 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113 67, 71, 79, 83, 103, 10762 119 73, 89, 97, 101, 109, 113 67, 71, 79, 83, 103, 10763 121 73, 89, 97, 101, 109, 113 67, 71, 79, 83, 103, 10764 123 73, 89, 97, 101, 109, 113 67, 71, 79, 83, 103, 10765 125 73, 89, 97, 101, 109, 113 67, 71, 79, 83, 103, 10766 127 73, 89, 97, 101, 109, 113 67, 71, 79, 83, 103, 107, 12767 129 73, 89, 97, 101, 109, 113 67, 71, 79, 83, 103, 107, 12768 131 73, 89, 97, 101, 109, 113 71, 79, 83, 103, 107, 127, 13169 133 73, 89, 97, 101, 109, 113 71, 79, 83, 103, 107, 127, 13170 135 73, 89, 97, 101, 109, 113 71, 79, 83, 103, 107, 127, 13171 137 73, 89, 97, 101, 109, 113, 137 71, 79, 83, 103, 107, 127, 13172 139 73, 89, 97, 101, 109, 113, 137 79, 83, 103, 107, 127, 131, 13973 141 73, 89, 97, 101, 109, 113, 137 79, 83, 103, 107, 127, 131, 13974 143 89, 97, 101, 109, 113, 137 79, 83, 103, 107, 127, 131, 13975 145 89, 97, 101, 109, 113, 137 79, 83, 103, 107, 127, 131, 13976 147 89, 97, 101, 109, 113, 137 79, 83, 103, 107, 127, 131, 13977 149 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149 79, 83, 103, 107, 127, 131, 13978 151 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149 79, 83, 103, 107, 127, 131, 139, 15179 153 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149 79, 83, 103, 107, 127, 131, 139, 15180 155 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149 83, 103, 107, 127, 131, 139, 15181 157 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149, 157 83, 103, 107, 127, 131, 139, 15182 159 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149, 157 83, 103, 107, 127, 131, 139, 15183 161 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149, 157 83, 103, 107, 127, 131, 139, 15184 163 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149, 157 103, 107, 127, 131, 139, 151, 16385 165 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149, 157 103, 107, 127, 131, 139, 151, 16386 167 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149, 157 103, 107, 127, 131, 139, 151, 163, 16787 169 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149, 157 103, 107, 127, 131, 139, 151, 163, 167
39
Tabla 3.1 (Continuación)
Lema 3.6. Para todo x ≥ 2 y ε ∈ {±1}, la raíz del discriminante de J (ε/2,0)n (x) no pertenece
aQ.
Demostración: Por el lema 3.4 tenemos que
di scJ (ε/2,0)n = 2n2−n
n∏k=1
k2k−1(2k +ε)k−1(2k +2n +ε)n−k .
Para ε= 1 el último factor de la productoria del discriminante es (2k +2n +1)n−k .Ahora, por el lema 3.5, para n ≥ 3, el intervalo [2n +3,4n +1] contiene un primo, p0,tal que p0
∼= 3 (mod 4). Nótese que este intervalo se elige pues en la productoria deldiscriminante cuando k = 1 su último factor es 2n + 3 y cuando k = n es 4n + 1. Siescribimos p0 de la forma
p0 = 2k0 +2n +1 1 ≤ k0 ≤ n,
como p0 = 2k0 +2n +1 ∼= 3 (mod 4) tenemos que k0 +n ∼= 1 (mod 2), por lo que n +k0
es impar, al igual que n − k0. Luego p0 = 2k0 + 2n + 1 estaría elevado a una potenciaimpar y al hacer √
di scJ (1/2,0)n ,
tendríamos la raíz de p0, y por la proposición 1.1, ésta es irracional. Luego la raíz deldiscriminante de J (1/2,0)
n (x) no está enQ.De la misma manera, si ε=−1 el último factor de la productoria del discriminante
es (2k+2n−1)n−k . Para n ≥ 4 el intervalo [2n+1,4n−3] contiene un primo, p1, tal que
40
p1∼= 1 (mod 4). Escribimos p1 de la forma
p1 = 2k1 +2n −1 1 ≤ k1 ≤ n,
Así p1 = 2k0+2n−1 ∼= 1 (mod 4), de esta manera, n+k1 y n−k1 son impares. Análoga-mente al razonamiento anterior la raíz del discriminante de J (−1/2,0)
n (x) no perteneceaQ. Con lo que se concluye la prueba.
Teniendo demostrado el lema anterior, y como se ha mencionado, como conse-cuencia del Teorema 2.13 podemos enunciar el siguiente teorema, y así obtenemos elresultado final de este trabajo.
Teorema 3.23. Para todo x ≥ 2 y ε ∈ {±1}, la raíz del discriminante de J (ε/2,0)n (x) no está
enQ. Así, asumiendo que J (ε/2,0)n (x) es irreducible, su grupo de Galois no está contenido
en An
41
Conclusiones
Las propiedades algebraicas de los polinomios de Legendre son poco conocidas yal ser una sucesión de polinomios ortogonales su estudio requiere de conceptos avan-zados de diferentes áreas de la matemática. En primer lugar, se debe dar por hecho laconjetura de Stieltjes y asumir que los polinomios Ln(x) son irreducibles y expresarlosen términos de otro tipo de polinomios, los polinomios J (±1/2,0)
n (x), para poder obte-ner información acerca de su grupo de Galois. La relación entre el grupo de Galois yel discriminante de un polinomio es muy estrecha, y aunque éste no proporciona elgrupo de Galois exacto de un polinomio si ayuda a da una idea de a qué tipo de grupoes isomorfo.
Las propiedades análiticas de los polinomios de Jacobi, P (α,β)n (x), proporcionan una
expresión para el discriminante de los polinomios J (±1/2,0)n (x) pero esto no es suficien-
te para saber si la raíz de dicho discriminantes pertenece o no a Q, es por esto que esnecesario utilizar conceptos de teoría de números analítica y unir dos resultados co-nocidos, el postulado de Bertrand y el teorema de Dirichlet.
Al estudiar todos los conceptos necesarios se puede asegurar que el grupo de Ga-lois de J (±1/2,0)
n (x) no está contenido en An , el grupo de las permutaciones pares, esdecir, el grupo de Galois de J (±1/2,0)
n (x) contiene al menos una permutación impar yes isomorfo a algún subgrupo de Sn que contenga alguna permutación impar.
42
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43
