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Sistemas de Numeración. Códigos

Electrónica Digital

Electrónica Básica

José Ramón Sendra SendraDpto. de Ingeniería Electrónica y AutomáticaULPGC

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SISTEMAS DE NUMERACIÓN

Sistemas de numeración:

Intuitivamente son las diferentes formas de representación de los números.

Formalmente conjunto finito de símbolos con unas reglas de asignación de forma que cada una de las posibles combinaciones tiene uno y sólo uno significado posible.

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SISTEMAS DE NUMERACIÓNEn cada sistema de numeración se define una BASE (B) que indica la cantidad de símbolos distintos que usa.

Cualquier número N se podrá expresar como un polinomio en función de esa BASE:

NB = an·Bn + an-1·Bn-1 + ... + a1·B1 + a0·B0 + a-1·B-1 + ... + am·B-m

donde: ai = cifras o guarismos que componen al número N 0 ai B

parte entera parte fraccionaria

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Ej: 87,5410 = 8·101+ 7·100 + 5·10-1 + 4·10-2

SISTEMAS DE NUMERACIÓN

Base = 10 0 ai 10 ai= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Ej: 1011,112 = 1·23 + 0·22 + 1·21 + 1·20 + 1·2-1+ 1·2-3

Base = 2 0 ai 2 ai= 0, 1

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SISTEMAS DE NUMERACIÓN

Sistema Binario:

Utiliza sólo dos símbolos ai = 0 y 1 bit (binary digit) BIN DEC

0 01 1

10 211 3

100 4101 5110 6111 7

... ...101

BIN DEC0000 00001 10010 20011 30100 40101 50110 60111 7

... ...101

•Conversión de Binario a Decimal ...

•Conversión de Decimal a Binario ...

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Sistema Octal:

Utiliza 8 símbolos ai = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

SISTEMAS DE NUMERACIÓN

OCT BIN DEC0 0000 01 0001 12 0010 23 0011 34 0100 45 0101 56 0110 67 0111 7

10 1000 811 1001 912 1010 1013 1011 11

... ... ...

Se usa porque es muy fácil pasar de binario a octal y viceversa ya que 8 = 23

•Conversión de Octal a Binario ...

•Conversión de Binario a Octal ...

Por tanto, para pasar de octal a decimal o viceversa lo mejor es hacerlo pasando por binario

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Sistema Hexadecimal:

Utiliza 16 símbolos ai = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

SISTEMAS DE NUMERACIÓN

HEX BIN DEC0 0000 01 0001 12 0010 23 0011 34 0100 45 0101 56 0110 67 0111 78 1000 89 1001 9A 1010 10B 1011 11C 1100 12D 1101 13E 1110 14F 1111 15

101

Igual que con el sistema octal, con el sistema hexadecimal es muy fácil pasar de hexa a bin y de bin a hexa ya que

16 = 24

•Conversión de Hexa a Bin ...

•Conversión de Bin a Hexa ...

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CÓDIGOS BINARIOS

Código: representación unívoca de cantidades, e.d., a cada cantidad se le asigna una combinación de símbolos determinada.

Código Binario: aquel que usa solamente 0 y 1

Si se desea hacer un código binario para codificar N símbolos necesitaremos n bits de tal forma que:

2n-1 < N < 2n

Ej: si queremos codificar 5 símbolos necesitamos 3 bits ya que 22 < 5 < 23

Ej: si queremos codificar 10 símbolos necesitamos 4 bits ya que 23 < 10 < 24

PONDERADOS cada bit tiene un peso determinado

Tipos de Códigos

NOPONDERADOS los bits no tienen peso asociado

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CÓDIGOS BINARIOS

Códigos BCD (Binary Codified Decimal - Decimal Codificado en Binario)

Como su nombre indica se trata de codificar los números decimales con códigos binarios de tal forma que a cada combinación binaria se le asigna un número decimal.

Para codificar los 10 números decimales necesitamos 4 bits ya que

24 = 16 > 10

Binario Natural = 11100001012 10 bits

Ej: 90110

BCD = 1001 0000 0001BCD 12 bits

En BCD se desperdician bits pero es más fácil

9 0 1

10

Algunos sistemas de codificaciónPara codificar 10 elementos necesitamos 4 bits, por tanto, con 4 bits podríamos hacer muchísimos códigos (75 106). Sólo veremos los más usados:

Dec BCD(8421) Aiken(2421) Exceso-3 Gray 0 0000 0000 0011 0000 1 0001 0001 0100 0001 2 0010 0010 0101 0011 3 0011 0011 0110 0010 4 0100 0100 0111 0110 5 0101 1011 1000 0111 6 0110 1100 1001 0101 7 0111 1101 1010 0100 8 1000 1110 1011 1100 9 1001 1111 1100 1101

ponderados no ponderado

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Algunos sistemas de codificación

Códigos Gray

Hay aplicaciones que necesitan reconocer la posición de un sistema, (la cabeza de una impresora, un lector de disco o un posicionador) como ejemplo gráfico veamos un disco giratorio que mediante unos contactos eléctricos nos indica su posición.

El sombreado significa"1" y la parte diáfana "0" Aquí leemos

110.

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Algunos sistemas de codificación

Códigos Gray

Veamos cual es la lectura en un punto de cambio de valor

Valor esperado: 110101

Cualquieraes válido

Debido a las posibles imperfeccionesdel sistema puede que no todos losvalores cambien al unísono.

Otros valores posibles:100111

Posible error medida

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Algunos sistemas de codificación

El problema se solucionaría si tan sólo uno de los valores cambiara al modificarse la posición. Esta es la idea que genera los códigos Gray.

Códigos Gray

Valor esperado: 000001

Cualquieraes válido

No hay otros valores posibles:

En este puntono hay error de medida

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Algunos sistemas de codificación

Códigos Gray

Veamos como se genera el código Gray reflejado.

En caso de tener dos valores, el problema no existe ya que tendremos:01

Cuando pasamos a cuatro valores añadimos el bit más significativo de la forma común 0 los dos primeros y 1 los siguientes, en cuanto a los menos significativos procedemos a reflejarlos, para valores mayores repetimos el procedimiento.

0 0 00 0 10 1 10 1 01 1 01 1 11 0 11 0 0

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Algunos sistemas de codificación

Códigos Gray

En este caso cada cambio de posición tan sólo implica un cambiode valor, por lo tanto no hay errores de lectura.