Resolución de ecuaciones lineales

Una ejemplo de ecuación lineal:

43 25 2

3x x x

incógnita

El planteamiento clásico del problema es: ¿para qué valor de x se satisface la ecuación anterior?

Entonces surge una interrogante: ¿qué es una ecuación? ¿qué es una ecuación lineal?

Resolución de ecuaciones lineales

Se dice que una ecuación es una igualdad con una o más incógnitas.

Por ejemplo es clara la igualdad 3 + 4 = 7

Esa es una igualdad y no es una ecuación puesto que no tiene ningún misterio. Sin embargo si ocultamos la cantidad 4 y la reemplazamos por una letra, por ejemplo la x, tenemos

3 7x Esta es entonces una ecuación, y observemos que el nombre de la letra no tiene importancia. Es la misma ecuación que

3 7z

Resolución de ecuaciones lineales

Además diremos que es una ecuación lineal o de primer grado, porque se asegura que la incógnita no tiene un exponente distinto de 1.

Una ecuación que no es lineal es la siguiente:

23 7x Y son difíciles de resolver. Debemos dominar el desarrollo de las soluciones de ecuaciones lineales para poder emprender otros desafíos.

Vamos a dirigir nuestros esfuerzos entonces a resolver

43 25 2

3x x x

Resolución de ecuaciones lineales

43 25 2

3x x x

4

3 25 23 segundo miembro

primer miembro

x x x

Resolución de ecuaciones lineales

43 25 2

3x x x

La ecuación se trabaja como en una suerte de balanza

43 25

3x x = 2x

Resolución de ecuaciones lineales

Para tener la balanza equilibrada significa que lo que hagamos en un platillo de la balanza (en un miembro) debemos hacerlo exactamente en el otro, de tal forma que se mantenga el equilibrio de la balanza (la igualdad)

43 25

3x x = 2x

Resolución de ecuaciones lineales

43 25 2

3x x x

Es un denominador “incómodo”

Multiplicamos entonces por 3 cada platillo de la balanza, o si lo prefiere cada miembro de la igualdad

43 3 3 3 25 3 2

3x x x

9 4 75 6x x x

Resolución de ecuaciones lineales

43 25 2

3x x x

9 4 75 6x x x

5 75 6x x En ambos miembros de la ecuación restamos 5x

5 5 75 6 5

75

x x x x

x

¡Esta es la solución!

Resolución de ecuaciones lineales

43 25 2

3x x x

Para comprobar que nuestro desarrollo fue exitoso reemplazamos el valor obtenido de x = 75 en la ecuación original

43 75 75 25 ? 2 75

3

225 4 25 25 ? 150

225 100 25 150

Resolución de ecuaciones lineales

Algunas indicaciones para que el niño o niña aprenda.

•Empiece con ejercicio fáciles, sin fracciones, pero que las incógnitas estén en ambos lados de la ecuación.

• No le enseñe el fatídico algoritmo de que “si está un término con signo más pasa al otro lado con signo menos, y si está con menos pasa al otro lado con signo más”. Deje que el propio estudiante, a base de varios ejercicios, descubra por sí solo esa regla.

• Luego empiece con coeficientes fraccionados, pero tampoco enséñe el fatídico algoritmo “si está dividiendo pasa al otro lado multiplicando, y si está multiplicando pasa al otro lado dividiendo”. Nuevamente deje que el propio estudiante descubra esa regla.

• Convenza al estudiante que las ecuaciones lineales existen en la vida diaria, de modo que usted deberá plantearles problemas reales o lúdicos (nada más real que los juegos para los niños).

Resolución de ecuaciones lineales

Juan, Pedro y Diego deciden hacer una “vaca” para salir a divertirse un fin de semana. Juan puso una cierta cantidad, Pedro puso el doble que Juan, y Diego puso el triple del aporte de Juan. En total reunieron 6000 pesos. ¿Cuánto puso cada uno?

Sea z la cantidad desconocida que puso Juan, entonces Pedro puso 2 z, y Diego entonces puso 3 z, y puesto que el total de los aportes es de 6000 pesos, tenemos la ecuación:

2 3 6000z z z Resolviendo

6 6000z Dividiendo en ambos miembros por 6, nos queda

60001000

6z

1000 pesos aportó Juan, 2000 pesos aportó Pedro y 3000 pesos Diego