Sistemas de Numeracin, Cdigos Binarios, y Mapas de Carnot

Existen 4 tipos de sistemas de numeracin:

Sistema decimal Sistema de nmeros binarios Sistema de numeracin octal Sistema de numeracin

hexadecimal.

Sistema decimal o base de 10:y Es un sistema de numeracin en el que las

cantidades se representan utilizando como base el nmero diez, por lo que se compone de diez cifras diferentes: (0); (1); (2); (3); (4); (5); (6); (7); (8) y (9). Este conjunto de smbolos se denomina nmeros rabes, y es de origen indio.

y El valor de cada cifra es el producto de la

misma por una potencia a 10 (la base), cuyo exponente es igual a la posicin 0, las decenas la 1 y as sucesivamente.

y Por ejemplo, 327 se puede descomponer en:

3 . 10 + 2 . 10 + 7 . 10 = 300 + 20 + 7 = 327

Un poco de historia

y El antiguo matemtico hind

Pingala present la primera descripcin de lo que se conoce como sistema de numeracin binario. y En 1854, el matemtico britnico George Boole, public un artculo que marc un antes y un despus, detallando un sistema de lgica que terminara denominndose lgebra de Boole.

Sistema de nmeros Binariosy El sistema inario, es n sistema de

n mera i n en el e los nmeros se re resentan tili ando solamente las ifras . Es el e se tili a en los ordenadores, es tra ajan internamente on dos ni eles de oltaje, or lo e s sistema de n mera i n nat ral es el sistema inario (en endido , a a ado ).

Conversin entre Binario y decimaly Decimal a binario y Se divide el nmero del sistema decimal entre

2, cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 2, y as sucesivamente. Ordenados los restos, del ltimo al primero, este ser el nmero binario que buscamos.

Otras forma de conversiny Un mtodo parecido a la factorizacin en

nmeros primos.

y . Este mtodo consiste tambin en divisiones

sucesivas. Dependiendo de si el nmero es par o impar, colocaremos un cero o un uno en la columna de la derecha.

Otras forma de conversiny Si es impar, le restaremos uno y seguiremos

dividiendo entre dos, hasta llegar a 1.

y Despus slo nos queda tomar el ltimo

resultado de la columna izquierda (que siempre ser 1) y todos los de la columna de la derecha y ordenar los dgitos de abajo a arriba.

y Ejemplo:

100|0 50|0 25|1 12|0 6|0 3|1 1|1

1, 25-1=24 y seguimos dividiendo por 2

(100)10 = (1100100)2

y Exi t

i tri

lti i .

t

i

y

i t tr lrtir.

i tri ir l t i i r lt r l

ri r i l

y Ejemplo el nmero 151

20= 1|1 21= 2|1 22= 4|1 23= 8|0 24= 16|1 25= 32|0 26= 64|0 27= 128|1

(151)10

128 + 16 + 4 + 2 + 1 =(10010111)2

y Para realizar esta conversin se hace lo

Conversin de binario a decimal

siguiente: 1. Inicie por el lado derecho del nmero en binario, cada nmero multiplquelo por 2 y elvelo a la potencia consecutiva (comenzando por la potencia 0).

2. Despus de realizar cada una de las multiplicaciones, sume todas y el nmero resultante ser el equivalente al sistema decimal. y Ejemplos: y (Los nmeros de arriba indican la potencia a la que hay que elevar 2)

y Resolver: y 110101= 1*25 + 1*24 +0*23 + 1*22 +0*21

+1*20= 32+16+0+4+0+1 = 53y 10010111=1*27+0*26+0*25+1*24+0*23+1

*22+1*21+1*20 = 32+16+0+4+2+1= 55

Operaciones con nmeros binariosy Con los nmeros binarios al igual que con

los nmeros decimales tambin se pueden hacer operaciones tales como: y Suma y Resta y Multiplicacin y Divisin

y Suma y Las posibles combinaciones al sumar

dos bits son: y0 + 0 = 0 y0 + 1 = 1 y1 + 0 = 1 y 1 + 1 = 10 al sumar 1+1 siempre nos llevamos 1 a la siguiente operacin.

y Resta y Las restas bsicas 0 - 0, 1 - 0 y 1 - 1 son

evidentes: y0 - 0 = 0 y1 - 0 = 1 y1 - 1 = 0 y 0 - 1 = 1 (se transforma en 10 - 1 = 1) (en sistema decimal equivale a 2 - 1 = 1)

y Multiplicacin de nmeros binarios y El algoritmo del producto en binario es igual

que en nmeros decimales; aunque se lleva cabo con ms sencillez, ya que el 0 multiplicado por cualquier nmero da 0, y el 1 es el elemento neutro del producto.

y Divisin de nmeros binarios y La divisin en binario es similar a la decimal,

la nica diferencia es que a la hora de hacer las restas, dentro de la divisin, estas deben ser realizadas en binario.

Sistema de numeracin octaly El i t

ri l it tili . l

ll t

oct l r rtir l ir

tili

yE y

f ili l i t t l l i ri i t t l tr ti i r fi " x r i "t i ri r .

. tr

Por ejemplo, el nmero binario para 74 (en decimal) es 1001010 (en binario), lo agruparamos como 1 001 010. De modo que el nmero decimal 74 en octal es 112.

Sistema de numeracin hexadecimaly Este sistema consta de 16 smbolos

donde desde el 0 hasta el 9 son nmeros y del 10 hasta el 15 son letras.

y 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. La forma

de contar sera:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F (del 0 al 15) 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 1A, 1B, 1C, 1D, 1E, 1F (del 15 al 31) 20, 21, 22....

y La c

versi a eci al, es anl a al as e binari a eci al, tilizando el teore a f ndamental de numeracin. Veamos un ejemplo: 7A5=7x12

+ 1 x1

1

+ 5x1

= 1957

Cdigos binarios Un Cdigo Binario es cualquier sistema de representacin de informacin mediante variables binarias

Tipo de cdigosy El cdigo BCD8421 o BCD natural. y Cdigo BCD exceso-3. y Cdigo BCD 2421. y Cdigo gray. y Cdigo alfa numrico.

BDC8421 o BDC naturaly El ms sencillo de los cdigos BCD

es el BCD8421 o BCD natural, que consiste simplemente en representar cada dgito decimal por su binario equivalente.

0 1 2 3 4

0000 0001 0010 0011 0100

5 6 7 8

0101 0110 0111 1000 1001

y Ejemplo: Expresar e 937 en BCD. y 937 = 1001 0011 0111 BCD y Ejemplo: Expresar el nmero N=

(10010110010111)BCD escrito en cdigo BCD8421, en decimal. y separando en grupos de 4bits: N=(10,0101,1001,0111)BCD = 259710

Cdigo BDC exceso-3y Este se obtiene a partir del cdigo BCD

natural, simplemente sumando 3 (0011) a cada cdigo BCD de cada dgito decimal. y Este cdigo resulta de utilidad en aplicaciones donde se requiere realizar operaciones aritmticas usando complementos

Este cdigo tambin es llamado autocomplementario

Digito decimal 0 1 2 3 4

BDC exceso-3 0011 0100 0101 0110 0111

Digito decimal 5 6 7 8

BDC exceso-3 1000 1001 1010 1011 1100

Cdigo BDC 2421y Este es otro cdigo BCD auto

complementario, y su nombre (2421) indica la ponderacin de sus bits para obtener su equivalente en decimal y viceversa.

Di it ci 01 1 2 3 4

DC 2421 l 0000 0001 00010 0011 0100

Di it ci 5 6 7 8

DC 2421 l 1011 0110 0111 1110 1111

Cdigo grayy Este es un c digo inario no ponderado y tiene la propiedad de que los c digos para dgitos decimales sucesivos difiere en un s lo it. y tam in se le llama auto reflejado, o cclico.

Digito decimal 0 1 2 3 4 5 6 7

Cdigo grey

Digito decimal 8

Cdigo grey

0000 0001 0011 0010 0110 0111 0101 0100

1100 1101

10 11 12 13 14 15

1111 1110 1010 1011 1001 1000

Cdigos alfanumricosy Muchas aplicaciones de sistemas

digitales (especialmente las computadoras o la transmisin de textos) requieren del procesamiento de datos los como nmeros, letras y smbolos especiales.

y Para manejar estos datos usando

dispositivos digitales, cada smbolo debe estar representado por un cdigo binario.

y El cdigo alfanumrico ms generalizado

en la actualidad es el denominado ASCII (American Standard Code for Information Interchange).

Mapa de Karnaughy Tambin conocido como tabla de

Karnaugh o diagrama de Veitch, abreviado como K-Mapa o KV-Mapa.

y Es un diagrama utilizado para la

simplificacin de funciones algebraicas booleanas.

y El mapa de

Karnaugh fue inventado en 1 50 por Maurice Karnaugh, un fsico y matemtico de los laboratorios Bell

y Externamente, un

mapa de arnaugh consiste de una serie de cuadrados, cada uno de los cuales representa una lnea de la tabla de verdad.

y Puesto que la tabla

de verdad de una funci n de N variables posee 2N filas, el mapa correspondiente debe poseer tambin 2N cuadrados.

y Cada cuadrado

alberga un 0 un 1, dependiendo del valor que toma la funci n en cada fila. y as tablas de Karnaugh se pueden utilizar para funciones de hasta 6 variables.