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Representación de datos y aritmética básica en sistemas digitales

DIGITAL II - ECA

Departamento de Sistemas e Informática

Escuela de Ingeniería Electrónica Rosa Corti

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Sistemas de Numeración:

Alfabeto: Símbolos utilizados

Base: Cantidad de símbolos del alfabeto

Sistemas Posicionales: La posición del dígito en la tira de símbolos da un “peso” a su valor

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Sistemas de Numeración:

Sistema binario {0,1}

Sistema octal {0,1,2,3,4,5,6,7}

{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F} Sistema hexadecimal

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Representación decimal: Código BCD

Dígito decimal Dígito decimal codificado en binario

0 00001 00012 00103 00114 01005 01016 01107 01118 10009 1001

5

Representación y operaciones básicas con enteros.

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Representación de enteros

Magnitud y signo Utilizada en la vida diaria

Complemento a la base

Complemento a la base menos 1

Complementos

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Complemento a la base menos 1

Dado un número N en base r con n dígitos, el complemento (r – 1) de N se define como ( rn – 1) – N.

Ejemplo en binario:

N = (01101)2-N = (10010)2

Ventaja: Implementación muy simple

Inconveniente: Doble representación del cero

Ejemplo en decimal:N = (31.479)10

-N = (68.520)10

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Complemento a la base

Dado un número N en base r con n dígitos, el complemento a r de N se define como rn – N.

Ejemplo en binario:

N = (01101)2-N = (10011)2

Ejemplo en decimal:

N = (31.479)10-N = (68.521)10

Es el complemento más utilizado en sistemas digitales

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Representación del signo:

Ejemplo en binario:

N = (14)10 = (0 00001110)2-N = (- 14)10 = (1 11110010)2 Utilizando complemento a 2.-N = (- 14)10 = (1 11110001)2 Utilizando complemento a 1.

Ejemplo en decimal:

N = (+ 258)10 = ( 0000 0010 0101 1000 ) BCD-N = (- 258)10 = ( 1001 0111 0100 0010 ) BCD , en C10.

10

Suma en C2

Sumador Binario

CinCout

BA

S

• Caso 1: A > 0 y B > 0

S = A + B Resultado correcto

Sistema decimal Sistema binarioA + 6 0 0000110B +13 0 0001101

S = A + B +19 0 0 0010011

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Suma en C2

• Caso 2: A < 0 y B < 0

Resultado correcto

S = (rn – A) + ( rn – B) = rn + rn – ( |A| + |B| )

Sistema decimal Sistema binarioA - 6 1 1111010B -13 1 1110011

S = A + B -19 1 1 1101101

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Suma en C2

• Caso 3: A < 0 y B > 0 y |A| < |B|Resultado correcto

S = (rn – A) + B = rn + ( |B| - |A| )

Sistema decimal Sistema binarioA - 6 1 1111010B +13 0 0001101

S = A + B + 7 1 0 0000111

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Suma en C2

• Caso 4: A > 0 y B < 0 y |A| < |B|Resultado correcto

S = A + (rn – B) = rn - ( |B| - |A| )

Sistema decimal Sistema binarioA + 6 0 0000110B -13 1 1110011

S = A + B - 7 0 1 1111001

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Sumador binario en C2

ΣSumador Binario

CinCout

BA

S

Cuando sumamos números positivos y negativos utilizando complemento a r, se obtendrá el resultado correcto siempre, si se ignora rn.

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Sobreflujo (Overflow)

El sobreflujo ocurre cuando al sumar dos números de n bits, el resultado ocupa n + 1bits.

Es un problema de la representación ligado al tamaño finito de los registros del sistema

En general se detecta y se informa.

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Bibliotecas Unificadas: Sumador binario

Se disponen en distinto tamaño: 4, 8, 16 bits

Son encadenables

Números sin signo o C2

Sumadores de mayor tamaño

Interpretación de los operandos

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Suma Binaria Suma BCD Valor decimalK Z8 Z4 Z2 Z1 C S8 S4 S2 S1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1

0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 2

0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 3

0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 4

0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 5

0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 6

0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 7

0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 8

0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 9

0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 10

0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 11

0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 12

0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 13

0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 14

0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 15

1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 16

1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 17

1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 18

1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 19

Suma BCD de dos dígitos

Se puede obtener utilizando un

sumador binario ?

18

Suma en BCD

• Ejemplo 1: S = A + B, dónde A = (+ 184) y B = (+ 576)

Acarreo BCD

Suma Binaria

Corrección

Signo Centena Decena Unidad Suma Decimal1 1

0000 0001 1000 0100 1840000 0101 0111 0110 + 5760000 0111 1 0000 1010

0110 0110

0000 0111 0110 1 0000 760Suma BCD

19

Suma en BCD

• Ejemplo 2: S = A + B, dónde A = (- 184) y B = (- 576)

C10(A) = 9 816 C10(B) = 9 424

Signo Centena Decena Unidad Suma Decimal1 1

1001 1000 0001 0110 - 1841001 0100 0010 0100 - 576

1 1011 1100 0100 1010

0110 0110 0110

1 1001 1 0010 0100 1 0000 - 760

Acarreo BCD

Suma Binaria

Corrección

Suma BCD

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Suma en C1

Sumador Binario

CinCout

BA

S

• Caso 1: A > 0 y B > 0

S = A + B Resultado correcto

Sistema decimal Sistema binarioA + 6 0 0000110B +13 0 0001101

S = A + B +19 0 0 0010011

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Suma en C1

Resultado correcto• Caso 2: A < 0 y B < 0

S = (rn – 1 – A) + ( rn – 1 – B) = rn – 1 + rn – 1 – ( |A| + |B| )

Sistema decimal Sistema binarioA - 6 1 1111001B -13 1 1110010

S = A + B -19 1 1 1101011 (- 20)1

1 1101100

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Suma en C1

• Caso 3: A < 0 y B > 0 y |A| < |B|Resultado correcto

S = (rn – 1 – A) + B = rn – 1 + ( |B| – |A| )

Sistema decimal Sistema binarioA - 6 1 1111001B +13 0 0001101

S = A + B + 7 1 0 0000110 ( + 6)1

00000111

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Suma en C1

• Caso 4: A > 0 y B < 0 y |A| < |B|

Resultado correcto

S = A + (rn – 1 – B) = rn – 1 – ( |B| – |A| )

Sistema decimal Sistema binarioA + 6 0 0000110B -13 1 1110010

S = A + B - 7 0 1 1111000

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Sumador binario en C1

ΣSumador Binario

CinCout

BA

S

Cuando sumamos números positivos y negativos utilizando complemento a r – 1, se obtendrá el

resultado correcto siempre, si se suma rn al dígito menos significativo.

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Resta binaria

R = A + (- B)R = A - B

Se complementa el sustraendo ( C2 ó C1)

Se obtiene a partir del bloque sumador

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Bibliotecas Unificadas: Sumador/Restador binario

Se disponen en distinto tamaño: 4, 8, 16 bits

Son encadenables Operandos de mayor tamaño

Números sin signo o C2

Interpretación de los operandos

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Multiplicación y división binarias

Se obtienen a partir de la suma y resta binarias , realizando los corrimientos correspondientes.

Se opera con los valores absolutos y se obtiene el signo del resultado a partir de los signos de los operandos.

• Operaciones aritméticas• Operaciones lógicas• Corrimientos y rotaciones

ALU

28

Representación de números reales.

29

Representación de números reales

Se considera la coma o punto, fijo en cierta posición.

Representación de punto fijo

Se almacena la posición que ocupa la coma o punto.

Representación de punto flotante

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Representación en punto fijo

El punto en el extremo izquierdo

El número es una fracción

El punto en el extremo derecho

El número es un entero

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Representación en punto flotante

N = m x re

Mantisa: Número de punto fijo con signo

Exponente: Representa la posición del punto

La mantisa y el exponente se representan físicamente

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Normalización en punto flotante

Un número con punto flotante está normalizado si el dígito más significativo de la mantisa es distinto de cero.

Ejemplo: Mantisa fraccionaria (magnitud y signo 8 bits), exponente (C2, 6 bits)

Mantisa Exponente Mantisa Exponente0 0011011 0 00100 0 1101100 0 0010

Número sin normalizar Número normalizadoNro. binario+ 0011,011

Bit de signo

El punto está a la derecha del bit de signo

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Representación computacional de datos.

34

Representación computacional de datos

Enteros o en punto fijo

Reales en punto flotante

Decimales

Código ASCIICaracteres

35

Representación computacional de enteros

BYTE

8 BitsSBYTE

WORD16 Bits

SWORD

DWORD

32 BitsSDWORD

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Conversión entre distintas longitudes

Ejemplo:

+ 18 = 00010010 (complemento a dos, 8 bits).

+ 18 = 0000000000010010 (complemento a dos, 16 bits).

-18 = 11101110 (complemento a dos, 8 bits).

- 18 = 1111111111101110 (complemento a dos, 16 bits).

Debe completarse el formato usando el bit de signo

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Representación computacional de decimales

BCD EmpaquetadoBCD DesempaquetadoModo Carácter

Nº BCD Empaquetado BCD Desempaquetado12 0001 0010 0000 0001 0000 0010623 0000 0110 0010 0011 0000 0110 0000 0010 0000 0011910 0000 1001 0001 0000 0000 1001 0000 0001 0000 0000

ASCII0011 0001 0011 00100011 0110 0011 0010 0011 00110011 1001 0011 0001 0011 0000

Nº12623910

38

Representación computacional en punto flotante

Representada en magnitud y signo

Se asume que es fraccionaria

Mantisa normalizada

Se suma un valor fijo para que sea siempre positivo

Exponente sesgado

La base se conoce y por lo tanto no se representa

39

Estándar 754 de IEEE para punto flotante

Los distintos formatos del esquema tienen la misma estructura

La mantisa se normaliza y no se representa el bit más significativo SIGNIFICANTE

El significante es un número entre 1 y 2.

40

Estándar 754 de IEEE para punto flotante

41

Estándar 754 de IEEE para punto flotante

42

Estándar 754 de IEEE: Ejemplos

43

Estándar 754 de IEEE para punto flotante

Los bits disponibles en cada formato de la norma se reparten entre significante y exponente

Existe un compromiso entre rango representable y resolución.

44

Suma y resta en punto flotante

Se siguen los siguientes pasos:

Verificación de operandos nulos

Alineación de significantes

Suma o resta de significantes

Normalización y redondeo del resultado

45

Suma y resta en punto flotante

La suma y la resta obligan a realizar un alineamiento de significantes

Se pierden dígitos significativosLos exponentes deben ser iguales

Se desplaza el significante del número más chico

Ejemplo en decimal:

S = 123 100 + 456 10-2 = 123 100 + 4,56 100 = 127,56 100

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Estándar 754 de IEEE: Bits de guarda

Z = X – Y = 1,000 … 00 21 – 1,111 … 11 20

Sin bits de guarda: Con bits de guarda:X = 1,000.........00 0000 x 21

- Y = 0,111.........11 1000 x 21

Z = 0,000.........00 1000 x 21

Z = 1, 000........00 0000 x 2-23

X = 1,000.........00 x 21

- Y = 0,111.........11 x 21

Z = 0,000.........01 x 21

Z = 1, 000........00 x 2-22

Sirven para reducir los errores al operar

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Estándar 754 de IEEE: Redondeo

Trunca los bits de guardaRedondeo a cero

Redondeo al más próximo Usada por defecto

Redondeo hacia + ∞

Redondeo hacia - ∞

Se utilizan sólo si las necesidades de exactitud son muy altas

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Multiplicación y división en punto flotante

Se siguen los siguientes pasos:

Verificación de operandos nulos

Suma o resta de exponentes

Multiplicación o división de significantes

Normalización y redondeo del resultado

49

Caracterización de las representaciones.

50

Caracterización de los sistemas de representación

Capacidad de representación:

Cantidad de tiras de datos distintas que es posible representar en el sistema.

Depende del número de símbolos del alfabeto y de la longitud de la tira con la que se representan los valores.

51

Caracterización de los sistemas de representación

Capacidad de representación, ejemplos:

Sistema con alfabeto binario restringido a 6 bits

26 = 64Número de representaciones posibles

Que ocurre con el valor anterior si la representación es:

Punto fijo, se representan enteros positivos.Punto fijo fraccionaria pura > = 0.Punto flotante, mantisa entera en C2 de 3 bits,

exponente positivo de 3 bits.

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Caracterización de los sistemas de representación

Rango:

En sistemas de numéricos, es un entorno que queda definido por los valores mínimo y máximo que

pueden representarse en la recta numérica.

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Representación restringida a n bits: Parámetros

Rango, ejemplos:

Sistema con alfabeto binario restringido a 6 bits

[0 , 63]Números enteros >= 0

[- 31 , +31]Números enteros, en C1

[0 , 0.111111]Mantisa fraccionaria pura >= 0

[0 , 3*2 7]Mantisa entera >= 0 (2 bits), exponente en C1

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Caracterización de los sistemas de representación

Resolución:

En sistemas de representación numéricos, se define a partir de los números consecutivos en la

recta numérica.

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Representación restringida a n bits: Parámetros

Resolución, ejemplos:

Sistema con alfabeto binario restringido a 6 bits

Números enteros >= 0 (1)2

(0.000001)2Mantisa fraccionaria pura >= 0

Mantisa entera >= 0 (2 bits), exponente en C1

RM = (1* 27)2 Rm = (1*2-7)2

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Conclusiones

El número de símbolos del alfabeto y la longitud de la tira que se utiliza para representar los valores, son quienes

determinan la capacidad de representación de un sistema.

Representaciones numéricas restringidas a n dígitos

El rango en punto flotante es más amplio que en punto fijo.

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Conclusiones

Los sistemas numéricos en punto flotante, tienen resolución variable a lo largo de la recta numérica.

La distribución de los dígitos de la representación entre mantisa y exponente en un sistema en punto flotante

constituye una solución de compromiso.

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Conclusiones

Los sistemas reales tienen recursos limitados

Los requerimientos del diseño determinan las características de la representación más adecuada.

La bondad del sistema de representación se evalúa en el contexto de la aplicación en la que se lo utiliza