Eusko Jaurlaritzako Hezkuntza, Unibertsitate etaIkerketa Sailak onetsia (2010-06-16)

Euskararen arduraduna:Rosetta Testu ZerbitzuakAzala eta liburuaren diseinua:IturriMaketazioa:IparAzaleko irudia eta ilustrazioak:Ivan Landa© Arantza Egurcegui© EREIN. Donostia 2011ISBN: 978-84-9746- 031-6L.G.: SS-387/11EREIN Argitaletxea. Tolosa Etorbidea 10720018 DonostiaT 943 218 300 F 943 218 311e-mail: erein@erein.comwww.erein.comInprimatzailea: GertuZubillaga industrialdea 920560 OñatiT 943 78 33 09 F 943 78 31 33e-mail: gertu@gertu.net

Obra honen edozein erreprodukzio modu, banaketa, komunikazio publiko edoaldaketa egiteko, nahitaezkoa da jabeen baimena, legeak aurrez ikusitakosalbuespenezko kasuetan salbu. Obra honen zatiren bat fotokopiatu edoeskaneatu nahi baduzu,jo Cedrora (Centro Español de Derechos Reprográficos,www.cedro.org).

MatematikaIrakaslearen gidaliburua - Emaitzak

DBH 1

erein

Arantza EgurceguiAintzane Olaetaren lankidetzarekin

DBH-rako matematika proiektua ................................................................................................................ 7

DBH-ko 1. ikasturteko programazioa ........................................................................................................ 13

Unitate bakoitzaren programazioa ............................................................................................................ 31

Emaitzak0. unitatea. Lehen eta Bigarren Hezkuntzen arteko lotura ........................................................ 47

1. blokea: aritmetika1. unitatea. Zenbaki arruntak ............................................................................................................ 51

2. unitatea. Zenbaki arruntak eta berreketak eta erroak .......................................................... 64

3. unitatea. Zatigarritasuna ................................................................................................................ 72

4. unitatea. Zenbaki osoak ................................................................................................................ 85

5. unitatea. Zenbaki arrazionalak .................................................................................................... 101

6. unitatea. Zenbaki hamartarrak. Ehunekoak ............................................................................ 123

2. blokea: aljebra1. unitatea. Aljebraren esanahia eta hizkuntza aljebraikoa........................................................ 136

2. unitatea. Ekuazioak / Identitateak .............................................................................................. 142

3. blokea: funtzioak1. unitatea. Funtzioak .......................................................................................................................... 164

2. unitatea. Proportzionaltasuna ...................................................................................................... 184

4. blokea: geometria1. unitatea. Planoa eta planoaren elementuak ............................................................................ 199

2. unitatea. Irudi planoak .................................................................................................................... 210

3. unitatea. Irudi planoak. Neurriak .................................................................................................. 235

5. blokea: estatistika1. unitatea. Estatistika ........................................................................................................................ 257

Aurkibidea

7

SARRERA

Irakasle gehienak konbentzituta daude matematikako liburu gehienak oso antzekoak direla, nahiz eta ba-tzuek azalpen hobeak edo txarragoak, ariketa gehiago edo gutxiago, irudi gehiago edo gutxiago… eduki,eta horiek izaten dira ikasgelan zein ikasliburu erabiliko den erabakitzeko eragin handiena izango duten iriz-pideak.Gure iritzian, eskola-liburu on batek beste era askotako materialak izan beharko lituzke lagungarri, ja-

kintzaren bestelako alderdiak lantzeko eta osatzeko aukera eman diezaguten; teknologia berriak edota ikas-leen artean trebetasun sozialak lantzeko eta garatzeko, esate baterako; hori guztia metodologia egoki ba-tez transmitituta, jakina.Laburtzeko, bada, ondoren zehaztuko ditugun helburuok erdiesten lagundu beharko lieke ikasleei ma-

tematika-ikasketak:

– Ikasten ikasteko.– Komunikazioa lantzeko, beren pentsamendua adierazten lagunduko dien ahozko eta idatzizkoadierazmena lantzeko.

– Beren ikaskideekin harremanetan jartzeko eta, ahal den neurrian, ikasleei beren zailtasune-tan laguntzeko eta beren autoestimua hobetzeko.

– Beren gizartea eta kulturazko ingurumena ezagutzeko.– Teknologia berriak erabiltzeko.

Ez da teoria hutsa, ez. Erabateko konbentzimendua baizik, ikasleari matematikaren bidez alderdi horiekguztiak lantzen laguntzen baldin badiogu, orduan bai, bide zuzenean gaude.

Konbentzimendu horretatik sortua da proiektu hau. Uste osoa dugu harrera ona izango duela metodo-logiari dagokionez, gurearen antzeko esperientzia duten irakasleen aldetik eta beren irakasgaiari beste zen-tzu berri bat emateko adorea duten irakasleen aldetik ere. Beti izango dira irakasleak eskola-liburuari eran-tsita eskaini dugun programazioaren atala erabili ahal izango dutenak eta programazio horrek matematikairakasteko duten moduan aldaketaren bat egiteko balioko dienak. Guk, gure aldetik, oso garbi daukagu ideiahau:

Metodologian aldaketa sakon bat egin ezean, ezinezkoa da legeakagintzen duen gaitasunen garapena egitea.

Hau da, eskola magistralak emanez oso zaila da ikaslearen autonomia, trebetasun sozialak edo teknolo-gia berriak erabiltzeko trebetasuna eta gisako gaitasunak lantzea.

GAITASUNEZ IKUSPEGI PRAKTIKO BATETIK MINTZATUZ

Hezkuntzako Lege Organiko berria argitaratu zenean, behin eta berriro irakurri genuen gaitasunei buruzkoinformazioa, gure programazio berrian gaitasun horiek zer ziren, nola landu behar ziren, nola neur zitezkeenulertzeko eta jakiteko.

– Lehendabiziko ideia, lehen esan dugun bezala, hau da: eskolak emateko moduan, lantaldeak anto-latzeko moduan, eskolako denbora antolatzeko moduan eta denbora hori ikasle bakoitzari denbora ho-rren zati bat eskaini ahal izateko kudeatzeko moduan aldaketa sakonak egin ezean, EZINEZKOA DELAgaitasun horiek garatzea.

Horrek esan nahi du irakaslearen jokatzeko moduak eta eskolan duen protagonismoak aldatu egin be-har duela nahitaez. Horregatik, bada, hobetu beharra dugu gure prestakuntza (Informazioaren TeknologiaBerrien erabilera, lankidetzako taldeetan lan egitea, autonomia garatzeko metodologiazko prestakuntza, ikas-keta-prozesuaren autoerregulazioa…).

– Bigarren ideia da lotura eraginkor bat egin behar dugula gure programazioaren (programazio horrenerredakzioaren) eta gaitasunen garapenaren artean. Horregatik, bada, proiektu honetan programazioERREAL bat egiten ahalegindu gara, eginbehar burokratikoak alde batera utziz, programazio horrek prak-tikan behar duen erabilerari atxikiz.

– Hirugarren ideia da ezin daitezkeela oinarrizko gaitasun guztiak unitate guzti-guztietan landu, denokdakigun bezala.

– Eta laugarrena, garrantzitsuena beharbada, gaitasun termino horrek ez duela orain arte gure pro-gramazioan kontuan hartzen genituen gainerako elementu guztien lekua hartzen (helburuak, edukiak,ebaluazio-irizpideak), elementu horiek osatzen baizik, gure proiektuari zentzu praktikoagoa emateko.Era berean, jakinaren gainean egon behar dugu gaitasun bat landuz helburu bat baino gehiagotarakolan egin daitekeela, eta gaitasun horiek ez direla elkarrekiko loturarik gabeak, gainera. “Ikasten ikasi”lantzen ari garenean, adibidez, ikaslearen autonomia eta ekimen pertsonalerako gaitasuna ere ari garalantzen, eta “matematika-gaitasuna” lantzen ari garenean, matematikaren adierazpen-modua lantzenari garenean, alegia, hizkuntza-gaitasuna ere ari gara lantzen.

Gure proiektu honetan unitate guztietarako gaitasun komun batzuk planteatzen ditugu, ikasturtean ze-har lantzeko; hona batzuk:

– Hizkuntzazko komunikazioa.– Ikasten ikastea.– Matematika-gaitasuna.– Gaitasun digitala eta soziala (elkarlaneko talde-lanaren bitartez).– Autonomia eta ekimen pertsonalerako gaitasuna (okerrak zuzentzea, bakoitzak ikasketa-prozesuko zeinunetan dagoen jakitea, hobetzeko erabakiak hartzea…).

Eta unitate batzuetan baizik landuko ez diren beste batzuk.

8

– Gaitasun artistikoa eta humanistikoa, Geometriako blokean; talde-lanetan, literatura eta matema-tikako gaietan, esate baterako; historian zehar agertu edo pertsona ezagun batzuek (Cauchyk, Leonardoda Vincik eta abarrek) esandako esaldiei izenburuak jartzean… eta Gizadiaren Historiari dagokion etamatematika-jakintzaren bitartez historia horretan egin diren aurreramendu handiekin hain lotura estuaduen Matematikaren Historiaren partean.

– Gizarte-ingurumenarekiko elkarreragina, funtzioei eta estatistikari dagozkien unitateetan; unitatehorietan, izan ere, gaur egungo gure gizartean guztiz biziak, ezagutu beharrezkoak eta eztabaidatuakdiren hainbat gai ukitzen dira: iraunkortasuna, gizon-emakume arteko berdintasuna, ekologia, immi-grazioa, pirateria digitala, ekonomia…

GAITASUNAK NOLA LANDU

Gaitasunak lantzeko prozesua sakontzeko ahalegin honetan gaitasun horiek garatzeko gure proiektuak egiazzer ekarpen egiten duen zehaztea izango da hurrengo puntua.

• Gaitasuna: MATEMATIKA

Matematikako material askotan, alderdi teorikoaren azalpenaren ondoren ez da agertzen ariketa berezirikalderdi teoriko hori lantzeko. Horregatik, modu mekaniko samarrean ikasten dute ikasle askok matematika-ren alderdi hori, kontzeptuzko alderdia.Proiektu honetan hainbat ariketa eskaintzen ditugu ikasleek arrazoitu dezaten, ezaugarrien frogantza xume

batzuk egin ditzaten; egiaztatzearen eta frogatzearen arteko desberdintasuna uler dezaten; egia/gezurra gi-sako ariketak, hutsegiteak harrapatzeko, beren ideiak arrazoitzeko (eta aldi berean hizkuntza-gaitasuna,idatzizko eta ahozko adierazmena lantzeko). Kontzeptuak lantzen ari gara.Horrez gainera, ikasleak matematika egiteko moduak sakonagotik ezagutzeko lehenengo urratsak egi-

ten hasiko gara ikasturte honetan. Ikasle askok ohitura dute propietate bat betetzen den adibideak jarri etahorrenbestez propietate hori frogatu dutela uste izateko. Konbentzituta gaude komeni dela ikasleei mate-matikaren zorroztasuna transmititzen hastea, ezaugarriak frogatzea zein lan zaila izan den eta oraindik erezein zaila den ikusaraztea. Frogatzea helburu batera iristeko urrats-segida bat egitea delako ideia sartu be-har zaie.Matematika-gaitasuna garatzeko lantzen diren beste alderdi batzuk arau orokorrak zehazteari dagozkio:

saiakuntza-errakuntza gisako estrategiak, kontaketa sistematikoak (zuhaitz-diagramak, taulak, konbinatoria-hastapenak), probabilitateen intuiziozko zentzua (Laplaceren hurbilketa: aldeko kasuak/izan daitezkeen ka-suak), logika matematikoa (Venn-en diagramak, A eta B; A edo B…). Eta, baita unitateko edukiei dagozkienproblemak ebaztea ere; ebazketa horretan lantzen dira prozesuaren adierazpena, algoritmoen erabilera, so-luzioari buruzko gogoeta (egokia da?, egokiak dira unitateak?, betetzen ditu azalpenaren baldintzak?).

• Gaitasuna: HIZKUNTZAZKO KOMUNIKAZIOA

Matematika hizkuntza berezi bat da, hiztegi berezi bat erabiltzen du, eta, hizkuntza eta hiztegi hori erabiliz,ideia asko orokortu eta formulatu ditzakegu. Eginkizun horretarako ezinbestekoa da aljebraren ekarpena.Proiektu honetan, komunikazio-trebezia batzuk lantzen dituzten estrategia batzuk bultzatuz, ikasleen hiz-

kuntzazko komunikazio-gaitasuna hobetzen lagundu diezaguketen jarduera batzuk ere sartu ditugu:

9

ZUZEN / OKER ariketak.Problemak ebazteko lanean egindako prozesua hitzez azaltzea eta justifikatzea.Osatzeko eta ordenatzeko emandako esaldietako sintesi-jarduera.Landutako kontzeptuak sakontzeko eta, batez ere, ikaskideek adierazitako arrazoibideak entzutekojarduerak.

• Gaitasuna: ZIENTZIA ETA TEKNOLOGIARI BURUZKO KULTURA

Funtzioei eta estatistikari dagozkion gaietan, gure gizarte-egoerari dagozkion zenbait gai aztertuko ditugu:ekonomia, iraunkortasuna, politikari buruzko inkestak, trafikoko arau-hausteak, antropologia, gizon-ema-kumeen arteko berdintasuna eta abar.

• Gaitasuna: IKASTEN IKASI.

Matematikan ere, gainerako alor guztietan bezala, agertzen diren gauza berrien aurrean galderak egiten ja-kiteari loturik doa gaitasun hau.Ikasleak irakasleak egiten dizkion galderei erantzuten die normalean. Eduki berriak agertzen direnean, gal-

dera horiek ikasleek berek egiten irakastea da, ordea, gure eginkizuna. Ohitura hartu behar dute ezagutzenez duten gai bati ekin behar diotenean honelako galderak egiteko: zer da?, zertarako da?, nola egiten da?,zein urratsetan nago? Proiektu honetan, kontzeptu berriak sartzen direnean, galdera-ikurrak jartzen dira,NOLA, ZER, ZERGATIK, NON GAUDE, ZERTARAKO hitzekin.Gaitasun honi dagokionez, garrantzi handia duen beste alderdi bat erlazio-mailena da. Matematikan lan-

tzen diren blokeak elkarren artean loturarik gabeak ez baina elkarrekin oso lotuak direla ulertzea, alegia. Arit-metika aljebraren, funtzioen eta geometriaren oinarria da, adibidez. Aritmetika menderatzen badugu, erra-zago aurkituko ditugu Aljebran agertzen diren balio ezezagunak eta errazago ulertuko dugu funtzioenadierazpena. Funtzioetan grafiko bat nola adierazten den ulertzen badugu, estatistikan agertzen diren gra-fikoak egiten eta interpretatzen ere jakingo dugu…Era berean, blokeen arteko erlazioak ez ezik, unitate bakoitzean lantzen diren edukien artekoak ere oso

garbi geratzen dira sintesi-ariketetan. Kontzeptu-mapatxo batzuk eginez (hasieran oso gidatuak), hutsuneakdituzten esaldiak osatuz… landutakoa, ikasketa ulermenean oinarrituagoa izan dadin eta ikasitakoa berehalaahaz ez dadin lagunduko diguten loturez eta erlazioez lotuta gera dadin ahalegintzen gara. Hau da, ikasi di-ren edukiak berehala ahaztea gerta daitekeen arren, ez dadila gauza bera gerta ikasitakoa ulertzeko galde-rak egiteko moduari dagokionez. Ikasleak bere ikasketa erregulatzeko gaitasuna hobetzeko modu bat da,metaezagutza bat.Ikasten ikasteari dagokion kapitulu honen barruan, interesgarria iruditu zaigu 0. unitate bat sartzea. Iru-

ditzen zaigu Lehen Hezkuntzan landutako edukiak eta ikasle berriek dakarten maila jakin gabe hasten ditu-gula irakasle gehienok Bigarren Hezkuntzako eskolak. Ikasleak, berriz, zer aurkituko duten kezkaturik etaizango diren aldaketen beldur pixka batez iristen dira ikasturte berrira. 0. UNITATE horren helburua ikasleekLehen Hezkuntzan landutakoa gogoratzea eta Bigarren Hezkuntzaren ezaugarria eta bien arteko aldeak azal-tzea da. Eduki-blokeen arteko lotura, adibidez, edo prozesuak edo ideiak hitzez adieraztea, orokortzen ikas-tea, frogantza txiki batzuk egitea. Unitate honen bitartez ikasleek zer prestakuntza duten jakiteko aukeraizango du (hasierako ebaluazioa) eta ikasleei konfiantza izaten lagunduko die, kontzeptu asko lehendik eza-gunak dituztela jakinaraziko die, eta gauza berrien beldurra neurri handi batean kentzen lagunduko die.

10

Algoritmo gisako edukien garapenari dagokionez –eragiketak, hierarkia, ekuazioen ebazpena, grafikoakegitea, neurriak kalkulatzea…–, oinarrizko orientabide batzuk sartu ditugu, emaitza ateratzeko egin behardiren urratsak zehaztuz. Testuan bete beharreko errezeta baten moduan agertzen zira algoritmoak; beti azal-tzen da, hala ere, zergatik egin daitekeen (ekuazio batean izendatzaileak kentzea, adibidez), zertarako egi-ten den (adierazpena sinplifikatzeko, adibidez). Algoritmoak ez daitezela egiteagatik egitekoak izan. Hemenjar daitezke bi pertsonaia, LOGIKO JAUNA, zertarako, zergatik egin dezaket eta gisako galderak egiten di-tuena, eta PRAKTIKO JAUNA, nola esan zer pauso egin behar dudan eta ez dut denbora gehiegi igaroko pen-tsatzen, soluzioa da nik behar dudana, esaten duena (ideia metodologikoak).

Ikasten ikasteko gaitasun hau lantzerakoan garrantzizkoa dirudien beste alderdi bat helburu didaktikoenaurkezpena da: gidoi soil bat da, baina komentatu egin behar da, eta batzuetan ikasi ere bai, gidoi bera erre-pikatzen baita beste unitate batzuetan. Aritmetikako unitate guztietan, esate baterako, oso antzekoa da gi-doia (zein dira zenbaki osoak, nola sortzen dira, zertarako balio dute, nola adierazten dira, nola egiten diraeragiketak, zer propietate dituzte) eta zer landu behar dugun jakiten lagunduko digu. Alegia, HELBURU DI-DAKTIKOAK ZEHAZTEA garrantzi handiko puntua da gaitasun hau garatzeko. Ez da hasi behar unitate be-rririk unitate hori aurkeztu gabe.

• Gaitasuna: GAITASUN DIGITALA ETA INFORMAZIOAREN ERABILERA

Beste alde batetik, elkarlanaren eta beste jarduera batzuen bidez, informatikako zenbait programa eta bes-telako tresna erabiliko ditugu egindako lanak jendaurrean azaltzeko eta beste zenbait gairi buruz informa-zioa biltzeko:

Matematika eta zinema (Oxfordeko krimenak, Fermaten gela...).Matematika eta literatura (Zenbaki lehenen bakardadea, Zenbaki bikoitiak, bakoitiak eta ergelak, Ali-zia lurralde harrigarrian, Numerati, Urrezko proportzioa…).Pertsonaia ospetsuek matematikari buruz duten iritzia (Camus, Einstein, Shakespeare, Cauchy, SanJeronimo…).

• Gaitasuna: KULTURA ETA ARTE

Geometria lantzen denean, matematikaren eta formen munduaren artean, matematikaren eta estetikarenartean dagoen lotura aztertzen da, harekin batera.Horrez gainera, gure lanean beti izango da lekutxo bat Matematikaren historia ere ikasteko, gure kultura

orokorraren garrantzi handiko zati bat denez. Garrantzitsua iruditzen zaigu, orobat, logikoak, segidakoak,ordenatuak iruditzen zaizkigunak… esperimentu eta orokortze bidezko garapen bati esker direla ulertzen la-gunduko diguten ikerketa prozesutxo batzuetan murgiltzea. Eta garrantzitsua iruditzen zaigu geometria, arit-metika eta aljebra elkarrengandik bereizita dauden munduak ez baina elkarrekin oso lotuta dauden munduakdirela ulertzea.

• Gaitasuna: SOZIALA ETA HERRITAR GAITASUNA

Metodologia honen bitartez lege berrian ikaskideekiko begiruneari, haien iritzia aintzat hartzen jakiteari, guz-tien helburua lortzeko haiei garrantzia aitortzeari, elkarlanean idazkari-eginkizuna esleitzen diegunean, adi-bidez, haien gaitasunaz fidatzeari buruz aipatzen diren jarrerei dagozkien eduki komunak ere landuko ditugu.

11

En nuestro proyecto, en todas las unidades, aparece una actividad que tiene que realizarse mediante tra-bajo en grupo cooperativo. El alumno tiene que ser responsable para que el mismo salga adelante y tiene laoportunidad de desarrollar la comunicación (competencia lingüística) y sus habilidades informáticas (com-petencia digital).

• Gaitasuna: AUTONOMIA ETA EKIMEN PERTSONALA

Gaitasun honen garapena horretarako erabiliko den materialaren metodologiaren mende dago gehienbat,gure iritzian.Gure proiektu honek, ongi landuz gero, gure ikasleen etorkizunerako hain garrantzitsua den gaitasun hau

lantzen lagundu diezaguketen ariketa asko proposatzen ditu.Akatsak atzematea izan daiteke, adibidez, ikasleak bere hutsegiteak ezagutzen eta hartu behar dituen era-

bakiak hartzen lagundu dezakeen ariketa bat (ariketa gehiago egin behar dut?; ongi ikasi dut ikasi dudana?;lan gehiago egin behar dut?). Baina, batez ere, AUTOEBALUAZIO-kapitulu batzuk proposatzen ditugu ho-rretarako, dagozkien EBALUAZIO IRIZPIDEEKIN. Proba horiek behar bezala lantzen baldin baditugu (horiekdira, izan ere, ikasleak unitate bakoitzeko helburuetara iritsi diren ala ez jakiteko planteatuko genizkienak),ikasleak ongi jakingo du bere ikasketa-prozesuko zein puntutan dagoen eta, hala, gai izango da bere bu-rua erregulatzeko eta erabakiak hartzeko. Garrantzi handiko gauza iruditzen zaigu irakasleak ikaslearekinhark lortu dituen emaitzak komentatzea eta emaitza horiek hobetzeko negoziaketa bat (lan-kontratua) pro-posatzea.Beste alde batetik, autoebaluazioak eta ebaluazio-irizpideek oso lotura estua dute IKASTEN IKASI gaia-

rekin; geroago ukituko dugu sakonago gai hori.Testuan maila desberdinetako ariketak sartu ditugu, batzuk oinarrizkoak, beste batzuk sakontzekoak, hala,

ikasleek, helburuetara zenbateraino iritsi diren kontuan hartuta, dagokien unean landu ahal izan ditzaten.

12

SARRERA

Proiektu hau azaltzean adierazi dugun bezala, gaitasunez hitz egiten duen eta aldi berean lehenagoko hel-buru / ebaluazio-irizpide / eduki-eskemak hautsiko ez dituen programazio erreal bat eskaini nahi izan dioguirakasleari.Gure programazioa osatzeko eta gure helburu guztiek xede jakin bat izan dezaten lagundu behar du gai-

tasun terminoak: zertarako? Horregatik, bada, gaitasunetan oinarritzen den programazio erreal batek zer+ nola + zertarako formularen arabera erredaktatu beharko lituzke bere helburuak, eta ebaluazio-irizpideaketa edukiak zehaztu, horretarako. Gaitasunak helburuetatik bereizirik planteatzen dituzten eta gaitasun guz-tiak unitate guzti-guztietan landu beharko liratekeela proposatzen duten programazioak gure errealitatetikurrun geratzen direla uste dugu, eta ez direla batere praktikoak.Une bakoitzean eta unitate bakoitzean zer gaitasun lantzen den zehazteko eta jakinaren gainean ego-

teko, jarraibide batzuk hartuko ditugu:

1. Oinarrizko gaitasunak kolore batez ezaugarrituko ditugu, hala errazago nabarmentzeko eta eza-gutzeko.

2. Zehazki analizatuko ditugu gure ikasgaiari dagozkion gaitasun orokorrak, oinarrizko gaitasunekinzer lotura duten ikusteko.

3. Unitate bakoitzari dagokion programazioa baino lehen adierazle bat jarriko dugu unitate horretanbereziki zein gaitasun landuko diren erakusteko.

OINARRIZKO GAITASUNAK

Matematikak ikasleari ondoren zehazten diren oinarrizko gaitasun hauek bereganatzen eta garatzen lagundubehar dio.

B1 MATEMATIKA GAITASUNA

B3 ZIENTZIA, TEKNOLOGIA ETA OSASUN GAIETAKO KULTURA

B4 IKASTEN IKASTEA

B5 INFORMAZIOAREN ERABILERA ETA GAITASUN DIGITALA

B6 GAITASUN HUMANISTIKOA ETA ARTE GAITASUNA

B7 GAITASUN SOZIALA ETA HERRITAR GAITASUNA

B8 AUTONOMIA ETA EKIMEN PERTSONALA

Ikusten den bezala, gaitasun bakoitza letra batez eta zenbaki beheratu batez izendatu dugu, hala oina-rrizko gaitasunen eta gaitasun orokorren arteko loturak bistarako errazteko asmoz.

13

GAITASUN OROKORRAK

1. Eguneroko bizitzatik, beste zientzia batzuetatik edo matematika-tik bertatik hartutako problemak, banaka edo taldean, planteatzeaeta ebaztea, eta horretarako estrategiak aukeratzea eta erabiltzea,ebazpen-prozesua arrazoitzea, emaitzak interpretatzea eta ego-era berrietan aplikatzea, gizarte-munduan eraginkortasunez jo-katzeko.

2. Bai gizartean (berriak, iritziak, publizitatea…) bai zientziaren mun-duan erabiltzen diren elementu matematikoak (zenbakiak, datuestatistikoak, planoak, kalkuluak, irudiak, zoria eta abar) ezagu-tzea, elkarrekin erlazionatzea, deskribatzea eta irudikatzea, ho-rretarako horietako bakoitzak betetzen dituen eginkizunak kriti-koki aztertuz, era horretan, jasotzen diren mezuak etainformazioak hobeto ulertu eta erabiltzeko.

3. Matematikako hizkera eta adierazpena (zenbakiak, grafikoak,irudiak, ohiko nomenklaturak, eta abar…) autonomiaz eta sor-menez erabiltzea, nork bere pentsamendua garbi eta koherentziazzehazteko, horretarako baliabide teknologikorik egokienez balia-tuz.

4. Aurrez emandako informazio batean edo ingurutik hartutakoelementuren batean oinarrituta, gauzak, egoera matematikoak,espazioko konposizioak eta taxukerak irudikatzea, mundu fisikoaulertzeko eta analizatzeko behar diren geometriazko ezaguerakaplikatuz.

5.Estimazioak eta kalkuluak (zenbakizkoak, metrikoak, aljebraikoak,eta abar…) segurtasunez eta konfiantzaz egitea, egoera bakoi-tzerako hobekien egokitzen diren prozedurak erabiliz (buruzko kal-kulua, idatzizkoa, kalkulagailua, ordenagailua…) eguneroko bizi-tzako egoerak interpretatu eta baloratzeko, kasu bakoitzeanprozedura horiek erabiltzeak izan ditzakeen abantailak neurtuz etaemaitzak sistematikoki berrikusiz.

B1 - MATEMATIKA GAITASUNA

B3-ZIEN

TZIA,TEK

NOLO

GIA

ETAOSA

SUNGAIETA

KOKULTU

RA

B4-IKASTEN

IKASTEA

B5 - INFORMAZIOAREN ERABILERA ETA GAITASUN DIGITALAB6 - GAITASUN HUMANISTIKOA ETA ARTE GAITASUNA

B7-GAITASU

NSO

ZIALA

ETAHER

RITARGAITASU

NA

B8-AUTO

NOMIA

ETAEK

IMEN

PERT

SONALA

B1 - MATEMATIKA GAITASUNA

B3-ZIEN

TZIA,TEK

NOLO

GIA

ETAOSA

SUNGAIETA

KOKULTU

RA

B4-IKASTEN

IKASTEA

B5 - INFORMAZIOAREN ERABILERA ETA GAITASUN DIGITALAB6 - GAITASUN HUMANISTIKOA ETA ARTE GAITASUNA

B7-GAITASU

NSO

ZIALA

ETAHER

RITARGAITASU

NA

B8-AUTO

NOMIA

ETAEK

IMEN

PERT

SONALA 6. Arrazoitzea eta argudiatzea, beren emaitzak eta ondorioak justi-

fikatzeko eta aurkezteko balio dieten arrazoi eta justifikazio sen-doak osatuz. Beste argudio batzuk kritikatzea, gezurtatzea edoegoera berrietara aplikatzea.

7.Baliabide teknologiko eta komunikaziozko berriak (kalkulagai-luak, ordenagailuak eta abar) egoki erabiltzea bai kalkuluetan, baiera bateko edo besteko informazioa bilatzeko, lantzeko eta iru-dikatzeko, eta matematika-ikasketarako, orobat.

8. Matematika-jarduerako ezaguerak eta moduak (dauden aukerenazterketa sistematikoa, hizkuntzaren zehaztasuna, malgutasunaeta jarraikitasuna) bestelako alorretan ere eskuratzen ari diren ja-kintzarako ere baliatzea, problemak sormenez, analisi bidez etakritikoki ebazteko.

9. Matematika gure kulturaren osagai gisa aintzat hartzea, bai his-toriaren ikuspegitik, bai gaur egungo gizartean duen paperarenikuspegirik ere, eta lortu den matematika-gaitasunaz kultura-aniztasuna, ingurumenaren errespetua, osasuna, kontsumoa,sexu-berdintasuna, bakezko elkarbizitza eta gisako fenomenosozialak aztertzeko eta balioesteko baliatzea.

10. Problemen ebazpenari dagokionez jarrera positiboa izatea etaproblemei aurre egiteko gai direla seguru egotea…

GAITASUN OROKORREN ETA OINARRIZKOEN ARTEKO LOTURA

Aurreko ahapaldietan azaldu ditugun loturak era honetan laburbilduko lirateke:

16

Gaitasun orokorrak Oinarrizko gaitasunak

1.- B1, B2, B3, B4, B7

2.- B3, B4, B7

3.- B1, B2, B3, B6, B8,

4.- B1, B3, B6

5.- B1, B2, B4, B5, B8

6.- B2, B4, B7

7.- B1, B5, B8

8.- B1, B2, B3, B6

9.- B3, B6, B7

10.- B1, B8

GAITASUNEN ZEHAZTAPENAK (GAITASUNEN AZTERKETA XEHEA)

Gaitasun bakoitzari dagokion lana egiten noiz ari garen hobeto ulertzeko, ikasketek gaitasun horiek esku-ratzen laguntzen diguten egoeren zerrenda bat egiten ahaleginduko gara.

Kontuan hartu beharra dago, hala ere, zenbaterainoko eragina duen inplizituki ikaslearen jarrerak (ho-betzeko interesak, erantzukizunak, aintzakotzat hartzeak…) eta zenbaterainoko garrantzia duen jarrera ho-rrek ikaslearen ikasketa-prozesua hobetzeko.

• Matematika-gaitasuna, noiz?

1. Frogantza xume batzuk egitean.Adibidez:– Edozein triangeluren hiru angeluen batura 180º da.–

– Sektore baten azalera = zirkunferentziaren azaleraren proportzioa.

a a aÉ É a aÉ É a an m n m

bider bidern m

= =$+\ \

2. Kasu bereziak aztertuz arau orokorrak ateratzean (indukzioa–dedukzioa).Adibidez:– Poligonoen angeluen batura.– Zatigarritasun-irizpideak.

3. Matematikoki arrazoitzean, matematika-arrazoibidea.4. Emaitzak justifikatzean.5. Testuinguru desberdinetan matematikazko osagaiak ezagutzean.6. Aukerak zenbatzen sistematiko jokatzean.7. Matematika-ezaguerak egoera berrietan aplikatzean.8. Problema baten ebazpena aztertzean: logikoa da, balio du…9. Oinarrizko matematika-osagaiak erabiltzean (zenbaki mota desberdinak, neurriak, sinboloak, egune-roko bizitzako egiazko egoeretan).

• Ikasten ikasteko gaitasuna, noiz?

1. Galderak egitean: zer da?, nola egiten da?, zergatik?, zertarako?2. Akatsak zuzentzean.3. Autoebaluazioetako emaitzak seriotan hartzean.4. Ebaluazio-irizpideak irakurtzean, azaltzean, barneratzean.5. Beste unitate bateko helburu didaktikoez gidoi bat egiten ahalegintzean.6. Frogantzak eta egiaztapenak bereiztean.7. Algoritmoetarako orientabide-oinarriei jarraitzean.8. Landutako edukien arteko erlazioak lantzean.9. Kontzeptu-mapak egitean.10. Ekuazioak ebazteko, ZKH eta mkt kalkulatzeko bide logikoa eta bide praktikoa (algoritmoa) bereiztean.11. Erabakiak hartzean:

– Zenbaki handiak aurkitzen ditut… algoritmoa aplikatzen dut, kalkulagailua erabiltzen dut.– Zenbaki errazak dira, zerbait frogatu behar dut, bide logikoa erabiltzen dut.

12. Informazioa norberaren ezaguera bihurtzen ahalegintzean.

• Hizkuntza-gaitasuna, noiz?

1. Zuzen/oker galderetan balio duten arrazoiak, landutako ezaugarrietan oinarrituak, emanez; kontrakoadibideak proposatuz, egiaztapenak eginez… arrazoitzen dutenean.

2. Ahozko azalpenetan, talde-lanetan, beren ikaskideei egin diren frogantzen eta proben berri eman etaatera diren ondorioak adierazi behar dizkietenean.

3. Soluzioa aurkitzeko egin diren urratsak adieraztean.4. Hizkuntza matematikoa balio handiko komunikazio-modutzat erabiltzean.5. Kontzeptuak definitzeko esaldiak osatzean, horretarako hizkuntza-erregistro egoki bat erabiliz. “Izen-datzailea kendu dut (behekoa!), berretzaileen batuketa egin dut (goikoa!).

6. Ikasketa-egoera berri bat iristen zaionean lehendik dituen ezaguerak adieraztean.7. Inguru pertsonalean eta sozialean matematikako osagaiak eta arrazoibideak erabiltzen direnean, bizi-tzako egoeretan hobeto erantzuteko.

17

8. Blokeen arteko loturak adieraztean: “Aritmetika beharrezkoa dut aljebra, geometria, estatistika… ongiegiteko. Aritmetika, izan ere, beste bloke askoren oinarria da”.

• Gaitasun soziala eta herritar-gaitasuna, noiz?

1. Ikaskideen iritzia interesatzen zaigunean, norbera aberasteko bide gisa.2. Ikaskideek beren arrazoibideak adierazten dituzten bitartean isilik egotean.3. Taldeko kide bati lanean zer arrazoibide erabili dugun azaltzean, arrazoibide hori ongi uler dezan la-gunduz.

4. Ikasgelako lanean parte hartzean, zalantzak, ideiak, norberaren balioespenak adieraziz.5. Ikasleak talde barruan dagokion lana seriotan hartzean eta talde-lanean duen erantzukizunaz ohartzean.6. Gogoeta egitean, errealitatea aztertzeko era askotako ikuspegiak izan daitezkeela kontuan hartuz.7. Ziurtasunerako zaletasuna indartzean, eta ziurtasun hori arrazoibidearen bitartez bilatzean.8. Matematikarako trebeziak lortzean, gizarte-bizitzari buruzko informazioak eta arrazoibideak zehazkiinterpretatu eta azaltzeko.

• Kultura- eta arte-gaitasuna, noiz?

1. Arte, arkitektura, eskultura bidezko adierazpenak ikuspegi matematiko batetik aztertzean.2. Beste kultura batzuek matematika-aurkikuntzetarako egin dituzten ekarpenak ezagutzean.3. Ikasleak bere sorkuntzak edo talde-lanekoak egiteko baliabide matematikoak erabiltzean.4. Azalpenak kodigo bidez adierazteko ekimena, irudimena eta sormena lantzean.5. Antzinako garaietan gaur egun normal erabiltzen ditugun emaitza batzuetara iristeko izan zituzten zail-tasuna eta une hartako errealitate historikoa ezagutzean.

• Gaitasun digitala

1. Kalkulagailua kalkulu mekanikoak, egiaztapenak egiteko, ezaugarriak ondorioztatzeko, emaitzak ate-ratzeko eta arau orokorrak egiaztatzeko zentzuz erabiltzean.

2. Ordenagailua matematikako gertaerei buruz informazioa eskuratzeko eta lantzen ari garen gaietarakolaguntza bilatzeko iturburu gisa erabiltzean.

3. Bideo-kamera, kanoia, grabatzailea… informazioa emateko edo azalpenak analizatzeko tresna gisa era-biltzean.

4. Lanen azalpenak ematerakoan informatika-programak erabiltzean.5. Baliabide teknologikoak egoera bakoitzean koherentziaz eta egoki erabiltzean.

• Gizarte- eta zientzia-ingurumenarekiko elkarreraginerako gaitasuna

1. Matematikako ezaguerak beste era batzuetako ezaguerekin bateratzean, bizitzako (krisia, iraunkorta-suna, ekologia) egoerei hobeto erantzuteko.

18

2. Matematikako arrazoibideak beste era batzuetako informazioak interpretatzeko erabiltzean, testuin-guru desberdinetako problemen irtenbideak bilatzeko.

3. Ingurumen fisikoa analizatzean eta gogoetaz baliatzean gauzak autonomiaz ezagutzeko eta behar di-ren erabakiak hartzeko (ekologia, birziklaketa eta gisako gaietan…).

4. Zientzia-alorrean nor izan diren pertsonak ezagutzean eta haiek gizadiaren garapenean izan duten era-gina aintzat hartzean.

• Autonomiarako eta ekimen pertsonalerako gaitasuna

1. Ikasketa-prozesuri buruzko erabakiak hartzean.2. Proposatutako helburuak iritsiz gero, irakasleari sakontzeko lanak eskatzean.3. Norberaren gaitasunen arabera, ahalik eta sakonen ikasten ahalegintzean (hau da, gutxienekoarekinez askietsiz, emaitzak hobetzen ahalegintzean).

4. Egindako hutsegiteak aitortzean, hutsegite larriak eta nahasmendu txikiak bereiziz eta hobetzeko in-teresa erakutsiz.

5. Zenbaki motaren arabera, egin beharreko ariketaren arabera… bide praktikoa edo bide logikoa auke-ratzean.

6. Kalkulu aspergarriak egin behar direnean, denbora aurreratzeko, kalkulagailua erabiltzea erabakiz etaaurreratutako denbora hori prozesua hobeto adierazten edo bestelako bide batzuk pentsatzen erabiliz.

METODOLOGIA

Unitateak banan-banan aztertu baino lehen, hala ere, ezaguerak transmitituz gaitasunak nola lantzen ditu-gun azaldu nahi dugu lehendabizi.

1. Matematikaren egiturak lotura asko eta estuak ditu gai hau osatzen duten bloke eta eremu desberdi-nen artean. Aritmetika, aljebra, geometria, funtzioak, estatistika… ez dira zein bere baitan besteekinloturarik ez duten eremuak. Ezaugarri hori, hain zuzen, guztiz garrantzi handikoa da, eta ikasleek argieta garbi ikusi behar dute unitate guztietako prozeduren eta estrategien arteko antzekotasuna: sail-katu, analizatu, sinboloz adierazi, ordenatu, zenbatu, arrazoitu, bilatu, hipotesiak formulatu.

2. Bigarren Hezkuntzako aldi honetan Lehen Hezkuntzan ikusitako eduki asko berrikusiko ditugu, bainaikuspegi berriak bilatuko ditugu, eta sakonago aztertuko dugu ezaugarriak adierazteko modua… fro-gantzetan, egiaztapena zer den eta frogantza zer den bereiziz, ideiak arrazoituz eta argudiatuz… Bestealde batetik, kasu konkretuetatik abiatuz, ezaugarriak orokortzen eta arau orokorrak ondorioztatzenahaleginduko da, kasu zehatzetatik ondorioak atereaz, hau da, eduki abstraktuxeagoak landuz eta go-goeta egiteko eta pentsatzeko gaitasuna hobetuz.

3. Argi eta garbi utzi behar dugu matematika oso hizkuntza ahaltsua dela zehazki komunikatzeko, etaabstrakzioa, orokortzea, gogoeta, arrazoinamendu logikoa eta, zenbaitetan, frogantza bat egiteko eginbehar diren pausoak buruz ikastea ere, oso lagungarriak direla pertsona bakoitza bere baitan garatzekonahitaezkoak diren buru-egiturak eta ohiturak hartuz joateko.

19

4. Aldi honetako lana intuizio-lana da batez ere, baina abstrakzio- eta formalizazio-prozesu batzuk erehasiko dira aldi berean, matematikako zorroztasun-maila altuetara iritsi gabe bada ere.

5. Ikasketaren oinarrietako bat talde-lana izango da; talde-lana une ezin hobea da oinarrizko zenbait ja-rrera lantzeko: ikaskideen iritziari zor zaion begirunea, lana denen artean egiteko erantzukizuna, nor-beraren buruaren estimua (talde barruan garrantzia dugula sentitzea, “besteen” lana aintzat hartzea,haien ezaguerez aberastea, parte-hartze egiazkoa hobetzea, bai eskola barruan bai hartatik kanpo, gi-zarte-bizitzan).

6. Hizkuntza garbi eta egoki baten beharra nabarmendu behar da, ideiak, arrazoibideak, argudioak adie-razteko, zenbait gogoeta-prozesu atzematen trebatzeko (indukzioa, dedukzioa), algoritmoak, osagailogikoak aplikatzeko, pentsamenduak ordenatzeko.

7. Aldi honetarako eta ikasturte honetarako berebiziko garrantzia duen beste ideia bat hau da; eduki-blokeguztiak landu behar direla. Denok dakigu nola joaten den denbora aritmetikari jira eta jira, funtzioakedo estatistika edo beste alor batzuk lantzeko astirik utzi gabe… bloke horiek matematika ongi etasakon menderatzeko hainbesteko garrantzia dutelarik!

8. Denboraren kudeaketa. Garrantzi handiko arazoa hori ere! Horregatik, algoritmoak guk propo-satzen dugun moduan erabiltzea komeni dela uste dugu (orientabide-oinarriak, argibideei jarraitzea,proposatutako urratsen azalpenak irakurtzea…), hala irakasleak idatzita dauden jarraibide horiek go-goratzen astia galdu beharrik izan ez dezan, eta denbora hori ikasleei neke gehiago ematen dieten bestealderdi batzuk lantzen erabil dezan (ea ikasleak kontzeptuak ongi ulertu dituen, egin beharreko urra-tsak ongi ulertu dituzten aztertzen, sakontzeko lanak eskaintzen), era horretan irakasleak ikasleekin ha-rreman estuagoa izan dezan eta ikasketa-prozesuaren beste alderdi batzuk ebaluatzeko edota sakon-tzeko ariketak proposatzeko, helburuak lortu diren heinean.

9. Sintesia garrantzi handiko unea da ikasketa-prozesuan. Proposatzen diren ariketetan informazioa es-kaintzen da ikasleek ulertu, prozesatu eta sailkatu dezaten, hutsuneak dituzten esaldiak osa ditzaten,mapak egin ditzaten. Mapetan sinboloak agertzen dira. Horrek esan nahi du badirela beste era ba-tzuetako zenbakiak, estrategiak, ekuazioak, funtzioak… baina oraingo une hau edo maila hau ez delaegokiena horiek lantzeko. Irakasleak beti azaldu dezake hitzez: badira beste planeta batzuk? ezagu-tzen ditugu?…; era berean, badira beste zenbaki batzuk ere, bestelako ekuazioak, bestelako funtzioak(beti izango dira gehiago jakiteko gogoa duten ikasleak).

Beste era batzuetakoak ere badirela jakiteak planteamendu zabalago bat harrarazten dio ikasleari,eta hala esan ditzake honelako gauzak: “badakizkit zenbaki naturalak, osoak, arrazionalak… baina ba-dakit badirela beste zenbaki-multzo batzuk ere; nola deituko ote dira arrazionalak ez direnak?”. Ho-rrela aniztasuna lantzen da, betiere, Bigarren Hezkuntzako ziklo honetan batez ere, gehiago jakin nahiduten ikasleak izaten direlako zentzuan.

20

N ZQ ? ? ?

ZENBAKIAK

Esaldia Grafikoa Taula ?

FUNTZIOAK

Adierazten da

Mapa hauek oso gidatuak izango dira, hasieran batez ere, eta Bigarren Hezkuntzako ikasturteetanaurrera joan ahala, gehiago sakonduko dira. Garbi utzi beharko zaie ikasleei mapa hauek ez direla izandaitezkeen bakarrak, eta ikasle batek egindakoa beste edozein bezain ona izan daitekeela. Mapa hauenbidez landu dena ordenatzen dugu gure buruan, osagaien arteko loturak bilatuz eta zehaztuz. Loturahoriek dira ikasleari luzera begira ikasitako gauzak ahaztea eragozten diotenak.Azkenean ikasleek beren buruari galderak egitea lortuko dugu, eta hala, gogoeta horri esker be-

ren pentsamendua moldatuz joango dira.

10. Aniztasunera itzuliz, beti izango dira gehiago jakin nahi duten ikasleak. Aniztasun hori bi zentzutanhartu eta landu behar da: bai ikasketarako zailtasunak dituztenen ikuspegitik, bai gaitasun handiakdituztenen ikuspegitik (sakontzeko ariketak). Ikasle guztiek gutxieneko matematika-ezaguera ba-tzuetara iristea eta eguneroko bizitzan ezaguera horiek normal erabiltzera irits daitezela interesatzenzaigu.

11. Ikasten ikasteko lanari dagokionez ideia batzuk komentatuko ditugu:

– Helburu didaktikoak transmititzea –(unitate guztiek hasieran duten gidoia, alegia): unitate hone-tan zer ikasi behar duzun (erosketarako zerrenda dei dakioke, nahi izanez gero)– oso lagungarriaizaten da, eta ikasleek oso ongi ulertuko dute, zer lortu nahi den aurrez jakin ezean, ezin dela lanbat behar bezala egin.

– Ebaluazio-irizpidea ezagutzea (autoebaluazioen bigarren zutabean agertzen da), hau da, ikasleaproposatu zaizkion helburuetara iritsi den jakiteko irakasleak zeri begiratuko dion jaki-tea, guztiz beharrezkoa da ikasketa-prozesuan laguntzeko eta bultzatzeko. Gai hau sakonago lan-tzeko modu bat ikasleek beren hutsegiteak jasotzeko eta osatzeko taula batzuk egitea da: landuden guztia ulertzen badute, gogoeta egiteko balioko du, eta, bestela, hala iruditzen bazaie, ira-kasleari, ebaluazio-proba egin baino lehen, berrikusteko ariketak eskatzeko ere balio lezake, etaera horretan ikaslearen autonomia eta ekimen pertsonala hobetzeko ere bai.Didaktikan aditu askok dioten bezala “ikasleak irakasleak zer espero duen baldin badaki, orien-

tazioa galduta ez egoteko lagungarri izango du, ikaslea gai izango baita “zer nahi du irakasleakguk ikastea?” gisako galderak egiteko, eta landutako edukiak ulertzen lagunduko dio.Ikaslea uneoro jakinaren gainean baldin badago zer ari den lantzen dedukzioak egitean, hitzez

adieraztean, gogoeta egitean, arau orokorrak bilatzean, luzera begira gai izango da era honetakogauzak esateko: “algoritmo bat erabili dut ariketa hau ebazteko”, “informazio honetatik ga-rrantzizkoena laburbiltzen ahalegindu naiz, horretarako sinbolo eta hiztegi egokia erabiliz”, “zen-bakien ezaugarriak lantzen ari gara, gero garrantzi handia izango baitute Aljebrarako”. Era ho-netako esaldiek askoz ere sakontasun handiagoa ematen diote ezaguera barneratzeko moduari,irakasleak une bakoitzean agintzen duena egiteagatik egite hutsak baino, eta, horren bitartez, ikas-learen ikasten ikasteko gaitasuna eta autonomia pertsonala indartzen lagunduko dugu, gainera.

– Akatsak aurkitzea: Ikasleak ohituta daude irakasleak zuzentzera berak algoritmo bidezko ariketakegitean egindako okerrak. Ikasleak autonomiaz nola ikasten den gogoeta sakon bat egin dezan,zer eratako akatsak egin ditzakeen azaldu behar zaio lehendabizi, hala egoera desberdinetan pro-blemak ebazteko bere estrategia pertsonalak prestatzeko gai izan dadin.

21

AKATS LARRIA:Eragiketen lehentasuna, biderkadura ohargarria, parentesietan ikurrak ez aldatzea…Adibidez:

Berreketen ezaugarriak. Ikasleak arrazoitu lezake: “nik honela egin dut”. Hemen, or-dea, ez dago nahi bezala jokatzeko askatasunik, ezaugarriak legeak dira, eta, lege di-renez, aplikatu egin behar dira. Ikasle batzuei iruditzen zaie nahi bezala asma ditzaketelaezaugarriak.

AKATS ARINA:Eragiketak egitean egindako akatsak, arreta galtzen dugunean gutako edonork egin ditzakeenak.Adibidez:

Ikasleak ongi bereizi behar lituzke era bateko eta besteko akatsak, eta ez esan “des-kuidua izan da” akats larriak egin dituenean. Orientabide-oinarrietan ematen dira aka-tsak ikasleak berak ikus ditzan behar diren gakoak.

Eta, metodologiari dagokion atal honetan, aipatu beharra dago ikasgelaren kudeaketa elkarlaneanegiten baldin bada, gaitasun-garapenari dagozkion lorpenak nabarmenak izaten direla. Sakondu de-zagun, bada, gure ikasleekin lan egiteko modu hau.

ELKARLANA – LAN KOOPERATIBOA

Ez dugu ahaztu behar adimenak lotura estua duela afektuekin eta sentimenduekin, eta, horrexegatik, usteosoa dugu ikasgelaren eta ikastaldearen kudeaketa honek asko lagundu dezakeela ikasleak segurtasuna etainteresa izan dezan, ikasleekiko harremanetan irakaskuntza magistralaz bestelako harreman modu bat bal-din badugu. Era horretan komunikazioa hurbilagokoa izaten da, eta ikasketa-prozesua modu objektiboagobatean ezagutzen.Helburu hori lortzeko laguntzen duen ikasketa modu bat unitate bakoitzean lantaldean egiteko agertzen

diren ariketak dira. Ikasleek barren-barreneraino sartua eduki beharko luketen esaldi batean laburbiltzen datalde-lan horren oinarria:“Elkarrekin batera diharduten zatien batura hobea da beti, zatiek bakarka dihardutela baturik egina baino”.Ideia nagusiak hauek dira: taldearen osaera, elkarrekiko mendekotasun positiboa eta norbanakako eran-

tzukizuna.Lantaldeko kideen artean banatzen dira karguak: bozeramailea, idazkaria, koordinatzailea, plangintza-

egilea. Elkarrekiko mendekotasun positiboak esan nahi du egin behar den lana ezin dela burutu bakoitzakegin behar duen ekarpena egin ezean, eta norbanakako erantzukizunak esan nahi du talde osoaren emai-tzak taldeko kide guzti-guztien ikasketaren mende daudela.Egindako lan guztia ikasgelan aurkeztu behar da, ikasle guztien aurrean, eta euskarri informatikoak era-

biliz egin beharko da aurkezpena, era horretan gaitasun digitala hobetzen lagunduko delarik. Ikasgela ku-deatzeko modu honen bitartez, trebetasun sozialak hobetzea lortuko dugu, ikasleek beren artean antola-tzen ikastea, elkarri entzuten, erantzukizunak banatzen jakitea, eta era guztietako ikasleak taldean

3 4 5 11 5 6- = - =:

3 3 92 4 6=:5 3 4 2 4- =: :

22

integratzen lagunduko du, hala ikasleen gaitasun soziala areago landuz. Garbi dago ikasteko modua ho-betzen ere lagunduko diela, taldeko beste kideen laguntzaren premia dutela jakitunago egingo baititu. Bestealde batetik, bakoitzak duen informazioak garrantzitsuago sentiaraziko ditu taldearen aurrean, eta berenburuaren estimua handituko die.

EDUKI-BLOKEEI BURUZKO ARGIBIDEAK

Banan-banan azalduko ditugu blokeen ezaugarriak.

1. BLOKEA: EDUKI KOMUNAK

Gure proiektu honetako eduki komunen blokearen azalpena eskainiko dugu lehendabizi. Badakizuen bezala,legeak besteren artean, problema-ebazpena, jarrerak, teknologia berrien erabilera aipatzen diren eduki ba-tzuk landu behar direla zehazten du.

Problema-ebazpena. Unitate bakoitzean proposatzen direnez gainera, talde-lanean lantzeko problema ba-tzuk proposatzen dira bukaeran; lan modu horretan kideen iritziari zor zaion begirunea, lana denen arteanegiteko erantzukizuna, autoestimua (lantaldean aintzat hartua izatea, egindako lanaren poza) eta gisako ja-rrerak lantzen dira.Lan horietan problemak ebazteko balia ditzaketen metodoak aberasteko estrategia orokorrak agertzen

dira: saiakuntza-errakuntza, kalkulagailua zuzen erabiltzea, arau orokorrak ondorioztatzea, zenbaketa sis-tematikoa, probabilitate-kontzeptuaren hastapenak, Venn-en diagramak problema logikoetan, hitzezkoadierazpena marrazki geometrikoak adierazteko, zenbait pertsonaia famatuk matematikari buruz izan dituztenikuspegiak ezagutzea.Problema horien azalpenak, horietarako informazio-bilketa, ordenagailuaren erabilera Informazioaren

Teknologia Berriak erabiliz egiteko moduan planteatzen dira, arauak, ezaugarriak ikertuz, kalkulagailua era-biliz.Jarrerei dagokien ikuspegiak lotura zuzena du, noski, metodologiarekin. Garbi dago gogoetaren bidez,

sintesiak sistematizatuz, akatsak atzemanez, helburu didaktikoak zehaztuz, ikasle guztiak joango direla ja-rrerei dagozkien helburuak lortzen, inplikazio estuagoa hartuko baitute beren ikasketa-prozesuan.

2. BLOKEA: ARITMETIKA

Hasteko, garrantzi handiko gauza da ikasleei buruan ondo sartzea, zenbakiekin dihardugunean, ia betiariketa mekaniko soilak egiten ditugulako iritzi hori, nahiko zabaldua egon arren, ez dela egia, zeren gurelanaren zatitxo bat baizik ez baita ariketa mekanikoak egitea. Eragiketa horiek zergatik egiten diren eta zer-tarako erabiltzen diren jakitea, hori da zinez garrantzia duena. Helburu hori izan behar dugu gogoan, pro-blemak ebazten ditugunean: ikasleek bizitzako edozein testuingurutan edo egoeratan problema horiek ebaz-teko behar diren trebetasun eta abildadeak eskuratzea, alegia.

23

Ikasle asko konbentzituta egoten dira, aurrez, problema bat ebaztea oso lan korapilatsua dela, eta solu-zio zehatza aurkitzea dela axola dion gauza bakarra. Askotan, soluzioa bera baino hartarako bidea interes-garriagoa izaten dela transmititu behar diegu, eta hurbilketazko soluzio bat soluzio zehatza baino egokia-goa dela zenbaitetan. Amore ez ematen ahalegindu behar dute; liburuan azaltzen saiatu garen ereduak ikastensaiatu eta beren ikaskideek proposatzen dituzten bestelako bideak ere kontuan hartzen ikasi. Problemak ebaz-ten dituzten bitartean, gero beren bizitzarako oso baliagarriak izango zaizkien hainbat estrategia erabiltzenohitzen direla ohartarazi behar diegu; jabetu daitezela horretaz, eta ohartu daitezela, batez ere, Bernoulli ma-tematikari handiak esan zuen bezala, “iraunkortasuna izateko, interesa jartzeko, ez desanimatzeko, elkarla-nean ahalegintzeko, besteen iritziak aintzat hartzeko ohitura horiek pertsona bezala hazten eta gizartean el-karrekin bizitzen laguntzen diguten ohiturak direla”.Bigarren Hezkuntzako aldi berri honetan sartzerakoan bloke hau aurkitzen dutenean, ikasleak aise ohar-

tzen dira zenbaki mota batzuk lehendik ezagutzen dituztela, zenbaki naturalak, zatikiak, hamartarrak, adi-bidez. Lehenengo ikasturte honetan berriro aztertuko ditugu zenbaki horiek, eta nola sortu ziren, zertarakobalio duten eta zenbaki horiekiko eragiketak nola egiten diren hobeto ikasiko dugu. Era horietako zenbakiezgainera, beste batzuk ere badirela azalduko dugu: zenbaki osoak, irrazionalak. Nola deitzen ziren zenbaki ho-riek: N; Z, Q. Multzo horien arteko loturak… Ikasturte honetan, baina, alde berri baten hasiera denez, eza-gutzen ez ditugun edukiak lantzeko ikuspegi berri bat planteatuko dugu batez ere.Gauzek zer esan nahi duten ongi ulertu, ez ikasi algoritmoak agindutako arau gisa, froga daitezkeen arau

gisa baizik. Horretarako, ariketa praktikoez gainera, landutako kontzeptuak elkarrekin lotuz aplikatzen aha-legindu beharko dugun beste ariketa praktiko batzuk ere azalduko dira; ariketa horien bitartez, adierazmenaeta hiztegia ere landu beharko ditugu, eta ariketa horien bitartez edo bestelako kasu berezi batzuez balia-tuz, orokortzen ikasiko dugu, letrak erabiliz eta, aldi berean, Aljebraren mundura hurbilduz. Zenbakien ezau-garriekin (elkartze-legea, banatze-legea…) eta berreturen ezaugarriekin, adibidez.Beste alde batetik, ikasleek ongi ulertu behar dute zenbaterainoko garrantzia duen kalkulagailua arra-

zionalki erabiltzeak, kalkulu aspergarriak egiteko, hain zuzen, hala aurreratzen den denbora interes handia-goa duten beste alderdi batzuk lantzeko erabili ahal izateko (problema jakin bat ebazteko beste bide batzukpentsatzen, ebazketa-prozesuari buruz pentsatzen, ariketaren zailtasunak hobeto aztertzen, soluzioaren ego-kitasuna balioesten). Kalkulagailua oso tresna baliagarria da ezaugarriak aurkitzeko, akatsak zuzentzeko, hi-potesiak egiaztatzeko.Adibidez: zer dimentsio izango du 3654 zenbakiak?, zein izango dira azkeneko digituak…).

Zenbaki naturaletatik zenbaki osoetara

Askotan antzematen da, Bigarren Hezkuntzako ikasturteetan zehar, ikasleek nahiago izaten dutela, norma-lean, zenbaki naturalekin lan egitea: “zenbaki politenak”, “perfektuenak”… Horrek zenbakiei buruzko ikus-pegi desitxuratu samar bat erakusten du: ikuspegi horren arabera 3 zenbaki naturala ematen duen soluziobat “hobea” izango litzateke -5 zenbaki osoa eskatzen duen soluzio bat baino, edo 3/5 zatikia baino, etazer esanik ez soluzioa erro bat denean. ZENBAKI GUZTIAK BERDINAK DIRELA ohartarazi behar diegu, “zen-baki guztiek dutela existitzeko eskubidea”.Zenbaki osoak erabiltzen eta lantzen hasten garenean, oso gai konplexua dela ohartzen gara. Ikasleak ohi-

tuta daude zenbaki naturalak eta hamartarrak erabiltzen, eta zenbaki osoak erabiltzen hastea jauzi kualita-tibo handia da haientzat. Ikasleek zenbaki horiek menderatzea ezinbestekoa da, ordea, geroztik etorriko di-ren beste gai asko horretan oinarritzen baitira. Badira zenbait osagai gai hau nahiko nahasgarri bihurtzen

24

dutenak; kenketa-eragiketa eta haren sinboloa, ondorioz ateratzen den zenbaki osoaren ikurra bereizi be-harra, adibidez. Horregatik, lehenengo urratsak nola ematen diren erabakigarria izaten da, eta oso kontuzegin behar dira, eta ongi sakondu arau hauek:

– Batuketa: zenbakiaren ikurrak dioena.– Kenketa: zenbakiaren ikurrak dioenaren kontrakoa.– Zenbaki positiboa: zenbaki-zuzenean aurrerantz.– Zenbaki negatiboa: zenbaki-zuzenean atzerantz.

Lehenengo ariketak kontu handiz egin beharko dira, zenbaki-zuzenean marraztuz, errealitateko adibideakjarriz, zenbaki hauen premiaz gogoeta eginez… Oinarrizko ariketa hauek dira kalkulu konplexuagoak egi-ten hasteko oinarria. Zenbaki osoetan parentesiak modu egokian erabiltzeak, geroago, Aljebran ere ongi era-biltzea ekartzen du.

Adibidez:

Zenbaki osoekin ebatz daiteke. Aljebran ezin da.

–1

Horregatik, unitate honetan hori lantzeko adibideak ematen ditugu.

Nolanahi ere, azpimarratu beharra dago, zenbaki osoak erabiltzen direnean, elkartze-legea kontuan har-tuz, hobe izango dela betiere parentesi barruko eragiketak lehendabizi egitea eta gero laburtzea emaitza. Kal-kulu konplexuetan akats gutxiago izateko, INBUTUAREN ARAUA erabiltzea gomendatzen dugu.

…………………………………………………………

Zertan datza arau hori? Berdintasun-ikur bat agertzen den bakoitzeko, ebazpena hurrengo lerroan ja-rraitzea proposatzen du. Hala, begietarako agerikoagoa den modu honetan, emaitzak nola laburbiltzen di-ren ikus daiteke, errazago egiten da berrikusketa, eta akatsak ere askoz ere errazago atzematen dira.

Aurkako osagaia, balio absolutua eta horrelako beste zenbait kontzeptu agertzen dira… eta abstrakzio-maila ere gero eta handiagoa da. Kontuz, alderantzizkoa eta kontrakoa ez dira gauza bera; jende askok na-hastu egiten ditu kontzeptu horiek.

3 (5 7) 2 ( 1 3) 8 =- - - - --" ,

( ) ikur bera

( ) kontrako ikurra

+ "

"-

6 7 =- 3 5x 7 2x 3+ + =-

(13 7) (10 3) 1=- - - - (3 5x) (7 2x) 3+ =- -

25

Berreketen propietateak. Gure testuan garrantzi handia ematen diogu atal honi, frogantza batzukegiteko balio duelako, zerbaiten adibideak jartzea eta hura frogatzea oso gauza desberdinak direla uler-tzen lagun dezakeelako, hiztegi egokia erabili behar delako kontzeptu hauen esanahia adierazteko… Au-kera asko ematen ditu, eta merezi du propietate horiek orain ikastea, gero, ondoko ikasturteetan berriroikusteko.

3. BLOKEA: ALJEBRA

Unitate hau bereziki zaila gertatzen zaie, eskatzen duen abstrakzio-mailagatik, Bigarren Hezkuntzako lehe-nengo ikasturteko ikasleei. Gai honi ekiteko modu bat ikasleei dagoeneko honelako formulak erabiltzen di-tuztela ikusaraztea izan liteke; adibidez, erabiltzen dituztela A= L · a gisako formulak, eta formula horrek adie-razpen luzeago bat laburbildu baizik ez duela egiten: “laukizuzen baten azalera haren oinarria haren altuerazbiderkatuz ateratzen da”. Hau da, dagoeneko ezagutzen dituzten formulak, geometrian ezagutzen dituz-tenak batez ere, zenbakien ordez letrak erabiltzen diren aljebrazko hizkuntzan emanak dira.

Ikasturte honetan Bigarren Hezkuntzan landuko diren kontzeptu guztiak azaltzen ahaleginduko gara, bainaazalpen gidatuak emanez. Nola? Taula batzuk osatuz eta, behin taula horiek osatutakoan, zertan ari direnkontuan hartuz, soluzioak edo ekuazioak zer esan nahi duen adierazteko gai izanez. Garrantzitsua da lan-dutako kontzeptuak adierazteko gai izatea; horretarako ariketa sail bat proposatu dugu –sintesi-ariketak deitu diegu–, osatu beharreko esaldi sail batekin.Oso argi eduki behar da kontzeptu horiek ez direla oso sakon ulertuko lehenengo ikasturte honetan, baina

urterik urte errepikatuz gero, Bigarren Hezkuntzako ikasturteak amaitzen direnerako oso barneraturik edu-kiko dituela ikasleak. Ikasturte batetik bestera dagoen aldea ez datza lantzen diren kontzeptuen desberdin-tasunean (aljebrazko adierazpena, polinomioa, ekuazioa, berdintza, soluzioa, ekuazio baten ebazpena…), al-goritmoak ebazteko zailtasunean baizik.Eman dezagun adibide bat, esan duguna hobeto azaltzeko.

– Zer da ekuazio baten ebazpena? Osatu.

a a da kontrakoa. a ( a) 0 baldintza betetzen duena da.

a 1a

da a 1a

1 baldintza betetzen duena da.alderantzizkoa

+ - =

=

"

" $

-

26

Balioa Ekuazioa Ordezkatu Soluzioa da? Zergatik?

x 1=- 3x 5 x 7=- - 3 5 1 7=- - - - BaiBai, berdintzabetetzen delako.

Taula honetako izenburuak irakurriz, esan daiteke EKUAZIOAN ORDEZKATUZ gero berdintza betearaztenduen BALIO bat dela soluzioa.

Azpimarratu beharra dago, orobat, zenbateko garrantzia duen aritmetika ongi menderatzeak aljebra ikas-teko.

Adibidez:

– Zenbaki Osoak x = -1 soluzioa da?

– Polinomio-eragiketak x = -1 soluzioa da?

Adibidez:– Berreturak x = -2 soluzioa da?

Adibidez:– Zatikiak x = 1/3 soluzioa da?

Ikasleek ongi ulertu behar dute soluzio bat egiaztatzearen eta ekuazio bat ebaztearen artean da-goen aldea.

Adibidez:– Soluzioa egiaztatzea: emaitza ekuazioaren soluzioa da?

– Bai, zeren baita, eta berdintza bete egiten da, horrenbestez.

– ekuazioa, berriz, ekuazio irrazionala da. Matematikaren zati hau Bigarren Hezkuntzakolaugarren ikastaroan landuko dugu.

Garrantzi handia duen beste atal bat IDENTITATEEI dagokiena da.DBHko lehenengo ikasturtean ezezagunen balio guztietarako betetzen diren berdintzak baizik ez ditugu

landuko. Identitatea ekuazioari kontrajarritako kontzeptu gisa: ezezagunak balio jakin batzuk hartzen baditubaizik betetzen ez den berdintza bat baita ekuazioa.Geroago identitateak lortzeko modua landuko dugu (adierazpen batetik hasi eta beste adierazpen batera

iristeko eragiketak).

Adibidez:

– berdintza planteatzen baldin bada, badakigu identitate bat dela. DBHko biga-rren ikasturtean identitate ezagun batzuk landuko dira, eta gisakoak etaohiko biderkadura guztiak, oro har. Identitate hauek adierazpen baten ordez beste bat jar daite-keen formula gisa erabili behar dira.

4. BLOKEA: GEOMETRIA

Hasteko, ikasleek Lehen Hezkuntzan ikasita dagoeneko badakizkiten kontzeptuak landuko dira. Landu dira,dagoeneko, formak, simetriak, neurriak, antzekotasuna, orientazioa, posizioak, espazio-ikusmena, perspek-tiba. Orain gehiago lortu behar da: ikasleek idatz ditzatela irudi bakoitzaren ezaugarriak, hiztegi eta no-menklatura egokia erabiliz, eta, zenbait kasu partikular ikusita (poligonoen angelu zentrala, diagonal kopu-

(a b) a 2ab b2 2 2+ = + +

3 (x 2) 6 3x+ =-

3 (x 2) 6 3x 6 6 3x+ = + =- -

x 4 9+ =

25 4 5 4 9+ = + =

x 25= x 4 9+ =

13 1 4 1

3+ = $

x 1 4x+ =

( 2) ( 2) 1 52- + - + = -

x x 1 32 + + =

3x 7x 10x=- - -

3 ( 1) 5 1 7=- - - -

3x 5 x 7=- -

27

rua…), izan daitezela gai arau orokorrak ondorioztatzeko, aljebra geometriarekin lotuz, has daitezela frogantzaxume batzuk ikasten (zirkuluaren azalera, perimetroa), jakin ditzatela teorema batzuk eta haien ekarpenak.Ikasleek zenbait gairi buruz “entzundako hotsak” badituzten arren, denek izaten dute gai horiek berrikusibeharra, gai horiek barneratuz eta jabetuz joateko.

Lehenengo ikasturtean planoko osagaiak landuko ditugu: angeluak, zuzenak, poligonoak, zirkunferen-tzia, eta irudi horien perimetroa, azalera; espazioari dagokiona bigarren ikasturterako utziko da.

Pitagorasen teorema DHBko 2.an landuko dugu, proportzionaltasunarekin –Tales– batera landuko bai-tugu.

Ikasleek geometriaren baliagarritasunaz jabetzen diren heinean ikasiko dute gai hori; horregatik, erreali-tateko egoeren antz handia duten problemak planteatzen ditugu, ikasleek ikasi dituzten gaiak aplikatu be-harra ikusteko moduan.Problema horiek, ordea, ez dute mekanikoak izan behar; kontua da ez dadila bihur formula bat aplikatu

eta emaitza bat ateratzea, baizik eta ikasleak hasiera-hasieratik egon behar du behartuta zertaz baliatu be-har duen erabakitzera: perimetroa ala azalera, soluzio zehatza ala hurbilketazkoa; egon dadila irudiak irudisinpletan deskonposatzera behartuta; hau da, oro har, ikaslea egon dadila behartuta ezaguerak elkarrekinlotzera bide bat ondorioztatzeko.

Beste ariketa batzuetan ikasleak bere taldeko kideei haiek ikusten ez dituzten marrazkiak azaldu beharkodizkie, eta haiek entzundakoan oinarrituta marraztu beharko dituzte; hala ikasleek garbi ikus dezaten hiz-tegi egokiaren premia, zehazki lan egin beharra, lankideek ongi uler dezaten behar adina bider errepikatzekopazientziaren beharra uler dezaten, galderak egiteko modua ongi zainduz, gero aurrez emandako taula ba-tean ebaluatu ahal izateko.

28

LAGUNAREN AZALPENAK GRABATU DITUEN LAGUNAK ORDENAGAILUANBETETZEKO TAULA

29

Txostena idazten duen ikaslearen izena: ......................................................................................

Aztertu den ikaslearen izena: ......................................................................................................

INFORMAZIOA

1. Lan hau egiten lasai egon dela iruditu zaizu?

2. Ikaskideek eskatzen dizkioten azalpenak behar adinaaldiz azaltzeko pazientzia izan du?

3. Modu egokian erabili du Matematikako hizkuntza? Zu-zenki/perpendikular/zuzen paralelo/angelu/distantzia/inklinazio.

4. Askotan begiratzen zuen esaten ari zen pausoak ulertzenahalegintzen ari zirenen marrazkira?

5. Alderdi horiek kontuan hartu dituzu marrazkiak trans-mititu behar izan dituzunean?

5. BLOKEA: FUNTZIOAK

Lehen Hezkuntzan taulen bidez aztertzen da bi magnituderen arteko erlazioa, eta grafikoak ere egin dituzteerlazio horiek adierazteko, baina orain entzuten dute lehendabiziko aldiz funtzio terminoa DBHko ikasleek.Ikasturte honetan ikuspegi kualitatibo batetik begiratuta landuko ditugu funtzioak, eta garrantzi handia-goa emango diogu grafikoen itxura globalari. Ez dugu landuko funtzioen aljebra-alderdia, formulak alegia;hurrengo ikasturterako utziko ditugu horiek.

Proportzionaltasunaren gaia bloke honetan sartzen da, zeren ikasleak ulertzen baldin badu funtzioak bimagnituderen arteko erlazioak direla, proportzionaltasuna erlazio guztiz berezi baten moduan erabiltzea dakontzeptu hori osatzeko modurik egokiena.Badakizue modu asko daudela proportzionaltasuna lantzeko: aritmetikan zenbakien arteko erlazio gisa,

geometrian irudien antzekotasunaren gaian, Talesen teoremarekin, edo grafiko baten bidez adieraz daitekeenerlazio baten moduan, y = ax, y = 1/x formula baten bidez. Hauxe da guk aukeratu duguna. Lehendabizikoikasturtean ez da asko-asko sakontzen eta bigarren ikasturtean ikuspegi formalago batetik lantzen da.

Gure proiektuaren garapenean puntu honetara iritsi zaretenerako jabetuko zineten ikasgai honen bitar-tez ikasleek ikasten ikas dezaten lan egitea dela lortu nahi duguna, eta erlazioak aztertzea eta bilatzea in-formazioa ongi organizatuta eta antolatuta uzteko modu bat da, hala denborarekin ahaz ez dadin. Horre-xegatik lotzen ditugu elkarrekin funtzioak eta proportzionaltasuna.

Funtzioen gaia oso egokia da gaitasun zientifikoa, teknologikoa eta osasun-gaitasuna lantzeko (aurrekolegean zeharkakotasuna aipatzen zen). Matematika da beste alor batzuetako jakintzek ekonomian, fisikan,astronomian eta hain “zehatzak” ez diren beste alor batzuetan ere, soziologian, esate baterako, aztertzendiren fenomenoak interpretatzeko, analizatzeko edo haiek esplikatuko dituzten ereduak sortzeko behar du-ten tresna. Horregatik sartzen ditugu klima-aldaketa, prezioen gorakada, iraunkortasuna, ekologia eta bestegai batzuk, funtzioen gai honetan lortutako ezaguerak erabiliz, ikasgelan gure ingurumenean gertatzen di-ren hainbat gauzaz hitz egiteko aukera izan dezagun, eta gure formazio globalaz baliatuz hobeto uler di-tzagun. Honela aukera bikaina dugu gure ikasleei ikusarazteko matematika oso hizkuntza ahaltsua dela gureinguruko (inguru fisiko, ekonomiko, sozialeko) hainbat alderdi deskribatzeko, analizatzeko eta adierazteko.

6. BLOKEA: ESTATISTIKA

Bloke hau liburu guztien azkeneko orrialdetan azaltzen da beti. Ikasturte bukaeran, unitate hauek ez direlagehiegi lantzen esan nahi du horrek. Aritmetika, Aljebra, Geometria landu ondoren Estatistika eta Funtzioaklantzeko ez dago astirik. Gai hauek garrantzirik ez dutela pentsa dezakegu.

Proiektu hau prestatu dugunon iritzian, oso gai interesgarriak landu ditzakegu Estatistika ikasiz: gure erre-alitatetik hurbil dauden egoera batzuk aztertu, datuak jaso, grafikoak eraiki, ondorioak atera modu kriti-koan... Hau da, bloke honen bidez, aukera ezin hobea dugu GIZARTE ETA ZIENTZIA INGURUMENAREKIKOELKARRERAGINERAKO GAITASUNA lantzeko.

Bestaldetik, gai honekin oso gustura sentitzen dira ikasleek. Ez diote aparteko zailtasunik ikusten eta ezdute aurretiko ezagutza asko-askorik ere behar. Estatistikaren bidez ikasleek erakartzeko eta animatzeko au-kera dugu.

30

31

SARRERA

IGaitasunei buruzko orain arteko azalpenak irakurri ondoren, irakasle asko konbentzituko zen dagoeneko gai-tasun horiek landu daitezkeela, eta proiektu honen bitartez errazagoa dela gainera horiek lantzea.Baina unitate bakoitzaren programazioa egiteko garaia iristen da orduan. Gauzak zehaztu beharra dagoen

une horretan kezka handia sortzen zaie irakasle askori. Nondik hasi? Lan horretan lagunduko diguten ahol-kulariak behar ditugu…, horrelakoak askotan entzun ditugu gure eskola zentroetan. Proiektu hau lantzeanprogramazio hau gure errealitatearen hurbilekoa izan dadin lortzen ahalegindu gara: programazioa baliagarriaizan dadila, eta praktikoa, gainera. Eta konpetentziak ebaluatzen lagun diezagula, batez ere!Proposatzen dugun programazioa oso argia da, gure iritzian, eta unitate bakoitzean gaitasun batzuk lan-

tzeari lehentasuna ematen zaiona (ez guztiei, jakina), baina bloke guztietan denak ager daitezen ahalegin-duz betiere.Ebaluazio-irizpideak kontuan hartuta, ez da gauza zaila izango, unitate bakoitzeko lana ongi eginda, gai-

tasun bakoitza zenbateraino lortu den neurtzea (ebaluatzea).Gidatxo honek lagunduko dizuetela espero dugu, baina konbentzituta gaude irakasle bakoitzak EGOKITU

EGIN BEHARKO DUELA bere eguneroko lanera, bere ikasle-taldeetara.

32

OINARRIZKOGAITASU

NAK:

IKASTEN

IKASI/H

IZKUNTZAGAITASU

NA/M

ATEMATIKAGAITASU

NA/G

AITASU

NSO

ZIALA

/GAITASU

NDIGITALA

/AUTO

NOMIA

GAITASUNBEREZIA

Zenbakinaturalerrealakerabilibehardirenetaegu-

nerokobizitzakoegoerekinzerikusiadutenproblemak

ebaztekokalkulumodurikegokienaaukeratzea(bu-

ruzkokalkulua,idatzizkoa,kalkulagailuzkoa),etaja-

rraitutakoprozesuaadierazteaetaateratakoemaitzen

koherentziaebaluatzea.

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.Kalkulagailuabeharbezalaerabiltzea(eginbe-

harrekokalkuluetanzenbakihandiakerabilibehar

direnean).

2.Problemabatebaztekojarraitzendenprozesua

argietagarbiadierazteaetasoluzioegokiaema-

tea.

3.Problemabatensoluzioalogikoadenetaproble-

marenbaldintzakbetetzendituenbaloratzea.

4.Prozesuakduen

garrantziaaitortzea.Zenbaite-

tangarrantzitsuagoa

dabideasoluzioa

bera

baino.

GAITASUNBEREZIA

Ikaskideeniritziakbegirunezentzuteaetabesteikus-

pegibatzukezagutzeakbereikasketa-prozesuaho-

betzekozeraberastasuneskaintzendionbaloratzea.

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.Taldelaneanikaskideeniritziakontuanhartzea.

2.Gauzakegitekoetapentsatzekomodubatbaino

gehiagodaudelaaitortzea.Etamodudesberdin

horiekguztiakinteresgarriakizan

daitezkeela,

gainera.

GAITASUNBEREZIA

Zenbakinaturalakidentifikatzeaetaeragiketak,zer

esannahidutenkontuanhartuz,beharbezalaadie-

razizetadagokienhierarkiarijarraituzegitea.

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.ZenbakinaturalenmultzoaizendatzekoNletra

erabiltzea.

2.Eragiketakegitean

hierarkiabeharbezalaapli-

katzea.

GAITASUNBEREZIA

Zenbakinaturalenpropietateakulertzea,etaletrabi-

dezorokortzea,matematikarenmunduarenezaguera

mailahobetzeko,etakalkuluanetabesteblokeba-

tzuetanaplikatzea.

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.Zenbakinaturalenpropietateakazaltzea.

2.Propietateakzuzenaplikatzea.

3.Propietateakletrabidezadieraztea.

GAITASUNBEREZIA

Norkbereikasketa-prozesuazgogoetaegiteaetaja-

kintzanaurreraegitekohartubehardirenerabakiak

hartzea.

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.Autoebaluazioakzinezetaseriotanegitea,landu

direngaiakongiezagutzendirenjakitekoirakas-

leak,hainzuzenere,horixeneurtukoduelakon-

tuanharturik.

2.Ebaluazio-irizpideakirakurtzeaetakontuanhar-

tzea.

3.Landudenaongimenderatzenezdelaohartzen

garenean,langehiagoegitekoerabakiahartzea.

EDUKIAK

–Zenbakinaturalak.Jatorria.N.

–Eragiketak,hierarkia,ezauga-

rriak.

–Problema-ebazpena.

33

OINARRIZKOGAITASU

NAK:

IKASTEN

IKASI/H

IZKUNTZAGAITASU

NA/M

ATEMATIKAGAITASU

NA/G

AITASU

NSO

ZIALA

/GAITASU

NDIGITALA

/GAITASU

NHUMANISTIKOAETAART

ISTIKOA/A

UTO

NOMIA

EDUKIAK

1.Berreturak.Esanahia.Hiztegia.

Propietateak.

2.Errokarratua.Esanahia.Hizte-

gia.Kalkulatzekomoduak.

GAITASUNBEREZIA

Berreturaketaerroakzeresannahidutenjakinaren

gaineanegonezerabiltzea,etahiztegiegokiaerabil-

tzeajakintzahoriekbestejakintza-alorbatzuetaneta

besteblokebatzuetanaplikatzean.

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.Berrekizuna,berretzailea,errokizuna,errotzailea,

errokariaterminoakerabiltzea.

2.Berreturakterminoerrepikatuenbiderkadurakdi-

relaulertzea:3·3=32

3.Erroakberreturenalderantzizkoeragiketadirela

ezagutzea.

4.Berreturakgeometrian,estatistikan,aljebranere

erabiltzendirelajakitea.

GAITASUNBEREZIA

Matematikakoarrazoibideakerabilizarrazoitzea,nor-

berakpentsatzen

duenaadieraztekomodua

hobe-

tzeko.

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.Berreturen

propietateakerabiltzeaarrazoitzeko

etaargudiatzeko.

2.Berdintzabatenbialdeakbatdatozelaegiazta-

tzea,adierazpenbategiadelaarrazoitzekomodu

gisa.

GAITASUNBEREZIA

Propietatebatidagokionlanaegiteko(propietatehori

azaldu,frogatu,orokortu,aplikatu)izandaitezkeen

moduakulertzea,horietakobakoitzakzeralderdibe-

rridakarren

baloratuz,matematikakogogoetamo-

duaren“sarea”hobetoulertzekoetaezagutzeko.

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.Egiaztatzearenetafrogatzearenartekodesber-

dintasunaulertzea.

2.Propietateak

azaltzekohiztegiegokiaerabil-

tzea.

3.Propietateakorokortzekoletrakerabiltzea.

4.Frogantzabateginbehardenean,zerurrats

egitendirenjakitea.

5.Frogantzetan

frogantza-bideaulertzeko(ba-

tzuetanezda

batereerrazaizaten)interesa

azaltzeaetahorretanahalegintzea.

GAITASUNBEREZIA

Errobatenbalioazeindenaurkitzekobiderik

ego-

kienazeindenbaloratzea,bidehorieklehendikeza-

guturik,etahurbilketakegitekokalkulagailuaegoki

erabiliz.

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.Errobatengutxigorabeherakobalioaaurkitzea

<>csinboloakerabiliz.

2.Erroaateratzekoalgoritmoajakitea.

3.Erroaateratzekoberbiduraperfektuakerabiltzea.

4.Kalkulagailuarenteklakezagutzeazenbakihan-

dienerroakkalkulatzeko.

(y

;x)

x1/

y

GAITASUNBEREZIA

Ordenagailuarenerabileraaintzathartzea,matemati-

karenhistoriaetahistoriahorretakopertsonaiaospe-

tsuekmatematikariburuzduteniritziajakitenlagun-

dukodituenesaldiakagertzendirenaurkezpenpolitak

egiteko.

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.PowerPointprogramaezagutzeaetaerabiltzea.

2.Matematikariburuzizandireniritziakezagutzeko

interesaerakustea.

3.Agertzendeninformazioariburuziritziaematea.

34

OINARRIZKOGAITASU

NAK:

IKASTEN

IKASI/H

IZKUNTZAGAITASU

NA/M

ATEMATIKAGAITASU

NA/G

AITASU

NSO

ZIALA

/GAITASU

NDIGITALA

/AUTO

NOMIA

GAITASUNBEREZIA

Kasubakoitzeanbiderikegokienazeindenerabaki-

tzea(mktedoZKH),horienesanahianoinarrituzedo

algoritmoaerabiliz,pentsaeramatematikoangehiago

sakontzeko,halaikasleak

bereautonomiahanditu

dezan,etaikasleakirakasleariegitendizkiongalderak

baloratzea.

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.Zenbakihandiakerabilibehardirenean

algorit-

moaerabiltzea.

2.Algoritmobatzerdenulertzeaeta,zailtasunik

bada,idatzitadaudenurratsakkontsultatzea.

3.Irakaslearialgoritmoanagertzendirenpausoeiez

dagozkiengalderakegitea.

4.Logikazkobideaetabidepraktikoabereiztea.

5.Horietakobakoitzakdituenaldeonaketaezhain

onakbaloratzea:

–Bidepraktikoa:bizkorrada,ezdaaskopentsatu

beharrik.

–Logika-bidea:Zerenbilaaridenjakitea,horrek

askolaguntzenduburuko“giharra”,garunain-

dartzen.

GAITASUNBEREZIA

Lantaldearekinarretazetaardurazlanegitea,arauak

betez,langiropositiboaizandadin.

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.Egokietaadeitasunezhitzegitea.

2.Egindakolanaidatzizargiadieraztea,lantaldeko

kideeigaiaongiulertzenlaguntzeko.

3.Ebatzidenproblemalankidebatipazientziazeta

egonarrizazaltzea,harkongiadieraziahalizande-

zan.

GAITASUNBEREZIA

ProblemakebaztekomktetaZKHaplikatzea,horiek

aurkitzekoalgoritmoakarinerabiliz.

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.Zenbakibatbiderkagailehenetanarindeskon-

posatzea.

2.mktetaZKHkalkulatzekobiderkagaiegokiakaise

aukeratzea.

3.Azalpenaarretazirakurtzeabilatubehardenba-

lioamultiplobatialazatitzailebatidagokionbe-

reizteko.

4.Argietazehazkiidazteaprozesua,horretarako

marrazkiak,eskemak,taulakerabiliz.

GAITASUNBEREZIA

Zatigarritasunabizenbakirenartekoerlaziobatdela

ulertzea,multiploaketazatitzaileakbereizteaetazen-

bakikonposatuakbiderkagailehenetandeskonposa-

tzekozatigarritasun-irizpideezbaliatzea.

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.Multiploaetazatitzaileabereiztea.

2.Zenbakibatenmultiploaketazatitzaileakaurki-

tzenjakitea.

3.Nomenklaturaegokierabiltzeazenbakibaten

multiploakadierazteko.

4.Zatigarritasun-irizpideakezagutzeaetazuzenera-

biltzea.

GAITASUNBEREZIA

Kasupartikularrakaztertuzarauorokorrakondorioz-

tatzea,halabestezatigarritasun-irizpidebatzukeza-

gutzekoetakalkulagailuaerabiltzeko

zenbakihan-

diegiakdireneanedofrogantzetanakatsakdirenean

erabiliahalizateko.

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.Prozesubateanedozenbaki-segidabateanerre-

gulartasunak,erlazioakatzematea.

2.Ondorioakateratzekoaukeraematenduteniriz-

pideakondorioztatzea.

3.Kontuan

hartzeakalkulagailuaezdelamakina

perfektua,badituelaberemugak,bainagureadi-

menaeremugatuadela,beharbezalatrebatzen

ezbadugubatezere.

4.Frogantzarenurratsenbategokiaezbaldinbada,

edozein“zentzugabekeria”frogadaitekeelauler-

tzea.Adibidez:0·3=0·4

EDUKIAK

–Zatigarritasun-erlazioa:

multi-

ploak,zatitzaileak.

–Zatigarritasun-irizpideak.Zen-

bakiakbiderkagaietan

deskon-

posatzea

–mkt,ZKH:esanahiaetakalkula-

tzekomodua.

–Problema-ebazpena.

35

OINARRIZKOGAITASU

NAK:

IKASTEN

IKASI/H

IZKUNTZAGAITASU

NA/M

ATEMATIKAGAITASU

NA/A

UTO

NOMIA

GAITASUNBEREZIA

Zenbakiosoenesanahiaetajatorriaezagutzea,etako-

purubatenikurnegatiboakduenesanahiaulertzea,

egunerokobizitzakoegoerakadierazteko.

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.Zenbakiosoakzorrak,zerozbehetikotenperatu-

rak,lur-mailarenazpitik

dauden

solairuakadie-

raztekoduenesanahiaulertzea.

2.Zenbakiosoenmultzoaadieraztea,Z.

3.Zenbakinaturalenetazenbakiosoenartekoer-

lazioaezagutzea:NZ.

4.Zenbaki-zuzeneanzenbakiosoakmarraztea.

5.Zenbakiosoakordenatzea.

6.Balioabsolutuakzeresannahiduenulertzea.

7.Zenbakibatenaurkakoosagaiaaurkitzea.

GAITASUNBEREZIA

Zenbakiosoakagertzen

direnproblemak

ebaztea,

eragiketakbizkoretaarineginez,eragiketabakoitza-

renesanahiaulertuzetasoluzioaaurkitzekoparente-

siakerabiliz.

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.Zenbakiarenikurra,kenketa-eragiketanzuenzen-

tzuabereiztea,etahorietakobakoitzakduenesa-

nahiaulertzea.

2.Parentesiakzuzenerabiltzea.

3.Ikurrenarauakezagutzea.

4.Eragiketakonplexuakinbutugisaadieraztea,aka-

tsikezegiteko.

5.Eragiketakonplexuaksistematikokiberrikustea.

6.Eragiketenesanahiazenbaki-zuzeneanadieraztea.

GAITASUNBEREZIA

Ikasteko

moduazgogoetaegitea,izan

daitezkeen

akatsaketahutsegiteakezagutzekoetaikasketa-pro-

zesuahobetzekoerabakiakhartzeko.

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.Ikurrekikoeragiketakongimenderatzenezbadira

irakasleariariketagehiagoematekoeskatzea.

2.Astirikezgaltzeaetaeragiketakonplexuetanahal

denguztiasakontzea.

3.Hutsegitearinaketaakatslarriakbereiztenjaki-

tea.

4.Akatslarribategitendeneanirakasleakariketaez

duelabaloratukokontuanhartzea.

GAITASUNBEREZIA

Matematikakoarrazoibideakerabilizarrazoitzea,hiz-

kuntza-gaitasunahobetzeko.

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.Zenbaki-zuzeneanmarrazteaarrazoitzekoargu-

diogisa,emaitzakzuzenakdirenegiaztatzeko.

2.Soluzioerrealakasmatzea,eragiketabatenemai-

tzaargudiatzeko.

3.Pentsamenduaargiadieraztea,esaldibategiaala

gezurradenfrogatzeko,horretanhiztegizuzena

erabiliz.

GAITASUNBEREZIA

Zenbakiosoenpropietateakegokiadierazteaetakal-

kuluakerrazagoegitekobehardenbezalaaplikatzea.

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.Zenbakinaturalenpropietateakazaltzenjakitea.

2.Propietateakzuzenaplikatzea.

3.Propietateakletrabidezadieraztea.

4.Letrenbaliozehatzezbaliatzeabanatze-legeafro-

gatzeko.

EDUKIAK

–Zenbakiosoen

(Z)esanahia,ja-

torria,adieraztekomodua.

–Eragiketak,esanahia,hierarkia,

parentesiakerabiltzea.

36

OINARRIZKOGAITASU

NAK:

IKASTEN

IKASI/H

IZKUNTZAGAITASU

NA/M

ATEMATIKAGAITASU

NA/G

AITASU

NSO

ZIALA

/AUTO

NOMIA

GAITASUNBEREZIA

Zatikiarenesanahiaezagutzeazbaliatzea,zenbaki-

tzaileetaizendatzaileterminoakerabiliz,inguruko

egoerakadierazteko.

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.Zatikiarenesanahiaulertzea.

2.Zatikiaosatzendutenterminoenizenak

zuzen

erabiltzea.

3.Askotarikoegoerakzatikibidezadieraztea.

GAITASUNBEREZIA

Eragiketakzuzenadieraztea,hierarkiarijarraituzeta,

ahaldenguztietan,sinplifikatuz,ahaliketaakatsgu-

txienegiteko.

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.Inbutuarenarauazbaliatzeakalkulukonplexuak

egiteko.

2.Lehendabiziparentesibarrukoeragiketakegitea,

gerobiderketaketazatiketaketaazkenikbatu-

ketaketakenketak.

GAITASUNBEREZIA

Zatikimotaketahaienizenakezagutzea,bizatikiba-

liokideakdirenalaezfrogatzeaetazatikiakerabatean

bainogehiagotanordenatzea,halaerahorretakozen-

bakiakhobetoezagutuzjoatea.

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.Zatikijatorraketasasizatikiakbereiztea.

2.Zatikibaliokideenesanahiaezagutzea.

3.Bizatikibaliokideakdirelafrogatzekomodubat

bainogehiagoerabiltzea.

4.Zatikiakordenatzekomkterabiltzea.

GAITASUNBEREZIA

Egoerabatekdituenaukeraguztiakzenbatzekomo-

duasistematizatzea,horretarakoestrategiaegokiak

erabiliz(zuhaitz-diagramak,taulak…),problemabat

ebaztekomodugehiagoedukitzeko.

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.Daudenaukeraguztiakongiorganizatutako

modubatezzenbatzea.

2.Aukerak

zenbatzeko

zuhaitz-diagramak

erabil-

tzea.

3.Soluzioaaurkitzekojarraitzendenprozesuaargi

etagarbiadieraztea.

4.Aurkitutakosoluzioabaloratzea.

GAITASUNBEREZIA

Zatikiekikoeragiketakeginbehardirenean,kasuba-

koitzeanbiderikegokiena,zatikiarenesanahiaedoal-

goritmoa,zeindenerabakitzea,matematikakopen-

tsaeransakonduzjoateko.

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.Logikazkobideaetabidepraktikoabereiztea.

2.Horietakobakoitzakdituenaldeonaketaezhain

onakbaloratzea:

–praktikoa:bizkorrada,ezdaaskopentsatube-

harrik.

–logikazkoa:zerenbilaarizarenjakiteakaskola-

guntzenduburuko“giharra”,garunaindartzen.

3.Eragiketenemaitzamarrazkiegokienbidezfro-

gatzea.

4.Algoritmoaeragiketakhorrelazergatikeginbehar

direnerakustenduenfrogantzabatenondorioa

delajakitea,etaezdelagauzaautomatikobat,

zentzurikezduena.

EDUKIAK

–Zatikiarenesanahia,izenaeta

terminobakoitzarenesanahia.

–Zatikienmultzoa:Q.

–Zatikimotak:zatikijatorrak,sa-

sizatikiak,baliokideak,kanoni-

koak.

–Zatikiakordenatzea.

–Eragiketak:esanahiaetaaplika-

zioa.

–Problema-ebazpena.

37

OINARRIZKOGAITASU

NAK:

IKASTEN

IKASI/H

IZKUNTZAGAITASU

NA/M

ATEMATIKAGAITASU

NA/G

AITASU

NSO

ZIALA

/GIZART

EETAZIEN

TZIA

EDUKIAK

–Zenbakihamartarrenetazatikien

artekoerlazioa.

–Zenbakiham

artarrenmotak.

–Zenbakiham

artarrekineragike-

takegitea,ordenatzea,hurbilke-

takegitea.

–Zenbakiham

artarren

eta%-ren

artekoerlazioa.

–%kalkulatzeaetahorrenaplika-

zioak:prezio-igoerak,beherape-

nak,BEZ…

GAITASUNBEREZIA

Zenbakihamartarrenmotadesberdinakbereizteaeta

berenjatorrizkozatikiekinlotzea,landutakoedukiak

ikastekoeta,denborajoanahala,ezahaztekomodua

hobetzeko.

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.Zenbakihamartarzehatzaketainfinituakbereiztea.

2.Zenbakihamartarinfinitukiperiodikoaketaez-pe-

riodikoak,etahaienarteanhutsaketanahasiak

bereiztea.

3.Berenjatorriazatikibateanezdutenzenbakiha-

martarrakbadirelajakitea:3,14151623456725…

GAITASUNBEREZIA

Zenbakihamartarrekinetahamarrenberreturekinera

askotakoeragiketakegitea,zenbakihamartarreneta

zatikienartekoloturakaztertuz,zatikienemaitzauler-

tzeko.

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.Zenbakihamartarzehatzbatzatikibihurtzeaeta

zatikihoriekineragiketakegitea.

3.Emaitzaaztertzeaetaondorioakateratzea.

4.Emaitzarendezimalkopurualogikazkobidearen

ondorioadelajakitea.

5.Zenbakihamartarrekineragiketakarinegitea.

GAITASUNBEREZIA

%-arekinzerikusirikdutendatuezezagunakarinaur-

kitzea,eta%-aegunerokobizitzanizatendirenegoe-

rakaztertzeko

etaerabakitzekoerabiltzendenpro-

portziobatdelaulertzea.

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.%-amodubatbainogehiagotanaurkitzenjaki-

tea. 2.Kopurubaten%-aarinkalkulatzea.

3.Balio

ezezagunak

aurkitzekozatikibaliokideak

erabiltzea.

4.Prezio-igoerabatenondorengauzabatekzerpre-

zioizangoduenkalkulatzeko,zenbakienpropie-

tateakaplikatzea,biderkagaikomunaateratzea.

GAITASUNBEREZIA

Probabilitate-zentzuazjabetzea,probabilitateapro-

portziogisaharturik(Laplace),etamoduegokian

adieraztea.P(bikoiti)=0,5problemabatebazteko

modugehiagoizateko.

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.Probabilitateaaldekoaukerak/izandaitezkeenau-

kerakzatikigisaadieraztea.

2.Problemabatebaztekojarraitzendenprozesua

argietagarbiadieraztea.

3.Probabilitateak

adieraztekohiztegiazuzeneta

egokierabiltzea.

4.Soluzioa%batezadieraztea,hauda,

P(…)=0,47=%47

GAITASUNBEREZIA

Lantaldearekinarretazetaardurazlanegitea,arauak

betez,langiropositiboaizandadin.

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.Moduegokianetaadeitasunezhitzegitea.

2.Egindakolanaidatzizargiadieraztea,lantaldeko

kideeigaiaongiulertzenlaguntzeko.

3.Ebatzidenproblemalankidebatipazientziazeta

egonarrizazaltzea,harkongiadieraziahalizan

dezan.

38

OINARRIZKOGAITASU

NAK:

IKASTEN

IKASI/H

IZKUNTZAGAITASU

NA/M

ATEMATIKAGAITASU

NA/A

UTO

NOMIA

GAITASUNBEREZIA

Adierazpenaljebraikoenartekoeragiketakulertuzeta

arinegitea,Aritmetika-Aljebragisakoedukimatema-

tikoakerlazionatuz,etazenbakienpropietateakerla-

zionatuz,etapropietatehoriekekuazioak,funtzioak

etaabarebaztekoerabiliz.

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.Aldagaibatedogehiagodituzten

koefiziente

arrazionalekikoadierazpenen

arteko

eragiketak

(batuketa,kenketa…

)egitea.

2.Adierazpenaljebraikobatenzenbaki-balioaate-

ratzea.

3.Zenbakibatzuk

bestebatzuetarabihurtzendi-

tuenadierazpenaljebraikoaaurkitzea.

4.Hizkuntzasinbolikoa

arau

aljebraikoak

erabiliz

interpretatzea,informazioaulertzeko.

GAITASUNBEREZIA

Ekuazioakorientabide-oinarrieijarraituzebaztea,eta

horretanjarraitutakoprozesuaautoebaluatzea,ikas-

learenikasketa-prozesuarenautonomiaareagotzeko.

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.Ekuazioaezezagunakbaliojakinbatzukhartzen

baditubaizikbetetzenezdenberdintzabatdela

ulertzea.

2.Ekuaziobatebazteaharkadieraztenduenber-

dintzabetedadinizanbehardirenbalioakaurki-

tzeadelajakitea.

3.Identitateaetaekuazioabereiztea.

4.Orientabide-oinarrietanagintzen

direnpausoak

egiteaetaezgaldetzeairakasleariikasleakbere

kabuzerabakiditzakeenzalantzak.

5.Ekuaziobatebaztekoegitendenurratsbakoitza

jartzeko

arrazoiakbadirelaulertzea,ebazpena

burutuahalizateko.

6.Lehenmailakoekuazioerrazak–parentesidunak

edoizendatzailedunak–ebaztea.

7.Ekuaziozailagoakebaztea.

GAITASUNBEREZIA

Problemabatenazalpenaarretazirakurtzeaetama-

tematika-formanadieraztea,adierazpenaljebraikoak

erabilizetabalio

ezezagunak

bilatzekoekuazioak

planteatuz.

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.Garrantzirikezdueninformazioaetagarrantzia

duenabereiztea.

2.Azalpenbateanagertzendirendatuguztiakbe-

harrezkoakdirenalaezaztertzea.

3.Azalpenekoinformazioaaljebrazko

hizkuntzan

adieraztea.

3.Aurkitutakosoluzioalogikoadenetaproblema-

renbaldintzakbetetzendituenbaloratzea.

4.Lehenmailakoekuazioakplanteatzekoetaebaz-

tekomoduaproblemakebaztekobestebaliabide

batengisabarneratzea.

GAITASUNBEREZIA

Landutakoedukiensintesiaegitea,hutsuneekikoesal-

diakbetez,mapakosatuz…edukihoriekhobetouler-

tzekoetaikastekomoduahobetoulertzeko…

landu-

takoaluzaroagogogoratzea.

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.Esaldiakosatzea.

2.Esaldibatenzatiakordenatzeazentzuaduenideia

batosatzeko.

3.Mapatxoetanutzitakohutsuneakosatzea.

4.Landutakoedukienartekoloturakulertzea.

5.Ikasketansintesiakduengarrantziaaintzathartzea.

EDUKIENEBALUAZIOIRIZPIDEAK

–Aljebrarenesanahia:hizkuntza

berribat,tresnaahaltsua.

–Aljebrazkohizkuntza.

–Adierazpen

aljebraikoak,zen-

baki-balioa,eragiketak.

–Ekuazioa=identitatea.

–Ekuazioak,esanahia,ebazpena.

–Problemakebaztea.

39

OINARRIZKOGAITASU

NAK:

IKASTEN

IKASI/H

IZKUNTZAGAITASU

NA/M

ATEMATIKAGAITASU

NA/G

AITASU

NSO

ZIALA

/GAITASU

NZIEN

TIFIKOA,TEK

NOLO

GIKOAETAOSA

SUNGAITASU

NA/A

UTO

NOMIA

GAITASUNBEREZIA

Inguruanedobestejakintza-alorbatzuetanbimag-

nituderenaldekomendekotasunaagertzendenego-

erak

aztertzea,funtzioeiburuzdakitenazbaliatuz

(taulak,grafikoak…

),geroaztertzendutengertaera

horriburuzondorioakateratzek.

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.Funtzioabimagnituderenartekoerlazioarekinlo-

tzea.

2.Magnitude

askeak

etamendeko

magnitudeak

bereiztea.

3.Taulakerabiltzea,aztertunahidenerlazioazes-

kuradaudendatuakaztertzeko.

4.Grafikoakegitea,ondorioakateratzeko.

5.Grafikoanoinarrituta,erlazionatutadauden

al-

dagaienartekomendekotasun-erlazioadeskriba-

tzea.

GAITASUNBEREZIA

Grafikobateanirudikatzendeninformazioaikuspegi

kualitatibotikinterpretatzea,etaaztertzendenerla-

zioariburuzkoinformazioatransmititzekohiztegieta

nomenklaturaegokiaerabiltzea.

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.Kartesiarardatzetanpuntubatenkoordenatuak

zuzenadieraztea.

2.Planobatean

puntubatekadierazten

duen

in-

formazioainterpretatzea.

3.Informazioainterpretatzekohiztegiaegokiera-

biltzea:mendekoaldagaia,aldagaiaskea,abszisa,

ordenatua…

4.Adierazpenbatgrafikobateraaldatzeaetaalde-

rantziz.

5.Puntuetagrafikobidezkoirudikapenetanakatsak

aurkitzea.

GAITASUNBEREZIA

Gizarteari,ekonomiari,iraunkortasunari,antropolo-

giari…dagozkiengertaereiburuzkoinformazioa,gra-

fikotanemana,biltzea,ikasleakbereingurumenarieta

beregizarteariburuzinformaziogehiagoetahobea

izandezan.

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.Funtzioeiburuzkojakintzaaintzathartzea,ikas-

leakduenkulturaorokorraetabereingurumenari

buruzduenjakintzahobetzeko.

2.Aztertutakoerlazioakhobetoulertzekografikoen

interpretazioazbaliatzea.

3.Matematika-jakintzakhezkuntzaosorakoekar-

penpositiboaskodituelaulertzea.

GAITASUNBEREZIA

Problemabatenadierazpenaegiteko,problemak

ebazteko–logikazkoakbatezere–modugehiagoedu-

kitzeko,Venn-endiagramakerabiltzenjakitea.

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.Multzoeneskemak

erabiltzeaAetaB,AedoB,

NedoA

etaNedoB,Abakarrik(AetaezB)gi-

sakoazalpenakadierazteko.

2.Multzobatekizanditzakeenzatiakbereiztea.

3.Problemabatzuk

Venn-endiagramak

erabiliz

ebaztea.

GAITASUNBEREZIA

Lantaldearekinarretazetaardurazlanegitea,arauak

betez,langiropositiboaizandadin.

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.Moduegokianetaadeitasunezhitzegitea.

2.Egindakolanaidatzizargiadieraztea,lantaldeko

kideeigaiaongiulertzenlaguntzeko.

3.Ebatzidenproblemalankidebatipazientziazeta

egonarrizazaltzea,harkongiadieraziahalizan

dezan.

EDUKIAK

–Funtzio-kontzeptua.

–Puntuakirudikatzeaetain-

terpretatzea.

–Grafikoak

egitea

etainter-

pretatzea.

40

OINARRIZKOGAITASU

NAK:

IKASTEN

IKASI/H

IZKUNTZAGAITASU

NA/M

ATEMATIKAGAITASU

NA/G

AITASU

NSO

ZIALA

GAITASUNBEREZIA

Ingurumenekogertaereidagokienezproportzio-kon-

tzeptuazbaliatzea,egoerahoriekhobetoulertzeko,

balioezezagunakaurkitzeko,erabildaitezkeenme-

todoenarteanegokienazeindenbaloratuz.

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.Taulakerabiltzea,unitateramurriztea,A/B=kpro-

portzionaltasun-konstanteaerabiltzea,balioeze-

zagunakaurkitzekohirukoerregelaerabiltzea.

2.Hirukoerregelaproportzioarekinlotzeaetahortik

zerondorioztatzendenjakitea;ezdelametodoar-

bitrarioa.

3.Metodoguztietatik

balioberbererairisten

dela

ulertzea.

4.Metodohauekguztiakezagutzeakedukiasako-

nagotikezagutzekodutengarrantziaezagutzea.

GAITASUNBEREZIA

Zuzenekoproportzionaltasunbatenadierazpengrafi-

koazuzenarekinerlazionatzea,ikasleakfuntzioezduen

jakintzablokedesberdinenartekolotureiburuzduen

ezagutzasakontzekoaplikatuz,ikasketaorohartzaile-

agoaizandadin.

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.Taulabateanproportzionaltasun-konstanteazein

denatzematea.

2.Zuzenbatagertzen

dengrafikobatzuzeneko

proportzionaltasunekoegoerabatekinerlaziona-

tzea.

3.Blokedesberdinenartekoloturakikasketahobe-

tzekobaliabidegisaezagutzeabaloratzea.

GAITASUNBEREZIA

Pentsamenduakomunikatzeko,arrazoiakmatemati-

kako

hizkuntzaren

baliabideak

erabilizlantzeaeta

adieraztea.

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.“Proportzioa”terminoa

ikaslearen

hizkuntzan

sartzea.

2.Bimagnitude

elkarrekikozuzenean

proportzio-

nalakdirenargudioserioakerabilizarrazoitzea.

3.Bimagnitude

elkarrekikozuzenean

proportzio-

nalakdirenarrazoitzekotaulakasmatzea.

GAITASUNBEREZIA

Araubatemanik,zenbaki-segidak

egitea,horreta-

rakoikasleakduenmatematika-jakintzazbaliatuzeta

jokaerabitxiadutenzenbaitzenbakiikertzea,mate-

matika-munduazdutenjakintzahobetzeko.

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.Arauorokorrakzenbakiakeraldatzen

dituzten

makinamodukobatdirelaulertzea.

2.Arauorokorbataplikatuzsegidabatekozenbaki

ezezagunakasmatzea.

3.Zenbakifaktorialakkalkulatzea.

4.Zenbaki-segidabatosatzekoerabilidensekuen-

tzialogikoaedoarauaatzematea.

GAITASUNBEREZIA

Iritzi-desberdintasunaaintzathartzea,etanorberaren

pertsona-garapeneanaurreraegiteko

aldaketa-era-

gilegisaerabiltzea.

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.Talde-laneanikaskideeniritziaaintzathartzea.

2.Gauzakegitekoetapentsatzekomodubatbaino

gehiagodaudela…

etadenakinteresgarriakizan

daitezkeelaaitortzea.

EDUKIAK

–Proportzioaren

esanahia.

Arrazoiaetaproportzioa.

–Proportzionaltasunzuzena.

–Balio

ezezagunak

kalkula-

tzekometodoak.Grafikoa.

–Problema-ebazpena.

41

OINARRIZKOGAITASU

NAK:

IKASTEN

IKASI/H

IZKUNTZAGAITASU

NA/M

ATEMATIKAGAITASU

NA/G

AITASU

NSO

ZIALA

/GAITASU

NHUMANISTIKOAETAART

ISTIKOA/A

UTO

NOMIA

GAITASUNBEREZIA

Artean,pinturan,eskulturanagertzendirenplanoko

osagaigeometrikoakezagutzea,ondorenespazioaren

egiturakonplexuagoetanaurreraegiteko,horiekho-

betoulertzekoetasentiberatasunalantzeko.

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.Planoaetaespazioabereiztea.

2.Koadroetan,eskulturetanetaarkitektura-eraiki-

netanosagaigeometrikoak,angeluak,zuzenkiak,

atzematea.

3.Objektugeometrikoakezagutzekoetaaztertzeko

jakin-minaizatea.

4.Matematikakartearenmunduahobetoulertzeko

egindezakeenekarpenaaintzathartzea.

GAITASUNBEREZIA

Planokoosagaiakezagutzea,etairudibatenezauga-

rriakzehazkiadieraztekohiztegiamoduegokianera-

biltzea.

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.Planokoosagaienizenakjakiteaetahorienesa-

nahiaongiezagutzea:zuzenkia,erdibitzailea,in-

klinazioa,angelua,perpendikulartasuna,parale-

loa…

2.Planokoirudiakdeskribatzekoizenhoriekerabil-

tzea.

3.Zuzenparaleloaketazuzenperpendikularrakma-

rraztea.

4.Angelukontzeptua

ezagutzeaetaangeluekiko

eragiketakegitea.

GAITASUNBEREZIA

Propietateerrazakfrogatzea,etamatematikakopen-

tsamenduakdituenformakhobetoezagutzekobehar

direnurratsakikastea.

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.Egiaztatzearen

etafrogatzearen

arteko

desber-

dintasunaulertzea.

2.Frogantzabatenpausoakulertzenetagogoratzen

saiatzea.

3.Frogantzabateginbehardeneanzerurratsegi-

tendirenkritikokiaztertzea.

4.Frogatzeabetiereosobideerrazaezdelaohar-

tzea;norbaitekbehinfrogatuzuelaetagainera-

koekhuraulertzenetaikastenahalegindubehar

dugulakonturatzea.

GAITASUNBEREZIA

Taldekolankideeihaiekerrepikatubehardutenirudi

batadieraztekoemanbeharzaizkienjarraibideakerre-

pikatzekopazientziaizatea

etahorretarakohiztegi

egokiaerabiltzea.

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.Behardenazalpenabeharadinaaldizerrepika-

tzea.

2.Pausoetakobathobetoazaltzekoeskatzenbazaio

ezmintzea.

3.Hiztegiegokiaerabiltzensaiatzea.

4.Lankideenlanaobjektibotasunezetahobetzeko

asmozbaloratzea.

GAITASUNBEREZIA

Landutakoedukiensintesiaegitea,hutsuneekikoesal-

diakbetez,mapakosatuz…edukihoriekhobetouler-

tzekoetaikastekomoduahobetoulertzeko…

landu-

takoahobetogogoratzea.

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.Esaldiakosatzea.

2.Esaldibatenzatiakordenatzeazentzuaduenideia

batosatzeko.

3.Mapatxoetanutzitakohutsuneakosatzea.

4.Landutakoedukienartekoloturakulertzea.

5.Ikasketansintesiakduen

garrantziabaloratzea.

EDUKIAK

–Geometriarenesanahia

–Puntuak,zuzenak,distantziak.

–Angeluak:kontzeptua,unita-

tea,sailkapenaetaeragiketak.

42

OINARRIZKOGAITASU

NAK:

IKASTEN

IKASI/H

IZKUNTZAGAITASU

NA/M

ATEMATIKAGAITASU

NA/G

AITASU

NSO

ZIALA

/AUTO

NOMIA

ETAEK

IMEN

PERT

SONALA

GAITASUNBEREZIA

Planokoirudiakezaugarriakkontuanhartuzegiteaeta

sailkatzea,geometria-munduasakonagotik

ezagu-

tuz.

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.Poligonoaketapoligonoezdirenirudiakbereiz-

tea.

2.Triangeluarenosagaiakezagutzeaetasailkatzea.

3.Laukienarteanparalelogramoak,trapezioakedo

trapezoideakbereiztea.

4.Zirkunferentziarenosagaiaketazirkunferentzien

etazuzenenartekoposizioakezagutzea.

5.Irudiplanoakpausojakinbatzukeginezosatzea.

GAITASUNBEREZIA

Arauaketajarraibideakorokortzea,aljebrazko

hiz-

kuntzaerabiliz,kasupartikularrakaztertuz,balioeze-

zagunakbilatzeko.

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.Poligonobatenangeluzentralaetaaldeen

ar-

tekoangeluakbereiztea.

2.Orokortzebategiteko

eginbehardirenpauso

zehatzakkritikokiaztertzea.

3.Pausozehatzetanerrepikatzendenerregelabat

atzematea.

4.Ondorioztatutakoaraualetrabidezorokortzea.

Poligonoenosagaietarakoondorioztatutakoarau

orokorrak(angeluzentrala,diagonalkopurua…),

kasupartikularretarakoerabiltzea.

GAITASUNBEREZIA

Saiakuntza-hutsegiteestrategiazbaliatzea,metodo

aljebraikoakaskiezdirelabaloratuz,logikazkopro-

blemakebaztekomodugehiagoizateko.

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.Problemabatebaztekojarraitubehardirenpau-

soakplanifikatzea.

2.Jarraitutakoprozesuaetaaukerakzergatikbaz-

tertzendirenzehazkiadieraztea.

3.Soluzioamoduegokianadieraztea.

4.Saiakuntza-hutsegiteestrategiaaintzathartzea,

problemaekuaziobidezebatziezindaitekeene-

rako.

GAITASUNBEREZIA

Lantaldearekinarretazetaardurazlanegitea,arauak

betez,lan-giropositiboaizandadin.

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.Egokietaadeitasunezhitzegitea.

2.Egindakolanaidatzizargiadieraztea,lantaldeko

kideeigaiaongiulertzenlaguntzeko.

3.Ebatzidenproblemalankidebatipazientziazeta

egonarrizazaltzea,harkongiadieraziahalizan

dezan.

EDUKIAK

–Irudiplanoen

sailkapena:poli-

gonoak/ez-poligonoak

–Triangeluak:osagaiak,ezauga-

rriak,sailkapena

–Laukiak:paralelogramoak,tra-

pezioak,trapezoideak.

–Zirkunferentzia:osagaiak,posi-

zioak.

–Poligonoerregularrak:penta-

gonoak,hexagonoak.

43

OINARRIZKOGAITASU

NAK:

IKASTEN

IKASI/H

IZKUNTZAGAITASU

NA/M

ATEMATIKAGAITASU

NA/G

AITASU

NSO

ZIALA

/GAITASU

NHUMANISTIKOAETAART

ISTIKOA/A

UTO

NOMIA

ETAEK

IMEN

PERT

SONALA

GAITASUNBEREZIA

Irudiplanobateanperimetroaetaazaleraaurkitzea,

kontzeptuhoriekongiulertuz,egunerokobizitzan

agertzen

direnetaartearen

munduarekinzerikusia

dutenproblemakebazteko.

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.Perimetroaaldeenbaturadelaetaazalerairudia-

renbarrenarenneurriadelaulertzea.

2.Neurrihorietakobakoitzeandagozkionunitateak

erabiltzeaetabetiadieraztea.

3.Kalkuluakegiterakoanunitatezaldatzea.

4.Irudiplanoenperimetroaetaazaleramoduego-

kiankalkulatzea,horretarakoformulezedoeza-

gutzen

direnirudietan

deskonposatzekometo-

doazbaliatuz.

5.Problemaebaztekojarraitzendenprozesuaargi

etagarbiadieraztea.

GAITASUNBEREZIA

Matematika-edukidesberdinenartekoloturakegitea

(Aritmetika-Geometria,Aljebra-Geometria),formulak

aplikatzerakoanetakalkuluakegiterakoanhutsikez

egiteko.

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.Formulabatenbalioaaurkitzekozenbakienpro-

pietateakaplikatzea.

2.Berreketenpropietateakzuzenerabiltzea.

3.Aljebrazkojakintzazbaliatuzformulakonplexuak

ulertzea.

GAITASUNBEREZIA

Irudibatenformaetaneurriaikusiz,neurriarenhur-

bilketaegiteaerabakitzea,errealitatearen

izaerabi-

koitza–zehatza/gutxigorabeherakoa–kontuanhar-

tuz.

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.Hurbilketaeginnahidenneurriarendimentsioa

kontuanhartzea.

2.Geometriazdakienazbaliatzeafoliobaten,mahai

batenedobestegauzabatenperimetroakalde-

ratzeko.

3.Azalerabatenhurbilketaegitea,gutxienezkoeta

gehienezkomugakadieraziz.

4.Ezagutunahidenneurrialehendikezagutzenden

bestebatekinalderatzea.

GAITASUNBEREZIA

Egindakoakatsakzeineratakoakdirenzehaztea,ikas-

tekomoduahobetzeko.

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.Korda/arku,perimetro/azaleraongiulertueziza-

nagatikegindakoakatsakatzematea.

2.Beharzenformulaerabiliezdelako

egindako

akatsakatzematea.

3.Soluzioarenunitateakezadieraziizanagatikedo

moduegokianezadieraziizanagatikegindako

akatsakatzematea.

4.Aritmetikaedozenbakienpropietateakgaizkiba-

liatuizanagatikegindakoakatsakatzematea.

GAITASUNBEREZIA

Formulak,frogantzarenpausoakkritikokiulertuzfro-

gatzea,matematikaegiteko

modua

hobetoezagu-

tzeko(sektorearenazalera=zirkuluarenazalera-pro-

portzioa).

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.Egiaztatzearen

etafrogatzearen

arteko

desber-

dintasunaulertzea.

2.Frogantzabatenpausoakulertzenetagogoratzen

saiatzea.

3.Frogantzabateginbehardeneanzerurratsegi-

tenkritikokiaztertzea.

4.Frogatzeabetiereosobideerrazaezdelaohar-

tzea;norbaitekbehinfrogatuzuelaetagainera-

koekhuraulertzenahalegindubehardugulakon-

turatzea.

EDUKIAK

–Perimetroetaazalerakontzep-

tuak.

–Perimetroarenkalkulua,formu-

lak,

hurbilketa,unitate-alda-

keta.

–Azalera-kalkulua,formulak,fro-

gantzak,hurbilketak,irudisoi-

letandeskonposatuzkalkula-

tzea.

–Problema-ebazpena.

44

OINARRIZKOGAITASU

NAK:

IKASTEN

IKASI/H

IZKUNTZAGAITASU

NA/M

ATEMATIKA

GAITASU

NA/G

AITASU

NSO

ZIALA

/GAITASU

NDIGITALA

/GAITASU

NZIEN

TIFIKOA,TEK

NOLO

GIKOAETAOSA

SUNGAITASU

NA/A

UTO

NOMIA

GAITASUNBEREZIA

Gizarte-egoerakestatistikazko

jakintzazbaliatuzin-

terpretatzea,etabizigarenmunduaezagutzekoeta

hobetoulertzekomatematika-hiztegiegokiaerabil-

tzea.

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.Aldagai,populazio,laginkuantitatibo,histo-

grama…

kontzeptuakerabiltzeaetaulertzea.

2.Informazioainterpretatzekotaulaketagrafikoak

erabiltzea.

3.Maiztasunabsolutuarenetaehunekoenartekoer-

lazioaulertuzmaiztasun-taulakosatzea.

4.Datuezagunakikustekomoduanaztertzekoau-

keraematendutengrafikoakegitea.

GAITASUNBEREZIA

Populaziobatenezaugarriakezagutzekogalderaego-

kiakprestatzea,etaeskuratutakodatuak,haietatikon-

dorioakateratzekomoduanjasoetaantolatzea.

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.Galderagarbiaketaaztertzenerrazakdituztenin-

kestakegitea.

2.Informazioaateratzekoiturburuaizangodenpo-

pulazioazeindenaztertzea.

3.Eskuratutakodatuaklaburbiltzeko,taulakerabil-

tzea.

GAITASUNBEREZIA

Bildutakodatuenartean,emandakojardunbideeija-

rraituzedoemandakoformulakerabiliz,zenbaitneu-

rriaurkitzea,erahorretanautonomiazikastenikas-

teko,erahorretanohiturahoribizimoduahobetzen

lagundezakeenohiturabihurdadin.

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.Neurribakoitzarenkontzeptuaezagutzea.

2.Erabiltzendirenformulakulertzea.

3.Formulabateanagintzendirenpausoakegitea.

GAITASUNBEREZIA

Teknologiaberriezbaliatzea,informazioabiltzeko,eta

informaziohorigrafikobidezadieraztea,gertaeraso-

zialak,politikoak,ekonomikoaketaabarulertzeko

etaaztertzeko.

EBALUAZIOIRIZPIDEAK

1.InformazioabiltzekoInterneterabiltzea.

2.Grafikoakegitekoinformatikakoprogramakera-

biltzea.

3.Teknologiaberriekinformazio-iturrigisaerabil-

tzekodutenbalioaaintzathartzea.

4.Bildutakoinformazioamodukritikobateanana-

lizatzea.

EDUKIAK

–Estatistikaren

historiaetaesa-

nahia.

–Taulaketagrafikoakegitea.

–Neurrienkalkulua,ondorioak.

Emaitzak

47

1. Zenbaki hamartarrekiko eragiketak:

a) 56,739 + 4,672 = 61,411 b) 53,38 – 7,358 = 1.621,375

c) 463,25 · 3,5 = 46,022 d) 623,85 : 5,7 = 109,447

2. Buruz kalkulatzea, 10en berreturekin.

a) 34 · 10 = 340 b) 3,78 · 1.000 = 3.780

c) 0,34 · 100 = 34 d) 5.367 : 100 = 53,67

e) 7,2 : 10 = 0,72 f) 4.923,6 : 1.000 = 4,9236

3. Zatikiak irakurri eta idaztea.

9. orrialdea

Zatikia Irakurtzeko modua

4. Zatikiak grafikoki adieraztea, eta grafiko batean adierazten den zatia zatiki gisa adieraztea.

5. Zatiki baliokideak ezagutzea. Ilara hauen artean zatiki baliokideak direnak gezi bidez lotzea.

62

31

205

41

159

53

21

168

10030

103

+ + + + +

6. Zatikiekiko eragiketak. Egin eragiketa hauek.

a) b) c)

d) e) –32

31

31= – –3

161

62

61

61= =

51

52

53+ =

73

74

77 1+ = =

21

41

42

41

43+ = + =

Grafikoa Zatikia Zatikia Grafikoa

32

54

23

21

41

34

31

71

103

heren bat

zazpiren bat

hiru hamarren

Irakurtzeko modua Zatikia

zortziren bat

erdia

sei hamarren

81

21

106

Matematika DBH 1 Emaitzak.qxp:Maquetación 1 8/3/11 11:56 Página 47

48

10 . orrialdea1. Angelu-garraiatzailea erabiliz angeluak neurtu. Nola deitzen dira?

2. Irudi geometriko baten perimetroa eta azalera bereizi. Margotu gorriz irudi honen perimetroa, eta ber-dez azalera.

9. Unitate-aldaketa.a) 354 B = 35,4 H b) 30 E = 3.000 Bc) 7 M = 70 E b) 5 M = 5.000 B

10. Zenbaki arruntak eta zenbaki hamartarrak ordenatzea. Erabili < sinboloa txikitik handira ordenatzeko.0,028 0,33 7,05 32,07 32,71 1 1 1

7. Zenbaki baten multiploak, zenbaki lehenak eta zenbaki konposatuak. a) Inguratu marra urdin batez biren multiploak, marra berde batez hirurenak eta gorriz bostenak.

8. Zenbaki bat deskonposatzea.

2 6, 20, 12, 50, 24, 30 (biren multiploak)=o

3 3, 6, 15, 12, 27, 24, 30=o

5 5, 20, 15, 50, 25, 30=o

Lehenak 11, 13, 23

Konposatuak 12, 16, 121, 25, 80

"

"

48

24

12

6

3

1

2

2

2

2

3

60

30

15

5

1

2

2

3

5

b) Sailkatu zenbaki hauek, zein dira lehenak eta zein konposatuak: 12, 1 1 , 16 , 121 , 25, 13, 80, 23.

PerimetroaAzalera

42º Zorrotza 133º Kamutsa 90º zuzena

48 = 24 · 3 60 = 22 · 3 · 5

Matematika DBH 1 Emaitzak.qxp:Maquetación 1 8/3/11 11:56 Página 48

49

4. Bereizi zuzen paraleloak eta elkarzutak. Marraztu zuzen paraleloak eta zuzen elkarzutak.

3. Kalkulatu irudi geometriko baten perimetroa eta azalera.

Perimetroa : 2 · 2,5 + 2 · 7 = 19 cm

Azalera : b x h = 7 · 2,5 = 17,5 cm2

7 cm

2,5 cm

5. Bereizi poligonoen izenak.

r

st

v

r s paraleloak dira'

t v perpendikularrak dira=

Erronboa TrapezioaOktogonoaHirukiaLaukizuzena

6. Bereizi poliedroen izenak.

1. Dozena bat goma 3,6 € kostatzen bada, zenbat irabaziko du saltzaile batek 87 goma 50na zentimotansalduta?

12 . orrialdea

Piramidea Poliedro triangeluarra

12 goma = 3,6 € 87 · 50 = 4.350 zentimo saldu

1 goma 360 : 12 = 30 zentimo 4.350 – 2.610 = 1.740 = 17,40 € irabazi

87 goma 87 · 30 = 2.160 zentimo erosi"

"

Matematika DBH 1 Emaitzak.qxp:Maquetación 1 8/3/11 11:56 Página 49

50

2. Danelek 4 € ditu, Leirek Danelek halako bi du, Eukenek Leireren laurdena eta Aitorrek 5,30 €. Zenbatdiru falta dute denen artean 30 € izateko?

3. Aitorrek bere pagaren gastatu ditu, eta 3,5 € geratzen zaizkio oraindik. Zenbat diru zeukan?

4. Maiderrek 50 € ditu, eta hiru lagunen artean banatu nahi ditu. Lehenengoari bosten bat ematen dio,bigarrenari geratzen zaionaren ¾. Zenbat euro hartuko du hirugarrenak?

50 € ditu "

83

30 —19,30 10,7 FALTA=

AITOR 5,30 GUZTIRA 4 8 2 5,30 19,3+ + + =" "

·DANIEL 4 LEIRE 4 2 8 EUKENE 8 : 4 2= =" " "

·Geratzen da 3,5 81 0,7 8

8 0,7 8 5,6

3,5 : 5 0,7

= = = =

=

" "

Paga osoa

Paga

–

–

1go 50en 51 10 Geratzen zaio 50 10 40

2. 40en 43 30 Geratzen zaio 40 30 10

3. 10

= =

= =

"

"

5. Urtegi batean 6.875 litro ur sartzen dira egunean, eta astean 109.000 litro ur gastatzen dira. Zenbat li-tro ur geratzen dira hilean?

6. Kepak auto bat erosi du eta 35.996 € kostatu zaio. 5.000 €-ko sarrera bat ordaindu du, eta ordaintzekogeratzen dena hiru urtean ordaindu behar du. Zenbat ordaindu behar du hilean?

·Egun 1 6.875 l Sartu 6.875 7 48.125 l astean sartu

Aste 1 7 egun 59.500 l gastatu

=

=

" "

"

•• • • •

Azalera = 35.996 € Sarrera= 5.000 €

35.996 - 5.000 = 30.996 € geratzen zaizkio

30.996 : 3 = 10.332 € urte bakoitzean

10.332 : 12 = 861 € hilabete bakoitzean

Matematika DBH 1 Emaitzak.qxp:Maquetación 1 8/3/11 11:56 Página 50

19 . orrialdea

2. 3 < 2, ongi adierazita dago?

Ez, 2 < 3. Bi, hiru baino txikiagoa da.

3. Deskribatu zenbaki arruntez egoki adieraz ezin daitekeen egoeraren bat.

Neguan egiten duen hotza, herrialde batzuetako tenperatura.

Pastel bat, bost lagunen artean banatu nahi denean.

22. orrialdea

4. Zuzen / Oker (Argudiatu, zuzendu, kontrako adibideak jarri…)

a) Oker, 345 < 256, hau da, 256, 345 baino txikiagoa da.

b) Oker, zenbaki arrunt baten atzetik, beste bat dago bera baino handiagoa.

c) Oker, zenbaki arruntak N handiaz adierazten dira eta, infinitua da multzoa.

d) Oker, zuzen batean bitarteak mantendu behar dira, eta eskala gorde.

e) Oker, egiazko zuzena dagoen bezala, A = 60.

5. Zuzen / Oker

a) Zuzen 1 + 0,21 + 1,22 + 0,23 + 0,24 + 25

b) Oker .

c) Oker 11.1012 = 1,24 + 1,23 + 1,22 + 0,2 + 1 = 1 = 29 eta VL = 45

6. Begiratu ondoko historiako data hauei, erromatar zenbakiz idatzita daude:

a) Frantziako Iraultza MDCCLXXXIX 1789b) Lehen Mundu Gerra MCMXIV 1914

Idatziko zenituzke data horiek zenbakikuntza-sistema hamartarrean?

a) 1789

b) 1914

7. Bihurtu zenbaki hamartarretara eta aztertu ea ondoko ordenamendu hau zuzen dagoen. Zuzen ez badago, ordenatu zuzen.

101 1 2 0 2 1 5

111 1 2 1 2 1 7 4 5 7 100 101 111

100 1 2 0 2 0 2 4

· ·

· ·

· · ·

2

2

2

2

2

2 1

1

1

0

= + + =

= + + =

= + + =

" "1 1 1 12 2 2

"

CMXCIX delako eta CM 1X 909 da+" "

"

1. Bilatu zeroz bukatzen den 97.734ren aurreko zenbakia eta zeroz bukatzen den hurrengo zenbakia. Or-dena itzazu < sinboloa erabiliz.

97.730 97.734 97.7401 1

aritm

etik

a

51

Matematika DBH 1 Emaitzak.qxp:Maquetación 1 8/3/11 11:56 Página 51

aritm

etik

a

52

25. orrialdea

10. Irakurri esaldi hauek eta adieraz itzazu zatiketa baten bidez, eta gero bilatu ezagutzen ez den elementua.

a) Bilatu zatiketa baten zatikizuna, zatitzailea 4 dela, zatidura 6 dela eta hondarra 1 dela jakinik.

b) Bilatu zatiketa baten hondarra, zatidura 2 dela, zatikizuna 13 dela eta zatitzailea 5 dela jakinik.

c) Bilatu zatiketa baten zatitzailea, hondarra 2 dela, zatidura 10 dela eta zatikizuna 32 dela jakinik.

d) Bilatu zatiketa baten zatidura, zatitzailea 2 dela, hondarra 1 dela eta zatikizuna 17 dela jakinik.

9. Pitagorikoen izarretik abiatuta, aurkitu lerro guztien batura berdina izango den lau zenbaki.

20

18 17

-3

-1-4

-2

1416

1 64?

1325

?

32102?

1 ?217

? = 4 · 6 + 1 ? = 25"

5 · 2 + ? = 13 ? = 3"

2 · ? + 1 = 17 ? = 8"

1526

324

7

273 6

c)

b)

d)

? 15 6 2 ? 15 12 ? 3– · –= = =" "

27 6 ? 3 27 3 6 ? 24 : 6 ?· – ·= + = =" "

32 ? 7 4 28 ? 7 ? 4· ·= + = =" "

? · 10 + 2 = 32 ? = 3"

8. Bilatu ondoko zatiketa hauetan falta diren elementuak.

24. orrialdea

1 23a)

? 2 3 1 ? 7·= + ="

Matematika DBH 1 Emaitzak.qxp:Maquetación 1 8/3/11 11:56 Página 52

aritm

etik

a

53

12. Idatzi kenketak biderkadurari dagokionez duen banaketa-legearen adibide bat.

Egiaztatu aurreko adibide horretan legea bete egiten dela. Adierazi letra bidez lege hori eta azaldu hitzetan.

Parentesi barruan kenketa eta aurrean biderketa badago, kenkizuna eta kentzailea bere aldetik biderka-tzen dira eta gero kenketa egiten da.

11. Hiztegia landu behar dugu, eta, horretarako, zenbakien ordez letrak erabiliz adieraziko ditugu eragike-tak, hala orokorragoak izan daitezen (ALJEBRARAKO sarbidea izango da).

Eragiketa AdibideaOrokorrean letraz

adierazitaElementu bakoitzaren

izena

BATUKETA 3 + 2 = 5

7 · 3 = 21

a + b = c

d · e = f

x – y = w

a, b batugaiak,c batuketaren emaitza

d, e biderkaduraren biderkagaiak, f biderkadura

x kenkizuna, y kentzaile, wemaitza

Zk zatikizuna, Ztz zatitzailea,Zd zatidura eta hondarra

7 – 2 = 5

Zk = Ztz · Zd + H

BIDERKETA

KENKETA

ZATIKETA2 2

38

27. orrialdea

3 · (8 – 5) = 3 · 8 – 3 · 5 – –– –

3 3 9

3 8 3 5 24 15 9a (b c) a b a

·

· ·· ·

=

= ==" ")

13. Osatu taula hau:

AZALPENA

Trukakortasuna: Biderkagaien ordena aldatzerakoan emaitza ez da aldatzen.

Elkartze-legea: Biderkagaiak multzotan bana daitezke.

Elementu neutroa: Beste bati batzean lehen zegoen bezala uzten duen elementua da.

Banatze legea: a · b + a · c Parentesi barruan batuketa, aurrean biderketa; batugai bakoitza bere alde-tik biderkatzen da eta batuketa egiten da.

"

PROPIETATEA ADIBIDEA OROKORREAN AZALPENA

Trukakortasuna 3 · 5 = 5 · 3 x · y = y · x

Elkartze legea 10 · 3 · 5 = (10 · 3) · 5 x · y · z = (x · y) · z

Elementu neutroa 8 · 1 = 8 a · 1 = a

Beste bati batzean lehen zegoen

bezala uzten duen elementua da

Banatze-legea 5 (3 + 2) = 5 · 3 + 5 · 2 a (b + c) = a · b + a · c

Matematika DBH 1 Emaitzak.qxp:Maquetación 1 8/3/11 11:56 Página 53

14. Zuzen / Oker. Jarri aldeko eta kontrako adibideak, azaldu propietatea, zuzendu zuzen egon dadin.

a) Oker Batuketaren elementu neutroa 0 da.

b) Oker Bakarrik eragiketa bat, batuketa edo biderketa.

c) Oker 3 · (2 + 4) = 3 · 2 + 3 · 4

d) Oker 5 · (2 · 7) = 5 · 2 · 7

15. Zein dira ondoko eragiketa hauetan erabili ditugun propietate edo legeak?

a) Elkartze 3 · 5 · 10 = 30 · 5 = 150

b) Trukatze x · 3 = 3 · x

c) Banatze (7 – 4) · 2 = 7 · 2 – 4 · 2

d) Elkartze 3 · x · 5 · y = (3 · 5) · x · y = 15 · x · y

16. Zure iritzian ongi erabili dira propietate horiek? Gaizki erabili badira, zuzendu itzazu.

a) Gaizki 5 + (7 + 4) = 5 + 7 + 4

b) Ondo (x · y) · z = (x · z) · y

c) Gaizki 3 · (5 · 4) = 3 · 5 · 4

d) Gaizki a + (b · c) = a + b · c

18. Kalkulatu ondoko eragiketa hau:

2 · 7 · 8 · 5 = (2 · 5) · (7 · 8) = 10 · 56 = 560

19. Aplikatu banaketa-legea eta gero atera biderkagai komuna.

Banaketa-legea

a) 2 · (3 + 7) = 2 · 3 + 2 · 7

b) a · (7 – 2) = a · 7 – a · 2

c) t · (5 + 6) = 5 · t + 6 · t

Biderkagai komuna

a) 4b – b = b · (4 – 1)

b) 2t – 5t = t · (2 – 5)

c) 6z + 8z = 2z · (3 + 4)

28. orrialdea

54

aritm

etik

a

Matematika DBH 1 Emaitzak.qxp:Maquetación 1 8/3/11 11:56 Página 54

20. Atera biderkagai komuna ondoko eragiketa hauek egiteko:

a) 12 · 11 – 10 · 11 = 11 · (12 – 10) = 11 · 2 = 22

b) 12 · z – 4 · z = 4z · (3 – 1) = 2 · 4z = 8z

c) 10 · 4 + 10 · 3 = 10 · (4 + 3) = 10 · 7 = 70

d) 10 · x – 3 · x = x · (10 – 3) = 7x

e) 7 · 3 + 5 · 3 – 10 · 3= 3 · (7 + 5 – 10) = 3 · 2 = 6

f) 10 · t + 5 · t – 3 · t = t · (10 + 5 – 3) = 12t

21. Biderkai komuna erabiltzea aljebraren hasiera.

5x – x= (5 – 1) x = 4x

8t + 2t – 3t = (8 + 2 - 3) · t = 7t

22. Aurreko hiru arauak betez, egin ondoko ariketa hauek.

a) 12 – 3 + 6 – 4 + 7 = 25 – 7 = 18

b) 30 – (5 – 7) = 30 – (-2) = 30 + 2 = 32

c) 20 + 3 · 5 = 20 + 15 = 35

d) 17 – 3 · (5 – 2) = 17 – 3 · 3 = 17 – 9 = 8

e) 5 · 7 – 4 + 15 : 3 = 35 – 4 + 5 = 40 – 4 = 36

f) 12 – 3 · 2 + 5 · 4 =12 – + 20 = 32 – 6 = 26

g) 12 – 5 · 2 + 14 : 7 = 12 – 10 + 2 = 14 – 10 = 4

h) 3 · 4 – 2 · (7 – 6) + 5 · (11 – 9) = 12 – 2 · 1 + 5 · 2 = 12 – 2 + 10 = 22 – 2 = 20

30. orrialdea

55

aritm

etik

a

Matematika DBH 1 Emaitzak.qxp:Maquetación 1 8/3/11 11:56 Página 55

aritm

etik

a

56

23. Akatsak aurkitzea. Bilatu ariketan egin den akatsa, eman azalpen bat eta zuzendu.

24. Aztertu ondoko ariketa honen ordena, eta osa ezazu, pauso berberak eginez.

Ariketa: – – –

– – – – – – –

45 3 2 5 (9 2 3 15 : 5)

45 6 5 (9 6 3) 45 6 5 6 45 6 30 9

· · ·

· ·

+ =

= + = = =

25. Batzuetan, parentesi baten barruan beste bat behar izaten da, eta, hori nahasbidea izan daitekeenez, bestesinbolo batzuk erabiltzen dira: kako zuzenak [ ] eta giltzak { }.Halakoetan, barrutik kanpora egin behar izaten dira eragiketak.

Ariketa:

a) 25 – [10 + 2 · (7 + 5) – 10 : 2] – 2 · (4 + 7) =

b) 25 + 3 · {2 + [18 – 2 · (7 – 5)]} + 15 – 3 =

25 10 2 12 5 2 11

25 10 24 5 22 25 29 22 26

– · – – ·

– – – – –

= + =

= + = =-6

6

@

@

– –

– –

– –

–

25 3 2 18 2 2 15 3

25 3 2 18 4 15 3

25 3 2 14 15 3 25 3 16 15 3

25 48 15 3 85

· ·

·

· ·

= + + + =

= + + + =

= + + + = + + =

= + + =

6

6

@

@

"

"

"

,

,

,

ARIKETAAKATSARENAZALPENA

ZUZENKETA

20 – 7 · 2 =13 · 2 =

26

20 – 7 · 2 =20 – 14 =

6

Lehendabizi biderketaegin behar da etagero kenketa.

5 · 4 – 3 + 10 : 5 =5 · 1 + 2 =5 + 2 =

7

Lehendabizi biderketaeta zatiketa, gero kenketa.

20 – 3 + 2 =22 – 3 =

19

12 – 7 · 2 =12 – 14 =

-2

3 + 8 =11

7 – 5 + 4 + 4 =15 – 5 =

10

Lehendabizi parentesia,gero biderketa eta azkenean kenketa.

Lehendabizi zatiketa,gero kenketa eta batuketa.

Lehendabizi biderketa,gero batuketa.

12 – 7 · (6 – 4) =5 · (6 – 4) =5 · 2 =

10

3 + 4 · 2 =7 · 2 =

14

7 – 5 + 4 + 8 : 2 =2 + 4 + 8 :2 = 14 : 2 =

7

Matematika DBH 1 Emaitzak.qxp:Maquetación 1 8/3/11 11:56 Página 56

aritm

etik

a

57

31 . orrialdea

26. 345 hiru zifra edo digituko zenbaki bat dela esaten dugu. Bi digituko zenbat zenbaki daude sistemahamartarrean? Eta hiru digituko zenbat?

– 90 zenbaki (100 – 10) – 900 zenbaki (1.000 – 100)

27. Hiru pertsonaia famatu hauetatik zein hil zen gazteen?

92 urte Eratostenes (K. a.ko 284 – 192)

78 urte Galileo Galilei (K. o.go 1564 – 1642)

75 urte Pitagoras (K. a.ko 572 – 497)

92 urte Tales Miletokoa (K. a.ko 639 – 547)

28. Zein letraren bidez adierazten da zenbaki arrunten multzoa? Adierazi multzo hau giltzak eta Venn-endiagrama bat erabiliz.

29. ZUZEN / OKER: Jarri adibideak, esan zein propietate erabiltzen den, egiaztatu berdintza, zuzendu okerrak…

a) Oker. 33 = 100.0012 = XXX III

b) Zero zenbakia beste zenbaki arrunt guztiekin batera sortu zen.

c) Oker. Ordenagailuak hizkuntza hau darabilte, adibidez.

d) Oker. 3.843 > 3.487

e) Zuzen. a – b = d a = b + d egia da kenketen propietatea da.

30. Idatzi baldintza hauetako bakoitza betetzen duen zenbaki arrunt bat.

a) 42 > 27 b) 88 c) 34 < 56 d) 44

""

0 1

24100 999

2

N

1, 2, 3, 4, ............= 3" ,N

31. Osatu taula hau:

Sistema hamartarra Sistema bitarra1 12 103 114 1005 1016 1107 1118 1.0009 1.00110 1.010

UNITATE HONETAN LANDU DEN GUZTIA BERRIKUSTEKO ARIKETAK

Matematika DBH 1 Emaitzak.qxp:Maquetación 1 8/3/11 11:56 Página 57

(ONDORIOZTATU) Aurreko taula kontuan hartuta, erantzun ondoko galdera hauei:

a) Zenbaki baten azkeneko zifra bikoitia baldin bada, sistema bitarrera itzulirik, azkeneko zifra zero dabeti.

– Bai. Adibidez, 61 = 111.101

b) Zenbaki baten azkeneko zifra, sistema bitarrean, 1 baldin bada, sistema hamartarrean bakoitia da beti.

– Bai. Adibidez:

32. Bilatu 4, 7, 3 zifrak erabiliz osa daitezkeen hiru zifrako zenbaki guztiak. Antolatu zenbaki horiek handi-tik txikira, < sinboloa erabiliz.

743 > 734 > 473 > 437 > 374 > 347

33. Kalkulatu 2, 5, 6, 9 digituak erabiliz osa daitezkeen zenbaki handienaren eta txikienaren arteko diferentzia.

Handiena: 9.652Kenketa 9.652 – 2.569 = 7.083

Txikiena: 2.569

34. Eman aztertu ditugun propietateen erabilgarritasuna garbi erakusten duten adibide batzuk (bi, gutxienez).

– Banatze-legea 3 · (5 + 6) – 3 · 5 + 3 · 63 · 11 – 15 + 18

– Elkartze-legea 6 + 2 + 5 = (6+2) + 5 = 6 + (2 + 5)

35. Egia al da biderkatzaile komuna ateratzea hau dela?3 · 2 + 7 = 3 · (2 + 7)

– Ez. 3 · 2 + 7 = 6 + 7 = 13– Komuna hau da: 3 · (2 + 7) = 3 · 2 + 3 · 7 = 6 + 21 = 28

36. Egiaztatu hau gezurra dela:

"

"

101.001 1 2 0 2 1 2 0 2 0 2 1 2 32 8 1 41· · · · · ·25 4 3 0= + + + + + = + + =

3 2 4) 3 2 4

3 6 6 4

18 10

· ·

·

+ +

+

!

!

!

^

32. orrialdea

PROBLEMAK EBAZTEN

1. Leirek 50 euro ditu, eta 1,5 € gastatzen ditu goizero, egunkariak erosten. Leireren aita oso eskuzabala da,eta 1 € ematen dio gauero mandatu hori egiteagatik. Zenbat egunetan jarraitu ahal izango du martxahorretan erosiz?

– Egunero gastatzen du 1,5 – 1 = 0,5 €

50 : 0,5 = 100 egun58

aritm

etik

a

Matematika DBH 1 Emaitzak.qxp:Maquetación 1 8/3/11 11:56 Página 58

2. Gizon bat 1959an jaio zen, eta 31 urte zituela ezkondu zen. Handik bi urtera seme bat izan zuen, eta 8urte geroago alaba bat. Ze urtetan jaio zen alaba hori?

– Ezkondu: 1959 + 31 = 1990

– Semea jaio: 1990 + 2 = 1992 Alaba? 1992 + 8 = 2000 urtean

3. Igonek bi seme ditu, Iker eta Mikel. Mikelek 1.200 €-ko soldata du eta Ikerrek Mikelek baino 175 €gehiago irabazten du. Igonek bere bi semeen soldaten batura baino 60 € gutxiago irabazten du. Zen-bat diru sartzen da hilero Igoneren etxean?

– Mikel 1.200 €

– Iker 1.200 + 175 = 1.375 €

– Igone 1.200 + 1.375 – 60 = 2.515 €

– Guztira etxean 2.515 + 1.200 + 1.375 = 5.090 €

4. Ikasturtea bukatutakoan apunteak koadernatu egin nahi ditugu, eta bi aurrekontu eman dizkigute ho-rretarako. Batean fotokopia bakoitzeko 4 zentimo eta koadernatzeagatik 5 € eskatzen dizkigute. Bestean,fotokopia bakoitzeko 5 zentimo eta koadernatzeagatik 4 €. 120 orri baldin baditugu, zenbatekoa izangoda aurrekontu bakoitza? 12 € baldin baditugu, zenbat diru geratuko zaigu koadernatze merkeena eginda?

– 1. 0,04 · 120 = 4,80 € 4,8 € + 5 € = 9,8 € 12 € – 9,8 € = 2,2 €

– 2. 0,05 · 120 = 6€ 6 € + 4 € = 10 €

5. Jonek Kepak baino 25 kromo gutxiago ditu, eta Kepak Danelek baino 7 gehiago. Zenbat kromo dituzteJonek eta Kepak, Danelek 60 dituela jakinik?

Danelek = 60 kromo

Kepak = 60 + 7 = 67 kromo

Jonek = 67 – 25 = 42 kromo

6. Iturri bati minutuko 15 litro ur dario, eta beste bati, 12 litro denbora berean. Zenbat litro isuriko dutebien artean ordu laurden batean?

1’ (minutu batean) = 15 + 12 = 27 l

15’ (laurden batean) = 27 · 15 = 405 l

7. Gorkaren aitona 1888an jaio zen eta 92 urte zituela hil zen. Amona 9 urte geroago hil zen, 89 urte zi-tuela. Zer urtetan jaio zen Gorkaren amona?

Aitona hil: 1888 + 92 = 1980 urtean hil zen.

Amona hil: 1989 urtean Amona jaio: 1989 – 89 = 1900 urtean.

8. Zinema areto batean 250 eserleku daude. Sarreraren prezioa 6 € da. Gaur 47 eserleku hutsik geratu dira,eta 3 pertsona ordaindu gabe sartu dira, gainera. Zenbat diru jaso dute gaur leihatilan?

250 – 47 = 203 eserleku.

203 – 3 = 200 bete dira ordainduta.

200 · 6 = 1.200 €.

"

"

"

"

"

"

"

"

59

aritm

etik

a

Matematika DBH 1 Emaitzak.qxp:Maquetación 1 8/3/11 11:56 Página 59

33. orrialdea

9. Nekazari bat 2.645 kg patata, kiloko 30 zentimoan saltzera zihoan, baina eskaintza ez zitzaion ona iruditu,eta ganbaran utzi zituen 6 hilabetez. Han 700 kg usteldu zitzaizkion, eta gainerakoak kiloko 35 zentimo-tan saldu zituen. Negozio ona egin zuen nekazari horrek? Dirua galdu ala irabazi egin zuen? Zenbat?

2.645 · 30 = 79.350 zentimo 793,5 € hasieran.2.645 – 700 = 1.945 Kg 1.945 · 35 = 68.075 zentimo = 680,75 €Galdu egin zuen 793,5 – 680,75 = 112,75 €

10. Aurten esnearen prezioa litroko 30 zentimo igo da. Orain 48 litro 72 € ordaindu baldin baditugu, zen-batean zegoen litroa iaz?

72 : 48 = 1,5 € litroa aurten.1,5 – 0,3 = 1,2 € litroa iaz.

11. Jokinek 13 urte ditu, eta Jokinen amak 44. Zenbat urte izango ditu amak Jokinek 44 urte dituenean?

44 – 13 = 31 urte diferentzia.44 + 31 = 75 urte amak.

12. Gasolina-kamioi batek 7.845 litro erregai deskargatzen du gasolindegi batean. Geroago, 4.870 litro des-kargatzen ditu beste gasolindegi batean. Guztira 15.000 litroz kargatuta bazihoan, zenbat litro geratzenzaizkio orain?

– Deskargatu guztira: 7.845 + 4.870 = 12.715 l– 15.000 – 12.715 = 2.285 l geratzen zaizkio.

"

"

"

Taldeko lana1. LANA: ZENBAKI MAGIKOA / MISTERIOZKO ZENBAKIA 142.857

a) 142.857 · 3 = 428.571 142.857 · 4 = 571.428142.857 · 5 = 714.285 142.857 · 6 = 857.142Zifra berberak ateratzen ditugu, ordena desberdinean.

b) 142.857 · 7 = 999.999 Digitu guztiak 9 dira.c) 142.857 · 8 = 1.142.856 7a desagertzen da, eta beste 1 bat eta 6a agertzen dira; horien batura

desagertu den digituaren berdina da.d) 142.857 · 9 = 1.285.713 4a desagertu da, eta 1 eta 3 agertu dira; horien batura 4 da.

2. LANA: OSO ZENBAKI MAGIKO BETE BAT 123.456.789a) 123.456.789 · 9 = 1.111.111.101

123.456.789 · 18 = 2.222.222.202123.456.789 · 27 = 3.333.333.30318, 27… 9ren multiploak dira. Beraz, emaitza kopuru horrez biderkatzen da, 2z eta 3z alegia.

60

aritm

etik

a

Matematika DBH 1 Emaitzak.qxp:Maquetación 1 8/3/11 11:56 Página 60

3. LANA: OSO ONGI ANTOLATUTAKO BERBIDURA BATZUKa) 33.3342 = 1.111.155.556

10 zifra izango ditu. Zifra kopurua zenbakiak zuen zifra kopuruaren bikoitza da.b) 33.3342 = 1.111.155.556c) 3.333.3342 = 11.111.115.555.556d) Berbidura eragiten diogun zenbakiari 3 gehitzen diogun bakoitzeko, emaitza berdina da, baina on-

dotik 1 bat eta 5 bat gehituta.

4. LANA: 9 ZENBAKIA, PROPIETATE BITXIAK DITUEN ZENBAKI BATa) 9 · 98.765 = 888.885

9 · 987.654 = 8.888.886b) Bederatziz biderkatzean digitu bat eransten diogun bakoitzeko, emaitza lehengo bera da, 8 bat

gehiagorekin eta bukaeran, erantsi zaion digituarekin batuz gero 10 ematen duen zifra batekin.

34. orrialdea

Problemakebaztea

Zenbatzeaordenatzea

Kalkulagailua

TrukakortasunaElkarketaBanaketa

NEragiketakZENBAKI

ARRUNTAK

Lehentasunaedo hierarkia

Hiztegia:batugaiak,

biderkagaiak,zatigaia...

ZENBAKI ARRUNTAK – SINTESIA

1.

Zer egin? Batzuetan erabiliko dugu

Honela adierazten dira

Balio dute

Erabili behar duguKontutan hartubehar dugu

Zer propietatedituzten

b) 123.456.789 · 54 = 6.666.666.606

9 · 6 = 54

, a zenbaki arrunta delarik.

123.456.789 123.456.789 9 a 1.111.111.101 a a.aaa.aaa.a0a9 = = =: : : :o

9 9 a·=o

61

aritm

etik

a

Matematika DBH 1 Emaitzak.qxp:Maquetación 1 8/3/11 11:56 Página 61

1. Propietateak. Osatu taula hau.

2. Egia da kenketak trukakortasun-propietatea duela? Ez. Kenketak ez du trukakortasun propietatea.

Adibidez:

Egia da elementu neutroa 1 izaten dela beti? 1 elementu neutroa da beti, baina eragiketa biderketa de-nean. Batuketan, adibidez 0 da.

9 4 4 9– –!

2. Osatu esaldi hauek:

Era askotako zenbakiak ezagutzen ditugu, adibidez, arruntak, osoak, baina lehenengo azaldu zirenakzenbaki arruntak izan ziren, zenbatzeko balio zutelako.Guk sistema hamartarra erabiltzen dugu, baina badira beste asko, adibidez bitarra.

3. Eskemaren eta kontzeptu-maparen arteko desberdintasuna. Idatzi zure koadernoan esaldi hauek:

a) ESKEMA batean, lantzen ditugun kontzeptuak agertzen dira, elkarren arteko loturarik gabe.

• Idazkera

Zenbaki arruntak {• Kontzeptua

• Historia

• Idazkera

Zenbaki osoak {• Propietateak

• Historia

– Sintesia egiteko modu bat LOTURAK GABE!!!

b) KONTZEPTU MAPA batean, landutako kontzeptuak eta kontzeptu horien arteko loturak ager-tzen dira. Kontzeptu-mapa bat irakurtzeak landutako kontzeptuak hobeto ulertzen laguntzen dueta denbora pasatzen denean ez ahazten.

Kontzeptuak loturekin agertzen dira.

IKASTEN IKASI, gaitasunerako laguntzen du.

* Saiatu mapa txikiak egiten hasieran eta polikipoliki joan zabalagoak egiten.

ZenbakiarruntakZer dira? Zertarako?

Nola?

35. orrialdea

ZENBAKI ARRUNTEN AUTOEBALUAZIOA

62

aritm

etik

a

IZENA ADIBIDEA OROKORREAN AZALPENA

Trukatze-legea 4 + 8 = 8 + 4 a + b = b + a Batugaien ordenak ez du aldatzen batura.

Banatze-legea 3 · (4 +2) = 3 · 4 + 3 · 2 a · (b +c) = a · b +a · c

Parentesi barruan batuketa dagoenean,eta honen aurrean biderketa, batugaibakoitza biderkatzen da eta gero batuketa egiten da.

Elementu-neutroa 5 + 0 = 5 a + 0 = a Beste batekin batuz gero, hau ez deneanaldatzen.

Matematika DBH 1 Emaitzak.qxp:Maquetación 1 8/3/11 11:56 Página 62

4. Zenbakikuntza-sistemaz aldatzea.

a) 10 – 2 · 3 =10 – 6 =

4

b) 9 – 3 · (5 – 2) =9 – (3 · 3)=

9 – 9=0

c) 3 · 2 + 8 + 10 : 2 =6 + 8 + 5 =

9

5. Egin eragiketa hauek:

Sistema hamartarra Sistema bitarra

45 101.101

18 10.010

6. Jokinek 20 hamster erosi zituen 70 €-an. Garraioan 4 hil zitzaizkion. Hamsterrak salduz 42 € irabazinahi baldin bazituen, zenbatean saldu behar zuen bakoitza?

a) 5 · 4 – 3 · 6 + 20 : 4 = 20 – 18 + 5 = 25 – 18 = 7

b) 12 – 2 · (8 – 4) + 3 · (22 – 4) = 12 – 2 · 4 + 3 · 18 = 12 – 8 + 54 = 66 – 8 = 58

c) 3 · 7 – 4 · (12 – 3 · 2 + 8 : 4) = 21 – 4 · (12 – 6 + 2) = 21 – 4 · (14 – 6) = 21 – 4 · 8 = 21 – 32 = -11

d) 20 – 3 {12 – [4 + 7 · (5 – 4)]} = 20 – 3 {12 – [4 + 7 · 1]} = 20 – 3 {12 – [4 + 7]} =

= 20 – 3 {12 – 11} = 20 – 3 · 1 = 20 – 3 = 17

7. Leire ikasgelan isilik egoten den egun bakoitzeko, irakasleak 20 puntu gehitzen dizkio, eta hitz egitenduen bakoitzeko 5 puntu kentzen. 12 egunen buruan Leirek 40 puntu baldin baditu, zenbat egunetanegon da isilik, eta zenbatetan ez?

–20 4 16 hamster ditu

70 42 112

=

+ =€ bakoitza.112 : 16 7=

3. Zuzendu eragiketen lehentasuna betetzean egin diren akatsak.

63

aritm

etik

a

Egunak Ondo Gaizki Puntuak

0 12 -60

1 11 20 – 50 = -35

2 10 40 – 50 = -10

3 9 60 – 45 = + 15

4 8 80 – 40 = 40 4 ondo eta 8 gaizki"

5 7 100 – 35 = 65 Hemendik aurrera puntu gehiago izango zuen"

6 6

Matematika DBH 1 Emaitzak.qxp:Maquetación 1 8/3/11 11:56 Página 63