Sistema de colas (Modelo de lnea de espera)

Sistema de colas (Modelo de lnea de espera)

Juan Gerardo Carrillo GutirrezAlejandro Vargas Estrada

Proceso bsico de colas

El proceso bsico supuesto por la mayora de los modelos de colas es el siguiente. Los clientes que requieren un servicio se generan en el tiempo en una fuente de entrada. Luego, entran al sistema y se unen a una cola. En determinado momento se selecciona un miembro de la cola para proporcionarle el servicio mediante alguna regla conocida como disciplina de la cola. Se lleva a cabo el servicio que el cliente requiere mediante un mecanismo de servicio, y despus el cliente sale del sistema de colas.

MECANISMO DE SERVICIOEl mecanismo de servicio consiste en una o ms estaciones de servicio, cada una de ellas con uno o ms canales de servicio paralelos, llamados servidores. En una estacin dada, el cliente entra en uno de estos canales y el servidor le presta el servicio completo. Los modelos de colas deben especificar el arreglo de las estaciones y el nmero de servidores (canales paralelos) en cada una de ellas. Los modelos ms elementales suponen una estacin, ya sea con un servidor o con un nmero finito de servidores.

EL PROCESO DE COLAS ELEMENTALLa teora de colas se aplica a muchos tipos diferentes de situaciones. El tipo que prevalece es el siguiente: una sola lnea de espera (que a veces puede estar vaca) se forma frente a una estacin de servicio, dentro de la cual se encuentra uno o ms servidores. Cada cliente generado por una fuente de entrada recibe el servicio de uno de los servidores, quiz despus de esperar un poco en la cola (lnea de espera).

Estas frmulas son apropiadas si existen las siguientes condiciones:

1. Las llegadas siguen una distribucin de probabilidad de Poisson.2. El tiempo de servicio de cada canal sigue una distribucin de probabilidad exponencial.3. La tasa de servicios es la misma para cada canal.4. Las llegadas esperan en una sola lnea de espera y luego se dirigen al primer canal abierto para que las atiendan.

Frmulas para determinar las caractersticas de operacin constante de una lnea de espera de mltiples canales.Caractersticas de operacin

Las siguientes frmulas se utilizan para calcular las caractersticas de operacin de lneas de espera de mltiples canales, donde: = tasa de llegadas del sistema = tasa de servicios de cada canalk = nmero de canales

1.-Probabilidad de que no haya unidades en el sistema

2.- Nmero promedio de unidades en la lnea de espera

3.- Nmero promedio de unidades en el sistema

4.- Tiempo promedio que una unidad pasa en la lnea de espera

5.- Tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema.

6.- probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar a que le atiendan.

7.- probabilidad de que haya 9 unidades en el sistema.

Identificacion del problema y modelacin de la liena de esperaPara observar y analizar un sistema de colas real, se acudi al supermercado Soriana ubicado en Calzada del Tecnolgico 1100 Indeco Universidad, Tijuana, B.C. Dentro de este negocio se encuentran disponibles cinco cajas para atender a los clientes que llegan para pagar sus respectivas mercancas; sin embargo, se observ que a pesar de que existen cinco muebles caja (check-out) completamente equipados para su uso, actualmente solo se utilizan cuatro, es decir, solo existen cuatro cajeros haciendo uso de estas cajas, por lo que se plante la pregunta respecto a qu efecto tendra en el servicio si efectivamente se utilizaran las cinco cajas para atender a los clientes, en lugar de cuatro. Para recabar los datos necesarios, se cronometr el tiempo entre llegadas de los clientes, esto es, el tiempo transcurrido desde que llega un cliente a formarse a cualquiera de las cuatro cajas, hasta que llega el siguiente; esto con el objetivo de obtener una tasa media de llegadas, y para analizar los datos estadsticamente y aproximarlos a una distribucin de probabilidad. Por otro lado, tambin se cronometr el tiempo de servicio, esto es, el tiempo transcurrido entre la llegada de un cliente al frente del cajero, hasta que se le cobran todos sus artculos y se retira. Los registros se muestran a continuacin:

Cronometracion

Una vez que se termin este proceso, se procedi a modelar el sistema de colas de acuerdo a los diversos parmetros. Se asume que la fuente de entrada es ilimitada, es decir, que los clientes posibles son infinitos. Se tiene que asignar cierta distribucin de probabilidad al patrn estadstico de generacin de clientes, por lo que se hizo una prueba de bondad de ajuste por medio de Minitab a los tiempos registrados entre llegadas. Esta prueba identific que los datos se asemejan a una distribucin exponencial, por lo que se puede decir que se generan de acuerdo a un proceso Poisson. A continuacin se muestran las imgenes del anlisis en Minitab.

Prueba de bondad de ajuste

Para especificar la distribucin de probabilidad de los tiempos de servicio, se recurri nuevamente al uso de Minitab; de nuevo, los datos recopilados se ajustan exitosamente a una distribucin exponencial. A continuacin se muestran las imgenes del anlisis mediante Minitab.

Histograma de los tiempos de servicio, donde se muestra su semejanza y ajuste a una distribucin exponencial.

Caractersticas de operacin

= tasa de llegadas del sistema = 1.9880 clientes por minuto = tasa de servicios de cada canal = 0.7153 clientes por minutok = nmero de canales = 4

1. Probabilidad de que no haya unidades en el sistema: P0 = 0.051636727252. Nmero promedio de unidades en la lnea de espera. Lq = 0.95762886793. Nmero promedio de unidades en el sistema L = 3.736882328

4. Tiempo promedio que una unidad pasa en la lnea de espera Wq = 0.48170466195. Tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema: W = 1.8797194816. Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar a que la atiendan: Pw = 0.42062451087. Probabilidad de que haya n unidades en el sistema:P1= 0.1435115529P2= 0.1994274899P3= 0.1847531805

P4=0.128368979P5= 0.08919248229P6 = 0.06197212875P7 = 0.192774187

Como se puede observar, la probabilidad de que una unidad que ingresa al sistema tenga que esperar es considerable, un poco ms del 42%, en contraste, la probabilidad de que no haya unidades en el sistema es casi nula, alrededor del 5%. Otro factor muy importante, es que la probabilidad de que haya 7 o ms unidades en el sistema es bastante alta, casi un 20%; por otro lado, en promedio una unidad pasa en el sistema cerca de dos minutos, siendo el promedio de unidades en la lnea de espera bsicamente uno, es decir, frecuentemente habr por lo menos una unidad en la lnea de espera, siendo el nmero promedio de unidades en el sistema muy cercano a cuatro. Sin lugar a dudas, el factor que podra causar ms problemas de acuerdo a este anlisis, es el hecho de que la probabilidad de que haya 7 o ms unidades en el sistema es muy considerable (casi 20%), esto podra ocasionar tiempos de espera de aproximadamente 3 minutos en adelante con mucha frecuencia relativa.

Se realiz el anlisis considerando que se utilizaran las cinco cajas; los resultados se muestran a continuacin.

1. Probabilidad de que no haya unidades en el sistema: P0 = 0.0594652. Nmero promedio de unidades en la lnea de espera. Lq = 0.2315383. Nmero promedio de unidades en el sistema L = 3.0107924. Tiempo promedio que una unidad pasa en la lnea de espera Wq = 0.1164685. Tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema: W = 1.514483

6. Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar a que la atiendan: Pw = 0.1850097. Probabilidad de que haya n unidades en el sistema:P1= 0.165269044P2= 0.229662281P3= 0.21276323P4=0.147830736P5= 0.082171817P6 = 0.016434363P7 = 0.14586853

Como se puede observar el nmero promedio de unidades en la lnea de espera pas de casi uno, a menos de , adems, el tiempo promedio que una unidad pasa en la lnea de espera pas de casi 30 segundos a menos de 7 segundos; asimismo, la probabilidad de tener que esperar se redujo a menos de la mitad, de alrededor de 42% a 18%. Finalmente, otro aspecto importante es que la probabilidad de que haya 7 o ms unidades en el sistema se redujo de 19% a 14%. Este anlisis muestra que los beneficios ms importantes fueron reduccin en el nmero de unidades en la lnea de espera, tiempo promedio de espera y probabilidad de tener que esperar.

Anlisis econmico de lnea de espera

Solamente como referencia, sin contar con datos muy exactos, se realiz un anlisis econmico partiendo de los siguientes datos:El ticket promedio (consumo) en Soriana es de $160.El salario de un cajero en Soriana es de $3800 al mes, trabajando 8 horas diarias (esto se traduce en un salario de $19.7916 por hora, aproximadamente).A partir del valor del ticket promedio, el equipo determin arbitrariamente que el costo de espera por periodo de tiempo de cada unidad es la quinta parte del valor del ticket promedio, asimismo, se sume que el costo de servicio por periodo de tiempo de cada canal es igual al salario por hora de los cajeros; por lo tanto, en el caso actual donde se utilizan cuatro cajas se determinaron los siguientes valores:

cw = costo de espera por periodo de tiempo de cada unidad = $32L = nmero promedio de unidades en el sistema = 3.736882328cs = costo de servicio por periodo de tiempo de cada canal = $19.7916k = nmero de canales = 4CT = costo total por periodo de tiempo = $198.7466Esto significa que bajo los parmetros previamente definidos, se asume la actividad de este modelo de lnea de espera le cuesta a Soriana $198.7466 por hora.En cambio, si se asume que se estn utilizando las cinco cajas, el costo total por periodo de tiempo (CT) sera igual a $195.3033 por hora. Resulta evidente que el ahorro potencial de utilizar las cinco cajas es mnimo, pero a largo plazo podra representar ahorros importantes.

BibliografaAnderson, D. R., Sweeney, D.J., Williams, T.A., Camm J.D., Martin, K. (2011). Mtodos cuantitativos para los negocios (11a. Ed.). Mxico, D.F.: Cengage Learning. Hillier, F.S., Lieberman, G.J. (2010). Introduccin a la Investigacin de Operaciones (9 Ed.). Mxico, D.F.: McGRAW-HILL/INTERAMERICANA.