SISTEMAS ELÁSTICOS

SISTEMAS ELÁSTICOS

Prácticas Curso 2011-2012:

Práctica sobre sistemas elásticos

Pablo Játiva Carbajal

Profesores: Antonio J. Barbero García y

Mª Mar Artigao Castillo

Sea un resorte en un instante inicial:

l0

Si se le aplica una fuerza que lo deforme:

l

x

Donde l0 es la longitud inicial del mismo y l la longitud del resorte traccionado;

𝑥 = 𝑙 − 𝑙0.

𝑭

Resulta que la deformación es proporcional a la fuerza aplicada, de acuerdo

con la Ley de Hooke:

𝑭 = 𝒌 · 𝒙 = 𝒌 · (𝒍 − 𝒍𝟎)

La constante k es la constante elástica del resorte, medida en N/m. La Ley de Hooke

se cumplirá siempre que no se sobrepase un determinado valor de fuerza aplicada o de

deformación, llamado límite elástico, sobrepasado el cual el resorte no recupera su

forma original.

Si se tienen tres resortes, pueden combinarse, por ejemplo, dos en serie, o dos en

paralelo, o de una forma mixta (por ejemplo, colocando dos en paralelo y el tercero en

serie con respecto a los anteriores). Hallar el valor de la constante equivalente de estos

tres tipos de sistemas de resortes es el objetivo de esta práctica.

Primeramente, se tienen tres resortes, como ya se ha mencionado. Para trabajar con

ellos en los sistemas en serie, paralelo y mixto hay que conocer sus respectivas

constantes elásticas. Para ello, se mide la longitud inicial de cada uno (en reposo) l0

y a continuación se sujeta uno de los extremos del resorte que estemos considerando

y del extremo libre se tira con un dinamómetro, de forma que la fuerza que se ejerza

sobre el muelle al traccionar se vea reflejada en el mismo, pudiéndose medir además

la longitud que alcanza el muelle. Al repetir el proceso varias veces, y llevando los

datos obtenidos a una gráfica en la que se represente la fuerza F frente al incremento

de la longitud 𝑥 = 𝑙 − 𝑙0, si se realiza un ajuste lineal y se traza la recta que mejor se

ajuste a los puntos señalados, la pendiente de esta será igual a la constante elástica

del muelle.

Dl (mm)

l0 (mm) 150 1

l (mm) Dl (mm) F (N) DF (N) x (m) Dx(m)

1 193 1 0,1 0,01 0,043 0,002

2 223 1 0,2 0,01 0,073 0,002

3 263 1 0,3 0,01 0,113 0,002

4 292 1 0,4 0,01 0,142 0,002

5 333 1 0,5 0,01 0,183 0,002

6 358 1 0,6 0,01 0,208 0,002

En la siguiente diapositiva se

muestra el ajuste lineal manual

realizado para el resorte 1.

RESORTE 1

x (m)

F (N)

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,050 0,100 0,150 0,200

RESORTE 1

P1 = (0’039, 0’085)

P2 = (0’209, 0’605)

D

N

𝑁 = 0,605 − 0,085 = 0,52

𝐷 = 0,209 − 0,039 = 0,17

𝑚 = 𝑘 =𝑁

𝐷= 3,06

∆𝑁 = ∆𝐹1 + ∆𝐹2 = 0,02

∆𝐷 = ∆𝑥1 + ∆𝑥2 = 0,004

∆𝑚 = ∆𝑘 =𝛿𝑚

𝛿𝑁 ∆𝑁 +

𝛿𝑚

𝛿𝐷∆𝐷 =

∆𝑁

𝐷+

𝑁

𝐷2 ∆𝐷 = 0,19

𝑘 = 𝟑, 𝟎𝟔 ± 𝟎, 𝟏𝟗𝑵 𝒎 = 𝒌𝟏

𝐹 = 𝑘𝑥 + 𝑏; 𝑏 = 𝐹 − 𝑘𝑥

𝑏 = 0,605 − 3,06 · 0,209 = −0,04

∆𝑏 =𝛿𝑏

𝛿𝐹∆𝐹 +

𝛿𝑏

𝛿𝑘∆𝑘 +

𝛿𝑏

𝛿𝑥∆𝑥

∆𝑏 = ∆𝐹 + 𝑥 ∆𝑘 + 𝑘 ∆𝑥 = 0,06

𝑏 = −0,04 ± 0,06 𝑁

De igual forma, se procede a hallar la constante elástica de los resortes 2 y 3.

RESORTE 2

RESORTE 3

Dl (mm)

l0 (mm) 135 1


1 189 1 0,1 0,01 0,054 0,002

2 218 1 0,2 0,01 0,083 0,002

3 248 1 0,3 0,01 0,113 0,002

4 281 1 0,4 0,01 0,146 0,002

5 321 1 0,5 0,01 0,186 0,002

6 360 1 0,6 0,01 0,225 0,002

Dl (mm)

l0 (mm) 155 1


1 197 1 0,1 0,01 0,042 0,002

2 238 1 0,2 0,01 0,083 0,002

3 278 1 0,3 0,01 0,123 0,002

4 286 1 0,4 0,01 0,131 0,002

5 326 1 0,5 0,01 0,171 0,002

6 369 1 0,6 0,01 0,214 0,002

x (m)

F (N)

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,050 0,100 0,150

0,200

RESORTE 2

P1 = (0’050, 0’090)

P2 = (0’227, 0’645)

D

N

𝑁 = 0,645 − 0,090 = 0,555

𝐷 = 0,227 − 0,050 = 0,177

𝑚 = 𝑘 =𝑁

𝐷= 3,11

∆𝑁 = ∆𝐹1 + ∆𝐹2 = 0,02

∆𝐷 = ∆𝑥1 + ∆𝑥2 = 0,004

∆𝑚 = ∆𝑘 =𝛿𝑚

𝛿𝑁 ∆𝑁 +

𝛿𝑚

𝛿𝐷∆𝐷 =

∆𝑁

𝐷+

𝑁

𝐷2 ∆𝐷 = 0,18

𝑘 = 𝟑, 𝟏𝟏 ± 𝟎, 𝟏𝟖𝑵 𝒎 = 𝒌𝟐

𝐹 = 𝑘𝑥 + 𝑏; 𝑏 = 𝐹 − 𝑘𝑥

𝑏 = 0,645 − 3,11 · 0,227 = −0,06

∆𝑏 =𝛿𝑏

𝛿𝐹∆𝐹 +

𝛿𝑏

𝛿𝑘∆𝑘 +

𝛿𝑏

𝛿𝑥∆𝑥

∆𝑏 = ∆𝐹 + 𝑥 ∆𝑘 + 𝑘 ∆𝑥 = 0,07

𝑏 = −0,06 ± 0,07 𝑁

x (m)

F (N)

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,040 0,100 0,150 0,200

RESORTE 3

P1 = (0’035, 0’095)

P2 = (0’221, 0’615)

D

N

𝑁 = 0,615 − 0,095 = 0,52

𝐷 = 0,221 − 0,035 = 0,186

𝑚 = 𝑘 =𝑁

𝐷= 2,80

∆𝑁 = ∆𝐹1 + ∆𝐹2 = 0,02

∆𝐷 = ∆𝑥1 + ∆𝑥2 = 0,004

∆𝑚 = ∆𝑘 =𝛿𝑚

𝛿𝑁 ∆𝑁 +

𝛿𝑚

𝛿𝐷∆𝐷 =

∆𝑁

𝐷+

𝑁

𝐷2 ∆𝐷 = 0,18

𝑘 = 𝟐, 𝟖𝟎 ± 𝟎, 𝟏𝟖𝑵 𝒎 = 𝒌𝟑

𝐹 = 𝑘𝑥 + 𝑏; 𝑏 = 𝐹 − 𝑘𝑥

𝑏 = 0,615 − 2,80 · 0,221 = −0,004

∆𝑏 =𝛿𝑏

𝛿𝐹∆𝐹 +

𝛿𝑏

𝛿𝑘∆𝑘 +

𝛿𝑏

𝛿𝑥∆𝑥

∆𝑏 = ∆𝐹 + 𝑥 ∆𝑘 + 𝑘 ∆𝑥 = 0,05

𝑏 = 0 ± 0,05 𝑁

l1,0 l2,0

k1 k2

Se colocan en serie los resortes 1

y 2. Si se aplica una fuerza en el

extremo libre, la fuerza que actúa

sobre cada uno de los resortes es

la misma.

l1 l2

k1 k2

𝑭

𝑭 kS

l1 + l2

𝐹 = 𝑘1(𝑙1 − 𝑙1,0)

𝐹 = 𝑘2(𝑙2 − 𝑙2,0)

𝐹 = 𝑘𝑆 𝑙1 + 𝑙2 − 𝑙1,0 + 𝑙2,0

𝐹 = 𝑘𝑆𝐹

𝑘1+𝐹

𝑘2

𝟏

𝒌𝑺=

𝟏

𝒌𝟏+𝟏

𝒌𝟐

Resorte

equivalente

l0

k1

k2

Se colocan en paralelo los resortes

2 y 3. Si se aplica una fuerza en el

extremo libre, esta se repartirá

entre los dos resortes, de forma

que 𝐹 = 𝐹1+ 𝐹2.

𝐹1 = 𝑘1(𝑙 − 𝑙0)

𝐹 = 𝐹1+ 𝐹2 = 𝑘1 𝑙 − 𝑙0 + 𝑘2 𝑙 − 𝑙0 = 𝑘𝑃 𝑙 − 𝑙0

𝒌𝑷= 𝒌𝟏+𝒌𝟐

Resorte equivalente

l

𝑭

𝑭 1

𝑭 2 kP

l

𝑭

𝐹2 = 𝑘2(𝑙 − 𝑙0)

(𝑘1+𝑘2) 𝑙 − 𝑙0 = 𝑘𝑃 𝑙 − 𝑙0

l0

k1

k2

Se colocan en paralelo los resortes

1 y 2, y con respecto a ellos, el

resorte 3 se coloca en serie.

l3,0

k3

l

k1

k2

l3

k3

𝑭

Se pueden considerar los

dos resortes dispuestos en

paralelo como un único

resorte equivalente que se

halla en serie con el

resorte 3.

l

kP

l3

k3

𝑭

Como están dispuestos en

serie, se sigue de manera

similar a lo ya dispuesto

para los resortes

colocados en serie.

l

kP

l3

k3

𝑭

𝐹3 = 𝑘3(𝑙3 − 𝑙3,0)

𝐹𝑃 = 𝑘𝑃(𝑙 − 𝑙0)

𝐹 = 𝑘𝑀 𝑙 + 𝑙3 − 𝑙0 + 𝑙3,0

𝐹 = 𝑘𝑀𝐹

𝑘3+𝐹

𝑘𝑃

𝟏

𝒌𝑴=

𝟏

𝒌𝟑+𝟏

𝒌𝑷

l + l3

k M

𝑭

Según se ha hallado anteriormente, para dos resortes en paralelo

𝒌𝑷= 𝒌𝟏+𝒌𝟐, luego al sustituir queda: 𝟏

𝒌𝑴=

𝟏

𝒌𝟑+

𝟏

𝒌𝟏 + 𝒌𝟐

SISTEMA DE RESORTES EN SERIE

Con las expresiones obtenidas, se hallan los valores teóricos de las constantes de los

resortes equivalentes.

𝟏

𝒌𝑺=

𝟏

𝒌𝟏+𝟏

𝒌𝟐 𝑘𝑠 =

1

1𝑘1

+1𝑘2

=𝑘1𝑘2

𝑘1 + 𝑘2=

𝑘1𝑘2𝑘1 + 𝑘2

= 1,54 𝑁/𝑚

𝑘1 = 3,06 ± 0,19𝑁 𝑚

𝑘2 = 3,11 ± 0,18𝑁 𝑚

𝑘3 = 2,80 ± 0,18𝑁 𝑚

∆𝑘𝑠 =𝛿𝑘𝑠

𝛿𝑘1∆𝑘1 +

𝛿𝑘𝑠

𝛿𝑘2∆𝑘2 =

𝑘22

𝑘12+2𝑘1𝑘2+𝑘2

2 ∆𝑘1+𝑘1

2

𝑘12+2𝑘1𝑘2+𝑘2

2 ∆𝑘2 = 0,09 𝑁/𝑚

SISTEMA DE RESORTES EN PARALELO

𝑘𝑃 = 6,2 𝑁/𝑚 𝒌𝑷= 𝒌𝟏+𝒌𝟐 ∆𝑘𝑃 =𝛿𝑘𝑃𝛿𝑘1

∆𝑘1 +𝛿𝑘𝑃𝛿𝑘2

∆𝑘2 = ∆𝑘1 + ∆𝑘2 = 0,4 𝑁/𝑚

SISTEMA DE RESORTES MIXTO

𝟏

𝒌𝑴=

𝟏

𝒌𝟑+

𝟏

𝒌𝟏 + 𝒌𝟐 𝑘𝑀 =

1

1𝑘3

+1

𝑘1 + 𝑘2

=𝑘1𝑘2𝑘3

𝑘1𝑘2 + 𝑘1𝑘3 + 𝑘2𝑘3= 1,92 𝑁/𝑚

∆𝑘𝑀 =𝛿𝑘𝑀𝛿𝑘1

∆𝑘1 +𝛿𝑘𝑀𝛿𝑘2

∆𝑘2 +𝛿𝑘𝑀𝛿𝑘3

∆𝑘3 =𝑘2

2𝑘32

𝑘12𝑘2

2 + 2𝑘12𝑘2𝑘3 + 𝑘1

2𝑘32 + 2𝑘1𝑘2

2𝑘3 + 2𝑘1𝑘2𝑘32 + 𝑘2

2𝑘32 ∆𝑘1 +

+𝑘1

2𝑘32

𝑘12𝑘2

2 + 2𝑘12𝑘2𝑘3 + 𝑘1

2𝑘32 + 2𝑘1𝑘2

2𝑘3 + 2𝑘1𝑘2𝑘32 + 𝑘2

2𝑘32 ∆𝑘2 +

+𝑘1

2𝑘22

𝑘12𝑘2

2 + 2𝑘12𝑘2𝑘3 + 𝑘1

2𝑘32 + 2𝑘1𝑘2

2𝑘3 + 2𝑘1𝑘2𝑘32 + 𝑘2

2𝑘32 ∆𝑘3 = 0,08 𝑁/𝑚

Experimentalmente, con la toma de datos se va a calcular también el valor de las constantes,

y posteriormente se compararán los resultados teóricos con los experimentales para

comprobar su validez.

Dl (mm) Cálculo teórico serie (1+2)

l0 (mm) 239 1 k (N/m) = 1,54

Dk (N/m) = 0,09


1 424 1 0,2 0,01 0,13 0,002

2 466 1 0,3 0,01 0,172 0,002

3 533 1 0,4 0,01 0,239 0,002

4 600 1 0,5 0,01 0,306 0,002

5 666 1 0,6 0,01 0,372 0,002

6 730 1 0,7 0,01 0,436 0,002

SERIE

Dl (mm) Cálculo teórico paralelo (1+2)

l0 (mm) 176 1 k (N/m) = 6,2

Dk (N/m) = 0,4


1 199 1 0,1 0,01 0,023 0,002

2 219 1 0,2 0,01 0,043 0,002

3 233 1 0,3 0,01 0,057 0,002

4 249 1 0,4 0,01 0,073 0,002

5 266 1 0,5 0,01 0,090 0,002

6 280 1 0,6 0,01 0,104 0,002

PARALELO

Dl (mm) Cálculo teórico paralelo

(1+2) + serie (3)

l0 (mm) 322 1 k (N/m) = 1,92

Dk (N/m) = 0,12


1 367 1 0,1 0,01 0,045 0,002

2 415 1 0,2 0,01 0,093 0,002

3 482 1 0,3 0,01 0,160 0,002

4 537 1 0,4 0,01 0,215 0,002

5 577 1 0,5 0,01 0,255 0,002

6 624 1 0,6 0,01 0,302 0,002

MIXTO

x (m)

F (N)

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,080 0,140 0,260 0,200


P1 = (0’178, 0’200)

P2 = (0’510, 0’720)

D

N

𝑁 = 0,720 − 0,200 = 0,52

𝐷 = 0,510 − 0,178 = 0,332

𝑚 = 𝑘 =𝑁

𝐷= 1,57

∆𝑁 = ∆𝐹1 + ∆𝐹2 = 0,02

∆𝐷 = ∆𝑥1 + ∆𝑥2 = 0,004

∆𝑚 = ∆𝑘 =𝛿𝑚

𝛿𝑁 ∆𝑁 +

𝛿𝑚

𝛿𝐷∆𝐷 =

∆𝑁

𝐷+

𝑁

𝐷2 ∆𝐷 = 0,08

𝑘 = 𝟏, 𝟓𝟕 ± 𝟎, 𝟎𝟖𝑵 𝒎 = 𝒌𝑺

0,320 0,380 0,420

𝐹 = 𝑘𝑥 + 𝑏; 𝑏 = 𝐹 − 𝑘𝑥

𝑏 = 0,720 − 1,57 · 0,510 = −0,08

∆𝑏 =𝛿𝑏

𝛿𝐹∆𝐹 +

𝛿𝑏

𝛿𝑘∆𝑘 +

𝛿𝑏

𝛿𝑥∆𝑥

∆𝑏 = ∆𝐹 + 𝑥 ∆𝑘 + 𝑘 ∆𝑥 = 0,05

𝑏 = −0,08 ± 0,05 𝑁

x (m)

F (N)

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,010 0,040 0,070 0,100


P1 = (0’023, 0’085)

P2 = (0’108, 0’085)

D

N

𝑁 = 0,625 − 0,085 = 0,54

𝐷 = 0,108 − 0,023 = 0,085

𝑚 = 𝑘 =𝑁

𝐷= 6,35

∆𝑁 = ∆𝐹1 + ∆𝐹2 = 0,02

∆𝐷 = ∆𝑥1 + ∆𝑥2 = 0,004

∆𝑚 = ∆𝑘 =𝛿𝑚

𝛿𝑁 ∆𝑁 +

𝛿𝑚

𝛿𝐷∆𝐷 =

∆𝑁

𝐷+

𝑁

𝐷2 ∆𝐷 = 0,17

𝑘 = 𝟔, 𝟑𝟓 ± 𝟎, 𝟏𝟕𝑵 𝒎 = 𝒌𝑷

𝐹 = 𝑘𝑥 + 𝑏; 𝑏 = 𝐹 − 𝑘𝑥

𝑏 = 0,085 − 6,35 · 0,108 = −0,06

∆𝑏 =𝛿𝑏

𝛿𝐹∆𝐹 +

𝛿𝑏

𝛿𝑘∆𝑘 +

𝛿𝑏

𝛿𝑥∆𝑥

∆𝑏 = ∆𝐹 + 𝑥 ∆𝑘 + 𝑘 ∆𝑥 = 0,07

𝑏 = −0,06 ± 0,07 𝑁

x (m)

F (N)

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,020 0,080 0,140


P1 = (0’042, 0’080)

P2 = (0’310, 0’600)

D

N

𝑁 = 0,600 − 0,080 = 0,52

𝐷 = 0,310 − 0,042 = 0,268

𝑚 = 𝑘 =𝑁

𝐷= 1,94

∆𝑁 = ∆𝐹1 + ∆𝐹2 = 0,02

∆𝐷 = ∆𝑥1 + ∆𝑥2 = 0,004

∆𝑚 = ∆𝑘 =𝛿𝑚

𝛿𝑁 ∆𝑁 +

𝛿𝑚

𝛿𝐷∆𝐷 =

∆𝑁

𝐷+

𝑁

𝐷2 ∆𝐷 = 0,08

𝑘 = 𝟏, 𝟗𝟒 ± 𝟎, 𝟎𝟖𝑵 𝒎 = 𝒌𝑴

0,200 0,260 0,320

𝐹 = 𝑘𝑥 + 𝑏; 𝑏 = 𝐹 − 𝑘𝑥

𝑏 = 0,600 − 1,94 · 0,310 = −0,001

∆𝑏 =𝛿𝑏

𝛿𝐹∆𝐹 +

𝛿𝑏

𝛿𝑘∆𝑘 +

𝛿𝑏

𝛿𝑥∆𝑥

∆𝑏 = ∆𝐹 + 𝑥 ∆𝑘 + 𝑘 ∆𝑥 = 0,04

𝑏 = 0 ± 0,04 𝑁

Ahora que se han obtenido los resultados experimentales, se pueden comparar

con los resultados teóricos:

1,54

1,63

1,45

1,57

1,65

1,49

Teórico Experimental


1,92

2,04

1,80

1,94

2,02

1,86

Teórico Experimental



5,8 6,6

6,35

6,18 6,52

Teórico

Experimental

6,2

Se han obtenido, tal y como se observa, resultados aceptables. Por lo tanto, la toma y

análisis de datos y el ajuste lineal manual han sido correctos.

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