PROTOTIPOS ELASTICOS

Ing. David Córdova Rojas

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAFacultad de Ingeniería Geológica, Minera y Metalúrgica

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En cualquier problema de Mecánica aplicada a un método que se sigue, con frecuencia es hacer un número necesario de hipótesis, de modo que el sistema que quiera analizarse quede lo suficientemente simplificado como para ser estudiado matemáticamente.

Por ejemplo, en mecánica de fluidos es normal suponer que los líquidos son incomprensibles entonces es suficiente aplicar las leyes de Newton del movimiento. Con esta hipótesis se pueden estudiar un gran número de problemas hidrodinámicos de flujo de fluidos. Análogamente, en ingeniería estructural es frecuente asumir; que las vigas están o simplemente apoyadas o empotradas cuando en realidad lo más frecuente es que estén parcialmente empotradas debido a las ligaduras reales tan opuestas a las ligaduras teóricamente supuestas. Esta sencilla teoría ha sido utilizada durante muchos años con buenos resultados prácticos.

PROTOTIPOS ELASTICOS

INTRODUCCION

Es lógico el hecho de considerar un buen criterio a la ingeniería práctica el tener en cuenta factores que no han sido analizados anteriormente con objeto de poder proveer sus posibles efectos cuando se adopten soluciones finales.

Las variables que intervienen en la solución de un problema técnico, son los que provienen de un análisis teórico junto con datos empíricos y la estimación intuitiva de algunos otros factores poco evidentes.

En mecánica de rocas hay varios modelos sencillos ó analogías de problemas frecuentes, que pueden usarse para determinar en primera aproximación las consecuencias producidas al realizar ciertas excavaciones o al aplicar ciertas fuerzas al utilizar estos sencillos y teóricos modelos.

Se pueden establecer las relaciones funcionales entre las cargas, las propiedades del material, la tensión y la deformación. La importancia de las desviaciones reales respecto a la representación simplificada, se puede determinar o estimar por medio de la recopilación de datos empíricos.

En general es útil hacer varias series de hipótesis con objeto de analizar más de un modelo del problema real. Por ejemplo, el hueco de una cavidad subterránea en roca estratificada puede considerarse como una viga y a partir de esta hipótesis se pueden obtener valores aproximados de la tensión o de la deformación.

Otras veces es más adecuado considerar el techo como si fuera la superficie interior de un cilindro de pared gruesa de radio exterior infinito. De este modo pueden hacerse, otra serie de cálculos para hallar la tensión ó la deformación. Es posible que cuando se manejen dos modelos, uno sea mejor para unas condiciones de la tensión y el otro lo sea para otras.

El tiempo que se gaste en tales análisis no es un tiempo perdido aún en el caso de que el único resultado sea el de acostumbrarnos a discernir. Por consiguiente modo, la persona relacionada con los problemas de mecánica de rocas debe estar familiarizada con las teorías matemáticas del equilibrio de fuerzas, tensión plana y deformación plana, cilindro de pared gruesa, orificio en un medio elástico infinito, método de los elementos finitos, vigas, energía de la deformación unitaria, placa y arcos, también fotoelasticidad.

Para el estudio aproximado de las tensiones alrededor de huecos subterráneosse puede analizar el caso simple del cilindro de pared gruesa.

En la figura, la tensión de un cilindro de pared gruesa en el caso de tensión plana estará dada por:

t2dPdPt2 i

i =→= σσ

donde: σ = tensión media en las paredest = ancho del cilindro.

Cuando t es relativamente pequeño comparado con su diámetro, entonces podemos decir que la tensión en la pared interior es casi igual al exterior y por lo tanto, uniforme.

CILINDRO DE PARED GRUESA

t

dT

Pi

T

Cuando el cilindro es de pared gruesa donde la anchura de la pared del cilindro es del mismo orden o mucho mayor que el diámetro interior, la hipótesis anterior de “uniformidad” de la tensión es poco precisa.

En la figura se representa la “distribución de tensiones en las paredes de un cilindro de pared gruesa sometida únicamente a presión interna (o sea presión exterior Po = nula).

Analizando:

σt varía desde un máximo en la superficie interna a un mínimoen la superficie externa.

σr tensión radial varía desde un máximo en la superficie interior, a cero en la exterior.

oP = 0Para

σtrσ

Po

ir

or

Pi

Si tomamos un elemento de la figura, expresamos matemáticamente el equilibrio del elemento tomado en el cilindro de pared gruesa.

Suponiendo que la tensión axial es nula o sea caso de una tensión plana.

De aquí deducimos que:

( ) 0ddrrdrdr

d2

ddr2drF rrtrr =+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+= θσσθσθσΣ

0dr

dr rrt =−−

σσσ

Esta es la ecuación del equilibrio del elemento.

……… Ecuación 1

dθ

r

σ σ +

σ

σr

t

rt

σd r dr

dr

dr

Además para cumplir las condiciones de equilibrio, las deformaciones del elemento deben ser compatibles con las tensiones.

Si u es el desplazamiento del material a una distancia r , por lo tanto, el desplazamiento para un radio r + dr será:

Por consiguiente para el elemento, las ecuaciones de la deformación elástica son:

Estas ecuaciones pueden expresarse en función de las tensiones usando el numero de Poisson (m) que es la inversa del coeficiente de Poisson o relación de Poisson.

drdrduu +

( )

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

=−+

=

=−+

=

ru

drrddur

drdu

dr

udrdrduu

t

r

θθθε

ε

Em

Em

rtt

trr

σσε

σσε

−=

−=

Deformaciones unitarias del elemento radial y tangencial.

Por tanto:

Condiciones de contorno

Para completar el estudio relativo al campo de tensión hay que tener en cuenta las condiciones de contorno:

Las ecuaciones 1 y 2 deben cumplir:

cuando

Operando con las ecuaciones 1, 2 y 3, se obtiene según el procedimiento utilizado en la teoría de elasticidad:

oro

iri

PrrPrr

=→==→=

σσ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−=

mdrdu

ru

mEm

mru

drdu

mEm

t )1(

)1(

2

2

2

2

σ

στ ……… Ecuación 2a

……… Ecuación 2b

Ecuaciones de compatibilidad

……… Ecuación 3 Ecuaciones de contorno

a partir de estas ecuaciones pueden hacerse importantes observaciones respecto a la distancia de tensiones en un cilindro de pared gruesa.

( )( )

( )( ) 222

22

22

22

222

22

22

22

rrrrrPP

rrPrPr

rrrrrPP

rrPrPr

io

oiio

io

iioot

io

oiio

io

iioor

−−

+−−

=

−−

−−−

=

σ

σ ……… Ecuación 4a

……… Ecuación 4b

Observaciones

1) La suma de σt y σr es una constante independiente de la posición del punto en el cilindro es decir:

2) Se observa que siempre σt es mayor que σr .

2i

2o

i2

i02

ot

rrPrPr

2 −−

=+σστ

3) En el caso de un cilindro de radio exterior infinito, las ecuaciones quedan reducidas a:

4) En caso que la presión interna Pi = 0 las ecuaciones (5) se reduce a:

( )

( ) 2

2i

oiot

2

2i

oior

rrPPP

rrPPP

−−=

−+=

σ

σ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

2

2i

ot

2

2i

o

rr1P

rr1P

σ

σ γ

……… Ecuación 5a

……… Ecuación 5b

……… Ecuación 6a

……… Ecuación 6b

Ejemplo: Calcular σt si:ro = 4.27 mPo = 2.81 Kg/cm2

Pi = 0r = 3.05 m Reemplazando en la ecuación 4bri = 3.05 m Respuesta: 11.5 Kg/cm2

5) De Et = U / r se deduce que el desplazamiento de la superficie exterior de un cilindro se puede calcular mediante la siguiente relación:

( )E

rrU rtiit

μσσε −==

También se deduce de la figura, un levantamiento de la superficie terrestre originaría deformaciones unitarias de tracción que podría ser la causa del diaclasamiento Ejm. U = 610m y r = 6440 km. εt valdría 10-4 que es lo bastante grande como para producir agrietamiento.

……… Ecuación 7

610 m

6440 Km

TENSIONES EN UN MEDIO ELASTICO SEMI-INFINITO

Cuando un sólido elástico semi-infinito está únicamente sometido a su peso propio, en un elemento cualquiera podemos considerar que la deformación es vertical. Es decir la deformación longitudinal debe ser cero. Esta consecuencia nos va ha servir para relacionar las tensiones horizontales σx y σy (que son iguales en un terreno isótropo) con la tensión vertical σz.

Sabemos que la relación esfuerzo / deformación en teoría elástica es:

Teniendo en cuenta que σx = σy , se deduce que:

( )[ ]zyxx E1 σσνσε +−=

)1(z

x ννσσ

−=

hv

vHx ρσσ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−==

1

O bien

Donde m = número de poisson = (inversa de la relación de Poisson)

Por ejemplo:

Un túnel cuyo eje se halla h (m) por debajo de la superficie, el material tiene una densidad ρ y una relación de Poisson v .

El esfuerzo vertical es:

y el esfuerzo horizontal es:

hVz ρσσ ==

1mz

x −=

σσ ……… Ecuación 1

v1

Aunque el análisis tensional de medios continuos puede utilizar muchos prototipos elásticos, solo dos métodos permiten tratar con generalidad, las complejas situaciones planteadas en ingeniería: los métodos numéricos como es el caso de los elementos finitos y los métodos experimentales o estudios experimentales en modelos como es el caso, los modelos fotoelásticos o los modelos físicos a escala reducida.

El método de los elementos finitos ha sido ideado para tratar aquellos casos que no pueden ser resueltos por métodos clásicos (casos prácticos con geometría no regular, materiales no uniformes y cargas no uniformes).

Este método hace posible el partir de la hipótesis de un medio elástico continuo, introduciendo las modificaciones necesarias que aproximen con mayor exactitud las propiedades geométricas y mecánicas de las masas rocosas típicas y sus características de discontinuidad.

TENSIONES EN UN MEDIO ELASTICO SEMI-INFINITO

El método consiste en representar un medio continuo por medio de un entramado de elementos unidos los unos con los otros por sus vértices, llamados puntos nodales o nudos, a cada uno de estos elementos se les puede asignar diferentes propiedades elásticas .

Las fuentes de información para la solución del método de elementos finitos están todavía en la teoría elástica, equilibrio compatibilidad y condiciones de contorno, no obstante que la descomposición del continuo en un sistema de elementos, cada uno de los cuales tiene una deformación uniforme, hace innecesaria la formulación de un problema de contorno clásico.

Figura 1: Una excavación minera típica difícil de estudiar por métodos clásicos, simulada por un modelo de elementos finitos para determinar tensiones en los hastiales y en los estribos.

Suponiendo el sistema de desplazamiento en el interior de cada elemento definido en función de los desplazamientos nodales, se pueden relacionar los desplazamientos nodales con una serie de fuerzas ficticias aplicadas en dos nudos. El conjunto de elementos y la solución final, sigue los esquemas habituales del cálculo estructural (rigideces), disfrutando en todo momento de una cierta visión física del problema.

Se asocia a cada elemento una serie de magnitudes como:

que agrupan en forma matricial los desplazamientos (δ), las fuerzas nodales (F), las tensiones (σ) y las deformaciones (ε).

Para un caso lineal las fuerzas nodales expresan en función de los desplazamientos nodales por:

{ } { } { } { }eeee ,,F, εσδ

{ } [ ] { }eee KF δ= ……… Ecuación 2

donde [K]e es la matriz de rigideces de las ecuaciones.

Sumando las fuerzas nodales en cada nudo e igualándola a las cargas exteriores se obtiene una serie de ecuaciones de la forma:

donde {R} y {δ} agrupan respectivamente, todas las fuerzas exteriores que actúan en los nudos y todos los desplazamientos nodales, siendo [K] la matriz de rigidez conjunta cuyos coeficientes son:

Luego conocidos las fuerzas del sistema se pueden hallar los desplazamientos, por ejemplo:

{ } [ ]{ }δKR =

eijij KK Σ=

{ } [ ] { }RK 1−=δ

……… Ecuación 3

……… Ecuación 4

A partir de los desplazamientos de los nudos se pueden calcular las deformaciones y las tensiones.

Como la cantidad de nudos es grande, es difícil obtener la inversa de [K], incluso en un computador, por lo que se emplea el método interativo. o el de eliminación de Gauss.

Esta breve introducción no pretende hacer comprender completamente el proceso, sin embargo se aclara el concepto de elemento como simples ”subregiones” de un continuo más que divisiones discretas reales.

La mayoría de los sólidos isotrópicos ópticos llegan a ser ópticamente anisotrópicos cuando son esforzados.

Este fenómeno fue anunciado en 1816 por David Brewster, quien descubrió que cuando el vidrio era esforzado o deformado, llegaba a tener doble refracción, anunció también que el grado de esta anisotropía óptica era proporcional al esfuerzo o a la deformación. Se ha establecido que esta propiedad está presente en algún grado en la mayoría de los sólidos transparentes.

Las aplicaciones ingenieriles de este fenómeno óptico no fueron realizados sinóun siglo después, en la actualidad se ha desarrollado grandemente para el estudio analítico de esfuerzos en modelos de estructuras de ingeniería.

INTRODUCCION A LA FOTOELASTICIDAD Y MODELOS FOTOELASTICOS

El método es experimental y se usa como una técnica de diseño y como medio de corroborar los resultados de la teoría de elasticidad matemáticos a consecuencia de que son necesarios la teoría óptica y la teoría de elasticidad para un entendimiento de este método de determinación de esfuerzos, el término fotoelasticidad fue acuñado como la ciencia y tecnología de las propiedades esfuerzo ópticos de sólidos trasparentes.

Hoy en día es uno de los métodos más usuales de análisis de esfuerzo en dos y tres dimensiones y no existen limitaciones de condiciones de borde como en la teoría de la elasticidad, por lo tanto que es usado en todos los campos del diseño de ingeniería. En minería: distribución de esfuerzos en modelos de aberturas subterráneas complicadas, esfuerzos primitivos en muestras pequeñas de roca, estudio de petrofrósica.

El método fotoelástico utiliza un polariscopio fotoelástico, las etapas básicas para el análisis de esfuerzos son:

1.- Selección del material fotoelastico adecuado, por ejemplo la bakelita, el vidrio, el celuloide o la resina expósica.

2.- Construcción del modelo.

3.- Calibración del material fotoelástico.

4.- Cargado del modelo.

5.- Determinación de isoclinas, estan con las líneas oscuras o líneas de intensidad cero observados con una dirección dada del polarizador y analizador y en donde la dirección de los esfuerzos principales son constantes.

6.- Determinación de los modelos de franja isocromáticas. Las isocromáticas son las líneas de máxima intensidad de luz, en las cuales la diferencia entre los esfuerzos principales, son una constante.

7.- Determinación de la trayectoria de esfuerzos en todas partes del modelo, si fuera deseado.

8.- Determinación de la distribución del esfuerzo de corte máximo en todas partes del modelo.

9.- Determinación de los esfuerzos principales en todas partes del modelo si fuera deseado.

10.-Presentación de datos en forma gráfica y tabular.