Riesgo y Rendimiento

FINANZAS II

Freddy Zavala Garca

TEORIA DE RIESGO

Teora del Riesgo

Est dado por la variabilidad de los retornos de unactivo determinado

Es la posibilidad que los flujos de fondos realessean diferentes a los flujos de fondospronosticados

Si el retorno es conocido con certeza, es unainversin libre de riesgo

Conceptos

Riesgo o Incertidumbre

Teora del Riesgo

Una inversin es riesgosa cuando el emisorpuede no puede no cumplir los pagos esperadosen cualquier otro tipo de activo.

Los posibles retornos son variables y puedeasignarse una probabilidad a cada resultado

La probabilidad de ocurrencia es la probabilidadde que un determinado resultado se produzca.

Probabilidad de Ocurrencia

Por qu debe interesarnos evaluar el riesgo de una Inversin?

Teora del Riesgo

Cul inversin realizamos?

Riesgo y RentabilidadActivo Rentabilidad (%) Riesgo (%)

A 16 10B 12 2C 15 2

Teora del Riesgo

Las medidas de riesgo mas conocidas son medidas de variabilidadde las series histricas.

Por qu utilizar estas medidas, si realmente no miden el riesgo ysolo miden variabilidad histrica de una serie?

El Riesgo es la probabilidad de prdida y esta solo se aproxima ala variabilidad en caso de no existir capacidad predictiva de los

inversionistas.

Teora del Riesgo

Se puede predecir o no el comportamientofuturo de las variables?

Existe un orden (aunque desconocido) en elcomportamiento de las variables?

Existe un orden o solo hay CAOS? El universo, el Mercado de Capitales son

predecibles?

Riesgo y Caos

Teora del Riesgo

Puede ser entendidocomo la probabilidad deperder.

El riesgo asociado a unactivo puede ser vistocomo la variabilidad quepresentan sus flujos alo largo del tiempo.

Existen dos medidas:varianza y desviacinestndar, BETA.

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

2

2

4

0

2

4

0

0

2

5

6

1

2

7

2

1

2

8

8

1

3

0

4

2

3

2

0

2

3

3

6

2

3

5

2

3

3

6

8

3

3

8

4

3

4

0

0

4

4

1

6

4

4

3

2

4

4

4

8

5

4

6

4

5

4

8

0

5

Rendimiento Esperado, Varianza y Covarianza

Ttulos Individuales

Las caractersticas mas importantes de los ttulos individualesson:

Retorno esperado Varianza y desviacin estndar Coeficiente de Variacin Correlacin y covarianza.


Rendimiento Esperado

La Tasa Esperada de Rendimiento se define como aquella tasa que resulta de

ponderar cada una de las diferentes alternativas de rendimiento, por su

probabilidad de ocurrencia.

, , , ,

,


Rendimiento Esperado

Es una rentabilidad ex post.

Es til para determinar que tan atractivo ha sido invertir en determinadoactivo en el pasado

Debe interesarnos el retorno ex ante.

La rentabilidad futura constituye una variable aleatoria

, , , ,

,

Rendimiento Esperado, Varianza y CovarianzaVarianza

Valor esperado del cuadrado de lasdesviaciones de las observaciones

respecto a la rentabilidad esperada.

Tiene un problema de medida Varianza no mide el riesgo de la serie. El supuesto de la varianza es que no

existe capacidad predictiva

En la medida que la densidad de flujos tienda a

concentrarse alrededor de un valor promedio, ms

bajo ser el riesgo de que se d un valor distinto o

lejano de la media.


Rendimiento Esperado, Varianza y CovarianzaCovarianza

La covarianza, es una medida de cmo los retornos de los activos o ttulos semueven juntos.

Mide el grado de asociacin existente entre dos activos. Covarianza puede ser positiva, negativa o cero. Permite diversificar riesgo en portafolios de inversin. El problema que tiene la covarianza es de problemas de medida.

, , , ,

, , ,

Rendimiento Esperado, Varianza y CovarianzaCoeficiente de Correlacin

Media estadstica que determina el grado de asociatividad respecto de losrendimientos entre dos activos financieros.

Representa la estandarizacin de la Covarianza Toma valores entre + 1 y 1 . Este factor asocia las varianzas individuales entre dos activos con una

varianza conjunta que se denomina COVARIANZA.

Cuanto menor sea la correlacin de los rendimientos entre los activos de unportafolio, stos se podrn combinar de manera ms eficiente para reducir el

riesgo.

, ,

,

Rentab i

Rentab j


Rendimientos

Tiempo

ji

Correlacin positiva perfecta = 1

Coeficiente de Correlacin

Rentab i

Rentab j


Rendimientos

Tiempo

i

j


Correlacin negativa perfecta = -1

Rentab i

Rentab j

Rendimiento Esperado, Varianza y CovarianzaRendimientos

Tiempo

ji

Correlacin cero = 0


Rendimiento Esperado, Varianza y CovarianzaCoeficiente de Variacin

Medida estandarizada del riesgo por unidad de rendimiento. A mayor valor del coeficiente de variacin, mayor es el riesgo del activo. Si un activo A tiene un CV de 8 y un activo B tiene un CV de 1 entonces

podemos decir que el activo A es 8 veces ms riesgoso que el activo B.


Estado de la Economa

Rendimiento

A B

Depresin -20% 5%

Recesin 10% 20%

Normal 30% -12%

Auge 50% 9%Rendimiento Esperado 17,5% 5,5%

RA RB

Considere los siguientes activos en mundo con riesgo, la probabilidad

de ocurrencia de cada estado de la economa es la misma



Tasa de Rendimiento

Desviacin respecto al Rendimiento

esperado

Valor de la desviacin elevado al cuadrado

Depresin -0,20 -0,375 0,140625

Recesin 0,10 -0,075 0,005625

Normal 0,30 0,125 0,015625

Auge 0,50 0,325 0,105625

0,2675

Varianza del titulo A es: 0,066875

Desviacin Estndar de A es: 25,86%



Tasa de Rendimiento

Desviacin respecto al Rendimiento esperado

Valor de la desviacin elevado al cuadrado

Depresin 0,05 -0,005 0,000025

Recesin 0,20 0,145 0,021025

Normal -0,12 -0,175 0,030625

Auge 0,09 0,035 0,001225

0,0529

Varianza del titulo B es: 0,013225

Desviacin Estndar de B es: 11,50%

A B


Tasa de Rendimiento

Desviacin respecto al Rendimiento

esperado

Tasa de Rendimiento

Desviacin respecto al Rendimiento esperado

Producto de las

Desviaciones

Depresin -0,20 -0,375 0,05 -0,005 0,001875

Recesin 0,10 -0,075 0,20 0,145 -0,010875

Normal 0,30 0,125 -0,12 -0,175 -0,021875

Auge 0,50 0,325 0,09 0,035 0,011375

0,70 0,22 -0,0195

Covarianza entre A y B es: -0,004875

Coeficiente de Correlacin entre A y B es: -0,1639


Portfolios y Portfolios Eficiente

A menudo los Administradores de Fondos de Inversin debendecidir en qu invertir el dinero de las personas que ahorran en el

Sistema

Tambin deben evaluar decisiones de desinversin. El conjunto de activos en los cuales los administradores han

decidido invertir reciben el nombre de carteras o portafolios de

inversin.

Estos portafolios deben ser conformados y luego administradosbajo expectativas de riesgo retornos de los inversionistas


Cules son los activos que se deben considerar al momento deestructurar un portafolio de inversin?

Qu porcentaje del fondo de inversin se debe invertir en cadaactivo que figura como potencial instrumento de inversin?

Cmo evaluar el desempeo del portafolio de inversin?


Mercado Perfecto:No existe asimetra de informacinNo hay costos de transaccin e impuestos corporativos y

personales

Mercado Eficiente:La informacin referente a los activos surge de manera

aleatoria en el mercado y es incorporada inmediatamente alos precios de los activos.

Los precios de los activos se mueven en forma aleatoria, alalza o a la baja

Las definiciones de Mercado perfecto y mercado eficientecorresponden a una idealizacin del mercado burstil.

Hiptesis de Mercados Eficientes


Niveles de Eficiencia del Mercado:Eficiencia en forma dbilEficiencia en forma semifuerteEficiencia en forma fuerte.

La hiptesis de mercado eficiente no dice nada sobre la exactituddel mercado en la valoracin de los activos.

Tampoco dice nada sobre la eficiencia del mercado en la asignacinde los recursos y sobre la capacidad de los inversionistas paratener rendimientos extranormales.

La eficiencia se refiere a la rapidez con que los agentes demercado interpretan la nueva informacin, y no se refiere a siestos la interpretan bien o mal



Dominancia Estocstica: es una propiedad fundada sobre la basede maximizacin de la utilidad esperada y se aplica a cualquierdistribucin de probabilidad

Un activo tiene dominancia estocstica de primer orden sobre otrocuando al invertir en l, el inversionista una mayor rentabilidad enel futuro


La dominancia estocstica es la base de una completa teora decmo los inversionistas aversos al riesgo escogen entre variasalternativas riesgosas de inversin

Se debe encontrar un conjunto de portafolios que seanestocsticamente dominantes y a partir de el seleccionar elportafolio de inversin optimo.

Seleccin de Ttulos Bajo Condiciones de Riesgo

El Rendimiento de la cartera.

El rendimiento esperado de una cartera depende, exclusivamente,

de los rendimientos esperados de los ttulos que la componen y de

su proporcin dentro del portafolio.


El Riesgo de la cartera.

El riesgo total de un portafolio conformado por n activos puede

ser medido a travs de la varianza o desviacin estndar de sus

retornos histricos

,

Se seleccionan las alternativas de inversin en base a:

Retorno Esperado. Varianza o Desviacin Estndar. Se eligen aquellos ttulos que no se dominan entre s.


Desde el punto de vista matricial el retorno esperado y la

varianza de un portafolio pueden ser calculados por:

Rendimiento y Rendimiento Esperado de una Cartera de Dos Activos

Donde:

WA = Porcentaje a invertir en ACTIVO A

WB = Porcentaje a invertir en ACTIVO B

*

Rendimiento y Rendimiento Esperado de una Cartera de Tres Activos

Donde:

WA = Porcentaje a invertir en ACTIVO A

WB = Porcentaje a invertir en ACTIVO B

WC = Porcentaje a invertir en ACTIVO C

El Problema de OptimizacinLa optimizacin de los portafolios de inversin pueden ser analizadosde la siguiente forma:

.

Sujeto a

,

Sujeto a

Generalmente los inversionistas delimitan el riesgo que estn dispuestosa asumir,

El Proceso de DiversificacinLa proceso de diversificacin consiste encontrar el conjunto de activosque permita minimizar el riesgo del portafolio

,

El Proceso de DiversificacinPerfecta Correlacin Positiva: = +1

Cuando = +1 El Riesgo y Retorno son una Combinacin Lineal. En

este caso de Perfecta Correlacin el R y , de un Portfolio de 2

activos es Promedio Ponderado del Retorno y Riesgo de los activos

individuales, o sea, no se Diversifica el Riesgo

El Proceso de DiversificacinPerfecta Correlacin Negativa: = -1

El valor de p ser siempre menor que cuando = +1. Es mas, cuando

= -1 , se puede encontrar una combinacin con Cero Riesgo

El Proceso de Diversificacin

Podemos ver que el riesgo de lacartera de dos activos , a lomenos se encuentra condicionadapor los eventos particulares queaportan cada uno de losdiferentes factores de riesgo ylos eventos que aportan losactivos de modo conjunto alrelacionarse. El riesgo de unacartera de dos activosdepender de los siguientesfactores que la condicionan :

Del valor de las Varianzasindividuales ( de cadaActivo )

Del porcentaje de lariqueza que el inversionistadecida destinar a lainversin del activo i

De la relacin que existade dependencia de losactivos individuales ( nivelde correlacin )


Generalizando el portafolio para n activos y suponiendo que el

porcentaje invertido en cada activo es el mismo tenemos:

Por lo tanto se obtienen n varianzas y n * (n-1) covarianzas


A medida que se aaden mas activos al portafolio, la covarianza

comienza a ser mas importante que la varianza, ya que el objetivo del

administrador es minimizar la rentabilidad del portafolio sin sacrificar

la rentabilidad


Trabajando con varianza y covarianza promedio tenemos que:

Entonces si N : 1/N = 0 y (N-1)/N = 1

Esto representa el resultado de la diversificacin

El Proceso de DiversificacinEl limite del beneficio de la diversificacin

La contribucin de las varianzas de los activos individuales a lavarianza del portfolio es 0 (primer parte de la frmula).

Sin embargo, la contribucin de las covarianzas, a medida que creceN se asemeja a la media de las covarianzas.

El riesgo individual de cada activo se puede eliminar o diversificar:riesgo no sistemtico; pero la contribucin al riesgo total provocado

por las covarianzas no, riesgo sistemtico o de mercado

Esto implica que la mnima varianza se obtiene para portfolios biendiversificados y es igual a la covarianza promedio entre todos los

activos de la poblacin.

El Proceso de DiversificacinEl limite del beneficio de la diversificacin

R

i

e

s

g

o

%

N Activos Financieros

Riesgo No Sistemtico

Riesgo Sistemtico

El Proceso de DiversificacinPrima de riesgo sistemtico

El riesgo sistemtico se origina en el hecho de que existen factoresmacroeconmicos que afectan (hacia arriba o hacia abajo) a todas

las empresas de la economa. Sin embargo, esta influencia no afecta

a todas las acciones por igual

Hay empresas ms o menos sensibles que el mercado a los cambiosde expectativas

Esta volatilidad relativa al mercado es el riesgo sistemtico,independiente de la empresa

Administracin de Carteras de Inversin


La Teora de Carteras de Harry Markowitz Para conformar una cartera de inversin es necesario

encontrar la composicin ptima de ttulos que nosentreguen el menor riesgo para un mximo retorno. Se deberesolver cuales son los ttulos a considerar y cuanto decada ttulo comprar.

El riesgo de la cartera se mide por la varianza o desviacinestndar de sus retornos.


La Teora de Carteras de Harry Markowitz La teora de H.Markowitz propone buscar primero aquellas

carteras o ttulos que proporcionan el mayor rendimientopara un riesgo dado.

Al mismo tiempo determinar cuales son las carteras quesoportan el mnimo riesgo para un rendimiento conocido: aestas carteras se les denomina carteras eficientes.

Conjunto de Carteras Eficientes

KRpE )(Sujeto a

)( RpMaxE KRp )(2Sujeto a

Conjunto de Oportunidades de Cartera y Conjunto Eficiente con Muchos Activos Riesgosos

Cartera de Mnima Varianza

Conjunto de carteras eficientes

1 p

A

E(Rp)

E(Rp1)

E(Rp2)

B

C

D

Las carteras A,B y C soneficientes puesto queentregan un mnimoriesgo para un retornodado. La cartera D no eseficiente ya que entregaun retorno E(Rp2) menorque el de B para un mismonivel de riesgo 1. Eltrazo ABC de la figura sedenomina FronteraEficiente.

Curvas de Indiferencia

Tipos de curvas de indiferencia

E(Rp)

(R p)

I1

I3

I2

I2:Individuo indiferente alriesgo

I1:Individuo adverso alriesgo

I3: Individuo propenso alriesgo

Curvas de indiferencia de un individuo adverso al riesgo

El individuo es indiferenteentre el punto A o B de lacurva U3. Sin embargo, sitiene que elegir entre A y Aescoger esta ltima debido aque con el mismo nivel deriesgo obtiene un mayorrendimiento.

E(R p )

(Rp)

U1

U2

U3

U1

Determinacin de la cartera ptima

Si se superpone la fronteraeficiente con las curvas deindiferencia del inversionistase obtendr la cartera ptimadel mismo.

E(Rp)

(R p)

I1

TMSE(Ri) i = TMT E(Ri) i La eleccin ptima sedetermina por la condicinde tangencia:

TMSE(Ri),s=TMT E(Ri),s

Portfolio eficiente con un activo libre de riesgo

El desarrollo anterior slo involucr activos riesgosos. Ahora sellevar a cabo un anlisis donde se realizan inversiones encarteras de un mundo formado por un activo libre de riesgo yuna gran cantidad de activos riesgosos.

El rendimiento esperado de un portfolio y su varianza quedanexpresados:

E(Rp) = (1-x)Rf + xRa

VAR(Rp) = X2VARa

Donde:

x: proporcin invertida en cartera a (1-x): proporcin invertida en Rf Ra: rendimiento esperado de la cartera a Rf: activo libre de riesgo

Portfolio eficiente con un activo libre de riesgo

El inversionista 2 invierte parte desu presupuesto en Rf y otra parteen la cartera B, lo que da comoresultado la cartera B.

E(R p)

(Rp)Rf

A

B

B

E(R A )

E(R B )

(R A)= (RB )

I1I 2

El inversionista 1 invierte en lacartera A, la que tiene el mismoriesgo que B, pero proporcionamenor retorno. Es decir, la carteraB es preferible a la A.

Lnea del Mercado de Capitales

E(R p)

( R p )Rf

M

Bajo expectativas homogneaslos inversionistas identificarn ala cartera M como la mejor detodas.

Invertirn parte de supresupuesto en M y el resto enactivos sin riesgo


E(R p)

(R p) Rf

M

Z

B

Los inversionistas elegirn unacartera dependiendo de su gradode aversin al riesgo.

A la izquierda de M: se ubicarnlos agentes que busquen menorriesgo y prestarn al tipo Rf (B).A la derecha de M: deseanmayor rentabilidad y pedirnprestado al tipo Rf (Z).

. La lnea recta RfMZ se denomina

Lnea del mercado de capitales.


E( R m )

E(R p)

(R p)

Rf

CML

( R m)

Lnea del Mercado de Capitales (CML)

Slo las carteras eficientes se ubican en la CML.

Caractersticas:

Rf: tipo de inters nominal. Pendiente: relacin entre rentabilidad esperada (E(Rp)) y riesgo

asociado (p).

Mide el riesgo de un ttulo o de una cartera por su desviacinestndar.

Ecuacin de la CML

En funcin de Rf y de la pendiente, podemos representar la ecuacinde la CML:

MfM rR]E[R M

FM

)R](E[Rr PENDIENTE

Si sustituimos r en la ecuacin original:

M

pFMFP

)R](E[RR]E[R

Lnea del Mercado de Valores (SML)

La CML no permite valorar carteras ineficientes ni ttulos aislados,por lo que se hace necesario buscar otra medida de riesgo.

Supongamos que se invierte un porcentaje en un ttulo Z aislado quees considerado ineficiente y que por tanto no puede ser valorado porCML, y en la cartera de mercado M.

Lnea del Mercado de Valores

El rendimiento esperado y riesgo de la cartera ser:

c z m zmx x x x2 2 2 2 21 2 1 ( ) ( )E = x E + (1 - x) Ec Z M

c z m zmx x x x 2 2 2 21 2 1( ) ( )Si derivamos c con respecto a X:

2/1

2,,

22 )2(

mmzmzmzc xx


Si ahora derivamos el rendimiento de c ( Ec )con respecto a x:

MZC EEE

X

La pendiente se define como el producto de los diferenciales delretorno esperado y la desviacin estndar. En el punto M, x=0, yaque todo es invertido en M, y el riesgo de la cartera C coincide conel de la cartera de mercado:

m

mmz

mz

c

c

c

c RERE

xRxRE

RdRdE

2,)()(

)(

)(

)()(


En el punto M, la combinacin ZM es tangente a la CML enequilibrio, por lo tanto, siempre se cumple la siguiente igualdad:

Con lo que se obtiene la ecuacin de la Lnea del Mercado deValores, que es la base del Modelo de Valoracin de Activos deCapital.

mmz

mmz

m

m RERERfRE2

,

)]()([)(

E m 2z f

m fzmR

E R


Para un ttulo i arbitrario, la Lnea de Mercado de Valores seexpresa:

MI,2M

FMFI

RERE RR

En equilibrio todos los ttulos y carteras, sean eficientes o no, seubicarn en la Lnea de Mercado de Valores. Si un inversionistadecide agregar un ttulo a su cartera, el nico premio por suinversin ser igual a la covarianza del ttulo con el mercado

y no el riesgo total o desviacin estndar del mismo.


Se define:

2M

MI2M

IMI

]R,COV[R

El coeficiente beta indica la volatilidad de un ttulo en relacin a lasvariaciones del tipo de rentabilidad del mercado. Mide lacontribucin del activo i al riesgo del portfolio de mercado. Lamedida significativa de riesgo de un ttulo es su riesgo sistemtico.

ndice de RiesgoSistemtico


E( R m )

E(R p )

i = im / 2m

Rf

SML

M= 1

La cartera de mercado tieneun = 1, pues vara alunsono con ella misma. Lascarteras con un > < 1se denominan agresivas odefensivas, respectivamente.

Riesgo Diversificable-No Diversificable

El riesgo total de cualquier activo ineficiente puede dividirse enriesgo diversificable y no diversificable.

El riesgo diversificable puede ser eliminado sin costo con unacorrecta diversificacin. El mercado no ofrece prima por riesgo paraevitarlo.

Slo el riesgo no diversificable es relevante para fijar el precio deactivos ineficientes.


La lnea caracterstica de un ttulo se define:

E( R Ri i m) ( ) E

= COV( R , R ) / VAR(R )i i m M

= VAR(R ) + 2 b COV( R , e )+VAR(e)2 i2

M m m

= VAR(R ) + VAR(e)2 i2

M

Se sabe que:

El riesgo del rendimiento esperado del ttulo i:

Como el trmino de error es aleatorio e independiente del rendimientodel mercado se tiene que COV(Rm;em)=0 por lo tanto:


Riesgo Total

Por lo tanto, el riesgo de un ttulo depende exclusivamente delmercado, ya que bi es constante y slo VAR(Rm) vara. El primertrmino de la ecuacin se denomina Riesgo Sistemtico o nodiversificable.

El otro trmino se denomina Riesgo diversificable o no sistemtico, elque depende solamente de factores instrnsecos al ttulo y puede sereliminado por medio de una diversificacin sin costo.

= VAR(R ) +VAR(e)2 i2

M

Se puede afirmar, por lo tanto, que el mercado slo premia el riesgono diversificable y que el riesgo especfico ser asumido gratis.

El CAPM y la lnea del mercado de valores

El modelo CAPM fue desarrollado por Sharpe, Treynor, Mossin yLintner.

El CAPM proporciona una medida del riesgo de un valor individualconsistente con la teora de carteras.

Permite estimar el riesgo sistemtico de un activo y compararlo con elriesgo sistemtico de un portfolio bien desarrollado, slo con estimarsu tasa de rendimiento en equilibrio ajustada por riesgo.


Ecuacin del CAPM:

Donde:

i ) R () R E( :L M S fmfi RER )(

E(Ri): Rendimiento esperado del i-simo activo riesgoso.

Rf: Tasa de rendimiento esperada de un activo libre de riesgo.

E(Rm): Rendimiento esperado de la cartera de mercado.

i: Medida del riesgo no diversificable del i-simo activo riesgoso.


De igual manera, puede expresarse:

COV(Ri;Rm): covarianza entre los retornos del i-simo activo y los delmercado.

E

( )

( ( ) ) ( , )( )

R RE R R COV R i Rm

Ri fm f

m 2

2(Rm) : varianza de los retornos del mercado.Si reescribimos la anterior ecuacin:

E

( )

( ( ) ) ( , )( ) ( )

R RE R R COV R i Rm

R Ri fm f

m m

riesgo por Premio)(

))((

m

fm

RRRE


De igual manera, puede expresarse:

Donde im es la correlacin entre el rendimiento del activo i y elrendimiento del mercado. Por lo tanto:

De esta manera, el riesgo sistemtico se compone de la desviacinestndar del rendimiento del activo y de su correlacin con la carterade mercado.

COV Ri Rm( , ) = im mR Ri

m

,

m

mi

]R-)[E(R)E(R:SML

mimiffR

]R - )[E(R )E(R : SMLm

,mi

imiffR

Comparacin de CML y SLM:E (R p)

(R p)

R f

E (R i) A B C

(R c) (R A ) (R B)

CM L

E(R)

i

Rf

E(Ri) i=A, B, C X

A=B=c

SML

Los activos de A,B y C tienenel mismo rendimientoesperado pero distintasvarianzas.

Todos caen en la SLM en elpunto X, lo que implica quetienen igual riesgo sistemtico ypor tanto les corresponde elmismo rendimiento esperado.

Riesgo y Rendimiento

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