Segundo Examen, Verano 2012.

Problema 1. Demuestre que la siguiente transformacion T : M2×2→ P3(x) dada por

T

([

a11 a12

a21 a22

])

= (a11 + a22) + a12 x + (a12 + a21)x2 + a22 x3

es lineal. (1 puntos)

Problema 2. Determine el espacio nulo y el rango, como subespacio de P3(x), de la transformacionT : M2×2

→ P3(x) del problema 1. (2 puntos)

Problema 3. Determine si la transformacion lineal del problema 1, T : M2×2→ P3(x) es biyectiva

y en caso afirmativo determine la transformacion lineal inversa. (2 puntos)

Primer Punto Adicional. Compruebe que T−1· T = IM2×2 .

Segundo Punto Adicional. Compruebe que T · T−1 = IP3(x).

Problema 4. Considere las bases BP3(x) ={

1, 1 + x, 1 + x2, 1 + x3}

y

BM2×2 =

{[

1 00 0

]

,

[

0 10 0

]

,

[

0 01 0

]

,

[

0 00 1

]}

,

encuentre la matriz representativa, M, de la transformacion lineal T : M2×2→ P3(x) del problema 1.

(2 puntos)

Problema 5. Encuentre el rango de la matriz representativa M del problema 4. (1 puntos)

Problema 6. Encuentre la imagen bajo T : M2×2→ P3(x) de la matriz

N =

[

2 −13 2

]

verifique el resultado encontrando el vector coordenado de la matriz N, respecto a la base BM2×2 delproblema 4, y la matriz representativa obtenida en el mismo problema 4. (2 puntos)

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