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Integral de Convolucion en pruebas de pozo Analisis Numerico para nucleos decrecientes a cero Ecuacion de flujo monofasico en derivadas fraccionarias Apendice. Calculo Fraccional

Difusion Fraccionaria y la Integral de Convolucion

an Analisis de Pruebas de Pozo

Miguel Angel Moreles VazquezCIMAT

Miguel Angel Moreles Vazquez CIMAT

Difusion Fraccionaria y la Integral de Convolucion an Analisis de Pruebas de Pozo


CONTENIDO

1 Integral de Convolucion en pruebas de pozo

2 Analisis Numerico para nucleos decrecientes a cero.

3 Ecuacion de flujo monofasico en derivadas fraccionarias.

4 Calculo Fraccional




M. Cinar, D. Ilk, SPE, M. Onur, P.P Valko, T.A. Blasingame: AComparative Study of Recent Robust Deconvolution Algorithms forWell-Test and Production-Data Analysis. SPE 102575 (2008)

p0 − pm(t) =

� t

0qm(t− s)

dpu(s)

dsds

∆pm(t) = p0 − pm(t)qm(t) ≡ measured flow (production) ratepm(t) ≡ measured pressurep0 ≡ initial pressurepu(s) ≡ the constant-unit-rate pressure response of thewell/reservoir system if the well were produced at a constantunit-rate.




Algoritmos de deconvolucion:

1 von Schroeter et al. (2002, 2004)

2 Levitan (2005)

3 Ilk et al. (2005, 2006)




q(t) =

405,23− 736,79 exp (−t/5)

+368,39 exp (−t/20) 0 < t ≤ 60 (hr)

0 60 < t < 100

300 exp ((100− t) /100) 100 ≤ t ≤ 200

0 200 < t < 300

L,C,C, Mendes, M. Tygel, A.C. de Franca Corrba: A DeconvolutionAlgorithm for Analysis of Variable-Rate Well Test Pressure Data.SPE 19815 (1989)

q(t) = exp (−t)




Nucleo truncado y ecuacion integral asociada

Propuesta de un metodo numerico para resolver la ecuacionintegral:

p(t) =

� T

0k(t, s)g(s) ds, 0 ≤ t ≤ T (1)

donde:k(t, s) = q(t− s)H(t− s)

D. D. French, C.W. Groetsch: Numerical Solution of a Class ofIntegral Equations Arising in a Biologial Laboratory Procedure.(2009)





El nucleo k(t, s) tiene las siguientes propiedades:

1 k(t, s) → 0 cuando t → ∞.

2 Existe una constante positiva M tal que k(s+, s) � M para todo s.

3 k(t, s) es acotado en [0, T ]x[0, T ], positivo para t > s y k(t, s) ∈ C1

en t > s.

4 ∂tk < 0 < ∂sk.

5 k(t, s) es un nucleo Volterra.





Lema 1

Sea 0 < � < k(0, 0). Entonces existe un unico τ(�) > 0 tal que

k(τ(�), 0) = �.

Ademas τ(�) es una funcion decreciente y τ(�) → T cuando � → 0.

Lema 2

Sea 0 < � < min{M,k(0, 0)}. Entonces para t ≥ τ(�) existe ununico s�(t) que satisface

k(t, s�(t)) = �.

Ademas, para cada � > 0, s�(·) es una funcion creciente ys�(·) → 0 cuando � → 0.





Sea k� la siguiente funcion:

k�(t, s) =

�0 si 0 < s < s�(t)

k(t, s) si s�(t) ≤ s < t

Definamos a g�(s) por:

p(t) =

� T

0k�(t, s)g�(s) ds := (K�g�)(t) (2)





Metodo Numerico. Consideremos una aproximacion constantepor partes y colocacion en la ecuacion (2). Definimos una sucesionde puntos

sj = s(tj) donde k(tj , s(tj)) = �.

Sea

gd(s) =n�

j=1

gdjχ[sj ,sj+1)(s) (3)

donde χS denota la funcion caracterıstica del conjunto S. Alcolocar obtenemos::

p(tn+1−i) =

� T

0k�(tn+1−i, s)g

d(s) ds, i = 1, ..., n. (4)





Teorema 1

Las ecuaciones (4) tienen una unica solucion de la forma (3).

El Teorema (1) determina de forma unica los gdj por unprocedimiento explıcito. De esta manera podemos definir unaecuacion matricial H�gd = �F donde

Hij =

�� sj+1

sjk�(ti, s) ds para i ≤ j

0 en otro caso

y Fi = p(ti).




Resultados Numericos

Consideraremos datos de entrada p(ti) contaminados de ruido del 5por ciento.

Compararemos con los datos el metodo de regularizacion deTikhonov con eleccion de parametro de regularizacion por elmetodo de discrepancia de Morosov.





Figura: 1. Aproximacion a la funcion Lineal.





En la Figura 1 presentamos la comparacion entre los metodos conn = 10 y T =57.565 y en la siguiente tabla mostramos la salida:

Metodo Parametro Determinante de K Error relativoTIKHONOV α = 0. 0091 0. 26x10−5 0. 658

TRUNCACION � = 1. 0x10−5 0. 994 0. 064





Figura: 2. Aproximacion a la funcion Cuadratica.







TRUNCACION � = 1. 0x10−5 0. 994 0. 048





Figura: 3. Aproximacion a la funcion Cubica.







TRUNCACION � = 1. 0x10−5 0. 994 0. 049





Figura: 4. Aproximacion a la funcion Periodica.






Metodo Parametro Error relativoTIKHONOV α = 0. 019 0. 352

TRUNCACION � = 1. 0x10−3 0. 1829




Analisis de error

Probaremos primero la unicidad de la solucion de (2).

Teorema 2

Sea g� ∈ L2(0, T ) solucion de la ecuacion de Fredholm de primertipo (2) y p ∈ H1(0, T ) entonces g� es una solucion de la ecuacionintegral

g�(t) =1

z(t)

d

dtp(t)+

�

z(t)s��(t)g�(s�(t))−

� t

s�(t)k(t, s)g�(s)ds, (5)

donde,

z(t) = k(t, t) y k(t, s) =1

z(t)∂1k(t, s).




Analisis de error

La ecuacion integral de volterra de segundo tipo

g0(t) =1

z(t)

d

dtp(t)−

� t

s�(t)k(t, s)g0(s)ds, (6)

tiene solucion unica g0(t).




Analisis de error

Teorema 3

Sea g0 solucion de (6) entonces existe �0 tal que para todo � ≤ �0se satisface la siguiente desigualdad

� g� − g0 �≤C

(1− �0C)� g0 � (7)

donde g� es la solucion de (5) y C constante positiva.

Corolario 1

N(K�) = {0}.




Analisis de error

La convergencia de g� a g sera consecuencia del siguiente resultado

Lema

Si g� ∈ L2[0, T ] y {� g� �}�>0 es acotado, entonces

|� T

0k(t, s)(g(s)− g�(s))ds |= O(�).

Finalmente:

Teorema 5

Si N(K) = {0} y {� g� �}�>0 es acotado, entonces g� � g(convergencia debil) cuando � → 0.




Difusion radial

A.F. Van Everdingen, W. Hurst:.The application of the Laplacetransform to flow problems in reservoirs; AIME Annual Meeting inSan Francisco. (1949)

El modelo fundamental es la ecuacion de difusion en geometrıaradial

∂2p

∂r2+

1

r

∂p

∂r=

φµctk

∂p

∂t




Difusion radial

El medio esta contenido entre el radio del pozo, rw, y el radio delyacimiento, re, el cual puede ser infinito.En variables adimensionales:

rd =r

rw, td =

kt

φµctr2w

Pd(rd, td) =Pi − p(r, t)

Pi − Pwfqd(td) =

q(t)µ

2πkh(Pi − Pwf )

Donde Pwf es la presion en la base del pozo (flowing bottomholepressure).




Difusion radial

∂Pd

∂t=

∂2Pd

∂r2+

1

r

∂Pd

∂r

Siguiendo Van Everdingen & Hurst, es suficiente considerar laecuacion en dos configuraciones base:

1 Presion terminal constante (Constant terminal pressure).

Pd(r, 0) = 1. Pd(1, t) = 0.

2 Gasto terminal constante (Constant terminal rate)

Pd(r, 0) = 0,

�∂Pd

∂rd

��rd=1

= −1.




Difusion radial

El problema con valores iniciales y a la frontera se completaagregando condiciones en la frontera exterior. Si el yacimiento esfinito se consideran los casos de presion constante,y fronteracerrada, i.e., flujo cero. Para el yacimiento infinito se supone que lapresion tiende a cero con r.De Van Everdingen & Hurst obtenemos le ecuacion de convolucionpostulada anteriormente:

p0 − pm(t) =

� t

0qm(t− s)

dpu(s)

dsds




Difusion radial

En lo que sigue removemos los subındices de P, t, rSi Q(t) es el gasto total en entonces se sigue en el dominio deLaplace:

P Q =1

s3




Subdifusion

Flujo fractal

∆P vs tν

ν una fraccion.La ecuacion de Metzler-Glokle-Nonnenmacher

∂αP

∂tα=

1

rβ+θ

∂

∂r

�rβ

∂P

∂r

�




Subdifusion

sαP =1

rβ+θ

∂

∂r

�rβ

∂P

∂r

�

x =2

θ + 2sα/2r

θ+22

P = xνy(x), ν =1− β

θ + 2

Se obtiene la ecuacion de Bessel modificada

x2y��(x) + xy�(x)−�x2 + ν2

�y(x) = 0




Subdifusion

P = a sνα/2rνΘKv

�sα/2rΘ/Θ

�+ b sνα/2rνΘIν

�sα/2rΘ/Θ

�

Θ =θ + 2

2

Tambien

P Q =1

s3




Subdifusion

!Miguel Angel Moreles Vazquez CIMAT



La Integral de Riemann-Liouville

El Teorema fundamental del Calculo

f(x) = f(0) +

� x

0f �(t) dt.

El Teorema de Taylor con residuo

f(x) = f(0) +f �(0)

1!x+

f (2)(0)

2!+ . . .+

f (n−1)(0)

(n− 1)!+Rn(x)

Rn(x) =1

(n− 1)!

� x

0(x− t)n−1 f (n)(t) dt





La funcion Gamma de Euler

Γ(p) =

� ∞

0xp−1e−x dx, p > 0.

Γ(p+ 1) = pΓ(p), p > 0 ⇒ Γ(n) = (n− 1)!

Γ(n) = (n− 1)!

Rn(x) =1

Γ(n)

� x

0(x− t)n−1 f (n)(t) dt





La Integral de Riemann-Liouville ≡ Integral Fraccionaria deOrden ν

Iνf(x) =1

Γ(ν)

� x

0(x− t)ν−1 f(t) dt, ν > 0.

Entre las muchas propiedades:

IµIν = Iµ+ν




Derivadas Fraccionarias

ν > 0, n = [ν] , α = ν − n.

Supongamos

f(0) = f �(0) = f (2)(0) = . . . = f (n−1)(0) = 0.

La derivada fraccional de Caputo Dνc f

Dνc f(x) = I1−αD

n+1f(x).




Derivadas Fraccionarias

La derivada fraccional de Riemann-Liouville DνRL

DνRLf(x) = Dn+1I1−αf(x).

La derivada fraccional de Canavati Dνc

Dνc f(x) = DI1−αD

nf(x).

El caso 0 < ν < 1 : n = 0, ν = α.

Dα ≡ DαRL ≡ Dα

c



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