Rohm and Hass es el principal productor de materiales especiales, entre los que se encuentran materiales electrónicos,

polímeros para pinturas y artículos para el cuidado personal.En el área de productos químicos, para un cliente

determinado, la empresa produce un catalizador caro que elcliente emplea en sus procesos químicos.

Caso de estudio: LA EMPRESA ROHM AND HASS

Algunos, pero no todos los lotes que produce la empresa satisfacen las especificaciones del producto. El contrato estipula

que el cliente debe probar cada lote después de recibirlo y determinar si el catalizador podrá realizar la función esperada. Los lotes que no pasen la prueba del cliente serán regresados. Con el tiempo, la experiencia ha mostrado que el cliente acepta 60% de

los lotes y regresa 40%. Ni el cliente ni la empresa estaban satisfechos con este servicio.

Caso de estudio: LA EMPRESA ROHM AND HASS

La empresa examinó la posibilidad de, antes de enviarel lote, replicar la prueba que hacía el cliente. La empresa

creyó que la prueba podría indicar si el catalizadorpasaría la compleja prueba que practicaba el cliente.

Caso de estudio: LA EMPRESA ROHM AND HASS

La pregunta es: ¿cuál es la probabilidad que el

catalizador pase la prueba del cliente dado que pasó la prueba de la empresa antes de enviar

el lote?

PROBABILIDADES

LOGRO DE APRENDIZAJE

Al finalizar la sesión, el estudiante será

capaz de calcular probabilidades

haciendo uso de las reglas y axiomas

de probabilidad.

Probabilidad y juegos de azar

La probabilidad matemática

tiene sus orígenes en los

juegos de azar (dados

/cartas).

Problemas

Contabilizar el Nº de

posibles resultados de

lanzar varias veces un dado.

Probabilidad

Definición

Es una medida numérica de

la posibilidad de que ocurra

un evento.

Es un número real que

expresa la confianza o

incertidumbre en la

ocurrencia de un suceso o

evento, cuyo resultado no se

puede predecir con certeza.

Probabilidad

Los eventos futuros no pueden predecirse con

absoluta seguridad, solo se puede llegar a

aproximaciones de la ocurrencia o no del evento.

La técnica probabilística encuentra un valor entre 0

y 1, que es la probabilidad la que nos indicará:

si es cercano a uno, es casi seguro que

ocurrirá tal evento,

caso contrario se aproximará a cero, esto

indica que es muy posible que dicho evento no

ocurra.

Probabilidad

Los eventos futuros no pueden predecirse con

absoluta seguridad, solo se puede llegar a

aproximaciones de la ocurrencia o no del evento.

La técnica probabilística encuentra un valor entre

0 y 1, que es la probabilidad la que nos indicará:

si es cercano a uno, es casi seguro que

ocurrirá tal evento,

caso contrario se aproximará a cero, esto

indica que es muy posible que dicho evento

no ocurra.

Experimento Aleatorio

Es todo experimento u operación cuyo resultado

no puede predecirse con certeza .

1: Lanzar una moneda 2 veces y registrar los

resultados.

2: Lanzar un dado y registrar el resultado.

3: el tiempo de vida de un componente eléctrico.

4: Lanzar un dado hasta obtener un 6 y registrar

el número de lanzamientos requeridos.

5: Una caja contiene 3 bolas blancas y 5 rojas.

Extraer una bola y observar el color.

Espacio Muestral

Es el conjunto de todos los resultados posibles de un

experimento aleatorio. Los espacios muéstrales

pueden ser finitos o infinitos. Los espacios

muéstrales infinitos pueden ser clasificados a su

vez en numerables y no numerables.

Ejemplos:

1 ={(c, c), (c, s) (s, c), (s, s)}

2 ={1, 2, 3, 4, 5, 6}

3 ={t R / t > 0}

4 ={1, 2, 3, 4, . . . }

Punto muestral

Es el conjunto de todos los resultados posibles de un

experimento aleatorio. Los espacios muéstrales

pueden ser finitos o infinitos. Los espacios

muéstrales infinitos pueden ser clasificados a su

vez en numerables y no numerables.

Ejemplos:

1 ={(c, c), (c, s) (s, c), (s, s)}

2 ={1, 2, 3, 4, 5, 6}

3 ={t R / t > 0}

4 ={1, 2, 3, 4, . . . }

14

Un ingeniero eléctrico tiene en su mano dos cajas

de resistores, cada una con cuatro de éstos. Los

resistores de la primera caja están etiquetados con

10 Ω(ohms), pero, de hecho, sus

resistencias son de 9,10,11 y 12 Ω . Los resistores

de la segunda caja tienen la etiqueta de 20 Ω

,pero sus resistencias son de 18,19,20 y 21Ω

El ingeniero elige un resistor de cada caja y

determina la resistencia de cada uno. Sea A el

evento para el cual el primer resistor tiene una

resistencia mayor a 10, sea B el evento en el que

el segundo resistor tiene una resistencia menor a

19 y sea C el evento en el cual la suma de las

resistencias es igual a 28. Determine un espacio

muestral para este experimento y especifique los

subconjuntos que corresponden a los eventos A, B

y C

Ejemplo

Evento o Suceso

Es un subconjunto del espacio muestral. Se

les representa con letras mayúsculas.

Tipos de eventos:

Evento simple o elemental. Contiene sólo un

elemento del espacio muestral.

Ejemplo:

En el experimento 2, lanzar un dado y

registrar el resultado,A = {2} es un evento simple.

Tipos de Evento

Evento compuesto. Contiene 2 ó más

elementos del espacio muestral.

Ejemplo: A = {2, 5}

Evento seguro o universal. Es el espacio

muestral.

Ejemplo: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Evento imposible o vacío. No contiene ningún

elemento del espacio muestral.

Ejemplo: A = { }

Tipos de Evento

Eventos mutuamente excluyentes.

Dos eventos A y B definidos sobre un espacio

muestral son mutuamente excluyentes si no

tienen elementos comunes; es decir, si no

pueden ocurrir simultáneamente. (A B = ).

Ejemplo:

En el experimento 1, lanzar una moneda dos

veces, los eventos A: obtener una cara y B:

obtener dos caras son mutuamente excluyentes.

Tipos de Evento

Eventos Colectivamente Exhaustivos.

Dos eventos A y B definidos sobre un espacio

muestral son colectivamente exhaustivos si

son mutuamente excluyentes y su unión es el

espacio muestral. (A U B = ).

Ejemplo:

En el experimento 1, lanzar un dado y registrar el

resultado, los eventos A = {1, 2} y B = {3, 4, 5, 6}

son complementarios.

Probabilidad

Definición clásica o a priori

Si un experimento aleatorio

tiene n() puntos

muestrales mutuamente

excluyentes es

igualmente posibles, y si

n(A) de estos puntos

muestrales presentan una

característica tal como A,

entonces la probabilidad de

ocurrencia del evento A es:

mu estral esp acio d el p u n to s d e to talNº

A d e mu estrales p u n to s d e Nº

)(

)()(

n

AnAP

Ejemplos

Para cubrir 6 puestos de trabajo se han

presentado 7 hombres y 4 mujeres. Si la selección

es al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que una

sola mujer sea elegida en el grupo de 6?

Una bolsa tiene 8 bolas blancas y 5 negras. Se

extraen al azar 4 bolas.

Si la selección es con reemplazo ¿Cuál es la

probabilidad de que 3 bolas blancas y 1

negra sean extraídas?

¿Si la selección es sin reemplazo?

Probabilidad

Definición de probabilidad a partir de

frecuencias relativas o a posteriori

Si un experimento aleatorio se repite n veces bajo las

mismas condiciones y nA resultados están a favor de

un evento A, la frecuencia relativa del evento A es:

y la probabilidad del evento A es:

En este caso, la frecuencia relativa del evento A

proporciona una estimación de la probabilidad real del

evento A.

Los axiomas de Kolmogorov (1903-1987)

Dado un conjunto de sucesos elementales, Ω, sobre el que se ha

definido un ∆ de subconjuntos de Ω y una función P que asigna

valores reales a los miembros de ∆, a los que denominamos

"sucesos", se dice que P es una probabilidad sobre (Ω,∆) si se

cumplen los siguientes tres axiomas.

Primer axioma

La probabilidad de un suceso es un número real mayor o igual que 0.

P (A) ≥ 0

Segundo axioma

La probabilidad del total, , es igual a 1.

P (Ω) = 1

Tercer axioma

Si dos sucesos A y B, son mutuamente excluyentes o independientes,

entonces:

P (A o B) = P (A) + P (B)

Ejemplos

En un proceso que fabrica latas de aluminio, la probabilidad

de que una lata tenga alguna fisura en su costado es de

0.02,la de que otra la tenga en la tapa es de 0.03 y de que

una más presente una fisura en el costado y en la tapa es

de 0.01. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir una lata

en forma aleatoria tenga una fisura? ¿Cuál es la

probabilidad de que no la tenga?

Un ingeniero que vigila el control de calidad toma una

muestra de 100 unidades fabricadas por determinado

proceso y encuentra que 15 de ellas son defectuosas.

Verdadero o falso.

A) La probabilidad de que una unidad fabricada por este

proceso esté defectuosa es 0.15.

B) La probabilidad de que una unidad fabricada por este

proceso esté defectuosa se aproxima a 0.15,pero no es

exactamente igual a 0.15.

Teoremas de Probabilidad

1 Regla de Adición

La Regla de Adición nos da la forma

de calcular la probabilidad de que

ocurra el evento A ó B ó ambos.

a) Si los eventos son No excluyentes

P ( A U B )= P (A) + P( B ) – P ( A ∩ B)

b) Si los eventos son Mutuamente Excluyentes

A BA B

P ( A U B ) = P (A) + P( B )

25

2. Regla de Multiplicación

La Regla de Multiplicación nos da la forma de calcular la probabilidad

de la intersección de dos eventos.

A BA B

P ( A ∩ B )= P (A) P ( B / A )

P ( A ∩ B )= P (B) P ( A / B ) P ( A ∩ B ) = P (A) P ( B )

a) Si los eventos son Dependienteso relacionados

b) Si los eventos son Independientes

Teoremas de Probabilidad

26

3. Probabilidad Condicional

La probabilidad de que ocurra un evento dado que otro evento ya

ha ocurrido se llama Probabilidad Condicional

A BA B

P ( B / A ) = P ( A ∩ B ) / P (A)

P ( A / B ) = P ( A ∩ B ) / P (B) P ( A / B ) = P (A)

P ( B / A ) = P (B)

a) Si los eventos son Dependienteso relacionados

b) Si los eventos son Independientes

Teoremas de Probabilidad

Ejemplos

Un vehículo tiene dos motores: uno principal y otro auxiliar. El

componente del motor falla sólo si fallan ambos motores. La

probabilidad de que el motor principal falle es de 0.05 y la de que el

motor auxiliar falle es de 0.10. Suponga que los motores principal y

auxiliar funcionan de manera independiente. ¿Cuál es la probabilidad

de que el componente del motor falle?Solución

La probabilidad de que el componente del motor falle es la

probabilidad de que ambos motores fallen. Por tanto,

P (componente del motor falla)= P(motor principal falla y motor

auxiliar falla)Puesto que los motores son independientes, se puede

usar la ecuación P ( A / B ) = P (A)

P (motor principal falla y motor auxiliar

falla)=P(motor principal falla)*P(motor

auxiliar falla) = (0.10)(0.05)=0.005

• Probabilidad total.

1 1 2 2( ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) ... ( ) ( / )n nP B P A P B A P A P B A P A P B A

Partición del espacio muestral

Probabilidad Total y Teorema de Bayes

1 11

1 1 2 2

( ) ( / )( / )

( ) ( / ) ( ) ( / ) ... ( ) ( / )n n

P A P B AP A B

P A P B A P A P B A P A P B A

• Teorema de Bayes

Probabilidad Total y Teorema de Bayes.

Ejemplo

• En un instituto el 60% de estudiantes son chicas. Asimismosabemos que el 70% de los chicos viven en la localidad donde estáubicado el instituto, siendo este porcentaje del 85% en las chicas.Se elige un estudiante al azar.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que viva en la localidad?.¿Cuál es laprobabilidad de que no viva en la localidad?.

b) Se elige un estudiante al azar y resulta que ha nacido en lalocalidad. ¿Cuál es la probabilidad de que sea chico?

• Resolución a:

P(A)= 60% = 60 / 100 = 0,6 Sea chica.

P(O)= 1 – P(A) = 1- 0,6 = 0,4 Sea chico.

P(L/A)=85%=85/100=0,85 Sea chica y viva en la localidad.

P(L/O)=70%=70/100=0,7 Sea chico y viva en la localidad

P(NL/A)=15%=15/100=0,15 Sea chica y no viva en la localidadP(NL/O)=30%=30/100= 0,3 Sea chico y no viva en la localidad

P(L) = P(A).P(L/A) + P(O).P(L/O) = 0,6.0,85 + 0,4.0,7 = 0,51+0,28=0,79

P(NL)=P(A).P(NL/A)+P(O).P(NL/O)=0,6.0,15+0,4.0,3 = 0,09+0,12=0,21

• Empleando el diagrama del árbol

• P(L/A)=0,85 0,6.0,85 = 0,51 Chica y viva en L

•

• P(A)=0,6

• P(NL/A)=0,15 0,6.0,15 = 0,09 Chica y no viva en L

•

• P(L/O)=0,7 0,4.0,7 = 0,28 Chico y viva en L

•

• P(O)=0,4

• P(NL/O)=0,3 0,4.0,3 = 0,12 Chico y no viva en L

• P(L) = 0,51 + 0,28 = 0,79

• P(NL) = 0,09 + 0,12 = 0,21

• Observar que la suma de todas las probabilidades resultantes es 1.

• Resolución b:

• Empleando el diagrama del árbol

P(L/A)=0,85 0,6.0,85 = 0,51 Chica y viva en L

P(A)=0,6

P(NL/A)=0,15 0,6.0,15 = 0,09 Chica y no viva en L

P(L/O)=0,7 0,4.0,7 = 0,28 Chico y viva en L

P(O)=0,4

P(NL/O)=0,3 0,4.0,3 = 0,12 Chico y no viva en L

P(O/L) = 0,28 /(0,51+0,28) = 0,28/0,79 = 0,3544

De igual manera podemos calcular la probabilidad de que sea chica:

P(A/L) = 0,51 /(0,51+0,28) = 0,51/0,79 = 0,6456

Observar que la suma de todas las probabilidades resultantes es 1.

Retroalimentación con nota (1 punto adicional en el

trabajo de la presente semana)

1. ¿Qué axiomas deben cumplir la teoría de probabilidades?,

¿cuáles son?

2. ¿Cuándo decimos que dos eventos son independientes?

3. ¿Cuándo decimos que un evento es seguro, de un

ejemplo?

4. ¿ Cuándo decimos que un evento es improbable, de un

ejemplo?

5. Crea una situación donde se puede aplicar el teorema de

Bayes .

BIBLIOGRAFIA BASICA:

1519.2

SCHESCHEAFFER Mc. CLAVE

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PARA

INGENIERÍA2005

2519.5

LEVI/P

LEVINE-KREHBIEL-

BERENSONESTADÍSTICA PARA ADMINISTRACIÓN. 2006

3519.2

HINE

WILLIAM W. HINES

DOUGLAS C. MONTGOMERY

DAVID M. GOLDSMAN

CONNIE M. BORROR

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PARA

INGENÍERIA2011

Estimado estudiante, puedes revisar los siguientes textos que se encuentran en

tu biblioteca:

"La creatividad es muy importante en la vida: te da diversidad. Si eres

creativo, pruebas diferentes maneras de hacer cosas y cometes muchos

errores también. Pero si tienes valentía de continuar a pesar de tus

errores, obtendrás la respuesta"

Bill Fitzpatrick