REPRESENTACIÓN DE SECUENCIAS DE DURACIÓN FINITA: LA DFT

PROPIEDADES DE LA DFT

Linealidad

x3(n)=ax1(n)+bx2(n) , X3(k)= aX1(k)+bX2(k)Si long [x1(n)]=N1 y long [x2(n)]=N2 entonces long [x3(n)]=max{N1,N2}

Periodicidad

x(n) y X(k) son periódicas con período N

Simetría Si x(n) <--->X(k) entonces x*(n) <--->X*(-k)= X*(N-k)

x(n)=x*(n) y X(k)=X*(N-k) Re[X(k)] es una función par Im[X(k)] es una función impar |X(k)| es una función par Fase[X(k)] es una función impar

Para señales REALES

Desplazamiento Circular de una secuencia

Sea x(n) <---> X(k), ¿Cuál será el x1(n) <---> X(k)e-j2πkm/N ?

Interpretación de la DFT como un período de la DSF.

Luego x1(n) corresponderá a un desplazamiento circular de x(n) ya que ambos están confinados en 0<n<N-1

PROPIEDADES DE LA DFT

Luego x1(n) corresponderá a un desplazamiento circular de x(n) ya que ambos están confinados en 0<n<N-1

Transformada de Fourier y convolución

PROPIEDADES DE LA DFT

Convolución Circular

Sean dos secuencias de longitud N x1(n) y x2(n) con DFTs X1(k) y X2(k).

¿Cuál será la x3(n) cuya DFT es X3(k)=X1(k)X2(k)?

Es decir, x3(n) será un periodo de la convolución de las secuencias periódicas, correspondientes a

x1(n) y x2(n) respectivamente.

x3(n)=x1(n)(N)x2(n) <---> X3(k)=X1(k)X2(k)

CONVOLUCION LINEAL USANDO LA DFT

CONVOLUCION LINEAL USANDO LA DFT

Convolución de dos secuencias finitas de igual número de puntos

CONVOLUCION LINEAL USANDO LA DFT

Convolución de una secuencia finita con otra de un número indefinido de puntos

Método suma solapada

Método evita-solapamiento

Método suma solapada

Convolución Lineal

LongCada Término de la sumatoria debe calcularse utilizando DFT de L+M–1 puntos

Procesar señal larga en segmentos (e.g. tiempo real, memoria insuficiente)

1. descomponer señal en segmentos2. procesar independientemente c/u 3. combinar resultado en señal final

Tener en cuenta el largo resultante: N_total = L + M – 1 Cada segmento se rellena con ceros:

N_segmento = L + M – 1

El resultado de procesar cada segmento se solapa con el resultado de procesar los segmentos adyacentes y la suma produce la señal de salida.

Método evita solapamiento