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Sociedad Mexicana de Ingeniería Geotécnica, A.C. XXVI Reunión Nacional de Mecánica de Suelos e Ingeniería Geotécnica Noviembre 14 a 16, 2012 – Cancún, Quintana Roo SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C. Distribución de asentamientos elásticos producidos por una configuración de carga superficial compleja Elastic settlement distribution produced by a complex surface load configuration Miguel MÁNICA 1 1 Estudiante de posgrado, Universidad Nacional Autónoma de México RESUMEN: A pesar de que el suelo generalmente presenta un comportamiento no lineal, la teoría de la elasticidad ha sido satisfactoriamente utilizada para el cálculo de asentamientos inmediatos en suelos finos saturados y suelos que exhiben un comportamiento aproximadamente lineal en los rangos de esfuerzos de trabajo. Algunas de las soluciones para el cálculo de asentamientos elásticos disponibles consideran geometrías regulares, por lo que importantes simplificaciones son necesarias en el caso de cimentaciones de planta irregular. En el presente artículo se expone un procedimiento para el cálculo simultáneo de los asentamientos elásticos debajo de cada una de las áreas formadas por una retícula bidimensional, sometida a una distribución de carga cualquiera, en la superficie de un medio elástico estratificado. Se presentan algunos ejemplos con diferentes distribuciones de carga. Los resultados son comparados con el programa de elemento finito PLAXIS. Finalmente, se proporciona una liga para descargar el código fuente y la aplicación generada en el lenguaje de programación FORTRAN, para la fácil y rápida aplicación del procedimiento descrito. ABSTRACT: Although the soil generally exhibit a non-linear behavior, the elasticity theory has been satisfactorily used for immediate settlement calculations in saturated fine grain soils and soils showing an approximate linear behavior for working stresses. Some of the solutions for elastic settlement calculations consider regular geometries, and important simplifications must be done for irregular shape foundations. In the present paper a procedure is described for the simultaneous elastic settlement calculation under each area formed by a bi-dimensional grid subject to any load distribution, in the surface of a stratified elastic half-space. Some examples with different load distributions are presented. Results are compared with the finite element program PLAXIS. Finally, a web link is supply to download the source code and the application built in FORTRAN, for the easy and quick application of the described procedure. 1 INTRODUCCIÓN 1.1 Antecedentes Los asentamientos son producto del cambio en el estado de esfuerzos en el suelo, el cual produce el rolado, deslizamiento, aplastamiento y distorsión elástica de sus partículas en una determinada zona de influencia. Es posible definir de manera general a los asentamientos como la acumulación de éstos movimientos en la dirección de interés (Bowles 1997) y expresarlo mediante la ecuación (1). = H 0 z dH H ε Δ (1) donde: ΔH = asentamiento; ε z = deformación unitaria en dirección z; y H = espesor del estrato. En el marco de la teoría de la elasticidad, la deformación unitaria puede ser expresada por la ecuación (2). m z z E q Δ ε = (2) donde: Δq z = incremento de esfuerzo en la dirección z; y E m = módulo edométrico. El módulo edométrico puede relacionarse con el módulo de Young, E, obtenido de pruebas triaxiales mediante la ecuación (3). ( ) ( )( ) ν ν ν 2 1 1 1 E m 1 E v m + = = (3) donde: m v = módulo de compresibilidad volumétrica; E = módulo de Young; y ν = relación de Poisson. Sustituyendo la ecuación (2) en la (1) tenemos: = H 0 m z dH E q H Δ Δ (4) En la integración de la ecuación (4), Δq z debe ser sustituido por una función que represente la

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Sociedad Mexicana de

Ingeniería Geotécnica, A.C.

XXVI Reunión Nacional de Mecánica de Suelos

e Ingeniería Geotécnica Noviembre 14 a 16, 2012 – Cancún, Quintana Roo

SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.

Distribución de asentamientos elásticos producidos por una configuración de carga superficial compleja

Elastic settlement distribution produced by a complex surface load configuration

Miguel MÁNICA1

1Estudiante de posgrado, Universidad Nacional Autónoma de México

RESUMEN: A pesar de que el suelo generalmente presenta un comportamiento no lineal, la teoría de la elasticidad ha sido satisfactoriamente utilizada para el cálculo de asentamientos inmediatos en suelos finos saturados y suelos que exhiben un comportamiento aproximadamente lineal en los rangos de esfuerzos de trabajo. Algunas de las soluciones para el cálculo de asentamientos elásticos disponibles consideran geometrías regulares, por lo que importantes simplificaciones son necesarias en el caso de cimentaciones de planta irregular. En el presente artículo se expone un procedimiento para el cálculo simultáneo de los asentamientos elásticos debajo de cada una de las áreas formadas por una retícula bidimensional, sometida a una distribución de carga cualquiera, en la superficie de un medio elástico estratificado. Se presentan algunos ejemplos con diferentes distribuciones de carga. Los resultados son comparados con el programa de elemento finito PLAXIS. Finalmente, se proporciona una liga para descargar el código fuente y la aplicación generada en el lenguaje de programación FORTRAN, para la fácil y rápida aplicación del procedimiento descrito.

ABSTRACT: Although the soil generally exhibit a non-linear behavior, the elasticity theory has been satisfactorily used for immediate settlement calculations in saturated fine grain soils and soils showing an approximate linear behavior for working stresses. Some of the solutions for elastic settlement calculations consider regular geometries, and important simplifications must be done for irregular shape foundations. In the present paper a procedure is described for the simultaneous elastic settlement calculation under each area formed by a bi-dimensional grid subject to any load distribution, in the surface of a stratified elastic half-space. Some examples with different load distributions are presented. Results are compared with the finite element program PLAXIS. Finally, a web link is supply to download the source code and the application built in FORTRAN, for the easy and quick application of the described procedure.

1 INTRODUCCIÓN 1.1 Antecedentes Los asentamientos son producto del cambio en el estado de esfuerzos en el suelo, el cual produce el rolado, deslizamiento, aplastamiento y distorsión elástica de sus partículas en una determinada zona de influencia. Es posible definir de manera general a los asentamientos como la acumulación de éstos movimientos en la dirección de interés (Bowles 1997) y expresarlo mediante la ecuación (1).

∫=H

0z dHH εΔ (1)

donde: ΔH = asentamiento; εz = deformación unitaria en dirección z; y H = espesor del estrato.

En el marco de la teoría de la elasticidad, la deformación unitaria puede ser expresada por la ecuación (2).

m

zz E

qΔε = (2)

donde: Δqz = incremento de esfuerzo en la dirección z; y Em = módulo edométrico.

El módulo edométrico puede relacionarse con el módulo de Young, E, obtenido de pruebas triaxiales mediante la ecuación (3).

( )( )( )νν

ν211

1Em1Ev

m−+

−== (3)

donde: mv = módulo de compresibilidad volumétrica; E = módulo de Young; y ν = relación de Poisson.

Sustituyendo la ecuación (2) en la (1) tenemos:

∫=H

0 m

z dHEqH Δ

Δ (4)

En la integración de la ecuación (4), Δqz debe ser sustituido por una función que represente la

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variación del incremento de esfuerzo vertical respecto a la profundidad. Boussinesq (1885) obtuvo dicha función a partir de la teoría de la elasticidad, para una carga puntual vertical, en la superficie de un medio semi-infinito, homogéneo, isótropo y linealmente elástico. Soluciones similares fueron presentadas por Westergaard (1938) para medios con deformación lateral restringida y por Fröhlich (1934) para medios anisotrópicos. Mediante la integración de estas soluciones, se obtuvieron las expresiones para la distribución de esfuerzos producida por diferentes áreas regulares uniformemente cargadas, tales como rectángulos, círculos y triángulos (Fadum 1941, Zeevaert 1980, Damy y Casales 1985). Una recopilación de las expresiones para diferentes tipos de cargas puede encontrarse en Poulos y Davis (1974). En el caso de áreas con formas arbitrarias, Newmark (1942) presentó un método gráfico mediante cartas de influencia, y Damy y Casales (1985) presentaron un método donde se realiza la adecuada adición y sustracción del esfuerzo producido por áreas triangulares parciales. Por la naturaleza de ambos métodos, éstos no proveen una expresión que pueda sustituir a Δqz en la integración de la ecuación (4), aunque en casos de aplicación práctica, pueden ser utilizados sustituyendo a dH por un espesor finito Hi, calculando así el asentamiento con la ecuación (5).

∑=

=n

1ii

mi

zi HEqH Δ

Δ (5)

donde: n = número de estratos; Δqzi = incremento del esfuerzo vertical al centro del estrato i; Emi = módulo edométrico del estrato i; y Hi = espesor del estrato i. Debido a que la ecuación (5) considera la deformación unitaria al centro del estrato como representativa del mismo, en el caso de grandes espesores o suelos de alta compresibilidad ésta expresión puede conducir a errores considerables. Un procedimiento aproximado para el cálculo de asentamientos bajo áreas con formas arbitrarias puede consultarse en Gazetas et al. (1985). En el caso de formas regulares, sí es posible la integración de la deformación unitaria con la profundidad a partir de una determinada función de distribución de esfuerzo. Mediante la integración de la solución de Boussinesq, Schleicher (1926) presentó una expresión para el cálculo de asentamientos elásticos bajo la esquina de un área rectangular uniformemente cargada, en la superficie de un medio homogéneo y semi-infinito (ecuación 6).

p

2I

E1qBH ν

Δ−

= (6)

donde: q = carga uniformemente distribuida; B = dimensión más pequeña del rectángulo; e Ip = factor de influencia.

En el caso de un estrato de espesor finito, el factor Ip se obtiene a partir de la ecuación (7), donde I1 e I2 son determinados según Steinbrenner (1934) con las ecuaciones (8) y (9) respectivamente.

21p I121IIνν

−+= (7)

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

+++

++++

+++

+++

=

1NMM

N1)1MM(ln

)1NM1(M

NM)1M1(lnM1I

22

22

22

222

(8)

( )radianes1NMN

Mtan2NI

221

2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

++= −

π (9)

donde: M = L/B; N = H/B; L = dimensión más larga; y H = espesor del estrato medido desde la superficie.

En el caso de suelos estratificados es posible utilizar un promedio ponderado del módulo de Young, E, o utilizar la ecuación (10) referida a la Figura 1.

( ) ( )( )∑

= − ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+=

n

2i ii1i

iii111total ,E,HH

,E,HH,E,HHHνΔ

νΔνΔΔ (10)

donde: ΔH(Hi, Ei, νi) = valor obtenido con las ecuaciones (6), (7), (8) y (9) utilizando los parámetros Hi, Ei, νi correspondientes al estrato i (Fig. 1).

Figura 1. Medio estratificado

1.2 Objetivos El objetivo del presente artículo es exponer un procedimiento para el cálculo de asentamientos en el que a partir de la expresión de Schleicher (ecuación 6) para áreas rectangulares, sea posible la obtención de la distribución de asentamientos producida por una configuración de carga irregular flexible, en la superficie de un medio elástico estratificado.

MÁNICA M. 3

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1.3 Alcances Se presenta de manera general, el desarrollo del procedimiento antes descrito. Se obtienen las distribuciones de asentamientos producidas por diferentes configuraciones de carga con el uso de la aplicación ESETTLE, generada en el lenguaje de programación FORTRAN, a partir del procedimiento presentado. Los resultados obtenidos son comparados con el programa de elemento finito PLAXIS. Adicionalmente, se proporciona una liga para descargar el código fuente y la aplicación generada.

2 DESARROLLO

Se considera un área rectangular de dimensiones A y B como la mostrada en la Figura 2, la cual es discretizada en n número de filas y m número de columnas, para formar una retícula de cuadrantes rectangulares. Suponiendo válido el principio de superposición, el asentamiento al centro de uno de los cuadrantes será igual a la suma del asentamiento producido en ese punto, debido a la carga aplicada en cada uno de los cuadrantes de la retícula, tal como lo expresa la ecuación (11).

∑∑= =

=n

1y

m

1x

xyjijiH δΔ (11)

donde: ΔHji = asentamiento total en el punto ji; n = número de filas; m = número de columnas; y δxy

ji = asentamiento en el punto ji debido a la carga aplicada en el cuadrante xy.

Figura 2. Discretización del área bajo análisis

La forma en la que δxy

ji es calculado, depende de la posición relativa entre el punto ji bajo análisis y el cuadrante xy cargado. Tomando como origen el punto O (Fig. 2), la posición del punto bajo análisis podrá determinarse como se indica a continuación:

2b)i(bd,

2a)j(ad ij −=−= (12)

donde: dj = distancia en dirección “x” del origen al punto bajo análisis; di = distancia en dirección “y” del origen al punto bajo análisis; a = A/m; b = B/n; j,i = identifican el punto bajo análisis (Fig. 2).

Análogamente, la posición del centro del cuadrante cargado podrá determinarse a partir de las de las siguientes expresiones:

2b)y(bd,

2a)x(ad yx −=−= (13)

donde: dx = distancia en dirección “x” del origen al centro del área cargada; dy = distancia en dirección “y” del origen al centro del área cargada; x,y = identifican el cuadrante cargado (Fig. 2).

Pueden presentarse cuatro casos diferentes en el cálculo de δxy

ji, los cuales pueden identificarse en la Figura 3 y se describen en las siguientes secciones.

Figura 3. Diferentes casos de análisis presentes en el procedimiento descrito.

2.1 Caso 1 Ocurre cuando el punto donde se calcula el asentamiento pertenece al cuadrante donde está ubicada la carga. Se identifican cuatro áreas iguales designadas como C1, tal como se muestra en la Figura 4, por lo que asentamiento puede ser calculado con la ecuación (14).

Figura 4. Esquema del caso 1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −= 1C

2

1Cxyxyji I

E1Bq4 ν

δ (14)

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donde: qxy = magnitud de la carga en el cuadrante xy; BC1 = dimensión más pequeña del área C1; e IC1 = factor de influencia calculado con las ecuaciones (7), (8) y (9) tomando en cuenta que B=BC1 y L=LC1. Los valores de BC1 y LC1 son determinados de la siguiente forma:

2bL

2aB,contrariolode

2aL

2bB,baSi

1C1C

1C1C

==

==≥ (15)

2.2 Caso 2 Ocurre cuando el punto en el que se calcula el asentamiento está en la misma columna donde se ubica el cuadrante cargado. El asentamiento puede ser calculado con la ecuación (16) considerando las áreas mostradas en la Figura 5.

Figura 5. Esquema del caso 2

( )3C3C2C2C

2

xyxyji IBIB

E1q2 −−

δ (16)

Los valores de BC2, LC2, BC3 y LC3 son determinados de la siguiente forma:

2aL

2bddB

,contrariolode2bddL

2aB

,2a

2bddSi

2Cyi2C

yi2C2C

yi

=+−=

+−==

≥+−

(17)

2aL

2bddB

,contrariolode2bddL

2aB

,2a

2bddSi

3Cyi3C

yi3C3C

yi

=−−=

−−==

≥−−

(18)

2.3 Caso 3 Ocurre cuando el punto en el que se calcula el asentamiento está en la misma fila donde se ubica el cuadrante cargado. El asentamiento puede ser calculado con la ecuación (19) considerando las áreas mostradas en la Figura 6.

Figura 6. Esquema del caso 3

( )5C5C4C4C

2

xyxyji IBIB

E1q2 −−

δ (19)

Los valores de BC4, LC4, BC5 y LC5 son determinados de la siguiente forma:

2bL

2addB

,contrariolode2addL

2bB

,2b

2addSi

4Cxj4C

xj4C4C

xj

=+−=

+−==

≥+−

(20)

2bL

2addB

,contrariolode2addL

2bB

,2b

2addSi

5Cxj5C

xj5C5C

xj

=−−=

−−==

≥−−

(21)

2.4 Caso 4 Finalmente el caso cuatro ocurre cuando el punto en el que se calcula el asentamiento no está ni en la misma fila, ni en la misma columna donde se ubica el cuadrante cargado. El asentamiento puede ser calculado con la ecuación (22) considerando las áreas mostradas en la Figura 7.

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−

−−=

9C9C8C8C

7C7C6C6C2

xyxyji IBIB

IBIBE

1q νδ (22)

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Los valores de BC6, LC6, BC7, LC7, BC8, LC8, BC9 y LC9 son determinados de la siguiente forma:

Figura 7. Esquema del caso 4

2bddL

2addB

contrariolode2addL

2bddB

,2bdd

2addSi

yi6Cxj6C

xj6Cyi6C

yixj

+−=+−=

+−=+−=

+−≥+−

(23)

2addL

2bddB

,contrariolode2bddL

2addB

,2add

2bddSi

xj7Cyi7C

yi7Cxj7C

xjyi

−−=+−=

+−=−−=

−−≥+−

(24)

2addL

2bddB

,contrariolode2bddL

2addB

,2add

2bddSi

xj8Cyi8C

yi8Cxj8C

xjyi

+−=−−=

−−=+−=

+−≥−−

(25)

2addL

2bddB

,contrariolode2bddL

2addB

,2add

2bddSi

xj9Cyi9C

yi9Cxj9C

xjyi

−−=−−=

−−=−−=

−−≥−−

(26)

Para tomar en cuenta en los cálculos un medio estratificado, bastará con aplicar la ecuación (10) en el cálculo de δxy

ji. De esta forma, evaluando la ecuación (11) en los puntos centrales de cada uno de los cuadrantes de la retícula, se obtendrá la distribución de asentamientos en el área considerada. Es importante hacer notar que la magnitud de la carga en cada uno de los cuadrantes (qxy) puede ser diferente e incluso igual a cero.

No es la intención del autor el uso del procedimiento descrito mediante cálculos manuales, si no la implementación de éste en cualquier lenguaje de programación. Para el análisis de los ejemplos que se describen a continuación se utilizó la aplicación ESETTLE construida en el lenguaje de programación FORTRAN, a partir del procedimiento propuesto en el presente artículo. Dicha aplicación, así como su código fuente pueden ser descargados en la siguiente liga: http://miguelmanica.webs.com/descargas

3 VALIDACIÓN 3.1 Ejemplo 1 “Área rectangular con distribución de carga uniforme” La estratigrafía considerada en todos los ejemplos consiste en dos estratos cuyas propiedades se resumen en la Tabla 1. Por debajo de los mismos, se encuentra un estrato resistente donde las deformaciones son despreciables. Tabla 1. Estratigrafía considerada

Estrato #

Espesor (m)

γ (kN/m³)

E (MPa)

ν -

1 7.00 16.0 15.0 0.30 2 8.00 18.0 30.0 0.35

En el presente ejemplo se considera un área rectangular uniformemente cargada con las dimensiones mostradas en la Figura 8. El asentamiento se evaluó en un área de 30 x 20 m, la cual fue discretizada en 30 columnas y 20 filas para el uso del programa ESETTLE. En el caso del programa PLAXIS, se generó una malla tridimensional de elementos finitos compuesta de 4,116 elementos y 12,255 puntos nodales. La extensión de la malla en planta es de 45 x 30 m, a fin de evitar efectos de frontera. Ambos estratos fueron modelados con una ley elástica lineal. Los resultados obtenidos con ambos programas fueron procesados mediante un software para construir mapas de contorno. En la Figura 9 se presentan las distribuciones de asentamientos obtenidas. En la Figura 10 se muestran los perfiles de asentamientos a través de los cortes AA’ y BB’, cuya ubicación puede observarse en la Figura 8.

6 Distribución de asentamientos elásticos producidos por una configuración de carga superficial compleja

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Figura 8. Configuración de carga considerada en el ejemplo 1.

Figura 9. Distribución de asentamientos del ejemplo 1

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.00.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0

ESETTLEPLAXISA

sent

amie

nto

(cm

)

Distancia (m)

Corte AA'

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.00.0 5.0 10.0 15.0 20.0

ESETTLEPLAXISA

sent

amie

nto

(cm

)

Distancia (m)

Corte BB'

Figura 10. Perfiles de asentamiento en los cortes AA’ y BB’ del ejemplo 1.

3.2 Ejemplo 2 “Área con forma y distribución de carga irregular” Se considera un área de forma irregular con la distribución de carga mostrada en la Figura 11. El área donde se evalúan los asentamientos es igual que en el ejemplo 1, pero ésta fue discretizada en 120 columnas y 80 filas para el uso del programa ESETTLE. El modelo generado en PLAXIS cuenta con 6,816 elementos y 19,905 puntos nodales y su extensión también es la misma que el ejemplo 1.

En la Figura 12 se presentan las distribuciones de asentamientos obtenidas con ambos programas, y en la Figura 13 los perfiles de asentamientos de los cortes AA’ y BB’, identificados en la Figura 11.

Figura 11. Configuración de carga considerada en el ejemplo 2.

Figura 12. Distribución de asentamientos del ejemplo 2

MÁNICA M. 7

SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.

0.00.51.01.52.02.53.03.54.0

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0

ESETTLEPLAXIS

Ase

ntam

ient

o (c

m)

Distancia (m)

Corte AA'

0.00.51.01.52.02.53.03.54.0

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0

ESETTLEPLAXISA

sent

amie

nto

(cm

)

Distancia (m)

Corte BB'

Figura 13. Perfiles de asentamiento en los cortes AA’ y BB’ del ejemplo 2.

3.3 Ejemplo 3 “Conjunto de áreas de forma irregular y con diferentes distribuciones de carga” Se considera un conjunto de cuatro áreas de forma irregular y con diferentes valores de presión de contacto tal como se muestra en la Figura 14. El área donde se evalúan los asentamientos y la descretización de dicha área, es la misma que en el ejemplo 2. La malla tridimensional de elementos finitos esta formada por 5,604 elementos y 16,471 puntos nodales.

En la Figura 15 se presentan las distribuciones de asentamientos obtenidas, mientras que en la Figura 16 se muestran los perfiles de asentamientos correspondientes a los cortes AA’ y BB’ identificados en la Figura 14.

Figura 14. Configuración de carga considerada en el ejemplo 3.

Figura 15. Distribución de asentamientos del ejemplo 3

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.50.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0 35.0 40.0

ESETTLEPLAXISA

sent

amie

nto

(cm

)

Distancia (m)

Corte AA'

0.0

0.5

1.0

1.5

2.00.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0 35.0 40.0

ESETTLEPLAXISA

sent

amie

nto

(cm

)

Distancia (m)

Corte BB'

Figura 16. Perfiles de asentamiento en los cortes AA’ y BB’ del ejemplo 3.

4 CONCLUSIONES

A pesar de que las dificultades que presentan las geometrías irregulares han sido superadas con ayuda de métodos numéricos como el método de elementos finitos o el método de diferencias finitas, en muchas ocasiones no se disponen de los recursos para acceder a estas herramientas, o simplemente no se cuenta con ningún procedimiento alternativo para verificar sus resultados. El método descrito y validado en el presente artículo, presenta

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una alternativa para el cálculo de asentamientos elásticos producidos por distribuciones de carga superficiales irregulares. En los tres ejemplos presentados, se verificó una gran congruencia entre el método expuesto y el método de elemento finito, siendo este último un poco más conservador en todos los casos. Es importante mencionar que la expresión de Schleicher (1926) es obtenida a partir de la integración de la solución de Boussinesq (1885), por lo que en casos donde esta distribución de esfuerzos no sea adecuada para la estratigrafía analizada, el método presentado no será la mejor alternativa de solución.

REFERENCIAS

Boussinesq, J. (1885). “Applications des potentiels à l’etude de l’equilibre et du mouvement des solides élastiques”, Paris, Gauthier-Villard.

Bowles, J. E. (1997). Foundation Analysis and Design, 5th Edition, Singapore, McGraw Hill.

Damy, R. J. y Casales, G. C. (1985). “Soil stresses under a polygonal area uniformly loaded”, Proceedings of the eleventh international conference on soil mechanics and foundation engineering, AABalquema/Roterdam/Boston, San Francisco, Ca., pp. 733-735.

Fadum, R. E. (1941). “Influence values for vertical stress in a semi-infinite, elastic solid due to surface loads”, Graduate School of Engineering, Harvard University.

Fröhlich, O. K. (1934). “Druckverteilung im Baugrunde”, Verlag Julius Springer, Wien.

Gazetas, G.; Tassoulas, J. L.; Dobry, R.; O’Rourke, M. J. (1985). “Elastic settlement of arbitrarily shaped foundations embedded in half-space”. Géotechnique 35: 339-346 ISI.

Newmark, N. M. (1942). “Influence charts for the computation of stresses in elastic foundations”, University of Illinois Experiment Station Bull. 338.

Poulos, H. G. and Davis, E. H. (1974). Elastic Solutions for Soil and Rock Mechanics, 1st Edition, New York, John Wiley & Sons, Inc.

Schleicher, F. (1926). “Zur Theorie des Baugrundes”, Der Bauingenieur, Vol. 7.

Steinbrenner, W. (1934). “Tafeln zur Setzungsberechnung”, Die Strasse, Vol. 1, Oct, pp. 121-124.

Westergaard, H.M (1938). “A Problem of Elasticity Suggested by a Problem in Soil Mechanics: Soft Material Reinforced by Numerous Strong Horizontal Sheets”. Contributions to the Mechanics of Solids, Stephen Timoshenko 60th Anniversary Volume, Macmillan, New York, pp. 17-26.

Zeevaert, L. (1980). Interacción suelo estructura de cimentación, México, Limusa.