Instituto Superior TecnicoDepartamento de MatematicaSeccao de Algebra e Analise

Calculo Diferencial e Integral IITeste 2 - 06 de Janeiro de 2014 - 14h00 (versao 1)

Duracao: 90 minutos

Resolucao abreviada

1. Considere o conjunto

M = {(x, y, z) ∈ R3 : z = x2 − y2 ; x2 − xy + y2 = 3}

a) Mostre que M e uma variedade e determine a respectiva dimensao.(1 val.)

Resolucao: Definindo a funcao F : R3 → R2, de classe C1, atraves da expressao

F (x, y, z) = (z − x2 + y2, x2 − xy + y2), e claro que M e o conjunto de nıvel (0, 3)de F.

Alem disso, a matriz

DF (x, y, z) =

[

−2x 2y 12x− y 2y − x 0

]

tem caracterıstica igual a 2 em todos os pontos deM. Se tal nao acontecesse, ter-se-ia

2y − x = 0

2x− y = 0

−2x(2y − x) = 2y(2x− y)

⇔

{

x = 0

y = 0.

Fazendo x = 0 e y = 0 na definicao de M ter-se-ia o absurdo: 0 = x2 = z = 3.Portanto, M e uma variedade de dimensao um.

b) Determine o espaco tangente a M no ponto (1,−1, 0).(1 val.)

Resolucao: As linhas da matriz

DF (1,−1, 0) =

[

−2 −2 13 −3 0

]

constituem a base do espaco normal a M no ponto (1,−1, 0). Assim, o espaco tan-gente e o conjunto de vectores (a, b, c) ∈ R

3 que verificam as equacoes

{

−2a− 2b+ c = 0

3a− 3b = 0⇔

{

c = 4a

b = a,

ou seja, e o espaco gerado pelo vector (1, 1, 4).

c) Determine o ponto de M que apresenta maior coordenada x.(2 val.)

Resolucao: Usando o metodo dos multiplicadores de Lagrange, o ponto pretendidoe solucao do sistema de equacoes:

1 = −2λ1x+ λ2(2x− y)

0 = 2λ1y + λ2(2y − x)

0 = λ1

z = x2 − y2

x2 − xy + y2 = 3

⇔

1 = λ2(2x− y)

0 = λ2(2y − x)

0 = λ1

z = x2 − y2

x2 − xy + y2 = 3

sendo λ1, λ2 ∈ R.

Da segunda equacao tem-se λ2 = 0 ou x = 2y. Fazendo λ2 = 0, da primeira equacaoobtem-se o absurdo 1 = 0. fazendo x = 2y, da quarta equacao e da quinta equacaodeduz-se: z = 3y2 e y2 = 1. Assim, as solucoes sao (−2,−1, 3) e (2, 1, 3) e, portanto,o ponto de maior coordenada x e (2, 1, 3).

2. Mostre que a equacao 3x − y2 + cos(x2 − y) + 2z = 3 define implicitamente x como(2 val.)

funcao de (y, z), em alguma vizinhanca do ponto (0, 0, 1). Calcule∂x

∂z(0, 1).

Resolucao: Definindo a funcao F : R3 → R, de classe C1, atraves da expressao

F (x, y, z) = 3x−y2+cos(x2−y)+2z e verificando que∂F

∂x(0, 0, 1) = 3 6= 0, conclui-se

o pretendido. Usando a regra da cadeia, tem-se

∂F

∂x(0, 0, 1)

∂x

∂z(0, 1) +

∂F

∂z(0, 0, 1) = 0 ⇔ 3

∂x

∂z(0, 1) + 2 = 0

e, portanto,∂x

∂z(0, 1) = −

2

3.

3. Considere o campo vectorial F (x, y) =

(

−y +x

1 + x2, 2x−

y

1 + y2

)

.(2 val.)

Calcule o trabalho realizado por F ao longo do losango definido por |x| +|y|

2= 1,

percorrido uma vez no sentido horario.

Resolucao: Seja Γ o losango e D = {(x, y) ∈ R2 : |x|+

|y|

2< 1}. E claro que Γ = ∂D

e, usando o Teorema de Green, o trabalho e dado por

∫

Γ

F · dg = −3vol2(D) = −12.

4. Seja F (x, y, z) = (x, 2y + 2, z) e considere a superfıcie

S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + z2 = 1 + y ; 0 < y < 3}

orientada com a normal n que tem a segunda componente negativa.

a) Calcule o fluxo∫

SF · n pela definicao.(3 val.)

Resolucao: Consideramos a parametrizacao de S dada por

g(ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ2 − 1, ρ sen θ)

onde 1 < ρ < 2 e 0 < θ < 2π. Usando a definicao temos

∫

S

F · n =

∫ 2π

0

∫ 2

1

F (g(ρ, θ)) · (D1g(ρ, θ)×D2g(ρ, θ)) dρ dθ

=

∫

2π

0

∫

2

1

(ρ cos θ, 2ρ2, ρ sen θ) · (2ρ2 cos θ,−ρ, 2ρ2 sen θ) = 0

b) Calcule o fluxo∫

SF · n pelo Teorema da Divergencia.(3 val.)

Resolucao: Definimos o conjunto

D = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + z2 ≤ 1 + y ; 0 < y < 3}.

Temos ∂D = S ∪ T0 ∪ T1 onde T0 = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + z2 ≤ 1 ; y = 0} e

T1 = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + z2 ≤ 4 ; y = 3}. Usando o Teorema da Divergencia, uma

vez que divF = 4, obtemos

4vol(D) =

∫

S

F · n+

∫

T0

F · n0 +

∫

T1

F · n1,

onde n0, n1 sao as normais exteriores a T0 e T1, respectivamente. Calculamos o volumede D fazendo uma mudanca de coordenadas:

4vol(D) = 4

∫

2π

0

∫

3

0

∫

√1+y

0

ρ dρ dy dθ = 30π.

O fluxo atraves da tampa T0 e dado por∫

T0

F · n0 = −2 vol2(T0) = −2π, poisn0 = (0,−1, 0) e F ·n0|T0

= −2(y+1)|T0= −2. O fluxo atraves da tampa T1 e dado

por∫

T1

F · n1 = 8 vol2(T1) = 32π, pois n0 = (0, 1, 0) e F · n1|T1= 2(y + 1)|T1

= 8.

Logo∫

SF · n = 0.

c) Sendo G(x, y, z) = (z, sen(yx),−x) calcule o fluxo de rotG atraves da superfıcie S,(3 val.)no sentido da normal n.

Resolucao: Usando o Teorema de Stokes sabemos que o fluxo de rotG e dado por∫

S

rotG · n =

∫

∂S

G · dg =

∮

Γ0

G · dg0 +

∮

Γ1

G · dg1,

onde Γ0,Γ1 sao as circunferencias nos planos y = 0 e y = 3 definidas pelas equacoesx2 + z2 = 1 e x2 + z2 = 4, respectivamente. As parametrizacoes g0 e g1 paraas circunferencias Γ0 e Γ1 podem ser dadas por g0(θ) = (cos θ, 0,− sen θ) e g1 =(2 cos θ, 3, 2 sen θ). Assim,

∫

S

rotG · n =

∫

2π

0

G(g0(θ)) · g′0(θ) d θ +

∫

2π

0

G(g1(θ)) · g′1(θ) d θ = −6π.

5. Seja F : R2\{(−1,−1), (1, 1)} → R2 um campo vectorial fechado e C1, C2 ⊂ R

2 as(3 val.)circunferencias definidas pelas equacoes (x+1)2+(y+1)2 = 1 e (x−1)2+(y−1)2 = 1,respectivamente. Sabendo que

∮

C1

F · dg1 = b1,

∮

C2

F · dg2 = b2 com b1, b2 ∈ R,

onde as curvas C1 e C2 sao percorridas uma vez no sentido anti-horario, determine,justificadamente, todos os valores possıveis para o integral de linha

∮

CF · dg onde C e

uma curva regular fechada contida no domınio de F .

Resolucao: Os valores possıveis para∮

CF · dg sao k1b1 + k2b2, onde k1, k2 ∈ Z.