Seminario de Seminario de Investigación IInvestigación I

TEORÍAS DIDÁCTICAS

DE LA MATEMÁTICA

YVES CHEVALLARD.

TEORÍA ANTROPOLÓGICA DE LO DIDÁCTICO.

¿Quién es Yves Chevallard?Entrenado como un lógico, Yves Chevallard comenzó su carrera como investigadora matemática en este campo a principios de los años 70. Sin embargo, se centró rápidamente su interés en las cuestiones sobre la enseñanza de las matemáticas, un campo de investigación que descubrió mientras asistía a una conferencia de Guy Brousseau en 1976. Inspirado por la lectura de Michel Foucault, Pierre Bourdieu y Louis Althusser - quien descubrió mientras asistía a su conferencia en la École Normale Supérieure en París - Yves Chevallard eligió desde el principio de su obra, para construir una teoría didáctica claramente en la línea de la Teoría de Situaciones Didácticas, que Guy Brousseau se estaba desarrollando en ese momento. Su originalidad consiste en tratar de tener en cuenta la relatividad institucional del conocimiento, en la que basa su análisis de los fenómenos didácticos. Su trabajo en los años 80 se apoya sobre los fenómenos que se interpreta a la luz de la transposición didáctica, que se amplió a partir de los años 90 en la Teoría Antropológica de lo Didáctico (ATD).

Teoría antropológica de la didáctica

Se fundamenta

Epistemología del programa Investigación

Construcciones sociales de las instituciones

Para la enseñanza y el aprendizaje matemático, se requiere el planteamiento de los siguientes interrogantes a nivel de los componentes de las organizaciones matemáticas.

¿Qué se quiere construir o reconstruir?

¿Qué tipos de problemas hay que ser capaz de resolver?

Con que tipos de técnicas se resuelven los problemas planteados?

¿Sobre la base de que elementos descriptivos y justificativos se plantean los problemas?

¿En que marco teórico se fundamentan las organizaciones matemáticas?

Saber matemático

Epistemología

Organización teórica

Organizaciones matemáticas

concepto

Métodos

Anatomía de la actividad matemática

Hacer matemático

Se estudia a través de

técnicas

teorías Leyes

Procedimientos

proponerrazonar interpretar

La actividad matemática se realiza mediante el recurso de pluralidad

La teoría antropológica asume que toda actividad en sentido estricto dice que todo “saber-hacer” presupone de un saber justificativo-explicativo de las actividades.La actividad matemática se realiza mediante el recurso de una pluralidad de registros (lo escrito, lo gráfico, lo verbal, lo gestual, lo material)

• La teoría antropológica asume que toda actividad en sentido estricto dice que todo “saber-hacer” presupone de un saber justificativo-explicativo de las actividades.• La actividad matemática se realiza

mediante el recurso de una pluralidad de registros (lo escrito, lo gráfico, lo verbal, lo gestual, lo material)

Los objetos ostensivos : Son aquellos que se perciben, se ven, se tocan, se oyen, etc.se consideran como objetos materiales.

Los objetos no-ostensivos: Son aquellos que no se pueden percibir o mostrar por si mismo. Como las ideas, los conceptos, las creencias,etc.

Las tareas problemicas, las técnicas, las tecnologías y las teorías están echas de objetos ostensivos y no ostensivos.

TEORÍA DE INGENIERÍA DIDÁCTICA

Michelle Artigue

Michèle Artigue• Nace en Francia el 31de Agosto en 1946• Casada con dos hijos• Se gradúa en la escuela Normal Superior (París) and

Universidad París 7• PHD en lógicas Matemáticas, Universidad París 7 en 1972• Doctorado de Estado eres ciencias, University Paris 7 en

1984 • Habilitación que Dirige las Búsquedas, University Paris 7

en 1987

PUBLICACIONES• Ingeniería didáctica

en educación matemática. Publicada en México 1995 por la Editorial

Objeto de la Ingeniería?• Uso del Conocimiento Científico• Transformar las ideas en Acción• Aplicar el Conocimiento científico en la solución de problemas

reales• Lograr resultados con el mejor uso de los recursos

Ingeniería didáctica en educación matemática

La ingeniería didáctica es una metodología de investigación en didáctica de las matemáticas surgida en Francia a principio de los años ‘80. Con esta denominación se reconoce una norma de trabajo similar a la de un ingeniero quien, para concretar un determinado proyecto está obligado a trabajar con objetos mucho más complejos que los que trata la ciencia y, por ende, debe abordar, con los medios que están a su alcance, problemas de los que la ciencia no se hace cargo.

Sustento teórico de la ingeniería didáctica

• El sustento teórico de la ingeniería didáctica proviene de la teoría de situaciones didácticas (Brousseau, 1997) y la teoría de la transposición didáctica (Chevallard, 1991), que tienen una visión sistémica al considerar a la didáctica de las matemáticas como el estudio de las interacciones entre un saber, un sistema educativo y los alumnos, con objeto de optimizar los modos de apropiación de este saber por el sujeto (Brousseau, 1997).

Doble función de la ingeniería didáctica

• En realidad el término ingeniería didáctica se utiliza en didáctica de las matemáticas con una doble función: como metodología de investigación y como producciones de situaciones de enseñanza y aprendizaje.

• Règine Douady se interesa en los diferentes factores que rigen la elaboración de una ingeniería didáctica y su interdependencia. Es interesante consignar que la ingeniería didáctica se ubica en el registro de los estudios de casos, y cuya validación es interna, basada en la confrontación entre el análisis a priori y a posteriori.

Dimensiones de la ingeniería didáctica

Artigue distingue varias dimensiones ligadas a los procesos de construcción de ingenierías didácticas: • Dimensión epistemológica: asociada a las

características del saber puesto en funcionamiento. • Dimensión cognitiva: asociada a las

características cognitivas de los alumnos a los que se dirige la enseñanza. • Dimensión didáctica: asociada a las

características del funcionamiento del sistema reenseñanza.

Representaciones, Concepciones Contrato Didáctico

Alumno

Saber a enseñar Profesor

Saber “erudito”

Transposición didáctica

Dimensiones de la ingeniería didáctica

Ingeniería didáctica como metodología de investigación

• Se caracteriza: 1. Por un esquema experimental basado en las

“realizaciones didácticas” en el aula, es decir, sobre la concepción, realización, observación y análisis de secuencias de enseñanza.

2. Por el registro de los estudios de caso y por la validación que es esencialmente interna, basada en la confrontación entre el análisis a priori y a posteriori.

En el primer caso se distinguen, por lo general, dos niveles de ingeniería didáctica, dependiendo de la importancia de la realización didáctica involucrada en la investigación:

1. Nivel de micro-ingeniería2. Nivel de macro-ingeniería

Nivel de micro-ingeniería

Las investigaciones a este nivel son las que tienen por objeto el estudio de un determinado tema. Ellas son locales y toman en cuenta principalmente la complejidad de los fenómenos en el aula.

• Nivel de macro-ingeniería

• Son las que permiten componer la complejidad de las investigaciones de micro-ingeniería con las de los fenómenos asociados a la duración de las relaciones entre enseñanza y aprendizaje.

Fases de la metodología de la ingeniería didáctica

• El proceso experimental de la ingeniería didáctica consta de cuatro fases: • Primera fase: Análisis preliminares. • Segunda fase: Concepción y análisis a priori

de las situaciones didácticas. • Tercera fase: Experimentación. • Cuarta fase: Análisis a posteriori y evaluación

Análisis preliminares• Los análisis preliminares más frecuentes son

(Artigue, 1998) • El análisis epistemológico de los contenidos

contemplados en la enseñanza • El análisis de la enseñanza tradicional y sus

efectos. • El análisis de las concepciones de los

estudiantes, de las dificultades y obstáculos que determinan su evolución. • El análisis del campo de restricciones donde se

va a situar la realización didáctica.

• En esta segunda fase el investigador toma la decisión de actuar sobre un determinado número de variables del sistema que no estén fijadas por las restricciones

Concepción y análisis a priori de las situaciones

didácticas

Experimentación• Es la fase de la realización de la ingeniería con una cierta

población de estudiantes. Esa etapa se inicia en el momento en que se da el contacto investigador/profesor/observador con la población de los estudiantes objeto de la investigación. • La experimentación supone: • La explicitación de los objetivos y condiciones de realización de la

investigación a los estudiantes que participarán de la experimentación.

• El establecimiento del contrato didáctico. • La aplicación de los instrumentos de investigación. • El registro de observaciones realizadas durante la

experimentación.

Análisis a posteriori y evaluación

• Esta fase se basa en el conjunto de datos recolectados a lo largo de la experimentación, es decir, las observaciones realizadas de las secuencias de enseñanza, al igual que las producciones de los estudiantes en el aula o fuera de ella. Estos datos se completan con otros obtenidos mediante la utilización de metodologías externas: cuestionarios, entrevistas individuales o en pequeños grupos, realizadas durante cada sesión de la enseñanza, etc.

TEORÍA DE REPRESENTACIONES

SEMIÓTICAS.

Raymound Duval

¿Quién es Raymound Duval?Después de estudiar filosofía y psicología, trabajó en el IREM

de Estrasburgo 1970-1995. Entonces como profesor en la Universidad del Litoral / Côte d'Opale (Ulco) enseñó en la UIFM para la formación del profesorado. Actualmente es profesor emérito de Ulco. Sus principales áreas de investigación han sido la comprensión de textos, los diferentes tipos de razonamiento y prácticas, cuestiones acerca de la introducción de la prueba, y los procesos cognitivos que son específicos para la visualización geométrica, a la interpretación cualitativa de gráficas y representaciones icónicas. Esto lo llevó a desarrollar un modelo de pensamiento cognitivo requerido por la actividad matemática. semiosis et pensée humaine , publicado en 1995 y traducido en español, ofrece la primera exposición exhaustiva de este modelo. Funda la revista Annales de Ciencias y de la didáctica cognitivos en 1988. Entre sus publicaciones se encuentran en muchos de los comentarios, comoCiencias de la Educación en Matemáticas y Didáctica des Recherches en mathématiques . Participó también como autor de varios libros.

REGISTROS DE REPRESENTACION,

Representaciones en el ámbito de las matemáticas, son las notaciones simbólicas o gráficas, o bien manifestaciones verbales, mediante las que se expresan los conceptos y procedimientos en esta disciplina así como sus características y propiedades más relevantes.

Estas representacionesse clasifican en:•Registros de representación según sus características. Por ejemplo, si consideramos el concepto de función, asociado a él existen registros gráficos, algebraicos y tabulares. Desde luego hay otros pero hasta hoy, estos han sido los más usados en la enseñanza. •Procesamientos, es decir, transformaciones de las representaciones en el mismo registro donde fueron creadas. •Conversiones, que son transformaciones de una representación hecha dentro de un registro, en otra representación dentro de otro registro.

El acceso al conocimiento matemático requiere una variedad de registros de representación semiótica, ya sea lenguaje natural, lenguaje algebraico, gráficos, figuras, esquemas, etc.

¿De qué sirve el rigor matemático sin la comprensión del significado de los objetos involucrados?

¿Qué caracteriza la actividad matemática?

• La importancia de las representaciones semióticas.En el desarrollo histórico de las matemáticas se puede evidenciar que el

desarrollo de las representaciones semióticas fue una condición esencial para el desarrollo del pensamiento matemático. Por ejemplo, los cálculos dependen del sistema de representación.

• La paradoja cognitiva de acceso a objetos de conocimientos. Paradoja que resulta al tratar de conciliar por un lado el uso de

representaciones de un objeto matemático y por el otro lado la necesidad de no confundir esas representaciones con el objeto mismo. El autor identifica el problema crucial de la comprensión matemática como el conflicto entre estos dos requerimientos.

• La gran variedad de representaciones semióticas usadas en matemáticas.

La actividad matemática necesita tener diferentes sistemas de representación semiótica que pueden ser usados libremente de acuerdo a la tarea o de acuerdo a la pregunta planteada.

“objeto” matemático a ser conceptualizado: no existe como objeto real

(consiguiente necesidad de) representantes semióticos

actividad matemáticasobre los objetos

sobre sus representantes

consiguiente paradoja cognitiva delpensamiento

Clasificación de los sistemas semióticos de representación

1. Registros Monofuncionales que pueden ser usados para una sola función cognoscitiva: procesamiento matemático. La representación algebraica de una función es un registro monofuncional.

• Dentro de un sistema semiótico monofuncional los procesos toman la forma de algoritmos.

• Los registros monofuncionales son creados explícitamente para su uso en la comunidad matemática. Son artificiales y abstractos.

• En la enseñanza tradicional el énfasis se da en los registros monofuncional

Clasificación de los sistemas semióticos de representación

• . Registros Multifuncionales que llenan una amplia gama de funciones cognoscitivas: comunicación, procesamiento de información, concientización, imaginación, etc.

• Por ejemplo la representación gráfica de una función es un registro multifuncional

• un sistema multifuncional los procesos nunca pueden ser convertidos en algoritmos.

• Los registros multifuncionales apelan a la intuición, a la experiencia y el bagaje cultural del individuo.

Duval menciona que a diferencia de los registros monofuncionales, los registros multifuncionales parecen ser directamente accesibles a los estudiantes. Pero esto es muy engañoso. Porque la manera matemática de usar los registros multifuncionales es muy distinta a la del uso cotidiano. Empezando con el uso del lenguaje natural.Por ejemplo el uso de la disyunción “o”.

Duval (1995), se pregunta: "¿Es esencial

esta utilización de varios sistemas semióticos de representación y

expresión, o al contrario no es más que un medio cómodo pero secundario

para el ejercicio y para el desarrollo de las actividades cognitivas

fundamentales?"

Duval da una respuesta afirmativa a esta cuestión aportando los

siguientes argumentos:

1. No puede haber comprensión en matemáticas si no se distingue un objeto de su representación

2. Existen representaciones mentales, conjunto de imágenes, conceptos, nociones, ideas, creencias, concepciones que un individuo puede tener sobre un objeto, sobre una situación y sobre aquello que les está asociado.

3. Las representaciones semióticas son un medio del cual dispone un individuo para exteriorizar sus representaciones mentales, es decir, para hacerlas visibles o accesibles a los demás.

4. Diferentes representaciones no pueden oponerse como dominios totalmente diferentes e independientes.

5. La coordinación entre las representaciones que provienen de sistemas semióticos diferentes no es espontánea; la conversión de unos sistemas a otros requiere un aprendizaje específico

6. Las actividades cognitivas inherentes a la semiosis son tres: formación, tratamiento, conversión,

No existe noética sin semiótica

Duval

• Semiosis: es cualquier forma de actividad, conducta o proceso que involucre signos Incluyendo la creación de un significado. Es un proceso que se desarrolla en la mente del intérprete; se inicia con la percepción del signo y finaliza con la presencia en su mente del objeto del signo.

• Noesis: se llama noesis a los actos cognitivos como la aprehensión conceptual de un objeto. La discriminación de una diferencia o la comprensión de una inferencia, parecería entonces evidente admitir que la noesis es independiente de la semiosis.

LIMITACIONES DEL MODELO COGNITIVO DE DUVAL

1. No se propone una teoría explícita de qué sean los objetos matemáticos, aparte de ser concebidos como representaciones internas (conceptos, ideas, nociones, creencias, etc.). No se concede ningún papel a la acción del sujeto, ligada a situaciones-problemas.

2. Comprensión y diversidad de registros. Se postula que para la aprehensión conceptual es necesario el trabajo con al menos dos registros Semióticos

3. El modelo de cognición matemática de Duval no incorpora la faceta institucional del conocimiento matemático

TERESA ASSUDE.

TEORÍA DE ECOLOGÍA DIDÁCTICA.

TEORÍA DE ECOLOGÍA DIDÁCTICATeresa Assude.

• ECOLOGÍA: Estudia las relaciones entre los organismos y sus entornos (espaciales y temporales)

• La epistemología ecológica aplica la metáfora ecológica a objetos no vivos, reemplazando los criterios de “viabilidad” y persistencia, por nociones como utilidad, disponibilidad, acoplamiento o compatibilidad.

TEORÍA DE ECOLOGÍA DIDÁCTICA

El término “ecología”, es introducido en didáctica de las matemáticas por los trabajos de Chevallard y

Rajoson a finales de los años 80.Retoma figurativamente

la noción de ecología ajustándola al ámbito de la didáctica.

TEORÍA DE ECOLOGÍA DIDÁCTICA.

Investiga las fuentes, modos de control, y mecanismos de crecimiento de las matemáticas en los distintos

"nichos ecológicos" en que “habita”.

TEORÍA DE ECOLOGÍA DIDÁCTICA.

Esta manera de expresar el problema en términos ecológicos es propia de la rama de la antropología

conocida como antropología ecológica, la cual intenta proporcionar explicaciones materialistas de la sociedad y cultura humana como productos de adaptaciones a las condiciones dadas del entorno.

TEORÍA DE ECOLOGÍA DIDÁCTICA.

En nuestro caso los objetos "vivos" cuyas adaptaciones y funciones debemos estudiar son los objetos matemáticos, concebidos como "sistemas de

prácticas"

TEORÍA DE ECOLOGÍA DIDÁCTICA.

El paradigma ecológico:• explorar las adaptaciones de la cultura matemática

(hecha operativa mediante la noción de "sistema de prácticas“) en relación a áreas culturales específicas (etnomatemáticas).• Indagar en los sistemas didácticos y niveles

educativos, vistos como núcleos culturales con características idiosincrásicas.

TEORÍA DE ECOLOGÍA DIDÁCTICA.

La metáfora ecológica permite plantear nuevas cuestiones relativas al estudio de las relaciones entre

distintos objetos matemáticos, usando para ello nociones tales como simbiosis, dominancia, cadena

trófica, etc.

TEORÍA DE ECOLOGÍA DIDÁCTICA.

• Una de las posibilidades que ofrece el paradigma ecológico consiste en su capacidad de dar sentido a

nuevas cuestiones que de otro modo parecen evidentes o sin interés.

• Enfoca nuestra atención en aspectos contextuales e interacciones que con frecuencia pasan inadvertidos.

TEORÍA DE ECOLOGÍA DIDÁCTICA.A título de ejemplo se indican algunas de estas cuestiones.• ¿Cuáles son los hábitats que ocupan actualmente los saberes

matemáticos? • ¿Existen instituciones en las que las matemáticas podrían ser

utilizadas más intensa y adecuadamente?• ¿Cómo se relacionan las matemáticas con los restantes saberes

presentes en las distintas instituciones?• ¿Existen relaciones especiales de competición, simbiosis, de

dominancia y control entre saberes y sub-saberes que condicionen la difusión idónea de las matemáticas?

• ¿Qué tipo de dependencias (semióticas, instrumentales, de cooperación, simbiosis, subordinación, etc.) existen entre distintas praxeologías matemáticas?

Juan D. Godino

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¿Cómo actúan unos saberes sobre otros?

¿Existe una especie de selección natural que determina la supervivencia de ciertos saberes y la extinción de otros?

¿Qué tipo de economía limita la multiplicación de saberes en una región del pensamiento o en una institución?

¿Cuáles son las condiciones necesarias para la estabilidad (o la supervivencia) de un sistema o subsistema de este género?

(Bateson, Ecología del espíritu, 1977)

TEORÍA DE ECOLOGÍA DIDÁCTICA

REGINE DOUADY

TEORIA DE MARCOS Y REGISTROS

TEORÍA DE MARCOS Y REGISTROS.Régine Douady.

El juego de marcos traduce la intención de explotar el hecho de que la mayoría de los conceptos pueden intervenir en distintos dominios, diversos marcos

(físico, geométrico, numérico, gráfico ,etc. )

TEORÍA DE MARCOS Y REGISTROS.

Douady atribuye a los conceptos matemáticos un carácter no unitario e identifica en ellos dos polos o dimensiones principales:

el aspecto objeto (cultural, impersonal e intemporal), plasmado en definiciones y propiedades características

el aspecto instrumento, que permite a alguien realizar una tarea en un momento dado.

TEORÍA DE MARCOS Y REGISTROS.

Pero la dialéctica instrumento–objeto no puede ser explicada totalmente sin hacer referencia

a la noción de marco introducida por Douady, que supone el reconocimiento de una

relatividad en las prácticas matemáticas respecto a los "contextos de uso" internos en

la propia matemática.

TEORÍA DE MARCOS Y REGISTROS.

Un «marco» es un dominio de las matemáticas que esté suficientemente bien identificado

por sus objetos, por las relaciones que sostienen y por los tipos de representaciones

y de tratamientos que movilizan.

TEORÍA DE MARCOS Y REGISTROS.

La dialéctica herramienta - objeto y el juego de marcos permiten proponer una

metodología de trabajo dentro del aula en la que los alumnos simulan la investigación y construyen y consolidan su conocimiento.

TEORÍA DE MARCOS Y REGISTROS.

Los conceptos matemáticos pueden tener carácter de herramienta o de objeto para el

estudiante.

La dialéctica herramienta-objeto provoca el desarrollo de una Matemática con significado.

TEORÍA DE MARCOS Y REGISTROS.

Para introducir y suscitar el funcionamiento de los saberes elegimos problemas donde aquellos intervienen en dos marcos como mínimo.

Privilegiamos los marcos en los que la imperfección de correspondencias creará desequilibrios y generará la

búsqueda de compensaciones .

TEORÍA DE MARCOS Y REGISTROS.

El uso de un marco u otro afecta a los procedimientos de solución, su eficacia relativa e incluso al planteamiento de nuevos problemas. En el

aprendizaje de una noción matemática, o en la resolución de un problema, el hecho de cambiar de marco en el que se afronta dicho problema permite

desbloquear los procesos de comprensión y, en muchos casos, generalizar una noción, un

procedimiento o un significado matemáticos.

TEORÍA DE MARCOS Y REGISTROS.

Tal generalización representa el paso de un uso contextualizado de un objeto

matemático (que determina una función como concepto–instrumento en una

situación concreta de dicho objeto) A un uso potencial (el objeto trasciende la

situación concreta y se constituye en un concepto–objeto reutilizable para una clase

de situaciones).

TEORÍA DE MARCOS Y REGISTROS.

Se habla de marco algebraico, aritmético, geométrico..., pero también de marco cualitativo o algorítmico.

Decimos que un marco está constituido por los objetos de una rama de las matemáticas, de las relaciones entre los objetos, sus formulaciones (eventualmente diversas) y a las imágenes mentales asociadas a estos objetos y estas relaciones

TEORÍA DE MARCOS Y REGISTROS.

También pueden considerarse como marcos:“Realidad del niño”, “representaciones” ,

“marco simbólico”, “marco material” ,“contexto”, “ambiente”,

“conocimiento situado”

TEORÍA DE MARCOS Y REGISTROSLa caracterización de un marco pasa

necesariamente por la de un sistema de representación, o hasta por un registro semiótico.

Las palabras marco, registro y medio son conceptos utilizados con el fin de modelar situaciones o de analizar las actividades de los estudiantes.

TEORÍA DE MARCOS Y REGISTROS

Todo concepto matemático se ve obligado a servirse de representaciones, dado que no se dispone de “objetos” para exhibir en su lugar;

por lo que la conceptualización debe necesariamente pasar a través de registros

representativos que, por varios motivos, sobre todo si son de carácter lingüístico, no pueden ser

unívocos.

TEORÍA DE MARCOS Y REGISTROS

En matemáticas, las representaciones semióticas no sólo son indispensables para fines de comunicación, sino que también son necesarias para el desarrollo de la actividad matemática misma. Es esencial no

confundir los objetos matemáticos con sus representaciones.

BIBLIOGRAFIA• ARTIGUE, Michéle. Ingeniería didáctica en educación matemática. Publicada

en México 1995 .Editorial Iberoamérica• GODINO,Juan D. Teoría de las funciones Semióticas.2003.• MORENO,Armella Luis. LUIPIAÑES, José Luis. Tecnologías y representaciones

semióticas en el aprendizaje de las matemáticas.2001.• D’AMORE,Bruno.Conceptualización,registro de representaciones

semióticas: Interacciones constructivistas en el aprendizaje de los conceptos matemáticos e hipótesis sobre algunos factores que inhiben la devolución.

• DUVAL, Raymond . Semiósis y pensamiento humano-1995• BOUSCH, Casavó, Marianna. Un punto de vista antropológico: la evolución

de “los Instrumentos de representación en las matematicas” • BALACHEFF Nicolás, Marco Registro Y Concepción Notas Sobre Las

Relaciones Entre Tres Conceptos Claves En Didáctica. REVISTA EMA 2004, VOL. 9, Nº 3, 2005, VOL. 10, Nº 1, 181-204