Revista de La Didactica de Matematicas

Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemticas

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http://www.sinewton.org/numeros ISSN: 1887-1984 Volumen 80, julio de 2012, pgina 2

NNmmeerrooss, Revista de Didctica de las Matemticas, se ocupa de la enseanza y el aprendizaje desde infantil hasta la universidad, aunque atiende preferentemente la educacin primaria y secundaria. Publica trabajos de inters para el profesorado de esos niveles, tales como experiencias de aula, reflexiones sobre la enseanza, aplicaciones de la investigacin

NNmmeerrooss, Revista de Didctica de las Matemticas aparece en las bases de datos bibliogrficas Latindex, Dialnet y DICE, y es recensionada en Mathematics Education Database.

Directora Alicia Bruno

Comit editorial Hugo Afonso, Dolores de la Coba, Miguel Domnguez, Ftima Garca, Israel Garca, M Aurelia Noda, Josefa Perdomo e Ins Plasencia. Consejo asesor Jos Luis Aguiar, Luis Balbuena, Carmen Batanero, Teresa Braicovich, Juan Contreras, Norma Cotic, Juan Daz Godino, Salvador Llinares, Antonio Martinn, Jacinto Quevedo, Victoria Snchez y Arnulfo Santos. Portada. Autor: Luis Balbuena Castellano. Ttulo: Iglesia de Garachico (Tenerife) vista a travs de un toro. Edita Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemticas Apartado 329. 38200 La Laguna (Tenerife) Espaa Email: [email protected] Web: http://www.sinewton.org

Junta Directiva de la Sociedad Canaria "Isaac Newton" de Profesores de Matemticas Ana Alicia Prez Hernndez (Presidenta), Jos Manuel Vidal Gonzlez (Vicepresidente), Victoria Soto Cabrera (Secretaria General), Sergio Alexander Hernndez Hernndez (Tesorero), Mara Jess Rodrguez Martn (Vicesecretaria), Manuel Herrera Prez (Secretario de actas), Zoraida de Armas Ravelo (Bibliotecaria). Coordinadores insulares: Carmen Delia Clemente Rodrguez (Fuerteventura), Luis Lpez Garca (Gran Canaria), Eustaquio Bonilla Ramrez (Lanzarote), Carmen San Gil Lpez (La Palma), Dolores de la Coba Garca (Tenerife). NNmmeerrooss, Revista de Didctica de las Matemticas, es una publicacin de la Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemticas. Se editan tres nmeros ordinarios al ao, los meses de marzo, julio y noviembre.


http://www.sinewton.org/numeros ISSN: 1887-1984 Volumen 80, julio de 2012, pginas 3-4

ndice

Editorial

Alicia Bruno 5

Monogrfico: Matemticas en Infantil

Hacia un enfoque globalizado de la educacin matemtica en las primeras edades 7

A. Alsina Una propuesta para la enseanza del nmero en la Educacin Infantil 25

T. A. Sierra Delgado, E. Rodrguez Quintana

Resolucin de problemas para el desarrollo de la competencia matemtica en Educacin Infantil 53

C. de Castro Hernndez, E. Molina Jimnez, M.L. Gutirrez Segovia, S. Martnez Foronda y B. Escorial Gonzlez

Ah empieza todo. Las matemticas de cero a tres aos 71

M. Edo i Bast EntusiasMAT hace reales las Matemticas 85

N. Mir Snchez

Artculos

Dificultades de estudiantes de Psicologa en la comprensin del contraste de hiptesis 91

C. Batanero, O. D. Vera, C. Daz

Evaluacin de conocimientos de profesores en formacin sobre el juego equitativo 103

N. Mohamed y J. J. Ortiz

Hablando sobre Enseanza de la Matemtica con estudiantes futuros profesores de matemtica 119

J. Servelin Graterol Impacto de preclculo en clculo 135

I. Cant Martnez, R. Arenas Velasco, M. T. Flores Garza I Olimpiada Matemtica en Centros de Adultos 145

L. Balbuena Castellano, P. Perestelo Rodrguez

ndice (continuacin)

4 NNMMEERROOSS Vol. 80 julio de 2012

Secciones

Astronoma. Coordinador: L. Balbuena Castellano

Un ngulo para salvar las apariencias. El ngulo de fase 157

C. Mederos Martn.

En la red

Juegos con la web Matematicaula 165

O. J. Falcn Ganfornina.

Juegos Juegos de clculo y lgica. + sobre los Tetrahexos 173

J. A. Ruprez Padrn, M. Garca Dniz (Club Matemtico)

Problemas

De nietos y aves. (Problemas Comentados XXXI) 185

J. A. Ruprez Padrn, M. Garca Dniz (Club Matemtico)

Experiencias de aula. Coordinador: C. Duque Gmez

Matemticas y deportes. Sugerencias para el aula 197

J. M. Sorando Muzs.

Leer Matemticas

Educacin matemtica en contexto: de 3 a 6 aos. ngel Alsina 221

Resea: A. Bosch Saldaa Los nmeros primos: un largo camino al infinito. Enrique Gracin 225

Resea: Jorge Garca Melin

Informaciones 227

Normas para los autores 231



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Alicia Bruno, Directora de NNmmeerrooss

El volumen 80 de la revista Nmeros lo dedicamos a las Matemticas en Infantil, que no por ser elementales son menos importantes o ms fciles de ensear. Hemos invitado a un reconocido grupo de investigadores y profesores de esta etapa a participar aportando parte del trabajo que realizan actualmente.

Hace tiempo, cuando mi hija tena 4 aos la observ jugando en la terraza de mi casa. Jugaba a colocar macetas en distintas posiciones. Las macetas que estaban en fila, pegadas a la pared, las colocaba formando una circunferencia. Cogi una maceta de la pared y la puso en la parte central de la terraza y dijo: una. Volvi a la pared, cogi otra maceta y la coloc junto a la primera y dijo: una, dos. Repiti la accin con la tercera, y al colocarla al lado de las otras, empez a contar de nuevo: una, dos, tres. As sigui unas cuantas ms. Cada vez que colocaba una nueva maceta comenzaba a contar desde el principio. Todava no haba interiorizado que bastaba con continuar la serie numrica por el lugar donde la haba dejado anteriormente. Qu haces?- le pregunt. Pongo las macetas en asamblea - me dijo - as no estn tan aburridas. En crculo estn ms divertidas, cmo hacemos en el cole!. Despus sigui cambiando la posicin de las macetas de la circunferencia (grandes, pequeas, por colores,) siguiendo alguna pauta que no logr descifrar, pero que ella deba tener en la cabeza.

En ese momento pens que era un buen ejemplo de actividad matemtica cotidiana para contar en mi docencia con futuros maestros de Educacin Infantil: el conteo, la fila (recta) aburrida frente a la circunferencia divertida, la seriacin por formas o tamaos Ahora, cuando la veo hacer su tarea de matemticas de secundaria, y est buscando el trmino general de una sucesin de nmeros, o representa funciones lineales, todava me acuerdo de aquel da de su etapa infantil. Como madre, matemtica y formadora de maestros de Educacin Infantil, valoro la importancia del aprendizaje de los primeros aos escolares y reconozco cmo a travs de juegos y elementos cotidianos aparecen los conocimientos matemticos. Me uno a las palabras de Mequ Edo, autora de uno de los artculos de este monogrfico, cuando expresa que: uno de los principales contenidos que podemos ayudar a construir a los futuros maestros de infantil es precisamente el reconocer el contenido matemtico en su entorno y saber cmo potenciarlo. Este enfoque del contenido matemtico es lo que tienen en comn los cinco artculos que se presentan en este monogrfico, cada uno desde una perspectiva o experiencia propia.

ngel Alsina nos muestra prcticas educativas en las que se trabajan las conexiones matemticas en Educacin Infantil desde un enfoque globalizado, a travs de ejemplos surgen conexiones dentro de la propia matemtica y con otros contextos no matemticos.

El trabajo que presentan los profesores Carlos de Castro, Elisa Molina, M Luz Gutirrez, Sandra Martnez y Beatriz Escorial es una propuesta para tratar la competencia matemtica a travs de un taller de resolucin de problemas. El artculo narra diferentes sesiones de aula en las que alumnos de 5 y 6 aos resuelven problemas de estructura multiplicativa y muestra las producciones de los alumnos en este taller.

Editorial A. Bruno


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Utilizando el modelo general de la teora antropolgica de lo didctico, Toms ngel Sierra y Esther Rodrguez presentan una organizacin didctica para el estudio del nmero y la numeracin en la Educacin Infantil que persigue que los estudiantes perciban el carcter funcional del nmero. En la propuesta planteada se evita seguir una presentacin atomizada del nmero y se pretende que el conocimiento de los nmeros surja como respuesta a diferentes problemas.

La mayora de las publicaciones sobre las matemticas en la Educacin Infantil se refiere a la edad de 3 a 6, y son menos las publicaciones relativas al aprendizaje de las nociones matemticas antes de los 3 aos. En el artculo de Mequ Edo se presentan ejemplo de situaciones didcticas adecuadas para nios menores de 3 aos, diseadas para que puedan experimentar y descubrir los procesos matemticos (buscar regularidades y pautas en su entorno, caracterizar objetos y establecer relaciones entre ellos para crearse un orden de lo que perciben).

Por ltimo, Nuria Mir nos narra el proyecto EntusiasMat que durante aos llevan poniendo en prctica en los colegios Nazaret de Espaa y que aplica en la enseanza, la teora de las Inteligencias Mltiples de Howard Gardner. El objetivo del proyecto es ofrecer distintas oportunidades para que desde todas las Inteligencias se puedan aprender y expresar los contenidos matemticos y utilizar los recursos que la matemtica ofrece para ayudar al desarrollo del resto de las inteligencias.

Agradecemos a todos los autores su entusiasta predisposicin para colaborar con la revista Nmeros en este monogrfico. Esperamos sea til para los docentes de Educacin Infantil y acerque al profesorado de matemticas de otras etapas al trabajo que se realiza en las primeras edades.



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Hacia un enfoque globalizado de la educacin matemtica en las primeras edades

ngel Alsina (Universidad de Girona)

Artculo solicitado al autor por la revista

Resumen En este artculo se argumenta que ensear matemticas desde un enfoque globalizado es uno de los principios de la educacin matemtica en la etapa de Educacin Infantil. Este enfoque implica la incorporacin de las conexiones matemticas en las prcticas de aula, es decir, las relaciones entre los diferentes bloques de contenido matemtico y entre los contenidos y los procesos matemticos (intradisciplinariedad); y las relaciones de las matemticas con otras reas de conocimiento y con el entorno (interdisciplinariedad). Se ofrecen orientaciones didcticas para planificar y gestionar actividades desde un enfoque globalizado, y el artculo concluye con la presentacin de diversas experiencias implementadas en diferentes centros escolares de la geografa espaola.

Palabras clave Educacin matemtica, conexiones matemticas, enfoque globalizado, interdisciplinariedad, Educacin Infantil, prcticas educativas.

Abstract This article argues that a globalized approach to teaching mathematics is one of the principles of mathematics education in preschool. Such an approach incorporates mathematical connections in classroom practices: the relationship between the different blocks of mathematical contents and between mathematical contents and processes (intradisciplinarity); and the relationship between mathematics and other areas of knowledge and the students environment (interdisciplinarity). Instructional training is given to plan and manage activities with a globalized focus, and the article concludes by presenting various experiences of implementing the approach in different schools in Spain.

Keywords Mathematics education, mathematical connections, globalized approach, interdisciplinarity, preschool education, educational practices.

1. Introduccin

En los currculos de Educacin Infantil, hace ya muchos aos que -tanto a nivel nacional como internacional- se insiste en plantear el trabajo de los alumnos de las primeras edades a partir de un enfoque globalizado. As, por ejemplo, en el documento legislativo espaol vigente en el cual se establece el currculum y se regula la ordenacin de la Educacin Infantil (ORDEN ECI/3960/2007, de 19 de diciembre, pp. 1023), se expone que:

Los contenidos de una rea adquieren sentido desde la complementariedad con el resto de las reas, y tendrn que interpretarse en las propuestas didcticas desde la globalidad de la accin y de los aprendizajes. As, por ejemplo, el entorno no puede ser comprendido sin la utilizacin de los diferentes lenguajes y del mismo modo, la realizacin de desplazamientos orientados tiene que hacerse desde el conocimiento del propio cuerpo y de su ubicacin espacial.

Hacia un enfoque globalizado de la educacin matemtica en las primeras edades . Alsina


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Desde esta perspectiva, para poder ensear matemticas a travs de un enfoque globalizado es necesario incorporar las conexiones matemticas en las prcticas de aula. De acuerdo con Alsina (2011b) las conexiones matemticas se refieren a: las relaciones entre los diferentes bloques de contenido matemtico y entre los contenidos y los procesos matemticos (intradisciplinariedad); y las relaciones de las matemticas con otras reas de conocimiento y con el entorno que nos rodea (interdisciplinariedad).

Ensear matemticas desde un enfoque globalizado, pues, es uno de los principios de la educacin matemtica en la etapa de Educacin Infantil y, por supuesto, en el resto de etapas educativas. Pero, como indica Alsina (2011a), se trata de un enfoque muchas veces repetido pero todava poco implementado, por lo que en este artculo se ofrecen algunos andamios para ayudar al profesorado a incorporar las conexiones matemticas en las prcticas escolares.

2. Conexiones matemticas en Educacin Infantil

Conectar implica establecer un vnculo estrecho entre cosas de la misma naturaleza. En el caso de la educacin matemtica, la conexin ms importante en los primeros aprendizajes matemticos es el existente entre las matemticas intuitivas, informales, que los nios han aprendido a travs de sus experiencias, y las que estn aprendiendo en la escuela. Todas las dems conexiones matemticas a las que se ha hecho referencia en la introduccin -entre contenidos matemticos, entre contenidos y procesos, entre las matemticas y otras disciplinas y entre las matemticas y la vida cotidiana- se apoyan en el vnculo entre las prcticas informales de los alumnos y las matemticas ms formales (NCTM, 2000).

En el mbito de la educacin matemtica, Baroody (1987) y Hugues (1986) encuan el trmino matemticas informales para referirse a estas prcticas informales. Estos autores ponen de manifiesto que los nios de las primeras edades recopilan, a menudo, una gran riqueza de conocimientos sobre temas que les interesan, y a partir de estos intereses y actividades cotidianas es como desarrollan su pensamiento matemtico. Fernndez, Gutirrez, Gmez, Jaramillo y Orozco (2004) exponen que estas prcticas informales se llevan a cabo desde edades muy tempranas, aproximadamente desde los cuatro meses. A partir de esta edad los nios muestran ya una curiosidad innata respecto a los acontecimientos cuantitativos y espontneamente construyen en su ambiente natural y sin instruccin formal unas matemticas informales. Esta forma de pensamiento es imperfecta y totalmente diferente del pensamiento de los adultos; sin embargo, estas matemticas informales son relativamente significativas y constituyen el fundamento para el aprendizaje posterior de las matemticas formales en la escuela. Estas autoras ponen de manifiesto que a pesar de que ha sido comprobado que los componentes bsicos del conocimiento matemtico informal son universales, dado que estn presentes independientemente de la cultura y el grupo socioeconmico, su nivel de desarrollo flucta en funcin de la influencia sociocultural.

Varios autores han analizado las prcticas informales que asocian a la adquisicin de conocimientos matemticos informales. Starkey y Cooper (1980), por ejemplo, indican que los nios aprenden nociones logicomatemticas guardando juguetes o comestibles; o bien que adquieren nociones espaciales construyendo con bloques o entonando canciones acompaadas de movimientos. Ginsburg, Klein y Starkey (1998) indican que los nios interactan con representantes escritos de los nmeros a travs de prcticas informales que son muy diversas: indicar la edad con los dedos, poner velas en un pastel, etc. Anderson (1997) seala diversas experiencias numricas informales en las cuales se implican nios de 4 aos de familias americanas de nivel mediano-alto: actividades de conteo; nombrar cantidades; reconocer nmeros escritos; estimar cantidades; operaciones de suma y resta con cantidades pequeas; uso de nmeros ordinales; estimar la igualdad numrica de dos colecciones; o bien la notacin de nmeros.


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Vol. 80 julio de 2012

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Los estudios anteriores evidencian que los nios tienen nociones previas sobre matemticas informales que sirven como fundamento para un posterior aprendizaje formal de las matemticas en la escuela.

2.1. Conexiones entre contenidos matemticos

Las matemticas no son una coleccin fragmentada de bloques de contenido, aunque con frecuencia se dividen y presentan as, sino que constituyen un campo integrado de conocimiento. Desde este marco, el profesorado (y progresivamente el alumnado) tendra que reconocer la misma estructura matemtica en contenidos aparentemente diferentes. En el paralelismo entre los diferentes bloques de contenido matemtico que se presenta en Alsina (2006), se expone que hay unas mismas capacidades matemticas que se repiten: identificar (definir o reconocer); relacionar (comparar); y operar (transformar), lo nico que vara es el tipo de contenido: cualidades sensoriales, cantidades, posiciones y formas, atributos mesurables o datos (estadstica y probabilidad). En la Tabla 1 se presenta una actualizacin de las relaciones existentes entre los diferentes bloques de contenido (Alsina, 2011a):

Identificar Relacionar Operar

Cu

alid

ade

s

Reconocimiento de las cualidades sensoriales (color, medida, grosor, textura, etc.) y de sus atributos. Agrupaciones de elementos (a partir de uno o ms atributos, de forma afirmativa o negativa).

Clasificaciones a partir de un criterio cualitativo.

Ordenaciones a partir de un criterio cualitativo.

Correspondencias cualitativas (asociaciones). Seriaciones: reconocimiento de patrones.

Cambios a nivel sensorial, con un planteamiento directo o inverso.

Can

tidade

s

Comprensin de los principales cuantificadores (muchos, pocos, todos, ninguno, algunos, etc.). Comprensin y representacin de los nmeros.

Agrupaciones de elementos por criterios cuantitativos.

Clasificaciones a partir de un criterio cuantitativo.

Ordenaciones a partir de un criterio cuantitativo.

Correspondencias cuantitativas: trmino a trmino; etc.

Series numricas.

Cambios de cantidades: composicin y descomposicin de cantidades discretas

Sumas y restas sencillas.

Posic

ion

es

Reconocimiento de nociones espaciales bsicas: dentro y fuera (interior y exterior); delante y detrs; arriba y abajo (encima y debajo); primero, ltimo; antes, en medio y despus de; cerca y lejos; izquierda y derecha.

Comparacin de posiciones, es decir, relaciones espaciales a partir de los comparativos ms... que; menos... que; tanto... como; igual... que.

Cambios de posicin a travs de giros y simetras.



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Identificar Relacionar Operar

Form

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Reconocimiento de las propiedades geomtricas elementales de las formas: de una dimensin (lnea recta y curva; lnea cerrada y abierta); de dos dimensiones (lados rectos o curvados; el nmero de lados, el nmero de vrtices, el tipo de superficie: plana o curva); de tres dimensiones (el tipo de superficie: plana, curva); las aristas, los vrtices).

Clasificacin de lneas: rectas y curvas; abiertas y cerradas.

Clasificacin de figuras geomtricas a partir de criterios elementales (lados rectos y lados curvados); segn el nmero de lados y de vrtices (tringulos, cuadrilteros,...). Clasificacin de cuerpos geomtricos a partir de criterios geomtricos elementales (ruedan y no ruedan, es decir, tienen las caras planas o curvadas) Asociacin de formas.

Seriaciones de formas.

Cambios de forma a travs de deformaciones (elsticas, con plastilina o barro, etc.) y composicin y descomposicin de formas.

Atr

ibu

tos

mes

ura

bles

Reconocimiento de los atributos mesurables de los objetos: volumen (grande y pequeo); longitud (largo y corto; alto y bajo); masa (pesado y ligero); capacidad (lleno y vaco); grosor (grueso y delgado); tiempo (antes y despus; etc.)

Clasificacin de objetos segn sus atributos mesurables (por ejemplo, clasificar recipientes segn si estn llenos o vacos). Ordenacin de objetos segn sus atributos mesurables (por ejemplo, ordenar una coleccin de varas segn su longitud). Correspondencias entre objetos a partir de sus atributos mesurables (por ejemplo, asociar los objetos de dos colecciones segn su peso). Seriaciones de objetos a partir de sus atributos mesurables (por ejemplo, establecer un patrn de repeticin grande, pequeo

Composicin y descomposicin de los atributos mesurables de un objeto (por ejemplo, dos botellas de litro es lo mismo que una botella de dos litros; o una botella de dos litros es lo mismo que cuatro de medio litro).

Da

tos

Reconocimiento de datos del entorno inmediato.

Reconocimiento de hechos posibles/imposibles.

Organizacin de datos: clasificacin y ordenacin.

Representacin de datos a travs de objetos, dibujos y grficos (diagramas de barras).

Tabla 1. Una posible estructuracin de los contenidos matemticos en las primeras edades

En la Tabla anterior se observa que, a pesar de que vara el tipo de contenido, las capacidades matemticas que se ponen en juego son siempre las mismas.




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2.2. Conexiones entre contenidos y procesos matemticos

En Alsina (2011b) se argumenta la necesidad de un currculum de matemticas que, adems de exponer los contenidos matemticos que hay que trabajar, d orientaciones sobre como trabajar estos contenidos para facilitar su uso en diferentes contextos, adems del escolar. Con esta finalidad, las herramientas que nos proporcionan las matemticas son los diferentes procesos de pensamiento matemtico: resolucin de problemas, razonamiento y demostracin, comunicacin, representacin y conexiones (NCTM, 2000).

Al combinarse los contenidos y los procesos generan nuevas miradas que hacen hincapi no solamente en el contenido y el proceso sino y especialmente en las relaciones que se establecen entre ellos. Segn Torra (2007), una visin cartesiana de esta organizacin ofrecera una Tabla como la siguiente, en la que cada espacio relaciona un contenido y un proceso:

Resolucin de problemas

Razonamiento y

demostracin Comunicacin Representacin Conexiones

Cualidades sensoriales

Cantidades

Posiciones y formas

Atributos mesurables

Datos

Tabla 2. Relacin cartesiana entre contenidos y procesos matemticos

Si se analiza con detalle la Tabla 2, se observan las maneras de trabajar los contenidos. As, por ejemplo, la numeracin y el clculo se tendra que trabajar desde la resolucin de problemas, el razonamiento y la demostracin, la comunicacin, la representacin y las conexiones. Esto significa que para aprender a usar los contenidos de numeracin y clculo en otros contextos adems del escolar no basta con que los alumnos se dediquen, por ejemplo, a contar cuntos elementos hay dentro de un diagrama y escribir el nmero:

Figura 1. Una prctica descontextualizada, en la que los alumnos deben contar el nmero de estrellas y escribirlo.



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En lugar de esta tarea, que es muy poco significativa, es necesario plantear situaciones de su propio contexto que los induzcan a pensar, a razonar, a buscar estrategias para encontrar soluciones, a argumentar sus soluciones, a comprobarlas, a comunicarlas y a representarlas de diferentes maneras (con dibujos, con signos, etc.). Desde esta perspectiva, los contenidos y los procesos matemticos no son aspectos independientes sino que se interrelacionan para favorecer la adquisicin progresiva de la competencia matemtica.

2.3. Conexiones entre las matemticas y otras disciplinas

Mientras que en los dos subapartados anteriores se ha incidido en la intradisciplinariedad, es decir, en las conexiones dentro de las matemticas, en este apartado se pone el nfasis en la interdisciplinariedad. Fourez (2008) expone que una actividad es interdisciplinar cuando se usan diferentes disciplinas para construir saberes adecuados para una situacin, sin menospreciar los conocimientos de ninguna de las disciplinas. A pesar de que actualmente la prctica educativa ms extensa contina siendo todava el trabajo aislado de los contenidos matemticos, las actividades interdisciplinarias van ocupando un lugar cada vez ms importante en las aulas de Educacin Infantil. As, disciplinas como la literatura infantil, el arte, la msica, la psicomotricidad, etc., son contextos de aprendizaje ptimos que se utilizan para trabajar contenidos matemticos.

Whitin (1994), por ejemplo, seala la literatura infantil como medio para presentar ideas matemticas. Segn este autor, el uso de la literatura relacionada con las matemticas ayuda a los nios a darse cuenta de la variedad de situaciones en las que las personas pueden utilizarlas con propsitos reales. Adems, la literatura ofrece la oportunidad de encontrar aplicaciones para no percibir las matemticas como una serie de reglas o datos irrelevantes que se tienen que memorizar. Colomer y Ramos (2002) usan cuentos populares para trabajar las matemticas, adems de los aspectos verbales. Parten de la base que el cuento es una herramienta muy utilizada en las primeras edades, y que a todos los alumnos les gusta escuchar. El tratamiento de los contenidos matemticos de un cuento se inicia cuando los nios lo escuchan, lo explican, lo leen a travs de las vietas o lo representan a travs de la dramatizacin, imaginando cmo son y que hacen los personajes y elementos que intervienen en el relato, manipulando los objetos que salen en los cuentos, descubriendo los materiales que intervienen, etc. Ms recientemente, Aymerich (2010) ha llevado a cabo un extenso trabajo de revisin de cuentos que permiten trabajar contenidos matemticos. Esta autora expone que para conectar matemticas y cuentos hay que encontrar un punto de anclaje entre ambos y caracterizar los cuentos que puedan contribuir a mejorar las capacidades de aprendizaje de los alumnos de las primeras edades. A partir de su propia experiencia docente impartiendo clases conducidas desde el uso de los cuentos, propone contemplar dos caractersticas bsicas: a) los cuentos favorecen el trabajo de las matemticas desde un contexto interdisciplinar; b) los cuentos contribuyen a crear representaciones mentales, ideas que ms tarde podrn ser recuperadas o evocadas para el trabajo especfico de un contenido "superior" relacionado con la idea inicial.

La msica es otro contexto de aprendizaje ptimo para trabajar contenidos matemticos. Sa (2002) pone de manifiesto el potencial que tienen las canciones (y tambin los cuentos) para aprender matemticas en las primeras edades. El mtodo de trabajo que plantea consiste en analizar a fondo las posibilidades de cada cancin, partiendo siempre de un enfoque interdisciplinar. Desde esta perspectiva resultan prioritarios los trabajos relacionados con las matemticas, el lenguaje y los aspectos artsticos. El mtodo utilizado presenta esta estructura: a) se escoge una cancin; b) se realizan varias lecturas comprensivas del texto y se extraen todos los contenidos matemticos que hay; c) posteriormente, se elaboran los materiales con los que ms tarde se trabaja en el aula: murales, secuencias temporales, materiales para clasificar y hacer seriaciones, ordenaciones, etc.; d) una vez elaborado el material, se inicia el trabajo con los alumnos para ayudarles a interiorizar conocimientos relativos al color, forma, tamao, semejanzas y diferencias, cuantificadores bsicos, cardinales y




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ordinales, medidas y situaciones espaciales, formas geomtricas y cuerpos, nociones de cantidad, resolucin de problemas, etc.

En relacin al uso del arte como contexto para trabajar contenidos matemticos, Edo (2008) indica que en la etapa de Educacin Infantil, el anlisis y la interpretacin de obras de arte, y la produccin de creaciones plsticas inspiradas en ellas, crean un contexto interdisciplinar a partir del que los alumnos aprenden de forma simultnea matemticas y educacin visual y plstica. Esta autora, que ha trabajado extensamente las conexiones entre las matemticas y la educacin artstica, expone que la contemplacin y creacin de formas artsticas a partir de lneas, figuras y cuerpos puede ayudar tanto a intuir y construir nociones geomtricas como desarrollar sentimientos y emociones estticas (Edo, 2003). Para poner de manifiesto las relaciones existentes entre ambas disciplinas, expone un listado de nociones matemticas propias de la geometra (forma, espacio, proporcin, figura, lnea, recta, curva, plano, volumen, punto de vista, ubicacin en el plano y en el espacio), que son tambin nociones centrales del alfabeto visual y plstico. Desde este marco, seala dos tipos de actividades en las que determinados contenidos matemticos y algunos contenidos del rea visual y plstica se conectan al trabajarse conjuntamente: observacin, anlisis e interpretacin de obras de arte (pintura, escultura, arquitectura, etc.); y produccin de creaciones plsticas inspiradas en la obra analizada. Respecto a la observacin de obras de arte, Edo y Gmez (2000) plantean las siguientes fases de trabajo: a) fase de observacin y anlisis de la obra: se centra en una descripcin objetiva de los elementos del alfabeto visual y plstico reconocibles en la obra (lneas, puntos, manchas, figuras, volmenes, superficies, texturas, colores, etc.); b) fase de interpretacin: consiste en una evocacin creativa centrada en la misma obra: qu podra ser?; qu me sugiere?; qu me recuerda?; qu me provoca?; etc. La primera parte de la actividad, la ms geomtrica, dota al alumno de una serie de "herramientas" derivadas del anlisis de la forma y la composicin que permite que la segunda fase, la ms creativa, llegue a ser ms interesante, rica en matices y completa. En relacin a la produccin de creaciones plsticas inspiradas en la obra analizada (dibujo, pintura, escultura, construccin, etc.), sin ser nunca una reproduccin de la obra, es un entorno de aplicacin de todo lo que se ha aprendido.

Existen tambin numerosas conexiones entre la matemtica y la psicomotricidad. Benavides y Nez (2007), por ejemplo, sealan que una de las conexiones ms relevantes es la adquisicin de la nocin de espacio. Indican que es fundamental que los alumnos conozcan su cuerpo, pero sto no es suficiente, sino que es necesario que lo estructuren y lo muevan en relacin con el mundo exterior. Desde esta perspectiva, la psicomotricidad aporta conocimientos relativos a la funcin tnica, la postura y el equilibrio, el control respiratorio, el esquema corporal, la coordinacin motriz, la lateralidad, la organizacin espacio-temporal, la motricidad fina y la grafomotricidad. Y las matemticas, y ms concretamente la geometra, aporta conocimientos relativos a la organizacin espacial y a la forma.

En trminos generales, todas las conexiones entre las matemticas y otras disciplinas expuestas ponen de manifiesto que no todas las matemticas se tienen que aprender necesariamente durante la hora de matemticas ni en la clase de matemticas, sino que hay mltiples contextos de aprendizaje vlidos para generar conocimiento matemtico.

2.4. Conexiones entre las matemticas y la vida cotidiana

En las primeras edades las matemticas no tratan de frmulas ni de ecuaciones, ni de sumas y restas escritas con lenguaje convencional; tratan de los colores de las frutas, de la cantidad de pescados que hay en una pecera, de los nmeros que hay en el calendario, de la posicin relativa de una silla en relacin a una mesa, de la forma de las hojas de un rbol, etc. Dicho de otro modo, las matemticas no son un conjunto de conocimientos abstractos que los alumnos pueden aprender slo a travs de un cuaderno de actividades, sino que las matemticas tratan de ver nuestro mundo y crear



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representaciones con las que podemos trabajar para resolver las situaciones problemticas que importan. Desde este marco, el trabajo de los profesionales de la Educacin Infantil consiste en descubrir las matemticas que hay en la vida cotidiana para favorecer que los alumnos aprendan a verlas, a intepretarlas, a comprenderlas, para que progresivamente puedan desarrollarse mejor en su entorno inmediato. Reeuwijk (1997), investigador y educador del Instituto Freudenthal de la Universidad de Utrecht (Holanda), expone cinco motivos para utilizar contextos reales de aprendizaje:

En primer lugar, pueden motivar a los alumnos. Asmismo, pueden ayudarles a comprender por qu las matemticas son tiles y necesarias. Pueden aclarar por qu ciertos mbitos de las matemticas revisten importancia, y pueden contribuir a que los alumnos entiendan la manera en que se emplean las matemticas en la sociedad y en la vida cotidiana.

En segundo lugar, el uso de contextos puede favorecer que los propios alumnos aprendan a usar las matemticas en la sociedad, adems de descubrir qu matemticas son relevantes para su educacin y profesin posteriores.

En tercer lugar, los contextos pueden incrementar el inters de los alumnos por las matemticas y la ciencia en general.

En cuarto lugar, los contextos pueden despertar la creatividad de los alumnos, impulsarlos a utilizar estrategias informales y de sentido comn al afrontar, por ejemplo, la resolucin de una situacin problemtica o de un juego.

Y en quinto lugar, un buen contexto puede actuar como mediador entre una situacin concreta y las matemticas abstractas.

El uso de contextos de vida cotidiana en la clase de matemticas, pues, puede contribuir a facilitar el aprendizaje de esta disciplina, pero sobre todo a comprender cul es el sentido de las matemticas, cules son sus verdaderas funciones: formativa, teniendo en cuenta que los contextos de vida cotidiana permiten pasar progresivamente de situaciones concretas o situaciones abstractas (matematizacin progresiva); instrumental, al considerar que los contextos son, en realidad, herramientas que favorecen la motivacin, el inters o el significado de las matemticas; y aplicada, al fomentar el uso de las matemticas en contextos no exclusivamente escolares y, por lo tanto, contribuir a la formacin de personas matemticamente ms competentes.

3. Algunos andamios para aprender a ensear matemticas en las primeras edades desde un enfoque globalizado

Una forma adecuada de trabajar las conexiones matemticas es cuando se reta a los alumnos a aplicar el aprendizaje matemtico en investigaciones y proyectos matemticos amplios en los que se formulan preguntas y disean encuestas, toman decisiones sobre mtodos de recogida y registro de informacin, y planifican representaciones para comunicar los datos y para que les sirvan de ayuda para hacer conjeturas e interpretaciones razonables (NCTM, 2000). Alsina (2011a) expone una posible sistematizacin para trabajar las matemticas a partir de proyectos que parten de contextos de aprendizaje de la vida cotidiana:




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Educacin matemtica en contextos de vida cotidiana

Fase 1: matematizacin del contexto

- En esta fase todava no intervienen los alumnos: se analizan todos los contenidos matemticos (de numeracin y clculo, geometra, lgebra, medida y anlisis de datos y probabilidad) que pueden trabajarse en el contexto de aprendizaje elegido.

Fase 2: trabajo previo en el aula

- Se presenta el contexto de aprendizaje: el patio de la escuela; la plaza del pueblo; etc.

- Se inicia un dilogo con los alumnos para recoger sus conocimientos previos y experiencias a travs de preguntas como: qu matemticas hay en?

- Entre todos se decide el material necesario para documentar el trabajo en contexto: una cmara digital, una cinta mtrica, una calculadora, una libreta para anotar los descubrimientos o para dibujar, etc.

Fase 3: trabajo en contexto

- Los alumnos descubren las matemticas que hay en el contexto de aprendizaje elegido.

- Documentan lo que van descubriendo a travs de fotografas, dibujos, anotaciones en la libreta, etc.

- El maestro interviene haciendo preguntas, sobre todo, ms que dando explicaciones.

Fase 4: trabajo posterior en el aula

- Se establece un dilogo con los alumnos para que comuniquen lo que han descubierto, procurando que utilicen un lenguaje matemtico adecuado.

- Se usan las imgenes como base para trabajar aspectos matemticos diversos (reconocer, relacionar u operar cualidades sensoriales, cantidades, posiciones y formas, atributos mesurables, etc.).

- Se representa grficamente el trabajo realizado en contexto a travs de un pster, en una ficha, etc.

Tabla 3. Fases para aprender a ensear matemticas a partir de contextos de vida cotidiana

Estas fases son transferibles, lgicamente, a otros tipos de contextos de aprendizaje.

4. Muestra de prcticas matemticas en contextos de vida cotidiana a partir de un enfoque globalizado

A continuacin se exponen diversas actividades implementadas en diversos contextos que han sido diseadas a partir de un enfoque globalizado (Alsina, 2011a). Como veremos, se trata de experiencias en las que se integran contenidos relativos a los diferentes bloques de las matemticas; o se conectan contenidos matemticos con contenidos de otras reas de conocimiento como la Educacin Artstica o el Conocimiento del Medio; o entre las matemticas y el entorno inmediato, por ejemplo.

En la primera actividad que se presenta, Maravillas verdes, se trabajan los diferentes bloques de contenido matemtico a partir de la observacin de las plantas que hay en el patio del colegio en el que se implementa la actividad. Este contexto no matemtico se utiliza, pues, para favorecer que los alumnos puedan integrar contenidos matemticos diversos como por ejemplo la identificacin y comparacin de cualidades sensoriales, cantidades, posiciones, formas, atributos mesurables y datos.



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Ttulo de la actividad: Maravillas verdes

Lugar de implementacin: Colegio Lepanto, Mairena del Aljarafe (Sevilla). Nivel: 4-6 aos Maestras responsables de la implementacin: Juani Moreno Gordillo, gueda Vzquez Vzquez, Irene Penco Olivera, Antonia del Valle Guzmn Daz, Ftima Roco Perianez Prez, Irene Fenoy Prez. Asesoramiento pedaggico: Angel Alsina

Contenidos de razonamiento logicomatemtico:

Propiedades de los rboles: tamao (grande-pequeo), forma (redondeada-puntiaguda), textura (rugoso-liso), grosor (grueso-delgado).

Clasificaciones segn diversos criterios: la forma de las hojas (acorazonada, elptica); el tipo de plantas (rboles, arbustos, hierbas).

Seriaciones segn diversos criterios: color de las hojas; etc. Contenidos de numeracin y clculo:

Cuantificadores imprecisos: muchos-pocos. Conteo y ordenacin numrica. Composicin y descomposicin de nmeros. Representacin grfica de las cantidades.

Contenidos de geometra:

Reconocimiento de figuras y cuerpos geomtricos y asociacin de estas formas con objetos del entorno inmediato.

Composicin de paisajes a partir de figuras geomtricas. Representacin de los conocimientos geomtricos mediante el dibujo del plano del

colegio.

Contenidos de medida:

Utilizacin de instrumentos de medida convencionales (cinta mtrica) y no convencionales (dedos).

Clasificacin segn la longitud: largo-corto/alto-bajo. Reconocimiento del paso del tiempo en el rbol (las estaciones del ao).

Contenidos de estadstica y probabilidad:

Identificacin de datos y representacin en un diagrama de barras

Tabla 4. Contenidos matemticos trabajados en la actividad Maravillas verdes

El proyecto se inici con una asamblea general en la que se recogieron los conocimientos previos que tenan los alumnos sobre las plantas. Para las sucesivas salidas se hizo una seleccin de




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materiales: cmara de fotos; cmara de video; grabadora de voz; folio y lpiz; plano; fotografas; recursos materiales diversos como hojas, frutos secos, semillas, recipientes diversos, papel continuo, cinta mtrica,; libros de consulta y material de elaboracin propia. A continuacin se realiz una primera salida por el patio para observar las plantas, tomar fotografas y recoger muestras. Una vez en el aula se observaron las fotografas: se organizaron los alumnos en grupos de cinco y se les pidi que descubrieran el concepto matemtico escondido en cada fotografa (grueso-delgado, delante-detrs, dentro-fuera, liso-rugoso, etc.). Despus cada equipo explic a los dems el concepto descubierto. En relacin a las muestras recogidas, una vez comentadas las propiedades individuales de cada elemento se realizaron clasificaciones y seriaciones con estos objetos.

En las siguientes salidas que se hicieron se trabajaron aspectos relacionados con todos los bloques de contenidos:

Contar rboles: en una nueva salida al patio se distribuy una hoja de registro en la que deban anotar el nmero de rboles que haba de cada especie. En algunos momentos surgi la suma, ya que haba una misma especie distribuida en diferentes zonas del patio. En clase se analizaron en pequeo grupo los datos recogidos en el patio y se elabor un mural donde en un principio se clasific por especies y a continuacin se realiz una ordenacin numrica de la cantidad de rboles de cada especie. Otra actividad se bas en la composicin y descomposicin de cantidades a partir de un material elaborado a partir de fotos de todas las especies de rboles.

Medir rboles: se plante como actividad la medida del crecimiento de las semillas sembradas, y a raz de esta actividad un nio propuso medir los troncos de los rboles. En principio, para estas mediciones, se usaron unidades de medida no convencionales como los dedos. Despus de realizar varias mediciones con los dedos y observar que el resultado era diferente, un nio plante la necesidad de utilizar la cinta mtrica para llegar a una medicin ms real. En clase se realiz una asamblea para la puesta en comn sobre los resultados obtenidos en las mediciones y al ser resultados con cantidades altas, la mayora de los alumnos se apoyaban en la representacin grfica del nmero que indicaba el metro.

Figura 2. Los alumnos miden la altura de un rbol con la cinta mtrica

Salida al patio para localizar el mejor lugar para plantar un olivo: se plante a los alumnos cul era el mejor lugar del patio para plantar un olivo. Dado que las explicaciones de los alumnos no fueron suficientes para entender el lugar al que se referan para plantar el olivo, surgi la necesidad de utilizar el plano. Para el diseo de los planos los alumnos salieron al patio, ya que necesitaron observar el espacio, las distancias entre un rbol y otro, etc. Los aspectos matemticos que descubrieron fueron la orientacin espacial, las distancias, algunas formas geomtricas, etc.



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Salida al patio para observar las formas de los rboles: despus de la presentacin de los cuerpos geomtricos (cilindro, prisma cuadrangular, esfera y dodecaedro), se propuso a los alumnos que salieran al patio para compararlos con los rboles. Posteriormente, en clase, se les presentaron distintas figuras geomtricas para que las recortaran y compusieran con algunas de ellas los rboles del patio.

La segunda actividad que se expone es otro ejemplo ilustrativo de prctica educativa en la que se trabajan las conexiones matemticas, en este caso a partir de una situacin que surge de forma espontnea: una alumna se presenta una maana en clase con un zapato, despus que el da anterior los alumnos estuvieran en la inauguracin de una zapatera.

Ttulo de la actividad: Oinetako denda (la zapatera)

Lugar de implementacin: Andra Mari Ikastola, Etxarri- Aranatz (Navarra) Nivel: 3-4 aos y 5-6 aos Maestras responsables de la implementacin: Josune Arrazubi, Jaione Azpirotz, Teresa Goikoetxea, Mila Berastegi, Gloria Lopez, Juana Mari Jaka, Ines Goi. Asesoramiento pedaggico: Angel Alsina

Contenidos de razonamiento logicomatemtico: - Reconocimento de los atributos de los zapatos (colores, texturas y olores). - Semejanzas y diferencias entre zapatos. - Clasificaciones y ordenaciones de zapatos por diferentes criterios.

Contenidos de numeracin y clculo: - Operaciones de suma y resta con la cantidad y el valor de los zapatos.

Contenidos de geometra: - Relaciones espaciales. - Clasificaciones de los zapatos segn su forma.

Contenidos de medida: - Reconocimiento del nmero (el tamao) de los zapatos. - Clasificaciones de zapatos segn su tamao o altura.

Contenidos de estadstica y probabilidad: - Identificacin de datos y representacin en un diagrama de barras

Tabla 5. Contenidos matemticos trabajados en la actividad Oinetako denda

Despus de haber estado en la inauguracin de la zapatera, al da siguiente una nia trajo sus zapatos viejos para jugar, y en das sucesivos los dems alumnos hicieron lo mismo. A medida que iban trayendo los zapatos los presentaban a los dems (comentaban cmo eran, para qu servan, etc.). Con todos los zapatos en clase propusieron repartirlos, regalrselos a los pequeos, ponrselos a las muecas, colocarlos en cajas, etc. Hicieron juego libre y al final decidieron montar una zapatera en clase.




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La distribucin del espacio sigui diversas fases: en primer lugar pensaron cmo organizar la zapatera. La idea que surgi fue clasificar los zapatos por grupos en varios mostradores. Despus, eligieron los materiales para montar la zapatera y discutieron cmo hacer el dinero y los carteles de los precios, aprovechando materiales reciclados que suelen traer a clase. Conversaron sobre la procedencia del dinero y crearon un banco para repartirlo. Al preparar el espacio pusieron en prctica conocimientos relativos a la posicin (dnde colocar los mostradores) y la medida (lo que ocupan los mostradores). Cuando ya tuvieron clara la ubicacin y la distribucin de los mostradores reunieron todos los zapatos (que estaban mezclados) y empezaron a formar parejas. Fueron colocando los zapatos en los diferentes mostradores segn criterios diversos (el color, el tamao, el tipo de zapatos, etc.). Con los mostradores montados, etiquetaron el precio de los zapatos y despus invitaron a los alumnos de otra clase a comprar zapatos con el dinero de cartn sobrante de la fiesta de la Ikastola.

Figura 3. Las tiendas de zapatos Figura 4. Compra-venta de zapatos

Durante el juego realizaron mltiples actividades: simbolizaron (vendiendo, probndose, comprando, desfilando), tuvieron cuidado de cobrar el precio justo, hicieron listas de compras, leyeron marcas de zapatos, etc. Y para finalizar se hizo un dilogo sobre lo que haban vivido y aprendido; representaron la zapatera en el papel; se proyectaron fotos; y se hizo una exposicin para que las familias pudieran ver todo el trabajo que haban realizado los alumnos.

La ltima experiencia que se presenta, El mundo matemtico en la obra de Joan Mir, se trata de una actividad en la que la Educacin Artstica es el punto de partida para aprender matemticas.

Para llevar a cabo esta actividad en primer lugar se eligieron las obras que iban a analizarse con los alumnos, ya que cada una serva para trabajar contenidos matemticos diferentes:

- Mujer con sombrero bonito y estrella (formas geomtricas) - Autorretrato (lneas cerradas y abiertas) - El pjaro Zafiro (figuras geomtricas) - El oro del azul (tamao, grande-pequeo)



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Ttulo de la actividad: El mundo matemtico en la obra de Joan Mir

Lugar de implementacin: Colegio El Algarrobillo, Valencina de la Concepcin (Sevilla); Colegio Ntra. Seora de la Antigua, Almensilla (Sevilla); y Colegio Padre Manjn, Bormujos (Sevilla). Nivel: 3-4 aos y 5-6 aos Maestras responsables de la implementacin: M Luisa Paredes Moreno, M Eugenia Santos Fernndez, Encarni Reina Gmez, Inmaculada Gamero Martnez y M Concepcin Ruiz Rivero Asesoramiento pedaggico: Angel Alsina

Contenidos de razonamiento logicomatemtico: - Agrupaciones por criterios cualitativos. - Clasificaciones y ordenaciones por criterios cualitativos.

Contenidos de numeracin y clculo: - Cuantificadores bsicos: muchos/pocos, ms que, etc. - Representacin de cantidades con smbolos no convencionales. - Clasificaciones por criterio cuantitativo. - Uso de los nmeros para expresar un resultado.

Contenidos de geometra: - Reconocimiento de lneas y figuras bsicas: crculo, cuadrado, tringulo, estrellas, etc. - Clasificacin y ordenacin de objetos por la forma. - Construccin de lneas rectas. - Composicin y descomposicin de formas a travs de puzzles.

Contenidos de medida: - Nociones primarias elementales respecto a la longitud: largo-corto, etc. - Instrumentos de medida convencionales. - Comparacin de medidas en las que se han usado unidades. - Uso de instrumentos para hacer lneas rectas. - Resolucin de problemas cuantitativos que surgen en la vida cotidiana mediante

estrategias diversas. Contenidos de estadstica y probabilidad:

- Identificacin de datos y representacin en un diagrama de barras

Tabla 6. Contenidos matemticos trabajados en la actividad El mundo matemtico en la obra de Joan Mir

En asamblea se present brevemente la biografa de Joan Mir y a continuacin, con el objeto de detectar sus conocimientos previos, se pregunt a los alumnos qu matemticas vean en estas pinturas. Una vez recogidos sus conocimientos previos se inici la presentacin de las diversas pinturas. Algunas veces los cuadros se analizaron en parejas, otras en gran grupo y otras individualmente, pero en todos los casos se procedi de la misma manera: se presentaba la obra y se analizaban los aspectos que se queran destacar. Despus del anlisis de las obras cumplimentaron una pauta de recogida de datos donde anotaron los colores y las formas.




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Figura 5. Plantilla para registrar los elementos matemticos del cuadro

Una vez descritas las pinturas en la plantilla, se clasificaron segn criterios diversos (cualitativos, cuantitativos y geomtricos), verbalizando los criterios utilizados. As, por ejemplo, hay alumnos que los clasificaron por el color predominante, otros por las formas, etc. Finalmente se realiz un trabajo de medida que consisti en buscar informacin sobre las dimensiones reales de los cuadros, reproducirlos a tamao real y buscar un espacio adecuado para colgarlos. En el aula se estableci un dilogo para decidir qu instrumento deba usarse para dibujar las medidas reales de las pinturas en el papel, y todos los alumnos estuvieron de acuerdo en utilizar una cinta mtrica. Con la ayuda de las maestras dibujaron los cuadros y los pintaron entre todos.

Figura 6. Reproduciendo Autorretrato Figura 7. Las reproducciones a tamao real

El mayor reto surgi cuando debieron colocar los cuadros en la pared: en primer lugar, buscaron un espacio adecuado en el pasillo, ya que algunas de las pinturas eran de gran tamao y no caban en cualquier sitio. Cuando ya tuvieron clara la ubicacin, colgaron los cuadros en la pared y se dejaron expuestos para que los alumnos pudieran observarlos cuando les apeteciera, dialogar sobre ellos, etc. Finalmente, todo el trabajo realizado se recopil en un libro que cada alumno se llev a casa para compartirlo con sus familias.



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5. Conclusiones

Las experiencias que se han descrito en este artculo son algunos ejemplos de prcticas educativas en las que se trabajan las conexiones matemticas desde un enfoque globalizado (intradisciplinar e interdisciplinar).

En la actividad Maravillas verdes se trabajan contenidos matemticos relativos a los diferentes bloques, como por ejemplo el reconocimiento de la textura de los troncos (liso y rugoso); el conteo del nmero de rboles; la ubicacin del olivo en el patio; el anlisis de las formas de los rboles; la medicin de la longitud de los troncos; la observacin del tamao de las plantas; etc. Pero a pesar de trabajar con objetos matemticos diversos (cualidades sensoriales, cantidades, propiedades geomtricas o atributos mensurables), las estructuras matemticas se repiten: reconocen, relacionan (clasifican, ordenan, asocian) y operan con los diferentes contenidos. Este hecho, como ya se ha indicado, les permite conectar ideas matemticas de diversa ndole, lo que les conduce no slo a aprender los contenidos matemticos propios de las primeras edades sino que se dan cuenta tambin de su utilidad. Un segundo rasgo relevante de la actividad Maravillas verdes es que, al trabajar las matemticas en un contexto del entorno inmediato (las plantas del patio), pueden conectar contenidos matemticos con contenidos de Conocimiento del Medio. As, por ejemplo, los alumnos observan diferentes tipos de hojas, reconocen sus propiedades y las clasifican a partir de estas propiedades. Finalmente, nos parece tambin muy interesante la planificacin y la gestin llevada a cabo por las maestras: cada actividad realizada en el contexto de aprendizaje elegido se complementa con otras actividades realizadas posteriormente en el aula con materiales manipulativos, a travs de dilogos, mediante la representacin grfica, etc. Este planteamiento es muy til para favorecer que los alumnos interioricen los contenidos que han observado en el contexto.

La actividad Oinetako denda (la zapatera) es una experiencia idnea para ejemplificar cmo construir conocimiento de forma significativa a partir de una situacin que surge de forma espontnea. Ante la llegada por sorpresa de un zapato a la escuela, la maestra tiene varias posibilidades: hacer caso omiso del objeto; presentarlo en clase, hacer un breve anlisis (cmo es, para qu sirve, etc.), y proseguir con el trabajo planificado; o bien convertirlo en el centro de atencin, como es el caso que nos ocupa. Es evidente que si la maestra no hubiera gestionado la llegada del zapato a la clase para que se convirtiera en un centro de inters, los otros alumnos no hubiesen trado otros zapatos viejos, con lo cual hubiese sido imposible llevar a cabo todas las actividades que se desencadenaron posteriormente, la mayora propuestas por los mismos alumnos. As, poniendo de relieve una situacin en la que los alumnos pueden encontrar matemticas fuera y dentro de la escuela (la zapatera del padre de Iigo y la que se organiza en el aula), se facilitan las conexiones: es sorprendente observar la gran cantidad de contenidos matemticos que los alumnos pueden conectar a partir del montaje de la zapatera en el aula: distribuyen el espacio para colocar los mostradores; analizan mltiples cualidades sensoriales de los zapatos (color, olor, textura, etc.) y los clasifican de acuerdo con estas cualidades; etiquetan el precio de los zapatos y realizan actividades de compra-venta; analizan la medida de los zapatos; etc. Sin duda, pues, se trata de una buena prctica que permite observar que las conexiones se establecen mejor cuando se reta a los alumnos a aplicar el aprendizaje matemtico a investigaciones y proyectos matemticos amplios.

En El mundo matemtico en la obra de Joan Mir, los alumnos trabajan de forma integrada conocimientos matemticos diversos, tanto contenidos como procesos, a travs del anlisis de pinturas de Joan Mir. En relacin a los contenidos, analizan colores del cuadro (cualidades sensoriales); el nmero de formas (cantidades); las formas que hay (geometra); las dimensiones (medida); y se efecta la recogida de datos a partir de una pauta (anlisis de datos). Adems, se generan espacios de interconexin entre contenidos y procesos, ya que los datos recogidos se representan y se comunican (conexin de los contenidos de los diversos bloques con los procesos de representacin y comunicacin, sobre todo); se investigan las dimensiones del cuadro, se reproduce a tamao real y se




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ubica en un lugar adecuado (conexin de los contenidos de geometra y medida con los procesos de resolucin de problemas, razonamiento y prueba, bsicamente). Si, como ocurre en esta actividad, los profesionales de la Educacin Infantil adquirimos una visin de las matemticas como un todo conectado e integrado, y somos capaces de transmitir esa visin a los alumnos, disminuir la tendencia a considerar por separado conceptos y destrezas. Asimismo, si partimos de la base que comprender implica hacer conexiones, cuando los alumnos puedan conectar ideas matemticas, su comprensin va a ser ms profunda y duradera.

En conclusin, como se ha visto a lo largo de este artculo, la educacin matemtica aporta alternativas muy vlidas para favorecer la adquisicin progresiva de la competencia matemtica: el uso de contextos de vida cotidiana a partir de un enfoque globalizado es un claro ejemplo de ello. Sin embargo, es preciso destacar que el uso de este tipo de contextos de aprendizaje -o cualquier otro tipo de contexto- no contribuyen por ellos mismos al desarrollo de la alfabetizacin matemtica, sino que ello depende de cmo los profesionales de la Educacin Infantil planteamos y gestionamos las actividades con nuestros alumnos: no se trata de ensear matemticas a los nios y nias de las primeras edades, ni a ninguna otra persona, sea cual sea su edad, de la forma que nos apetezca. Debemos considerar, primero, que las matemticas forman parte de nuestro entorno; segundo, que las matemticas deben servirnos para desenvolvernos mejor en este entorno, ms que para resolver correctamente las actividades propuestas en un cuaderno; y tercero, y por encima de todo, debemos plantearnos cules son las necesidades de los nios y nias de las primeras edades para aprender matemticas.

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Angel Alsina es profesor de Didctica de las Matemticas en la Universidad de Girona (Espaa). Sus lneas de investigacin estn centradas en la enseanza y el aprendizaje de las matemticas en las primeras edades y en al formacin del profesorado. Ha publicado numerosos artculos cientficos y libros sobre cuestiones de educacin matemtica, y ha llevado a cabo mltiples actividades de formacin permanente del profesorado de matemticas en Espaa y en Amrica Latina. [email protected]



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Una propuesta para la enseanza del nmero en la Educacin Infantil

Toms ngel Sierra Delgado (Universidad Complutense de Madrid) Esther Rodrguez Quintana (Universidad Complutense de Madrid)

Artculo solicitado a los autores por la revista

Resumen Presentamos una posible organizacin didctica para el estudio del nmero y la numeracin en la Educacin Infantil basada en las investigaciones desarrolladas por Guy Brousseau y sus colaboradores en el aula con alumnos de 3, 4 y 5 aos de la Escuela Jules Michelet de Talence (Bordeaux). La propuesta elaborada tiene como objetivo que los alumnos perciban el carcter funcional del nmero, por ello, a lo largo de todo el proceso se plantean cuestiones y tareas cuya respuesta y resolucin ptima requiere el uso del nmero y la numeracin. Para la construccin del proceso de estudio seguimos el modelo general que propone la teora antropolgica de lo didctico.

Palabras clave Nmero natural, Educacin Infantil, cardinal y ordinal, enumeracin, conteo, teora de situaciones didcticas, teora antropolgica de lo didctico, situaciones de aprendizaje por adaptacin al medio.

Abstract We present a possible didactical organization for the study of number and numbering in primary education based on the research conducted by Guy Brousseau and colleagues in the classroom with 3, 4 and 5 years old students from Jules Michelet School of Talence (Bordeaux). The developed proposal intends students to perceive the functional character of the number. Therefore, throughout the entire process questions and tasks are proposed from which response and optimal resolution requires the use of number and numbering. For the construction of the study process we follow the general model proposed by the Anthropological Theory of Didactics.

Keywords Natural number, kindergarten, cardinal and ordinal, enumerating, counting, the Theory of Didactic Situations, the Anthropological Theory of the Didactic, learning situation for adaptation to the medium.

1. Introduccin

Cuando queremos elaborar una organizacin didctica para la enseanza de un conocimiento matemtico, presente en el curriculum de una institucin educativa, lo primero que debemos plantearnos (independientemente de las caractersticas especficas de los alumnos) (Briand y Salin 2001) es la siguiente cuestin:

Cules son los problemas en los que el conocimiento matemtico que queremos ensear es el mejor instrumento de resolucin?

O mejor:

Una propuesta para la enseanza del nmero en la Educacin Infantil T. A. Sierra Delgado, E. Rodrguez Quintana


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Cules son las situaciones cuya resolucin requiere poner en juego el conocimiento matemtico que queremos ensear?

La razn por la que debemos intentar primero la bsqueda de respuestas a las cuestiones anteriores no es otra que la de conseguir que el estudio de dicho conocimiento tenga un carcter funcional. Si queremos que el aprendizaje de un contenido matemtico sea funcional debemos presentar a los alumnos situaciones o problemas donde dicho contenido sea la mejor estrategia para resolverlos.

Una vez que hayamos encontrado elementos de respuesta a estas preguntas podremos plantearnos la siguiente cuestin:

Cmo transformar cada uno de esos problemas o situaciones para convertirlo en el ncleo de una situacin didctica, adaptada a la edad, a los conocimientos y a los intereses de los alumnos de una determinada institucin escolar?

O mejor:

Cmo disear y gestionar un proceso de estudio o una organizacin didctica en cuyo ncleo aparezcan los problemas o situaciones que son la razn de ser de dicho conocimiento matemtico, adaptndolos a la institucin escolar de referencia?

2. Cuestiones previas para la elaboracin de una organizacin didctica en torno al nmero natural en la Educacin Infantil

La orden ECI/3960/2007 establece el currculo de Educacin Infantil (MEC, 2007). El objetivo quinto indica:

Representar atributos de elementos y colecciones, y establecer relaciones de agrupamientos, clasificacin, orden y cuantificacin, inicindose en las habilidades matemticas. (MEC, 2007, p.1024).

Este objetivo se lleva a cabo fundamentalmente a travs del rea Conocimiento del entorno. En concreto, durante el desarrollo de los bloques, se destacan como contenidos para el segundo ciclo, en relacin con la enseanza del nmero (MEC, 2007, 1024):

Ordenacin gradual de elementos, uso contextualizado de los primeros nmeros ordinales, cuantificacin no numrica de colecciones, comparacin cualitativa entre colecciones de

objetos, estimacin cuantitativa exacta de colecciones y uso de nmeros cardinales referidos a

cantidades manejables, utilizacin oral de la serie numrica para contar, toma de conciencia del valor funcional de

los nmeros y de su utilidad en la vida cotidiana.

En el rea Lenguaje: comunicacin y representacin se hace referencia a que:

Cuando se aborde, por ejemplo, el conocimiento de objetos y materias que se refleja en el rea de Conocimiento del entorno, se trabajar al mismo tiempo

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el lenguaje matemtico que se refiere a la representacin de aquellas propiedades y relaciones entre objetos(). (MEC, 2007, 1027)

Por ltimo, en los criterios de evaluacin se incide en la necesidad de evaluar si los nios han desarrollado un aprendizaje funcional del nmero, siendo capaces de resolver problemas matemticos de la vida cotidiana donde es necesario utilizar el nmero, en sus aspectos cardinal y ordinal:

() tambin se observar la capacidad desarrollada para resolver sencillos problemas matemticos de su vida cotidiana. Se valorar si el nio observa y puede verbalizar algunos de los usos y funciones que los nmeros cardinales y ordinales cumplen en nuestra cultura as como si los utiliza funcionalmente en sus juegos y en situaciones propias de la vida cotidiana. (MEC, 2007, p. 1025).

Conocidas las indicaciones del currculo oficial espaol, antes de ensear los primeros nmeros naturales en sus aspectos cardinal y ordinal en la Educacin Infantil, deberamos buscar algunos elementos de respuesta a las siguientes cuestiones:

Qu tipos de problemas dan sentido al nmero natural en sus aspectos cardinal y ordinal? En la Educacin Infantil, cules son las cuestiones (la razn de ser) cuya respuesta requiere como estrategia ptima el uso de los primeros nmeros naturales?Para qu sirven los nmeros en la EI?

Existe algn tipo de situaciones previo que prepara y ayuda a la construccin del nmero natural en la Educacin Infantil?

Cules son las tcnicas matemticas de que pueden disponer los alumnos de EI para resolver las situaciones problemticas anteriores que permiten un aprendizaje funcional de los primeros nmeros naturales? Qu relacin existe entre dichas tcnicas? Podra esquematizarse un proceso de desarrollo progresivo de ellas? Hay otras tcnicas que mejoran en eficacia y economa a la tcnica del conteo?

El motivo de plantearnos dichas cuestiones es que, desde nuestro punto de vista, aunque los conocimientos numricos a ensear en la EI puedan parecer muy elementales y sencillos a los ojos del enseante, sin embargo, el maestro no debe considerar transparente el conocimiento matemtico cuya enseanza y aprendizaje quiere gestionar, si lo que pretende es que sus alumnos perciban el carcter funcional del nmero. En definitiva, se trata de que el enseante busque y, en consecuencia, disponga de un conjunto de situaciones problemticas que permitan a los alumnos de EI encontrar las razones de ser del nmero. Para ello, habr que analizar cules son las funciones del nmero y de su designacin y, de este modo, obtener un conjunto de situaciones especficas1 del nmero natural que el enseante podr utilizar para conseguir que sus alumnos construyan las distintas tcnicas donde interviene el nmero y la numeracin.

Del mismo modo, es necesario indagar sobre las posibles tcnicas que pueden ser utilizadas para resolver dichas situaciones, ya que segn el modelo de la teora antropolgica de lo didctico (TAD)2 en el que nos basamos, la construccin del conocimiento matemtico en torno a los primeros nmeros naturales est totalmente ligada al desarrollo y aprendizaje de las tcnicas matemticas que permiten resolver tareas potencialmente tiles para iniciar a los alumnos de EI en el uso de los nmeros.

1 En general, una situacin especfica de una nocin matemtica es aquella en la que, si queremos resolverla de

modo ptimo, se necesita poner en prctica dicha nocin matemtica. 2 Para una informacin detallada del marco terico de la TAD, proponemos consultar Chevallard, Bosch y

Gascn (1997), Bosch y Gascn (2009) y Sierra, Bosch y Gascn (2011).



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2.1. Situaciones o problemas que son la razn de ser del nmero en la Educacin Infantil

Basndonos en los trabajos de investigacin llevados a cabo por Guy Brousseau y sus colaboradores (Gairin-Calvo, 1988; Brousseau, 2000, 2007; Briand, Loubet y Salin, 2004) en el Centro para la Observacin e Investigacin en la Enseanza de las Matemticas (COREM) de la Escuela Jules Michelet de Talence (Bordeaux, Francia), se pueden considerar tres grandes tipos de situaciones en las que el uso de los primeros nmeros es el mejor instrumento para su resolucin:

1.- Situaciones en las que el nombre del nmero se utiliza para construir una coleccin:

Tengo invitados, y quiero pedir al pastelero los pasteles que necesito. Quiero tejer un jersey y el manual de tricotar me indica que debo avanzar un nmero

determinado de puntos. Se acerca la hora de comer, y quiero poner la mesa antes de que lleguen los comensales. Tengo necesidad de un cuaderno para cada uno de los alumnos de mi clase. Voy a buscarlos

al despacho del director. Tenemos clase de plstica y hay que ir a buscar los pinceles necesarios para que cada

alumno tenga el suyo.

2.- Situaciones en las que los nombres de los nmeros se utilizan para comparar dos colecciones:

Tendr bastantes vales de comida para poder comer todos los das hasta que lleguen las vacaciones?

Durante una salida con los nios, me he olvidado de alguno? Al terminar un juego donde gana el que ha conseguido ms o menos puntos, o cartas o

fichas, etc. quin ha ganado? Hemos empezado a jugar con un conjunto de canicas y al terminar de jugar quiero saber si

el paquete de canicas ha aumentado o ha disminuido. Quiero repartir una coleccin entre varias personas, el conteo puede servirme para controlar

que el reparto por igual est bien en las diferentes etapas de la distribucin.

3.- Situaciones en las que el nombre del nmero se utiliza para designar o memorizar una posicin:

Alguien me pregunta por una direccin en una ciudad y le indico el camino: Tiene que girar en el tercer semforo.

Estoy en una ciudad desconocida, y dispongo de un plano, preveo mi itinerario y anoto que debo girar en la cuarta calle a la izquierda.

Vivo en un gran edificio y tengo que indicar a alguien el piso donde habito. Alguien viene a mi ciudad por una autopista y debo indicarle la salida que le permitir

llegar.

2.2. Tcnicas matemticas para la iniciacin al nmero y la numeracin

Ahora queremos clarificar en qu consiste cada una de las tcnicas matemticas, a construir por los alumnos de la Educacin Infantil, que permiten, dependiendo del caso, dar una posible respuesta a las situaciones descritas anteriormente. Por ello, pasamos a explicarlas de forma detallada.

1.- La correspondencia trmino a trmino o correspondencia uno a uno, que consiste en ir asociando o relacionando cada objeto de la primera coleccin con un objeto distinto de la segunda coleccin, de modo que cada objeto de la primera coleccin tenga asociado un nico elemento de la

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segunda coleccin y que cada elemento de la segunda coleccin est relacionado con un solo elemento de la primera coleccin.

Esta tcnica permite:

Construir una coleccin equipotente a una dada previamente, cuando sta est presente. Comparar dos colecciones cuando ambas estn a la vista. Realizar distribuciones de los elementos de una coleccin.

2.- La correspondencia grupo a grupo que consiste en ir asociando a cada grupo o subconjunto de la primera coleccin un subconjunto o grupo equipotente distinto de la segunda coleccin. Esta tcnica es utilizada cuando el tamao de las colecciones aumenta. En otras palabras, esta tcnica es una generalizacin de la anterior donde cada trmino en lugar de reducirse necesariamente a un solo elemento, es un grupo o subconjunto.

3.- La estimacin puramente visual que consiste en comparar la coleccin con otra presente o no, utilizando su disposicin espacial. Tambin suele utilizarse cuando las colecciones a comparar son de tamao muy diferente. Esta tcnica es muy poco fiable.

4.- El reconocimiento inmediato de la cantidad que consiste en enunciar rpidamente el nmero de elementos de una coleccin sin necesidad de realizar un conteo de modo explcito. Esta tcnica puede ser utilizada para colecciones cuyo nmero de elementos no sea mayor de 5 6.

5.- La tcnica de conteo. Tcnica compleja que puede descomponerse en el siguiente sistema de subtcnicas:

1. Distinguir dos elementos diferentes de un conjunto dado. 2. Reconocer la pertenencia o no de todos los elementos a la coleccin. 3. Elegir un primer elemento de la coleccin. 4. Enunciar la primera palabra-nmero (uno). 5. Determinar un sucesor en el conjunto de elementos no elegidos an. 6. Atribuir una palabra-nmero (la siguiente de la anterior en la serie de palabras nmero) al

sucesor. 7. Conservar en la memoria las elecciones anteriores. 8. (Volver a comenzar en 5) y 6 sincronizndoles. 9. Discernir cuando se ha elegido el ltimo elemento. 10. Enunciar la ltima palabra-nmero. 11. Considerar que la ltima palabra dicha es el cardinal de toda la coleccin3.

En esta tcnica se puede observar que hay subtcnicas que hacen referencia, por un lado, a la estructuracin de la coleccin, es decir, a ordenarla (elegir un primer elemento y su sucesor) y controlarla (conservar en la memoria lo elegido y saber que se ha recorrido toda la coleccin) y, por otro lado, a la enunciacin de las palabras de la cantinela o palabras-nmero. El primer tipo de subtcnicas son las que estn indicadas en cursiva y corresponden a la accin de enumerar (Briand, 1993; Ruiz Higueras, 2005). Enumerar una coleccin consiste en pasar revista una sola vez a cada elemento de la misma. Aunque etimolgicamente la palabra enumerar se refiere al nmero, sin embargo, dicha accin no necesita el conocimiento de los nmeros. Entonces, para poder realizar el

3 Se trata del paso de considerar la ltima palabra-nmero enunciada como una propiedad del ltimo elemento, a

considerarla como una propiedad (el cardinal) de toda la coleccin.



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