Estado tensional de los sólidos elásticos

7/24/2019 Estado tensional de los slidos elsticos

1/54

Elasticidad y resistencia de materialesCurso 2013-2014

Captulo 2

Antonio Gimnez

s a o ens ona e osslidos elsticos

Dpto. Ingenierarea de Ingeniera Construccin


2/54

Componentes de un vectorde un vector

Z

VVz

V = Vx + Vy + Vz

Vx = V cos = = = = V

Vy = V cos = = = = V

Antonio Gimnez

X

Y

Vx

Vy

Vz = V cos = = = = V


3/54

Componentes del vector tensinComponentes del vector tensin

k

z

x =

y =

= x + y + z

Antonio Gimnez

i

j

x

y

z =

u = i + j + k

1 = 2 + 2 + 2


4/54

Componentes de un vectorComponentes de un vector

u ====

00

0 0

00 i

j

k

*

Antonio Gimnez

====

x

y

z

0

0

0 0

0

0 i

jk

*


5/54

Estado tensional de un punto

Antonio Gimnez


6/54

Estado tensional de un puntoz

nx

xz z

nz

zyzx

Antonio Gimnez

x

y

xy xz

xy

yxny


7/54


x

y

z

nxnx xy

xz

xz

xy

yxny

yz

nz

zy zx

dydx nz

dydz xz

dxdzyz

Antonio Gimnez

dydz nx +dxdz yx +dydx zx = dydz nx +dxdz yx +dydx zx

dydz xy +dxdz ny +dydx zy = dydz xy +dxdz ny +dydx zy

dydz xz +dxdz yz + dydx nz= dydz xz +dxdz yz + dydx nz

Fx = 0

Fy = 0

Fz = 0


8/54


x

z

nxnx xy

xz

xz

xy

yx

yz

nz

zy zx

Mx =(dydx nz )dy1/2 - (dydx nz )dy1/2

Mx =(dydx zy)dz

My =(dydx zx)dz

My =(dydx nz )dx1/2 - (dydx nz )dx1/2

Tensiones uniformemente distribuidas,

Antonio Gimnez

y

ny

(dxdz yz )dy (dydx zy)dz = 0 Mx = 0 =>

(dydx zx )dz (dydz xz )dz = 0 My = 0 =>

(dxdz yx )dy (dydz xy)dx = 0 Mz = 0 =>

Teorema de la reciprocidad de las TensionesTangenciales

resu an e e es uerzos so re ca a cara pasa por

el centro de gravedad.


9/54

Teorema de reciprocidad delas tensiones tangenciales

zy = yz

Antonio Gimnez

zx = xz

xy = yx


10/54

Vectores tensin en un punto

Tomamos momentos respecto al eje Z, Y, X

Fx = 0 => nx dy dz + zx dx dy + yx dx dz = X Fy = 0 => ny dx dz + zy dy dx + xy dy dz = Y

Fz = 0 => nz dx dy + xz dy dz + yz dx dz = Z

Antonio Gimnez

Mx = 0 => ( zy dx dy ) dz - ( yz dx dz ) dy = 0 My = 0 => ( zx dy dx ) dz - ( xz dy dz ) dx = 0

Mz = 0 => ( xy dy dz ) dx - ( yx dx dz ) dy = 0

Teorema de reciprocidad de las tensiones tangenciales


11/54

Valores del vector de tensin De los 18 valores de las caras del

paraleleppedo infinitesimal slo hay 6valores distintos

Antonio Gimnez

x, y, z, yz, zx, xy Conocidos los 6 valores queda determinado el vector

tensin correspondiente a cualquier orientacin


12/54

Condiciones de equilibrio

Antonio Gimnez


13/54

Condiciones de equilibrioz

N

dSx = d

=

Antonio Gimnez

nx

xz

xy x

y

d

dSz = d

Las reas de las caras del tetraedro

paralelas a los planos coordenados

son las proyecciones ortogonales delrea d del tringulo ABC


14/54

Condiciones de equilibriox d = nx d + yx d + zx d

y d = xy d + ny d + zy d

z d = xz d + yz d + nz d

Antonio Gimnez

====

x

y

z

nxny

nz

xyyx

zx zy

yz

xz

====

cosenos directores[ ]]]] ==== [ ]]]] [ u ]]]]


15/54

Matriz de tensionesMatriz de tensiones

T ====

nx

nynz

xy

yx

zx zy

yz

xz = T * u

Tensor de tensiones o Tensor de CauchyTensor simtrico de 2 orden

Antonio Gimnez

====

x

y

z

nx

nynz

xy

yx

zx zy

yz

xz

====

cosenos directores


16/54

Tensiones principales de un

puntoz

N

dSx = d

=

Antonio Gimnez

nx

xz

xy x

y

d

dSz = d


17/54

Tensiones principales de un

puntoz

N

Antonio Gimnez

nx

xz

xy x

y = 1+ 2 + 3

1

> 2

> 3


18/54

Tensiones y direcciones

principales

0 = (nx - )* + yx * + zx * 0 = xy * + (ny - )* + zy *

[ ]]]] ==== [ ]]]] [ u ]]]]

Existe un plano cuya tensin es perpendicular a l:

Antonio Gimnez

= xz + yz + nz -

Su determinante es :

(nx - ) yx zx

xy (ny - ) zy

xz yz (nz -)

= 0

que desarrollado es

-3333 + I1 2222 - I2 + I3 = 0

Las direcciones correspondientes son lasdirecciones principales


19/54

Calculo matricial

[ T ] Matriz de tensiones

Ecuacin de equilibriox = ....nx + .... yx + . . . . zx x nx yx zx

y = .... xy + ....ny + . . . . zy y = xy ny zy *

z = .... xz + .... yz + . . . .nz z xz yz nz

[][][][] = [ T ] * [u]

0000 = ....nx + ....yx + ....zx

= .... .... .... -3

2-

Ecuacin caracterstica : Direcciones Principales y Tensiones Principales

Antonio Gimnez

0000 = ....xz + .... tyz + ....nz -Invariante lineal

1111 = nx +ny + nz

Invariante cuadrtico

2222 = nx ny ++++ ny nz + nx nz - 2yx -

2222zx -

2222yz

3333 = T

1111 > 2222 > 3333


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Tensiones y direcciones

principales[ ]]]] ==== [ ]]]] [ u ]]]]

Ecuacin caracterstica o secular

-3333 + I1 2222 - I2 + I3 = 0

Antonio Gimnez

Tensiones principales : son las races de la ecuacindonde :

I1 = nx + ny + nz

I2 = nxny+nynz+nznx-2222

yz-2222

zx-2222

xy

I3 = | |


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Tensiones PrincipalesTensiones Principales

T ====

1

2 3

0

0

0 0

0

0

Tomando como sistema de referencia el triedro correspondiente a las direccionesprincipales, la matriz de tensiones se reduce a su forma diagonal

Antonio Gimnez

= 1 . .i + 2 . .j + 3 ..k

n = . u = 1 . 2 + 2 .

2 + 3 . 2 n =

dFN

dS

=dFt

dS

2 = 2 - n2


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Calculo matricial

Cambio de ejes coordenados

1111 2222 3333

u1*

= 1111 u2*

= 2222 u3*

= 3333

1111 2222 3333

r = xu1 + yu2 + zu3 REFERENCIA: Elasticidad, L. Ortiz Berrocal

r = x*u*1 + y*u*2 + z*u*3 Cambio de ejes

Antonio Gimnez

x 1111 2222 3333 x*

x = x* 1111 + y* 2222 + z* 3333 y = 1111 2222 3333 * y*

y = x* 1111 + y* 2222 + z* 3333 z 1111 2222 3333 z*

z = x*1111 + y*2222 + z*3333

[[[[r]]]] = [R ] * [r*]

0000 = ....nx + ....yx + ....zx

0000 = . ...xy + ....ny + ....zy => = 0

0000 = . ...xz + ....tyz + ....nz -

-3+ I1

2- I2+ I 3

Ecuacin caracterstica : Direcciones Principales y Tensiones Principales


23/54

Cambio de sistema de referenciaP interior a un prisma mecnico, referida a Pxyz, referida a Pxyz

matriz de cambio de ejes. El vector tensin referente a un plano , cuyaorientacin viene dada por un vector unitario y

Antonio Gimnez

Relaciones entre matrices de tensiones


24/54

Elipsoide de Lam

1

2

0

0 0

0

1 >>>> 2 >>>> 3

Sea P un punto interior a un slido elstico, buscamos el lugar geomtrico detodos los extremos de vectores tensin correspondientes a todos los planosque pasan por dicho punto. Siendo x, y, z los extremos del vector tensincorrespondiente con la direccin

Antonio Gimnez

3

Direcciones principales

1

2

3

0

0

0 0

0

0xy

z=

=>

x =

1

y = 2z = 3

=>

1 = 2 + 2 + 2


25/54

Tensiones y direcciones principales

12 22 32x2 y2 z2

+ + = 1Elipsoide de Lam,

Cuyos ejes coincides con las

direcciones principales

Antonio Gimnez

=>


26/54

Circulo de Mohr Representacin grfica plana del vector

tensin

Ingeniero alemn (1835-1918)

Antonio Gimnez


27/54

Circulo de Mohr (I) Ecuacin del vector tensin

Antonio Gimnez


28/54

Circulo de Mohr (II) Sistema de ecuaciones (variacin de las componentes normal y

tangencial)

Antonio Gimnez

(Variamos la normal segn generatrices deconos de revolucin de eje Px podemoseliminar y en el sistema de ecuaciones.

Aplicando la condicin de compatibilidad


29/54

Circulo de Mohr (II)

Desarrollado el determinante por los elementosde la primera columna y dividiendo porse obtiene una familia de circunferenciasconcntricas (C1)

Antonio Gimnez


30/54

Circulo de Mohr (III)

Antonio Gimnez

Siendo 123 >0 se dibuja en las coordenadasintrnsecas del vector tensin los tres crculosfundamentales de Mohr


31/54

Circulo de Mohr (IV) Familia de circunferenciasconcntricas de centros

Antonio Gimnez


32/54

Circulo de Mohr (V)

Antonio Gimnez


33/54

Circulo de Mohr (VI) Clculo de las direcciones del vectortensin

ngulo

Antonio Gimnez

La potencia de M respecto a C1ser P1= - 2 (1- 2) (3 - 1)

Se puede expresar de la formasiguiente

P1 = HNHF= IEHF =

(1- 2) (1- 3)


34/54

Circulo de Mohr (VII) Clculo de las direcciones del vectortensin

ngulo

Antonio Gimnez


35/54

Circulo de Mohr (VIII) Clculo de las direcciones del vectortensin

ngulo y

Antonio Gimnez


36/54

Circulo de Mohr (IX)

Antonio Gimnez


37/54

Circulo de Mohr (X) Representacin grfica Clculo de las

componentes intrnsecas

a partir de los ngulos

Antonio Gimnez

Ci l d M h (XI)


38/54

Circulo de Mohr (XI) Ms informacin sobre el crculo de Mohr Los puntos representativos del haz de

planos que contienen al primer ejeprincipal pertenecen a la circunferencia C1

Antonio GimnezGirado 90 detrs

Ci l d M h (XII)


39/54

Circulo de Mohr (XII) La relacin entre el ngulo real y el ngulo en el

crculo es 2

Antonio GimnezIgualdades del ngulo doble

Ci l d M h (XIII)


40/54

Circulo de Mohr (XIII) Los puntos representativos del haz de

planos que contienen al segundo eje

principal pertenecen a la circunferencia C2

Antonio Gimnez

Ci l d M h (XIV)


41/54

Circulo de Mohr (XIV) La relacin entre el ngulo real y el ngulo en el

crculo es 2

Antonio Gimnez

Ci l d M h (XV)


42/54

Circulo de Mohr (XV) Los puntos representativos del haz de

planos que contienen al tercer eje

principal pertenecen a la circunferencia C3

Antonio Gimnez

Circ lo de Mohr (XVI)


43/54

Circulo de Mohr (XVI) La relacin entre el ngulo real y el ngulo en el

crculo es 2

Antonio Gimnez

Ci l d M h (XVII)


44/54

Circulo de Mohr (XVII)

Valor de la tensintangencial mxima

Antonio Gimnez


45/54

Tensiones octadricas Tensiones correspondientes a los planos que

forman ngulos iguales con los ejesprincipales

Antonio Gimnez

3

1

3

1

3

1),,(

===

=

ur

Vector tensin de tensiones


46/54

Vector tensin de tensiones

octadricas Tensin igual

Componente intrnseca normal

[ ]

3

2

3

2

2

2

122

3

22

2

22

1

2

0

++

=++=

= uT rr

Antonio Gimnez

Componente intrnseca tangencial3

321

0

2

3

2

2

2

10

=++= nn


47/54

Matriz de tensiones octadricas Tensiones correspondientes a los planos queforman ngulos iguales con los ejes

principales

Antonio Gimnez

Descompone la matriz de tensiones referida alas direcciones principales en otras dos:

+

=

03

02

01

0

0

0

00

00

00

00

00

00

][

n

n

n

n

n

n

T

Tensin esfrica (tensional

hidrosttico)

Tensin desviadora


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Ecuaciones de equilibrio Equilibrio interno

Fuerzas de volumen y el incremento de lastensiones

Antonio Gimnez

Fuerzas de superficie y las tensiones por sus

direcciones

Ecuaciones de equilibrio (I)


49/54

Ecuaciones de equilibrio (I) Planteamiento del equilibrio elemental de aristas dx, dy,

dz respecto al sist. Ref. XYZ. Los valores de lascomponentes de la matriz no pueden ser arbitrarios, ya

que las fuerzas de volumen, el planteamiento delequilibrio esttico

Antonio Gimnez

Ecuaciones de equilibrio (II)


50/54

Ecuaciones de equilibrio (II)

Antonio Gimnez

Ecuaciones de equilibrio (III)


51/54

Ecuaciones de equilibrio (III)

Antonio Gimnez


52/54

Ecuaciones de equilibrio interno

0=

+

+

+ zyx

X xzxynx

Antonio Gimnez

0

0

=

+

+

+

=+++

zyxZ

zyxY

nzzyzx

yznyyx

Ecuaciones de equilibrio en el


53/54

q

contorno Planteamiento del equilibrio en los puntos del contorno

exterior del slido

Antonio Gimnez

La tensin en los puntos dedicha superficie exterior hade coincidir con



54/54


contorno Planteamiento del equilibrio en los puntos del contorno exterior del

slido

X ++=r

Antonio Gimnez

nzzyzx

yznyyx

Z

Y

++=

++=r

r

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