Segundo Examen, Verano 2012. · 2017-09-01 · Segundo Examen, Verano 2012. Problema 1. Demuestre...
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Segundo Examen, Verano 2012. Problema 1. Demuestre que la siguiente transformaci´on T : M 2×2 → P 3 (x) dada por T a 11 a 12 a 21 a 22 =(a 11 + a 22 )+ a 12 x +(a 12 + a 21 ) x 2 + a 22 x 3 es lineal. (1 puntos) Problema 2. Determine el espacio nulo y el rango, como subespacio de P 3 (x), de la transformaci´on T : M 2×2 → P 3 (x) del problema 1. (2 puntos) Problema 3. Determine si la transformaci´on lineal del problema 1, T : M 2×2 → P 3 (x) es biyectiva y en caso afirmativo determine la transformaci´on lineal inversa. (2 puntos) Primer Punto Adicional. Compruebe que T -1 · T = I M 2×2 . Segundo Punto Adicional. Compruebe que T · T -1 = I P 3 (x) . Problema 4. Considere las bases B P 3 (x) = 1, 1+ x, 1+ x 2 , 1+ x 3 y B M 2×2 = 1 0 0 0 , 0 1 0 0 , 0 0 1 0 , 0 0 0 1 , encuentre la matriz representativa, M, de la transformaci´on lineal T : M 2×2 → P 3 (x) del problema 1. (2 puntos) Problema 5. Encuentre el rango de la matriz representativa M del problema 4. (1 puntos) Problema 6. Encuentre la imagen bajo T : M 2×2 → P 3 (x) de la matriz N = 2 -1 3 2 verifique el resultado encontrando el vector coordenado de la matriz N, respecto a la base B M 2×2 del problema 4, y la matriz representativa obtenida en el mismo problema 4. (2 puntos) 1
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Segundo Examen, Verano 2012.
Problema 1. Demuestre que la siguiente transformacion T : M2×2→ P3(x) dada por
T
([
a11 a12
a21 a22
])
= (a11 + a22) + a12 x + (a12 + a21)x2 + a22 x3
es lineal. (1 puntos)
Problema 2. Determine el espacio nulo y el rango, como subespacio de P3(x), de la transformacionT : M2×2
→ P3(x) del problema 1. (2 puntos)
Problema 3. Determine si la transformacion lineal del problema 1, T : M2×2→ P3(x) es biyectiva
y en caso afirmativo determine la transformacion lineal inversa. (2 puntos)
Primer Punto Adicional. Compruebe que T−1· T = IM2×2 .
Segundo Punto Adicional. Compruebe que T · T−1 = IP3(x).
Problema 4. Considere las bases BP3(x) ={
1, 1 + x, 1 + x2, 1 + x3}
y
BM2×2 =
{[
1 00 0
]
,
[
0 10 0
]
,
[
0 01 0
]
,
[
0 00 1
]}
,
encuentre la matriz representativa, M, de la transformacion lineal T : M2×2→ P3(x) del problema 1.
(2 puntos)
Problema 5. Encuentre el rango de la matriz representativa M del problema 4. (1 puntos)
Problema 6. Encuentre la imagen bajo T : M2×2→ P3(x) de la matriz
N =
[
2 −13 2
]
verifique el resultado encontrando el vector coordenado de la matriz N, respecto a la base BM2×2 delproblema 4, y la matriz representativa obtenida en el mismo problema 4. (2 puntos)
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