Sistema de Colas

La teoría de colas es el estudio matemático del comportamiento de líneas de espera. Esta se presenta, cuando los “clientes” llegan a un “lugar” demandando un servicio a un “servidor”, el cual tiene una cierta

capacidad de atención. Si el servidor no está disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma la línea de espera.

Los modelos sirven para encontrar un buen compromiso entre costes del sistema y los tiempos promedio de la línea de espera para un sistema dado. Los sistemas de colas son modelos de sistemas que proporcionan servicio. Como modelo, pueden representar cualquier sistema en donde los trabajos o clientes llegan buscando un servicio de algún tipo y salen después de que dicho servicio haya sido atendido. Podemos modelar los sistemas de este tipo tanto como colas sencillas o como un sistema de colas interconectadas formando una red de colas.

Seis son las características básicas que se deben utilizar para describir adecuadamente un sistema de colas:

1. Patrón de llegada de los clientes 2. Patrón de servicio de los servidores 3. Disciplina de cola 4. Capacidad del sistema 5. Número de canales de servicio 6. Número de etapas de servicio

Algunos autores incluyen una séptima característica que es la población de posibles clientes.

Elementos que conforman la teoría de cola

Los elementos del Sistema de Colas son los siguientes:

El Sistema de Colas incluye tanto las estaciones de servicio y los clientes en ellas, como la propia cola y los clientes en espera:

POBLACIÓN - COLA – SERVIDORES

1. Población

La población puede clasificarse (y las técnicas de Colas difieren) en función de su tamaño relativo, como finita o infinita: será infinita cuando el número de clientes potenciales es muy grande en relación a la capacidad del sistema; en caso contrario, será finita.

La importancia de la diferenciación entre población finita e infinita radica en que, en poblaciones finitas, las probabilidades de llegada de un cliente (o de ocurrencia de un suceso) varían según el estado del sistema: por ejemplo, si hay seis máquinas en un servicio de mantenimiento y una de ellas está rota (en reparación) la probabilidad de rotura de otra es diferente.

2. Proceso de llegada de los clientes

Las llegadas de clientes al sistema son en la mayoría de las ocasiones controlables: por ejemplo, hay sistemas que juegan con los precios, o con la capacidad / comodidad, o con ofertas; en casos hipotéticamente incontrolables como las llegadas de urgencias a una UVI se toman acciones previas sobre el sistema de ambulancias para comunicar el estado / la saturación de las instalaciones y desviar pacientes a otros hospitales.

Normalmente la Teoría de Colas opera sobre los tiempos entre llegadas consecutivas de clientes: modelos típicos son el teórico de llegadas a intervalos fijos iguales, o los que consideran diferentes distribuciones de probabilidad.

Asimismo, las llegas pueden ser individuales (un único cliente en cada llegada) o múltiples (varios clientes en una misma llegada).

3. Línea de espera o Cola

Como se ha dicho, la Cola viene definida en primer lugar por la forma de llegada de los clientes (con / sin distribución conocida, perfil de la distribución).

Por otra parte el Sistema se define también por la conducta del cliente potencial ante la Cola; los tipos de cliente en relación a la conducta se denominan:

Impaciente Si hay Cola abandona el SistemaPaciente / rechazo Si la Cola supera un límite definido para cada

cliente, abandona el SistemaPaciente / abandono Aguanta la Cola durante un cierto tiempoPaciente / Permanencia Aguanta hasta ser atendido

4. Capacidad de la Cola

El caso teórico más simple es el de cola de capacidad infinita; existen múltiples casos de Colas de longitud acotada (por ejemplo un restaurante drive-in, o un taller mecánico). Un enfoque matemático simplificador consiste en tratar los Sistemas con capacidad finita como si fueran de capacidad infinita cuando se evalúa la probabilidad de llenado de la capacidad de la Cola como muy baja.

5. Proceso de servicio

Se caracteriza la distribución de tiempos de duración del servicio; los modelos más utilizados emplean una distribución exponencial (luego se discutirá).

6. Reglas de servicio

Las reglas más utilizadas son:

FIFO (primero en llegar, primero en ser servido). Se percibe como la más justa en los sistemas de Colas más habituales.

LIFO: por ejemplo en productos perecederos en que se consulta la fecha de caducidad.

7. Número de estaciones de servicio

En función del número de estaciones (canales) de servicio y de las fases del proceso de servicio, tenemos los siguientes tipos de problemas de Colas:

Canales Fases Ejemplos típicosUno Una Kiosco de prensa con un empleadoUno Varias Lavado / secado de cochesVarios Una Oficina bancaria con varios cajerosVarios Varias Centro de servicios radiológicos de hospital

8. Distribución de los tiempos de servicios y llegadas en un sistema de cola

a) Tiempos de servicios.

Se supone que los tiempos de servicio son aleatorios. “sk” es el tiempo de servicio que el k-esimo cliente requiere del sistema, un tiempo de servicio arbitrario se designa por “s”. La distribucion de los tiempos de servicio es:

Ws (t) = p(s £ t).

Para un servicio aleatorio con una tasa promedio de servicio “m”:

Ws (t) = p(s £ t) = 1 - e-mt (t ³ 0).

b) Tiempos de llegadas.

Los tiempos de llegada son completamente independientes entre sí y el intervalo de tiempo entre llegadas consecutivas tiene distribución exponencial. Existen dos clases básicas de tiempo entre llegadas:

Determinístico, en el cual clientes sucesivos llegan en un mismo intervalo de tiempo, fijo y conocido. Un ejemplo clásico es el de una línea de ensamble, en donde los artículos llegan a una estación en intervalos invariables de tiempo (conocido como ciclos de tiempo).

Probabilístico, en el cual el tiempo entre llegadas sucesivas es incierto y variable. Los tiempos entre llegadas probabilísticos se describen mediante una distribución de probabilidad.

En el caso probabilístico, la determinación de la distribución real, a menudo, resulta difícil. Sin embargo, una distribución, la distribución exponencial, ha probado ser confiable en muchos de los problemas prácticos. La función de densidad, para una (letra distribución exponencial depende de un parámetro, digamos griega lambda), y está dada por:

f(t) = (1/ t ) e

En donde (lambda) es el número promedio de llegadas en una unidad de tiempo.

Con una cantidad, T, de tiempo se puede hacer uso de la función de densidad para calcular la probabilidad de que el siguiente cliente llegue dentro de las siguientes T unidades a partir de la llegada anterior, de la manera siguiente:

P(tiempo entre llegadas < t =T) = 1-e

9. Modelos de la teoría de cola

a) Modelo de Colas de un solo canal, con arribos que siguen la distribución de Poisson y Tiempos de Servicio Exponenciales: (Modelo M/M/1)

Formulas

= Número promedio de arribos por período de tiempo. = Número promedio de gente o cosas servidas por período de tiempo.n = Número de unidades en el sistema.Ls

= Número promedio de unidades (clientes) en el sistema Ls = Factor de utilización del sistema = Ws = Tiempo promedio que una unidad permanece en el sistema = (tiempo de espera = tiempo de servicio)Ws = 1

b) Modelo de cola multicanal (M/M/S)

c) Modelo de Tiempo de Servicio Constante (M/D/1)

d) Modelo de Población limitada.

NOTACIÓN:

D = Probabilidad de que una unidad tenga que esperar en la colaF = Factor de eficienciaH = Número promedio de unidades siendo servidasJ = Número promedio de unidades que no están en cola o en el sector de servicioL = Número promedio de unidades esperando el servicioM = Número de canales de servicio

N = Número de clientes potenciales

T = Tiempo de servicio promedioU = Tiempo de servicio entre requerimientos de atención a la unidadW = Tiempo promedio que una unidad espera en la colaX = Factor de servicio