FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS

COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS CÁLCULO Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

Ejercicios del tema 4 La derivada y aplicaciones

Semestre 2016-1

1.- Utilizando la definición de derivada (Método de los cuatro pasos), calcular la derivada de las

siguientes funciones:

a) 2 1f x x en el punto de abscisa 2.

b) sec 2f x x en el punto de abscisa 2

.

2.- Obtener dy

dx para cada inciso:

3 2 2

1 4 4) ( )

3a f x

x x x

2

2 3) ( )

3 3

xb g x

x

3c) ( ) 3 2 3h x x x

d) ln 2y sen x

1) tane y h x

3.- Obtener :dy

dx

2 2) 3

x ya xy

y x

)b sen y x

2 3) 6 tan 7 4c ang xy x y

3 3

) cos2

x yd xy

xy

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4.- Obtener :dy

dx

24

2

2

22

3

3

4

) 4

) ln 5 4

4 4) ln

6 1

4d) log

8 5

xa y

b y x

xc y

x

xy

x

5.- Obtener :dy

dx

23 5) xa y e

34 2

1

4

)

) cot

d) 3 sec

) tan 4

x x

xx

x

b y e e

c y e

y h e

e y h x

6.- Obtener

5

5

d y

dxsi sen h (2 )y x .

7.- Sea la curva que tiene por ecuaciones paramétricas:

4cosC : .

3

x t

y sent

En qué puntos la recta tangente a la curva C es paralela al eje X.

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8.- Sea la curva de ecuación

2 2: 9 36 4 24 36C x x y y

Determinar las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva C y las cuales son paralelas a la

recta de ecuación 0.y

9.- Sea la curva definida paramétricamente por

4sec: .

3tan

xM

y

Determinar la ecuación cartesiana de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la

gráfica de la curva M en el punto (4,0).A

10.- Sea 2

2 0.

0

sen x si xf x

x si x

Determinar si f es derivable en 0.x

11.- Sea la función

2

2

2 1 1

1 1

ax x si xf x

x bx si x

Determinar el valor de a y el valor de b para que la función sea continua y derivable en

1.x

12.- a) Un móvil se desplaza a lo largo de la curva de ecuación

2128 8 ,x t t

donde t está medido en segundos. Calcular la rapidez dx

dt en el instante que 3.t

b) La desintegración radioactiva de cierto material está dada por ( ) kt

oC t c e donde oc es

la cantidad inicial, k es una constante de desintegración. Obtener ( )C t en 0.t

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13.- En un globo esférico se escapa gas a razón de

3

2000 .min

cm Calcular la rapidez con la que

disminuye el área de la superficie cuando el radio es 10 .cm

14.- Un camión va por una carretera hacia el oeste, a 300 metros al norte está un radar. En el

radar se observa que el camión se está alejando a una razón de 80 metros por cada segundo. Cuál es la rapidez con la que se aleja el camión cuando esté se encuentra a 500 km del radar.

15.- Se va a pintar exteriormente un cubo en donde la longitud en uno de sus lados es 2 metros, con una capa de pintura de 0.0002 m de espesor. Empleando diferenciales, calcular un valor aproximado de la cantidad de litros de pintura que será necesario.

E

N

O

S

y

Camión

300

Radar

x