“AÑO DE LA INTEGRACION NACIONAL Y EL RECONOCIMIENTO DE NUESTRA DIVERCIDAD”UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN MARTIN –TARAPOTO

FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICASESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE ECONOMÍA

MATEMATICA

APELLIDOS Y NOMBRES

CODIGO FIRMA NO CUMPLIO

CUMPLIO NOTA OBSERVACION

Ávila Crespín Nanci Vilus

128403

Flores Chávez Danny Jesús

128407

Ramírez Ynca Joao Cesar

128423

Sosa Paima Mishell

128428

Zumaeta Mesías Karol Lionel

128433

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MATEMATICA

EL NUMERO “e”FUNCION LOGARITMICA

FUNCION EXPONENCIAL

FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

El logaritmo de un número y es el exponente al cual hay que elevar la base b para obtener a y. Esto es, si b > 0 y b es diferente de cero, entonces: Log b y = x si y sólo si y = bx.

La notación log b y = x se lee “el logaritmo de y en la base b es x”.

ES

La constante matemática es uno de los más importantes números reales.

Se relaciona con muchos interesantes resultados.

Por ejemplo, la derivada de la función exponencial

Es esa misma función.

El logaritmo en base se llama logaritmo natural o neperiano.

ES

Términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma

Siendo números reales,

. Así pues, se obtiene un abanico de exponenciales, todas ellas similares, que dependen de la base a que utilicen.

EN

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MATEMATICA

I.

Las inversas de las funciones exponenciales se llaman funciones logarítmicas. Como la notación f-1 se utiliza para denotar una función inversa, entonces se utiliza otra notación para este tipo de inversas. Si f(x) = bx, en lugar de usar la notación f-1 (x), se escribe log b (x) para la inversa de la función con base b. Leemos la notación log b(x) como el “logaritmo de x con base b”, y llamamos a la expresión log b(x) un logaritmo.

El logaritmo de un número y es el exponente al cual hay que elevar la base b para obtener a y. Esto es, si b > 0 y b es diferente de cero, entonces: Log b y = x si y sólo si y = bx.

La notación log b y = x se lee “el logaritmo de y en la base b es x”.

Gráfica de Logaritmo

Propiedades de la función logarítmica

1.El dominio de la función definida anteriormente es el conjunto de los números reales positivos.

2. es estrictamente creciente pues su derivada es estrictamente positiva.

3. Tiene límites infinitos en y en .

4. El valor 5. La tangente que pasa por el punto de abscisa e de la curva, pasa

también por el origen.6. La tangente que pasa por el punto de abscisa 1 de la curva, tiene

como ecuación: .

7. La derivada de primer orden es .

8. La derivada de segundo orden es , siempre negativa, por lo tanto la función es cóncava, hacia abajo, como la forma que tiene

la letra "r" ( ), es decir que todas las tangentes pasan por encima de la curva. Es lo que se constata con y .

9. La función logaritmo natural es la inversa de la función exponencial:

.

Propiedades generales

Los logaritmos, independientemente de la base elegida, cumplen una serie de propiedades comunes que los caracterizan. Así, logaritmo de su base es siempre 1; logb b = 1 ya que b1 = b. El logaritmo de 1 es cero (independientemente de la base); logb 1=0 ya que b0 = 1.

Si el número real a se encuentra dentro del intervalo 0 <  a < 1 entonces logb a da un valor negativo o se dice que es un logaritmo negativo. Es evidente, ya que si logaritmo de 1 es cero, entonces valores reales menores que uno serán negativos por ser la función logarítmica estrictamente creciente y cuyo recorrido es (-∞, +∞). También se puede demostrar usando la identidad logarítmica logb(x/y)=logb x - logb y; puesto que a pertenece al intervalo 0 <  a < 1, su inverso a-1 será mayor que uno, con lo que logb(a)=logb (1/a-1) = logb 1 – logb (a-1)= -logb (a-1).

Los números negativos no tienen logaritmo en el cuerpo de los reales R, ya que cualesquiera que sea el exponente n, se tendrá siempre que bn

será mayor que cero, bn > 0; en consecuencia, no hay ningún valor real de n que pueda satisfacer bn = x cuando x sea menor que 0. Sin embargo, este obstáculo se puede salvar, ampliando el dominio de definición al cuerpo de los números complejos C, pudiendo calcular logaritmos de números negativos usando el logaritmo complejo o recurriendo a la fórmula de Euler.

Las potencias consecutivas de una base forman una progresión geométrica y la de los exponentes una progresión aritmética. Por ejemplo, las potencias de 2 son 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64...etc. y sus exponentes serán 0, 1, 2, 3, 4... etc. ya que 20 = 1, 21 = 2, 22 = 4, 23 = 8, y 24 = 16 etc. luego log2 1 = 0, log2

2 = 1, log2 4 = 2, log2 8 = 3 y log2 16 = 4 etc.

Identidades logarítmicas

Los logaritmos mantienen ciertas identidades aritméticas muy útiles a la hora de realizar cálculos:

1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

2. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

3. El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia.

4. El logaritmo de una raíz es igual al producto entre la inversa del índice y el logaritmo del radicando.

En realidad la tercera y cuarta identidad son equivalentes, sin más que hacer:

Elección y cambio de base

Entre los logaritmos más utilizados se encuentra el logaritmo natural, cuya base es e, base 10 (logaritmo común), base 2 (logaritmo binario), o en base indefinida (logaritmo indefinido). La elección de un determinado número como base de los logaritmos no es crucial, ya que todos son proporcionales entre sí. Es útil la siguiente fórmula que define al logaritmo de x en base b (suponiendo que b, x, y k son números reales positivos y que tanto "b" como "k" son diferentes de 1:

En la que "k" es cualquier base válida. Si hacemos

k=x, obtendremos: .

El logaritmo más ampliamente utilizado es el natural, ya que tiene multitud de aplicaciones en física, matemáticas, ingeniería y en ciencias en general. También es bastante utilizado el logaritmo decimal, que se indica

como , en ciencias que hacen uso de las matemáticas, como la química en la medida de la acidez (denominada pH) y en física en magnitudes como la medida de la luminosidad (candela), de intensidad de sonido (dB), de la energía de un terremoto (escala sismológica de Richter), etc. En informática se usa el logaritmo en base 2 la mayoría de veces.

II.

La constante matemática es uno de los más importantes números reales. Se relaciona con muchos interesantes resultados. Por ejemplo, la derivada

de la función exponencial es esa misma función. El logaritmo en base se llama logaritmo natural o neperiano.

El número , conocido a veces como número de Euler o constante de Napier, fue reconocido y utilizado por primera vez por el matemático escocés John Napier, quien introdujo el concepto de logaritmo en el cálculo matemático.

Está considerado el número por excelencia del cálculo, así como lo es de la geometría e del análisis complejo. El simple hecho de que la función coincida con su derivada hace que la función exponencial se encuentre frecuentemente en el resultado de ecuaciones diferenciales sencillas. Como consecuencia de esto, describe el comportamiento de acontecimientos físicos regidos por leyes sencillas, como pueden ser la velocidad de vaciado de un depósito de agua, el giro de una veleta frente a una ráfaga de viento, el movimiento del sistema de amortiguación de un automóvil o el cimbreo de un edificio metálico en caso de terremoto. De la misma manera, aparece en muchos otros campos de la ciencia y la técnica, describiendo fenómenos eléctricos y electrónicos (descarga de un condensador, amplificación de corrientes en transistores BJT, etc.), biológicos (crecimiento de células, etc.), químicos (concentración de iones, periodos de semi desintegración, etc.), y muchos más.

El número , al igual que el número y el número áureo (φ), es un irracional, no expresable por la razón de dos enteros; o bien, no puede ser expresado con un número finito de cifras decimales o con decimales periódicos. Además, es un número trascendente, es decir, que no puede ser obtenido mediante la resolución de una ecuación algebraica con coeficientes racionales.

Su valor aproximado (truncado) es:

≈ 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995...

e= es el único número a, tal que la derivada de la función exponencial f(x) = ax (curva azul) en el punto x = 0 es igual a 1. En comparación, las funciones 2x (curva a puntos) y 4x (curva a trazos) son mostradas; no son tangentes a la línea de pendiente 1 (rojo).

Propiedades

La función exponencial f(x) = ex es su propia derivada y su valor es 1 para x=0, y por lo tanto su propia primitiva también:

y .Además, e es el límite de la sucesión de

término general: .

Primero, la propiedad se puede generalizar a una variable real, pasando del límite de una sucesión al de una función:

Como el término de la derecha tiene un exponente que varía, lo más práctico

es tomar su logaritmo y hacer el cambio de variable :

Como el logaritmo se aproxima a 1 cuando tiende a cero por la derecha, la expresión original tiende hacia e.

III.

La función exponencial, es conocida formalmente como la función real ex, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828...; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=ex o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.

En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma

Siendo números reales, . Así pues, se obtiene un abanico de exponenciales, todas ellas similares, que dependen de la base a que utilicen.

Gráfica de Funciones exponenciales

Propiedades

La función exponencial (y exponencial en base distinta a e) satisfacen las siguientes propiedades generales.

Son las únicas funciones que son igual a su derivada (multiplicada por una constante, en el caso de que tengan una base distinta a e)

su límite en - ∞ es 0, y en + ∞ es + ∞

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MATEMATICA

Ejercicio 1:

La grafica de cierta función exponencial contiene al punto P (3/2, 27). ¿Cual es la base y la regla de correspondencia de la función?

Solución:

Sea la función exponencial: f ( x )=bx

Si P (3/2, 27)∈ f⟶(3¿¿3) 2/3=b↔b=9¿

∴ f={ ( x , y )/ y=9x }

Ejercicio 2:

Graficar la función y = log (x− 1) 2, haga un reporte de la gráfica.

Solución:

Para calcular la intercepción con el eje x se plantea la ecuación 0 = log(x −1) + 2, a fin de solucionar esta ecuación dejamos el logaritmo en un solo lado de la ecuación log(x −1) = −2Esta última la pasamos a su forma exponencial 10−2 = x −1, de aquí

x = 1+10−2

Ejercicio 3:

Calcular el dominio de la siguiente función: y= log (x2− x− 2)

Solución:

Para calcular el dominio de y= log (x2− x− 2) sólo debemos plantear y

resolver la desigualdad cuadrática x2− x− 2 > 0 Para ello factorizamos y hacemos un estudio de signo de los (x-2) (x+1) > 0.

Recuerde que los pares de paréntesis arriba de la recta real lleva el signo de los factores en el intervalo definido por las raíces, y el paréntesis de abajo lleva el signo del producto de signos en el intervalo respectivo. De la figura vemos entonces que la solución de la desigualdad planteada es:

Dom f= (-∞,-1) U (2, ∞)

Ejercicio 4:

Calcular el dominio de la siguiente función: y=√x log(x−1)

Solución:

Para calcular el dominio de esta función debemos plantear la parte común del dominio de √ x y del dominio de log(x −1) .Esto es la intersección de los dos dominios. El dominio de y= √ x esta dado por [0, ∞). Para el dominio de log(x −1) debemos plantear la desigualdad x −1 > 0, cuya solución es x > 1.

Así el dominio de f es el intervalo (1, ∞) por ser la parte común entre los dominios de los dos factores.

Ejercicio 5:

Expresar log ( x √x) en términos de log(x)

Solución:

Tal como está expresado log (x √x) lo podemos interpretar como el logaritmo de un producto.

Pero alternativamente podemos rescribir (x √x) = x32

Log (x √x) = log (x32 ¿=3

2log x

Ejercicio 6:

Dada la función f definida por:

log 2(x−1) , si 3 ≤ x≤ 9

f (x) 14(x−1)2

, si 1 ≤ x<¿ 3

−1+√ x (2−x ) , si 0 ≤ x<¿ 1

a) Hallar, si f*(x).b) Graficar f(x) y f*(x) en el mismo sistema de coordenadas.

Solución:

Sea: f 1 ( x )=log2 ( x−1 ) , x∈ [3,9 ]

f 2 ( x )=14

(x−1)2 , x∈ ¿

f 3 ( x )=−1+√x (2−x) , x∈¿

Siendo estas funciones univalentes y crecientes en su intervalo de definición (verificar), entonces:

Ran ( f 1 )=[ f 1 (3 ) , f 1 (9 ) ]= [1,3 ]=Dom f 1¿

Ran ( f 2 )=[ f 2 (1 ) , f 2 (3 ) ]=¿ Ran ( f 3 )=¿

ComoRan ( f 1 )∩Ran ( f 2 )∪Ran ( f 1 )∩Ran ( f 3 )∪Ran ( f 2 )∩Ran ( f 3 )=Ø⟶∃ f ¿(x )

Determinación de las funciones inversas (intercambio de variable).

En f 1: x=log2 ( y−1 )↔ y−1=2x ⟶f 1¿ ( x )=1+2x, x∈[1,3]

En f 2: x=14

( y−1)2↔ y−1=2√ x ⟶f 2¿ ( x )=1+2√ x, x∈ ¿

En f 3:−1+√1−( y−1)2↔( y−1)2=1−(x+1)2 ⟶f 3

¿ ( x )=1−√1−(x+1)2, x∈ ¿

1+2x ,x∈[1,3]

∴ f ¿( x) 1+2√ x ,x∈ ¿ 1-√1−(x+1)2 ,x∈ ¿

Ejercicio 7:

Hallar el dominio de la función inversa de y= 2x

1+2x

Solución:

Intercambiando variables:x= 2 y

1+2y⟶2y= x

1−x

De donde, tomamos logaritmo de base 2, se tiene: y=log2(¿x

1−x)¿

La función es real ↔ x

1−x > 0 ↔ x

1−x < 0 ⟶ Dom (f ¿)=¿0,1>¿

Y

X

9

90-1

-1

1 3

3

1

y = x

f 1

f 3

f 2

f 1¿

f 2¿

f 3¿

Ejercicio 8:

Hallar el logaritmo de 16 en base √2

Solución:

Si log √2 16=x 16=(√2 )x

24=(2)x2

4= x2↔x=8

Luego: log √2 16=8

Ejercicio 9:

Hallar el números cuyo logaritmo en base 1/16 es -0.75.

Solución:

Sea x el numero buscado, y 0.75 = 75/100 = ¾ log1 /16 ( x )=−3 /4

x=(1/16)−3/4=(16)34 = (24) 3/4

X= 8

Ejercicio 10:

Si log x 9/4= -2/3, hallar x

Solución:

log x 9/4= -2/3

x = 94

−23

x = 49

23

x = 8/27

Ejercicio 11:

Hallar la base de la función exponencial: P (4,16)

Solución:

f ( x )=bx

16=b4

24=b4

b=2

Ejercicio 12:

Resolver: 2 loga(x−b)−a loga(x−c )+34

loga81−x

Solución:

2 loga ( x−b )−a loga ( x−c )+ 34

loga81−x

log a(x−b)2−loga(x−c )

a+loga(3¿¿4) 3/4−logaax¿

log a(x−b)2

(x−c)a+log

27ax

log a27(x−b)2

(x−c )2ax

Ejercicio 13:

Resolver: x=2 log137

+ log133

5−log

14390

+ log77

171

Solución:

x=2 log137

+ log133

5− log

14390

+ log77

171

x=

log

16949

∗133

6514390

∗77

171

↔ log169∗133∗77∗9049∗65∗171∗143= 2

x=log2

Ejercicio 14:

Resolver: 3 log2a+23

log2125−43

log2 27−a

Solución:

3 log2a+23

log2125−43

log2 27−a

log 2a3+ log2(5¿¿3)

23−log2(3¿¿3)

43 ¿¿

log 2a3+(log2

52

34 )−a log 2

25a3

81−a

log 225a3

81−log2 2a

log25a3

81

Ejercicio 15:

Resolver:log x=12

log16−12

log 8+1

Solución:

log x=12

log16−12

log 8+1

log x=¿ log(4¿¿2)12−log(2¿¿3)

13 +1¿¿¿

log x=log42∗10

x=20

Ejercicio16:

Hallar la base de la función exponencial: P (4,81)

Solución:

f ( x )=bx

81=b4

34=b4

b=3

Ejercicio 17:

Hallar la base de la función exponencial: P (2,64)

Solución:

f ( x )=bx

64=b2

82=b2

b=8

Ejercicio 18:

Graficarla fusión exponencial:

Solución:

Tabulación:

x -3 -2 -1 0 1 2 3f(x) 1/27 1/9 1/3 1 3 9 27

Ejercicio 19:

Graficar la fusión exponencial:

Solución:

Tabular:

Ejercicio 20:

Graficar la función logarítmica:

Solución:

Tabular:

x 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8f(x) -3 -2 -1 0 1 2 3

Ejercicio 21:

x -3 -2 -1 0 1 2 3f(x) 125/8 25/4 5/2 1 2/5 4/25 8/125

Graficar la función logarítmica:

Solución:

Tabular:

x 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8f(x) 3 2 1 0 -1 -2 -3

Ejercicio 22:

Resolver:

Solución:

Ejercicio 23:

Resolver:

Solución:

Ejercicio 24:

Resolver:

Solución:

Ejercicio 25:

Hallar la base de la función exponencial P (2,32)

Solución:

f ( x )=bx

32=b2

52=b2

b=5

Ejercicio 26:

Resolver:

Solución:

Ejercicio 27:

Resolver:

Solución:

Ejercicio 28:

Resolver:

Solución:

Ejercicio 29:

Resolver:

Solución:

Ejercicio 30:

Hallar la base de la función exponencial P (2,49)

Solución:

f ( x )=bx

49=b2

72=b2 b=7“AÑO DE LA INTEGRACION NACIONAL Y EL RECONOCIMIENTO DE NUESTRA DIVERCIDAD”

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ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE ECONOMÍAMATEMATICA

1. ¿Quién fue Leonhard Euler?2. ¿Quién fue John Napier?3. ¿Quién fue kepler?4. Historia de función logarítmica.5. Historia de función exponencial.6. Que es el logaritmo neperiano.7. Que es el logaritmo decimal.8. Que es el logaritmo complejo.9. Que es el logaritmo natural

10. ¿Quién logro demostar que “e” es trascendente?

1. f es una función dada por: f (x) = log 2 (x + 2).

a) Determine el dominio de f y el rango de f.b) Encuentra la asíntota vertical de la gráfica de f.c) Encuentra la X y la intercepta y de la gráfica de f si los hay.d) Dibuje la gráfica de f.

2. f es una función dada por: f ( x )=2 log(|x|).

a) Determine el dominio de f y el rango de f. b) Encuentra la asíntota vertical de la gráfica de f. c) Encuentra la X y la intercepta y de la gráfica de f si los hay. d) Dibuje la gráfica de f.

3. f es una función dada por: f ( x )=−3 log (x−4).

a) Determine el dominio de f y el rango de f. b) Encuentra la asíntota vertical de la gráfica de f. c) Encuentra la X y la intercepta y de la gráfica de f si los hay. d) Dibuje la gráfica de f.

4. Resolver: log (2x - 3) + log (5 - x) = log 5.5. Resolver: log (5 - x) - log (4 - x) = log 2.

6. Resolver: log (x2 + 3x + 2) - log (x2 - 1) = log 2.

7. Resolver: log (x2 + 2x - 39) - log (3x - 1) = 1.

8. Resolver: log (7x - 9)2 + log (3x - 4)2 = 2.

9. Resolver: log (x - 2)2 + log (x + 1)2 = 2.

10.Resolver: 2 log x - log (5x) = log 2.

1. Resolver: 32x + 5= 37

2. Resolver: 5x + 3= 25

3. Graficar :

4. Hallar la base: P(3,216)

5. Hallar las base: P(8,256)

6. Resolver: 21 + x= 42 - x

7. Resolver: 2x2- 1= 8

8. Resolver: 5x2- 5x + 6= 1

9. Resolver: 3x. (32)x= 93

10.Resolver:

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MATEMATICA

1. Leonhard Paul Euler /oile'h/ (Basilea, Suiza, 15 de abril de 1707 - San Petersburgo, Rusia, 18 de septiembre de 1783), conocido como Leonhard Euler, fue un matemático y físico suizo. Se trata del principal matemático del siglo XVIII y uno de los más grandes y prolíficos de todos los tiempos.

Vivió en Rusia y Alemania la mayor parte de su vida y realizó importantes descubrimientos en áreas tan diversas

como el cálculo o la teoría de grafos. También introdujo gran parte de la moderna terminología y notación matemática, particularmente para el área del análisis matemático, como por ejemplo la noción de función matemática. Asimismo se le conoce por sus trabajos en los campos de la mecánica, óptica y astronomía.

Euler ha sido uno de los matemáticos más prolíficos, y se calcula que sus obras completas reunidas podrían ocupar entre 60 y 80 volúmenes. Una afirmación atribuida a Pierre Simon Laplace expresa la influencia de Euler en los matemáticos posteriores: «Lean a Euler, lean a Euler, él es el maestro de todos nosotros.»

En conmemoración suya, Euler ha aparecido en la serie sexta de los billetes de 10 francos suizos, así como en numerosos sellos postales tanto suizos como alemanes y rusos. El asteroide (2002) Euler recibió ese nombre en su honor.

2. Nació en el año 1550 en el castillo de Merchiston (Edimburgo). A los trece años, en 1563 comenzó sus estudios en la Universidad de Saint-Andrews, de la que salió años más tarde para viajar por el continente europeo.

De regreso a Merchiston en 1571 contrajo matrimonio al año siguiente, administrando a partir de entonces los bienes de la familia por encargo de su padre, al tiempo que continuaba sus estudios de matemáticas y teología.

A pesar de haber pasado a la posteridad por sus contribuciones en el campo de las matemáticas, para Napier era ésta una actividad de distracción siendo su preocupación fundamental la exégesis del Apocalipsis, a la que se consagró desde su estancia en el colegio. Fruto de esta labor fue su publicación Descubrimientos de todos los secretos del Apocalipsis de San Juan, por dos tratados: uno que busca y prueba la verdadera interpretación, y otro que aplica al texto esta interpretación parafrásticamente e históricamente. La originalidad de su estudio es la aplicación del formalismo matemático en la argumentación, de modo que admitiendo ciertos postulados, llega a demostrar sus proposiciones. Entre ellas, Napier predijo el fin del mundo para los años 1668 a 1700.

En 1614 Napier publica su obra Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, ejusque usus in utroque Trigonometría; ut etiam in omni logística mathematica, amplissimi, facillimi, et expeditissimi explicatio, en la que da a conocer los logaritmos que él llamó números artificiales. En dicha obra promete una explicación que la muerte le impidió publicar, pero que fue añadida por su hijo Roberto en la segunda edición publicada en 1619.

Merced a estos números las multiplicaciones pueden sustituirse por sumas, las divisiones por restas, las potencias por productos y las raíces por divisiones, lo que no sólo simplificó enormemente la realización manual de los cálculos matemáticos, sino que permitió realizar otros que sin su invención no hubieran sido posibles.

En 1617 apareció su obra Rabdologiæ seu numerationis per virgulas libri duo: cum appendice expeditissimo multiplicationis promptuario, quibus accesit et arithmeticæ localis liber unus, en la que describe el ábaco neperiano.

Murio en el año 1617. Fue un gran profesional de la matemática, contribuyendo así a la lista de profesores matemáticos

3. Kepler nació en el seno de una familia de religión protestante luterana, instalada en la ciudad de Weil der Stadt en Baden-Wurtemberg, Alemania. Su abuelo había sido el alcalde de la ciudad, pero cuando nació Kepler, la familia se encontraba en decadencia. Su padre, Heinrich Kepler, era mercenario en el ejército del Duque de Württemberg y, siempre en campaña, raramente estaba presente en su domicilio. Su madre, Katherina Gulden mann, que llevaba una casa de huéspedes, era una curandera y herborista, la cual más tarde fue acusada de brujería. Kepler, nacido prematuramente a los siete meses de embarazo, e hipocondríaco de naturaleza endeble, sufrió toda su vida una salud frágil. A la edad de tres años, contrae la viruela, lo que, entre otras secuelas, debilitará su vista severamente. A pesar de su salud, fue un niño brillante que gustaba impresionar a los viajeros en el hospedaje de su madre con sus fenomenales facultades matemáticas.

Heinrich Kepler tuvo además otros tres hijos: Margarette, de la que Kepler se sentía muy próximo, Christopher, que le fue siempre antipático, y Heinrich. De 1574 a 1576, vivió con Heinrich –un epiléptico– en casa de sus abuelos mientras que su padre estaba en una campaña y su madre se había ido en su búsqueda.

Al regresar sus padres, Kepler se trasladó a Leonberg y entra en la escuela latina en 1577. Sus padres le hicieron despertar el interés por la astronomía. Con cinco años, observó el cometa de 1577, comentando que su madre lo llevó a un lugar alto para verlo. Su padre le mostró a la edad de nueve años el eclipse de luna del 31 de enero de 1580, recordando que la Luna aparecía bastante roja. Kepler estudió más tarde el fenómeno y lo explicó en una de sus obras de óptica. Su padre partió de nuevo para la guerra en 1589, desapareciendo para siempre.

Kepler terminó su primer ciclo de tres años en 1583, retardado debido a su empleo como jornalero agrícola, entre nueve y once años. En 1584, entró en el Seminario protestante de Adelberg y dos años más tarde, al Seminario superior de Maulbronn.

Kepler estuvo casado dos veces. El primer matrimonio, de conveniencia, el 27 de abril de 1597 con Barbara Müller. En el año 1600, fue obligado a abandonar Austria cuando el archiduque Fernando promulgó un edicto contra los protestantes. En octubre de ese mismo año se trasladó a Praga, donde fue invitado por Tycho Brahe, quien había leído algunos trabajos de Kepler. Al año siguiente, Tycho Brahe falleció y Kepler lo sustituyó en el cargo de matemático imperial de Rodolfo II y trabajó frecuentemente como consejero astrológico.

En 1612 falleció su esposa Barbara Müller, al igual que dos de los cinco niños –de edades de apenas uno y dos meses– que habían tenido juntos. Este matrimonio, organizado por sus allegados, lo unió a una mujer "grasa y simple de espíritu", con carácter execrable. Otro de sus hijos murió a la edad de siete años. Sólo su hija Susanne y su hijo Ludwig sobrevivieron. Al año siguiente, en Linz, se casó con Susanne Reuttinger con la que tuvo siete niños, de los que tres fallecerán muy temprano.

En 1615, su madre, entonces a la edad de 68 años, fue acusada de brujería. Kepler, persuadido de su inocencia, fue a pasar seis años asegurando su defensa ante los tribunales y escribiendo numerosos alegatos. Debió, dos veces, regresar a Wurtemberg. Ella pasó un año encerrada en la torre de Güglingen a expensas de Kepler habiendo escapado por poco de la tortura. Finalmente, fue liberada el 28 de septiembre de 1621. Debilitada por los duros años de proceso y de encarcelamiento, murió seis meses más tarde. En 1628 Kepler pasó al servicio de A. von Wallenstein, en Silesia, quien le prometió, en vano, resarcirle de la deuda contraída con él por la Corona a lo largo de los años. Un mes antes de morir, víctima de la fiebre, Kepler abandonó Silesia en busca de un nuevo empleo.

Kepler murió en 1630 en Ratisbona, en Baviera, Alemania, a la edad de 59 años.

En 1632, durante la Guerra de los Treinta Años, el ejército sueco destruyó su tumba y se perdieron sus trabajos hasta el año 1773. Recuperados por Catalina II de Rusia, se encuentran actualmente en el Observatorio de Pulkovo en San Petersburgo, Rusia.

4. John Napier (Neper), fue el primero que definió y desarrolló los logaritmos.

El método de cálculo mediante logaritmos fue propuesto por primera vez, públicamente, por John Napier (latinizado Neperus) en 1614, en su libro titulado Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Joost Bürgi, un matemático y relojero suizo al servicio del duque de Hesse-Kassel, concibió por primera vez los logaritmos; sin embargo, publicó su descubrimiento cuatro años después que Napier. La inicial resistencia a la utilización de logaritmos fue cambiada por Kepler, por el entusiasta apoyo de su publicación y la impecable y clara explicación de cómo funcionaban.

Este método contribuyó al avance de la ciencia, y especialmente de la astronomía, facilitando la resolución de cálculos muy complejos. Los logaritmos fueron utilizados habitualmente en geodesia, navegación marítima y otras ramas de la matemática aplicada, antes de la llegada de las calculadoras y computadoras. Además de la utilidad en el cálculo, los logaritmos también ocuparon un importante lugar en las matemáticas más avanzadas; el logaritmo natural presenta una solución para el problema de la cuadratura de un sector hiperbólico ideado por Gregoire de Saint-Vincent en 1647.

Napier no usó una base tal como ahora se entiende pero, sus logaritmos, como factor de escala, funcionaban de manera eficaz con base 1/e. Para los propósitos de interpolación y facilidad de cálculo, eran útiles para hallar la relación r en una serie geométrica tendente a 1. Napier escogió r = 1 - 10−7 = 0,999999 (Bürgi eligió r = 1 + 10−4 = 1,0001). Los logaritmos originales de Napier no tenían log 1 = 0, sino log 107 = 0. Así, si N es un número y L es el logaritmo, Napier calcula: N = 107(1 − 10−7)L. Donde (1 − 10−7)107 es aproximadamente 1/e, haciendo L/107

equivalente a log1/e N/107. Véase logaritmo neperiano.

Inicialmente, Napier llamó «números artificiales» a los logaritmos y «números naturales» a los antilogaritmos. Más tarde, Napier usa la palabra logaritmo en el sentido de un número que indica una proporción: λόγος (logos) el sentido de proporción, y ἀριθμός (arithmos) significado número, y se define, literalmente, como «un número que indica una relación o proporción». Se refiere a la proposición que fue hecha por Napier en su «teorema fundamental», que establece que la diferencia de dos logaritmos determina la relación de los números a los cuales corresponden, de

manera que una progresión aritmética de logaritmos corresponde a una progresión geométrica de números. El término antilogaritmo fue introducido a finales de siglo XVII y, aunque nunca se utilizó ampliamente en matemáticas, perduró en muchas tablas, hasta que cayó en desuso.

5. Leonhard Euler popularizó el uso de la letra e para representar la constante; además fue el descubridor de numerosas propiedades referentes a ella.

Las primeras referencias a la constante fueron publicadas en 1618 en la tabla en un apéndice de un trabajo sobre logaritmos de John Napier. No obstante, esta tabla no contenía el valor de la constante, sino que era simplemente una lista de logaritmos naturales calculados a partir de ésta. Se cree que la tabla fue escrita por William Oughtred.

El "nacimiento" de la constante está acreditado a Jacob Bernoulli, quien estudió un problema particular del llamado interés compuesto. Si se invierte una Unidad Monetaria (que abreviaremos en lo sucesivo como UM) con un interés del 100% anual y se pagan los intereses una vez al año, se obtendrán 2 UM. Si se pagan los intereses 2 veces al año, dividiendo el interés entre 2, la cantidad obtenida es 1 UM multiplicado por 1,5 dos veces, es decir 1 UM x 1,50 = 2,25 UM. Si dividimos el año en 4 períodos (trimestres), al igual que la tasa de interés, se obtienen 1 UM x 1,25 = 2,4414... En

caso de pagos mensuales el monto asciende a 1 UM x = 2,61303...UM. Por tanto, cada vez que se aumenta la cantidad de períodos de pago en un factor de n (que tiende a crecer sin límite) y se reduce la tasa de interés en el período, en un

factor de , el total de unidades monetarias obtenidas está expresado por la siguiente ecuación:

Bernoulli comprobó que esta expresión se aproxima al valor de 2,7182818...UM. De aquí proviene la definición que se da de e en finanzas, que expresa que este número es el límite de una inversión de 1 UM con una tasa de interés al 100% anual compuesto en forma continua. En forma más general, una inversión que se inicia con

un capital C y una tasa de interés anual R, proporcionará UM con interés compuesto.

El primer uso conocido de la constante, representado por la letra b, fue en una carta de Gottfried Leibniz a Christiaan Huygens en 1690 y 1691. Leonhard Euler comenzó a utilizar la letra e para identificar la constante en 1727, y el primer uso de e en una publicación fue en Mechanica, de Euler, publicado en 1736. Mientras que en los años subsiguientes algunos investigadores usaron la letra c, e fue la más común, y finalmente se convirtió en la terminología usual.

En 1872, Charles Hermite (1822-1905) logró demostrar que e es trascendente, a dicho logro llegó usando un polinomio, conseguido con ayuda de fracciones continuas, empleadas ,anteriormente, por Lambert. David Hilbert — también Karl Weierstrass y otros — propusieron, posteriomente, variantes y modificaciones de las primeras demostraciones.

6. El término logaritmo neperiano suele referirse informalmente al logaritmo natural, aunque esencialmente son conceptos distintos. Para más detalles véase logaritmo natural.

En matemáticas, el logaritmo neperiano, es comúnmente usado para referirse al logaritmo natural, a pesar de que difiere de éste último. Fue definido por primera vez por John Napier, y es la función dada (en términos de logaritmos modernos) como:

Puesto que es un cociente de logaritmos, la base del logaritmo escogido es irrelevante. No es, pues, un logaritmo en ninguna base particular en el sentido moderno del término.

Puede ser reescrito como:

y por lo tanto es una función lineal de un logaritmo en particular, por lo que satisface identidades muy similares a las modernas.

El logaritmo neperiano está relacionado con el logaritmo natural mediante la relación

y con el logaritmo decimal como

7. En matemáticas, se denomina logaritmo decimal o logaritmo común al logaritmo cuya base es 10, por lo tanto, es el exponente al cual hay que elevar 10 para obtener dicho número. Se suele denotar como log10(x), o a veces como log(x), aunque esta última notación causa ambigüedades, ya que los matemáticos usan ese término para referirse al logaritmo complejo. El logaritmo decimal fue desarrollado por Henry Briggs.

8. En análisis complejo, una función logaritmo complejo es una "función inversa" de la función exponencial compleja, de la misma manera que el logaritmo natural ln x es la función inversa de la función exponencial ex. Entonces, un logaritmo de z es un número complejo w tal que ew = z.1 La notación para tal w es log z. Pero debido a que todo número complejo z distinto de cero tiene infinitos logaritmos distintos,1 hay que tener cuidado para darle a esta notación un significado no ambiguo.

Si z = reiθ con r > 0 (forma polar), entonces w = ln r + iθ es un logaritmo de z; sumándole múltiplos enteros de 2πi se obtienen todos los demás.1

9. El logaritmo natural suele ser conocido normalmente como logaritmo neperiano, aunque esencialmente son conceptos distintos. Para más detalles, véase logaritmo neperiano.

En matemáticas se denomina logaritmo natural o informalmente logaritmo neperiano al logaritmo cuya base es el número e, un número irracional cuyo valor aproximado es 2,7182807066232140698591273860753 El logaritmo natural se le suele denominar como ln(x) o a veces como loge(x) , porque para ese número se cumple la propiedad de que el logaritmo vale 1.

El logaritmo natural de un número x es entonces el exponente a al que debe ser elevado el número e para obtener x. Por ejemplo, el logaritmo de 7,38905... es 2, ya que e2=7,38905... El logaritmo de e es 1, ya que e1=e.

Desde el punto de vista del análisis matemático, puede definirse para cualquier número real positivo x>0 como el área bajo la curva y=1/t entre 1 y x. La sencillez de esta definición es la que justifica la denominación de "natural" para el logaritmo con esta base concreta.2 Esta definición puede extenderse a los números complejos.

El logaritmo natural es entonces una función real con dominio de definición los números reales positivos:

y corresponde a la función inversa de la función exponencial:

10. En 1872, Charles Hermite (1822-1905) logró demostrar que e es trascendente, a dicho logro llegó usando un polinomio, conseguido con ayuda de fracciones continuas, empleadas, anteriormente, por Lambert. David Hilbert — también Karl Weierstrass y otros — propusieron, posteriomente, variantes y modificaciones de las primeras demostraciones.3

1.

a) El dominio de f es el conjunto de todos los valores de x tal que 

x + 2 > 0

x > -2

El rango de f es el intervalo (-inf, + inf).

b) La asíntota vertical se obtiene mediante la solución de  x + 2 = 0 lo que da 

x = -2.

Cuando x tiende a -2 de la derecha (x> -2), f (x) decrece sin límite. ¿Cómo sabemos esto?

Veamos algunos valores:

f (-1) = log 2 (-1 + 2) = log 2 (1) = 0

f (-1,5) = log 2 (-1,5 + 2) = log 2 (1 / 2) = -1

f (-1,99) = log 2 (-1,99 + 2) = log 2 (0.01), que es aproximadamente igual a -6,64

f (-1.999999) = log 2 (-1,999999 + 2) = log 2 (0.000001), que es aproximadamente igual a -19,93.

c) Para encontrar la intersección x tenemos que resolver la ecuación f (x) = 0

log2 (x + 2) = 0

Usar las propiedades de las funciones logarítmicas y exponenciales para escribir la ecuación anterior como: x + 2 = 20

x = -1

La intersección x es (-1, 0).

La intersección está dada por (0, f (0)) = (0, log 2 (0 + 2)) = (0, 1).

d) Hasta ahora tenemos el dominio, rango, x e intercepta y, y la asíntota vertical. Necesitamos más puntos. Vamos a considerar un punto en x = -3 / 2 (a medio camino entre la X y la intersección de la asíntota vertical) y otro punto en x = 2.

f (-3 / 2) = log 2 (-3 / 2 + 2) = log 2 (1 / 2) = log 2 (2 -1) = -1.

f (2) = log 2 (2 + 2) = log 2 (22) = 2.

Ahora tenemos más información sobre la forma de gráfico de f. El gráfico aumenta a medida que aumenta x. Cerca de la asíntota vertical x = -2, la gráfica de f disminuye sin límite cuando x tiende a -2 de la derecha. La gráfica no corta la asíntota vertical. Nos unen ahora a los diferentes puntos de una curva suave.

2.

a) El dominio de f es el conjunto de todos los valores de x tal que |x| > 0

El dominio es el conjunto de todos los números reales excepto 0.

El rango de f es el intervalo (-inf, + inf).

b) La asíntota vertical se obtiene mediante la solución de |x| = 0 lo que da

x = 0

Cuando x tiende a 0 por la derecha (x> 0), f (x) decrece sin límite. ¿Cómo sabemos esto?

Veamos algunos valores:

f (1) = 2 log (| 1 |) = 0

f (0,1) = 2log (0,1), que es aproximadamente igual a -4,61.

f (0,0001) = 2log (0,0001), que es aproximadamente igual a -18,42.

f (0.0000001) = 2log (0,0000001), que es aproximadamente igual a -32,24.

Cuando x se aproxima a 0 por la izquierda (x < 0), f (x) decrece sin límite. ¿Cómo sabemos esto?

Veamos algunos valores:

f (-1) = 2 log (| -1 |) = 0

f (-0,1) = 2log (| -0,1 |), que es aproximadamente igual a -4,61.

f (-0,0001) = 2log (| -0,0001 |), que es aproximadamente igual a -18,42.

f (-0.0000001) = 2log (| -0,0000001 |), que es aproximadamente igual a -32,24.

c) Para encontrar la intersección x tenemos que resolver la ecuación f (x) = 0

2log (| X |) = 0

Divide ambos lados por 2 para obtener: log (| X |) = 0

Usar las propiedades de las funciones logarítmicas y exponenciales para escribir la ecuación anterior como: e log (| X |) = e 0

Luego de simplificar  | X | = 1

Dos x intercepta en (1, 0) y (-1, 0).

La intersección está dada por (0, f (0)). f (0) no está definido ya que x = 0 no es un valor en el dominio de f. No hay ninguna intersección.

d - Hasta ahora tenemos el dominio, rango, x interceptar y la asíntota vertical. Mediante el examen de la función f es fácil demostrar que esta es una función par y su gráfica es simétrica con respecto al eje y.

f (-x) = 2 log (|-x |) pero |-x | = | x | y por lo tanto; f (-x) = 2 log (| x |) = f (x), esto demuestra que f es una función par.

Vamos a encontrar puntos extra.

f (4) = 2log (| 4 |) aproximadamente igual a 2,77.

f (0,5) = 2log (| 0.5 |) aproximadamente igual a - 1,39.

Como f es aún f (-4) = f (4) y f (-0,5) = f (0,5).

Veamos ahora esbozar todos los puntos, la asíntota vertical y Una los puntos por una curva suave.

3.

a) El dominio de f es el conjunto de todos los valores de x tal que 

x - 4 > 0

x > 4

El rango de f es el intervalo (-inf, + inf).

b) La asíntota vertical se obtiene mediante la solución de

 x - 4 = 0

x = 4

Cuando x tiende a 4 de la derecha (x > 4), f (x) crece sin límite. ¿Cómo sabemos esto?

Veamos algunos valores:

f (5) = log (5-4) =-3log (1) = 0

f (4,001) =-3log (0,001), que es aproximadamente igual a 20,72.

f (4.000001) =-3log (0,000001), que es aproximadamente igual a 41,45.

c) Para encontrar la intersección x tenemos que resolver la ecuación f (x) = 0

-3log(x - 4) = 0

Divide ambos lados por -3 a obtener log (x - 4) = 0

Usar las propiedades de las funciones logarítmicas y exponenciales para escribir la ecuación anterior como

e log (x - 4) = e 0

Luego de simplificar: x - 4 = 1

x = 5

La x es interceptar en (5, 0).

La intersección está dada por (0, f (0)). f (0) no está definido ya que x = 0 no es un valor en el dominio de f. No hay ninguna intersección.

d) Hasta ahora tenemos el dominio, rango, x interceptar y la asíntota vertical. Necesitamos puntos extra para poder gráfico de f.

f (4,5) =-3ln (4,5 - 4) aproximadamente igual a 2,08

F (8) =-3ln (8 - 4) aproximadamente igual a - 4,16

f (14) =-3ln (14 - 4) aproximadamente igual a - 6,91

Veamos ahora esbozar todos los puntos y la asíntota vertical. Únete a los puntos por una curva suave y F aumenta a medida que x se aproxima a 4 de la derecha.

4. log ((2x - 3). ( 5 - x ) ) = log 5

(2x - 3). ( 5 - x ) = 5;

10x - 2x2- 15 + 3x = 5;

2x2 - 13x + 20 = 0;

x = 4; x = 5/2

5. Log ((5 - x) / (4 - x)) = log 2

5 - x = 8 - 2x

x = 3

6. ( x2 + 3x + 2) / ( x2- 1 ) ) = 2

x2 + 3x + 2 = 2 x2- 2;

x2 - 3x - 4 = 0;

x = 4

7. ( x2 + 2x - 39) / ( 3x - 1 ) ) = 10

x2 + 2x - 39 = 30x - 10;

x2 - 28x - 29 = 0;

x = 29

8. ((7x - 9)2. (3x - 4)2)) = 102

(7x - 9). (3x - 4) = 10; 21x2 - 28x - 27x + 36 = 10(7x - 9). (3x - 4) = - 10; 21x2 - 28x - 27x + 36 = - 10

21x2 - 55x + 26 = 021x2 - 55x + 46 = 0; imaginaria

x = 2; x = 13/219. ((x - 2)2. (x + 1)2)) = 102

(x - 2). (x + 1) = 10; x2 - 2x + x - 2 = 10;(x - 2). (x + 1) = - 10; x2 - 2x + x - 2 = - 10;

x2 - x - 12 = 0x2 - x + 8 = 0; imaginaria

x = 4; x = - 3

10. x2 / 5x = 2

x2 =10x

x = 10

1. 2x + 5 = 7

2x = 2

x = 1

2. 5x + 3= 52

x + 3 = 2

x = - 1

3.

Tabular:

X -3 -2 -1 0 1 2 3F(x) 8/27 4/9 2/3 1 3/2 9/4 27/8

4. f ( x )=bx

216=b3

63=b3

b=6

5. f ( x )=bx

256=b8

28=b8

b=2

6. 21 + x= 22(2 - x)

1 + x =4 - 2x

x + 2x = 4 - 1

3x = 3

x = 1

7. 21 + x= 22(2 - x)

1 + x =4 - 2x

x + 2x = 4 - 1

3x = 3

x = 1

8. 5x2- 5x + 6= 50

x2- 5x + 6 = 0

x = 2; x = 3

9. 3x. (32)x= 36

x + 2x = 6

x = 2;

10. / 2 = 3 / (x - 2)

= 6 / (x - 2)

x - 1 = 36 / (x - 2)2

(x - 1). (x - 2)2= 4. 32

x - 1 = 4

x - 2 = 3

x = 5

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MATEMATICA

Los logaritmos se inventaron alrededor de 1590 por John Napier (1550-1617) y Jobst Bürgi (1552-1632) de manera independiente. Napier, cuyo trabajo tuvo  mayor influencia, era un lord escocés, de carácter muy reservado cuyos vecinos pensaban que tenía un pacto con el diablo. Su enfoque de los logaritmos era muy diferente al nuestro; se basaba en la relación entre

secuencias aritméticas y geométricas y no en la actual como función inversa (recíproca) de las funciones exponenciales. La tabla de Napier, publicada en 1614, contenía los llamados logaritmos naturales y eran algo difíciles de usar. Un profesor londinense, Henry  Briggs, se interesó en las tablas y visitó a Napier. En sus conversaciones, ambos desarrollaron la idea de los logaritmos comunes y Briggs convirtió las tablas de Napier en las tablas de logaritmos comunes que fueron publicadas en 1617. Su importancia para el cálculo fue inmediatamente reconocida y alrededor de 1650 se imprimían en lugares tan lejanos como China. Dichas tablas siguieron siendo una poderosa herramienta de cálculo hasta el advenimiento de las calculadoras manuales de bajo precio alrededor de 1972, lo que ha disminuido su importancia como instrumento de cálculo, pero no su importancia teórica. Un efecto colateral de la invención de los logaritmos fue la popularización de la notación del sistema decimal  para los números reales.

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Dos palabras, que deberían de estar en nuestra comunicación diaria.Por favor, una de tantas palabras del diccionario que mejora nuestra comunicación con nuestro prójimo, a quien usa la palabra por favor las cosas se le facilitan y las personas le atienden con amor, porque a diferencia de otros ellos no ordenan, tratan con respeto como deberíamos de tratarnos a diario en

nuestros hogares, en nuestro trabajo, en nuestra sociedad. Si todos usáramos esta frase de dos palabras pero de impacto trascendental en nuestra vida diaria, la vida valga la redundancia sería más llevadera y más habitable.Gracias, comencemos por agradecer a Dios todos los días en las mañanas y en las noches, seamos gratos por que a diferencia de otros tenemos vida y un pan en nuestra mesa diaria. Las gracias es una palabra que enaltece a la persona que va dirigida, ella se siente que le tratan con respeto y que el siguiente servicio lo harían con mucho mayor voluntad, las gracias tanto como otras palabras del diccionario deben ser utilizadas en nuestra vida diaria.

En resumen tanto la palabra Por favor y Gracias deben formar parte de nuestra comunicación diaria formándose un hábito y no una mera obligación por quedar bien ante los otros. Hay muchas palabras más en el diccionario pero si tan sólo comenzáramos a usar estas dos, serían el inicio y el reto de enriquecer su vocabulario con palabras que mejorarían notablemente su comunicación diaria con su prójimo.

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MATEMATICA

Neper Euler Kepler

Logaritmo Exponente Función

Henry  Jobst Por favor

Gracias Numero “e” Exponencial

N A G R F P O R F A V O R N V

D E X P O N E N C I A L Z J M

A X P K P P A F M J N H J L J

N P Z E Ñ Ñ S G I O U G P K O

N O U U R L D H Z A M D F G B

Y N Y L Y U F J H O E C V C S

J E K E P L E R I C R H N V T

E N F R T O Z K Y E O E A I N

S T R L Y G C L K S E N N L A

U E S O U A X Ñ A A W R C U R

S R H T P R B P R R E Y I Z U

V F U N C I O N O G R E V Y T

I E Q Q A T N I L A T R U J O

L T W W S M M U <3 Y U T L O O

U Y E E D O U T G R A C I A S

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