“Todo ideal es una fe en la posibilidad misma de la perfección.”

José Ingenieros.

A mis padres.

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Comentario Preliminar

El desarrollo económico-social de un páıs depende en gran parte de sucapacidad de investigación cient́ıfica y tecnológica. La investigación ha uti-lizado muchos métodos a lo largo de la existencia de la humanidad y, desde1686, el modelo matemático Newtoniano para representar y analizar muchosprocesos f́ısicos y naturales mediante la Ecuación Diferencial. El modelo esen śı mismo una aproximación a la realidad que ha permitido obtener muchasaplicaciones, dando lugar al desarrollo tecnológico y marcando, con esto, loque se llama una verdadera revolución industrial.

Con el desarrollo de la matemática en el siglo XVIII, se logró represen-tar los hechos y fenómenos naturales mediante modelos matemáticos a vecesmuy complejos, que han servido para estudiar y generar muchas leyes delcomportamiento de fenómenos f́ısicos, sin embargo, su aplicación siemprefue muy especializada, y estaba restringida a las posibilidades de las solu-ciones anaĺıticas de la ecuación diferencial, lo que se lograba muchas vecessólo con algunos condicionamientos que deformaban o aproximaban el ver-dadero comportamiento del fenómeno estudiado. La ciencia era por lo tanto:las condiciones aproximadas de investigaciones realizadas por expertos en lamateria. Con el avance de la tecnoloǵıa y el desarrollo de los ordenadores seha podido aplicar las técnicas del cálculo numérico en la solución de ecua-ciones diferenciales y, en general, de modelos matemáticos muy complejosque permiten analizar y evaluar procesos f́ısicos desde una óptica personaldel profesional, llegando a conclusiones mucho más aproximadas a la realidaddel fenómeno estudiado.

Bajo esta perspectiva, el libro que se presenta: “Elementos de CálculoNumérico”, es una herramienta indispensable en la nueva visión del profe-sional, ya que le permitirá abordar directamente el análisis e investigación deproblemas que antes eran inabordables e insolubles o con soluciones demasia-do aproximadas y que ahora pueden ser estudiadas; aśı como, resueltas conun mejor acercamiento a la realidad del fenómeno f́ısico analizado, transfor-mándolo en un investigador del respectivo proceso y sin depender de criteriospreestablecidos anteriormente.

El autor, joven investigador y brillante alumno de la Maestŕıa de MétodosNuméricos para Diseño en Ingenieŕıa de la Universidad Politécnica Salesianadel Ecuador, presenta este libro que será de gran ayuda a estudiantes yprofesionales de la Matemática, F́ısica e Ingenieŕıa en los diferentes niveles

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académicos.

Ing. Julio Verdugo Cabrera.Director de la Maestŕıa en Sistemas Integrados de Gestión.

Catedrático de Modelación Matemática en Vibraciones de la UniversidadPolitécnica Salesiana.

Prólogo de la PrimeraEdición

Mucho tiempo ha transcurrido desde que el conocimiento de los MétodosNuméricos pasó de ser un asunto netamente teórico a uno completamenteaplicativo, la llegada y desarrollo de los ordenadores ha permitido que estaherramienta matemática se convierta en una de las técnicas más poderosasde la actualidad para la solución de diversos problemas de F́ısica e Ingenieŕıa.

Las técnicas de solución anaĺıtica de las diferentes ecuaciones diferen-ciales que gobiernan los problemas f́ısicos, si bien proporcionan informaciónen cualquier punto del dominio a tratar, o la denominada “Solución Exacta”porque no comprenden aproximaciones, sin embargo, en muchos de los casosesta solución no representa un problema del mundo real que difiere, en estecaso, del matemático, ya que este último no vendŕıa a ser más que una repre-sentación idealizada y por tanto la “Solución Exacta” se veŕıa comprometidaal nivel de simplificación del modelo matemático. Bien podŕıa decirse queun modelo real de un problema F́ısico puede llegar a tener una solución másprecisa que la solución de un modelo matemático muy simplificado, es decir,se trata de obviar cualquier efecto que conduzca a complicaciones matemáti-cas como por ejemplo las no linealidades y, por ende, la solución anaĺıticade estos problemas se verá afectada.

Desde ese punto de vista en la actualidad la solución de problemas deIngenieŕıa y F́ısica basados en Métodos Numéricos se ha convertido en la nor-ma, en vez de la excepción, aún cuando se disponga de soluciones anaĺıticas.

Especial atención en el presente texto, merece el caṕıtulo “EcuacionesDiferenciales Parciales”, en donde el autor hace un análisis exhaustivo, delas diferentes ecuaciones (Parabólicas, Hiperbólicas y Eĺıpticas) y de algunos

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de sus más importantes métodos de resolución, donde da a conocer, porejemplo, la aplicación de los Métodos Teta, herramienta muy utilizada en laresolución de este tipo de ecuaciones. Además, se da una serie de aplicacionesprácticas, para diferentes problemas de la Ingenieŕıa y la F́ısica como laMecánica de Suelos, Mecánica de Materiales y Transferencia de Calor, endonde se trata los problemas desde su solución anaĺıtica hasta la soluciónnumérica, con su respectiva comparación e interpretación de resultados, loque pone simplemente de manifiesto, la extraordinaria potencialidad quehoy en d́ıa poseen las Técnicas Numéricas ayudadas por la resolución enOrdenador, para la solución de Problemas de F́ısica e Ingenieŕıa.

Con estos antecedentes el presente libro puede ser de gran beneficio paralas personas interesadas en conocer más de cerca los Métodos Numéricos, yaque aborda en sus diversos caṕıtulos la teoŕıa básica para la comprensión delAnálisis Numérico, mediante teoŕıa, aplicaciones y Pseudocódigos; de estamanera, el lector podrá entender esquemas numéricos y resolver multiplesproblemas matemáticos, escribir programas e implementarlos en un orde-nador, además que se convierte en una herramienta para poder comprenderalgunos de los principios cient́ıficos básicos de la Matemática y de la F́ısica,sin dejar de lado un aumento de estas destrezas.

Es muy gratificante para mi ver como uno de mis mejores alumnos dela Maestŕıa de Métodos Numéricos para Diseño en Ingenieŕıa, ha puesto demanifiesto su dedicación y esmero en desarrollar este texto, que sin dudaalguna servirá como aporte básico para muchas otras personas que deseaninvolucrarse en el campo de los Métodos Numéricos.

Finalmente, deseo agradecer a las autoridades de la Universidad Politéc-nica Salesiana, en la persona de su Rector, el P. Luciano Bellini que, porintermedio del Consejo de Publicaciones, apoya las iniciativas de publicaciónde quienes formamos parte de la Comunidad Educativa de la UPS en elEcuador.

Cuenca, Octubre de 2008.

Paúl Álvarez Lloret.Catedrático de Elementos Finitos y Métodos Numéricos de la Universidad

Politécnica Salesiana.Director de la Maestŕıa de Métodos Numéricos para Diseño en Ingenieŕıa.

Introducción

Esta obra tiene el propósito de colaborar con la promoción y difusión delas ciencias matemáticas, aśı como, de sus diversas aplicaciones a la f́ısica eingenieŕıa, ya que, el poseer cierto conocimiento sobre esta ciencia, cada vez,se va haciendo más necesario. Esto se debe a que hoy en d́ıa las computadorasson la herramienta más poderosa, después de la razón, con la que cuenta elhombre; éstas han permitido o facilitado la solución de muchos problemasde la ciencia que hasta hace poco tiempo se consideraban inabordables,irresolubles o con soluciones poco factibles, debido al tiempo que en éstas sedeb́ıa emplear y que ahora pueden ser abordados, estudiados y resueltos.

La mayor facilidad en la solución de los problemas ha permitido que enlas últimas décadas se realice una gran cantidad de investigación, productode la cual, la ciencia y la tecnoloǵıa se han desarrollado vertiginosamente,facilitándonos, en muchos de los casos, la vida; pero, a la vez, haciendo nece-saria una mayor cantidad de conocimientos, requeridos para poder cumplirde manera adecuada con la responsabilidad de utilizar de la mejor forma ypara nuestro propio beneficio dichas poderosas herramientas de la razón. Espor esto que el autor vio necesario el adentrarse, de alguna manera, en el es-tudio y análisis de algunos Elementos del Cálculo Numérico, lo que dio comoresultado la presente obra. Este material no publica resultados sobre algúntipo de investigación relacionada con los temas en mención, empero, recogede la mejor y más clara forma posible, un estado del arte de los tópicos másrelevantes de la matemática aplicada a las ciencias de la ingenieŕıa. A esto seagrega: diagramas de flujo, pseudocódigos, ejemplos numéricos y anaĺıticos,aśı como, algunas aplicaciones de los métodos numéricos a la mecánica.

Con todo esto, el autor pretende llegar a la mayor cantidad de estudiantesde matemáticas, f́ısica, ingenieŕıa y ciencias afines con esta temática, queestén interesados en aprender, profundizar o recordar algunos aspectos delos métodos numéricos y la matemática aplicada; impartidos en cursos de

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pre y posgrado. Es por eso, que este texto pretende ser una gúıa practicay adecuada para la compresión de estos temas. Además, esta obra trata deseguir la filosof́ıa del“texto autocontenido”de manera que el interesado, en lomı́nimo, necesite acudir a otros libros para poder comprender los conceptosaqúı tratados.

En el primer caṕıtulo se encontrara un repaso completo de las matemáti-cas necesarias para la compresión y desarrollo de los temas aqúı tratados yde otros tópicos afines con la matemática numérica y sus aplicaciones.

En el desarrollo del libro se trata algunos de los temas consideradosde mayor utilidad para las ciencias aplicadas, como son: la concepción dealgoritmos y el estudio de los errores producidos por el carácter“aproximado”de las soluciones numéricas (Caṕıtulo 2), los ceros o ráıces de funciones deuna variable (Caṕıtulo 3) (se propone un criterio desarrollado por el autorpara acelerar la convergencia del Método de la Bisección, ver apartado 3.6.),la solución de sistemas de ecuaciones lineales y no lineales (Caṕıtulos 4 y 5),la aproximación e interpolación de funciones (Caṕıtulo 6), la diferenciacióne integración numérica (Caṕıtulo 7), la solución de ecuaciones diferencialesordinarias de primer orden y de orden superior (Caṕıtulo 8), y la soluciónde ecuaciones diferenciales parciales mediante el método de las diferenciasfinitas (Caṕıtulo 9). Sin embargo, se hace hincapié en temas considerados demayor vaĺıa en el desarrollo actual de software relacionado con la solución deproblemas de la F́ısica y ciencias de la ingenieŕıa como los métodos tratadosen los Caṕıtulos 4, 5, 7, 8 y 9.

Además, y como aporte didáctico, el texto posee una página web endonde se podrán encontrar programas realizados en MATLAB sobre todaslas aplicaciones a la Mecánica, la F́ısica y algunos de los métodos aqúı desar-rollados. Estos se han realizado combinando la programación estructuradacon el módulo GUI (Graphical User Interfaces) que ofrece MATLAB, demanera que el estudiante pueda utilizar los programas de la forma más sen-cilla y amigable; facilitando aśı su comprensión. A manera de complementode este texto, la página web contiene material adicional (en formato PDF)sobre temas relacionados con la temática del análisis numérico y métodosque no han sido tratados, como por ejemplo el Método de los Elementos Fini-tos y afines. Algunos de los ejemplos y aplicaciones presentados en esta obra,fueron desarrollado por el autor como parte del programa de Maestŕıa enMétodos Numéricos para Diseño en Ingenieŕıa impartido por la UniversidadPolitécnica Salesiana, promoción 2007-2009.

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Por último, el autor agradece a todos quienes apoyaron el desarrollo ypublicación de esta obra: mi familia por su apoyo y comprensión, AdrianaMontero G. por su colaboración desinteresada en la edición de la obra, Ing.Paúl Álvarez Ll. por su apoyo y sugerencias, Ing. Julio Verdugo C. por suapoyo y sugerencias, Ing. Eduardo Calle O. por su apoyo, y Ronald OchoaP. que colaboró con la edición gráfica y la portada del texto.

Alex Xavier Jerves Cobo

Índice general

1. Conceptos Preliminares 211.1. Repaso de Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.1.1. Ĺımite de una Función . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.1.2. Continuidad de una Función . . . . . . . . . . . . . . 251.1.3. Teorema del Valor Intermedio . . . . . . . . . . . . . . 271.1.4. Teorema de Estricción . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.1.5. La Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.1.6. La Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.1.7. Teorema del Valor Medio para las Integrales . . . . . . 331.1.8. Teorema del Valor Medio Ponderado o Generalizado . 341.1.9. Teorema Fundamental del Cálculo . . . . . . . . . . . 341.1.10. Integración por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.1.11. Sucesiones, Series Infinitas y Convergencia . . . . . . . 361.1.12. Series de Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.1.13. La Serie de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.2. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales . . . . . . . . . . 411.2.1. Ecuación Homogénea (yH) . . . . . . . . . . . . . . . 411.2.2. Ecuación Particular (yP ) . . . . . . . . . . . . . . . . 421.2.3. Ecuación de Solución (y) . . . . . . . . . . . . . . . . 431.2.4. Ejemplos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.2.5. Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

1.3. Repaso del Cálculo Diferencial en Varias Variables . . . . . . 531.3.1. Funciones de Varias Variables . . . . . . . . . . . . . . 531.3.2. Ĺımites y Continuidad en Dimensiones Superiores . . 541.3.3. Derivadas Parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561.3.4. El Teorema de Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . 571.3.5. Diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581.3.6. La Regla de la Cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591.3.7. Derivadas Direccionales y Vector Gradiente . . . . . . 60

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12 ÍNDICE GENERAL

1.3.8. Linealización, Aproximación Lineal Estándar . . . . . 611.3.9. Diferencial Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611.3.10. Polinomio de Taylor de Dos Variables . . . . . . . . . 61

1.4. Conceptos Básicos de Topoloǵıa . . . . . . . . . . . . . . . . . 621.4.1. Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621.4.2. Conjunto Conexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631.4.3. Número Cardinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631.4.4. Conjunto Numerable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631.4.5. Producto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631.4.6. Topoloǵıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631.4.7. Espacio Topológico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641.4.8. Base Topológica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641.4.9. Entornos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641.4.10. Espacio Métrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651.4.11. Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651.4.12. Propiedad de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . 661.4.13. Bola Abierta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661.4.14. Bola Cerrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671.4.15. Primer Axioma de Numerabilidad . . . . . . . . . . . 671.4.16. Segundo Axioma de Numerabilidad o IIAN . . . . . . 671.4.17. Aplicación Continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671.4.18. Conjunto Dirigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681.4.19. Red . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681.4.20. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691.4.21. Espacio Compacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691.4.22. Conexión Mediante un Camino . . . . . . . . . . . . . 691.4.23. Espacio Simplemente Conectado . . . . . . . . . . . . 69

1.5. Matrices y Temas Afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701.5.1. Espacio Vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701.5.2. Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721.5.3. Igualdad de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 731.5.4. Matriz Columna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 731.5.5. Producto de Matrices por Escalares . . . . . . . . . . 731.5.6. Suma de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 741.5.7. Multiplicación de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . 751.5.8. La Matriz Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 771.5.9. La Matriz Cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 771.5.10. Propiedad Conmutativa . . . . . . . . . . . . . . . . . 771.5.11. Propiedad Asociativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781.5.12. Propiedad Distributiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

ÍNDICE GENERAL 13

1.5.13. Determinante de una Matriz . . . . . . . . . . . . . . 781.5.14. Rango de una Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 791.5.15. Espacio Rango o Imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . 801.5.16. Espacio Nulo o Kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801.5.17. Matrices No Singulares y Singulares . . . . . . . . . . 801.5.18. Inversa de una Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801.5.19. Adjunta de una Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . 821.5.20. Transpuesta de una Matriz . . . . . . . . . . . . . . . 831.5.21. Matriz Simétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 841.5.22. Formas Cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 841.5.23. Matriz Definida Positiva . . . . . . . . . . . . . . . . . 851.5.24. Matriz Bandada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 861.5.25. Matrices Triangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 861.5.26. Matriz Dispersa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 871.5.27. Matriz Skyline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 881.5.28. Suma Directa o Matriz Escalonada . . . . . . . . . . . 881.5.29. Derivada de una Matriz de Funciones . . . . . . . . . 891.5.30. Integral de una Matriz de Funciones . . . . . . . . . . 891.5.31. El Problema de los Valores Propios . . . . . . . . . . . 901.5.32. Normas de Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 961.5.33. Normas de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 981.5.34. Espacio Eucĺıdeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

1.6. Repaso de Cálculo Vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1021.6.1. Campos Conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1021.6.2. Función Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1021.6.3. Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1021.6.4. Divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1031.6.5. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1031.6.6. Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1041.6.7. Teorema de la Divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . 104

2. Algoritmo, Número, Errores y Convergencia 1052.1. Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1052.2. Número . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

2.2.1. Números Naturales (N) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1062.2.2. Números Enteros (Z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1072.2.3. Números Racionales (Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1072.2.4. Números Reales (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1082.2.5. Números Complejos (C) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1082.2.6. Bases de Numeración . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

14 ÍNDICE GENERAL

2.2.7. Almacenamiento de Números Enteros . . . . . . . . . 1102.2.8. Almacenamiento de Números Reales . . . . . . . . . . 1112.2.9. Overflow y Underflow . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

2.3. Error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1142.3.1. Error Absoluto, Error Relativo y Cifras Significativas 1142.3.2. Clasificación de los Errores . . . . . . . . . . . . . . . 1172.3.3. Propagación del Error . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

2.4. Convergencia y Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1202.4.1. Orden de Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 1212.4.2. Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

3. Ceros o Ráıces de Funciones 1233.1. Ráız de una Función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1253.2. El Método de Horner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

3.2.1. Pseudocódigo del Método de Horner . . . . . . . . . . 1283.2.2. Ejemplo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283.2.3. La Regla de los Signos de Descartes . . . . . . . . . . 1303.2.4. Procedimiento para Determinar Ráıces Racionales . . 1303.2.5. Ejemplo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1313.2.6. Ejemplo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1333.2.7. Desventajas del Método de Horner . . . . . . . . . . . 1343.2.8. Ventajas del Método de Horner . . . . . . . . . . . . . 1343.2.9. Condiciones para el Método de Horner . . . . . . . . . 135

3.3. Método de la Bisección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1353.3.1. Desventajas del Método de la Bisección . . . . . . . . 1363.3.2. Ventajas del Método de la Bisección . . . . . . . . . . 1363.3.3. Condiciones para el Método de la Bisección . . . . . . 1363.3.4. Pseudocódigo del Método de la Bisección . . . . . . . 1373.3.5. Ejemplo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

3.4. Método de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1393.4.1. Desventajas del Método de Newton-Raphson . . . . . 1413.4.2. Ventajas del Método de Newton-Raphson . . . . . . . 1413.4.3. Condiciones para el Método de Newton-Raphson . . . 1423.4.4. Pseudocódigo del Método de Newton-Raphson . . . . 1433.4.5. Ejemplo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

3.5. Método de la Secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1463.5.1. Desventajas del Método de la Secante . . . . . . . . . 1483.5.2. Ventajas del Método de la Secante . . . . . . . . . . . 1483.5.3. Condiciones para el Método de la Secante . . . . . . . 1483.5.4. Ejemplo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

ÍNDICE GENERAL 15

3.6. Aplicación a la Mecánica de Fluidos . . . . . . . . . . . . . . 1533.6.1. Solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1533.6.2. Estrategia de Reducción Progresiva del Intervalo . . . 156

4. Sistemas de Ecuaciones Lineales 1594.1. Enfoque Global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1604.2. Métodos Directos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

4.2.1. Matriz Aumentada, Operaciones Elementales por Filas 1644.2.2. Método de Eliminación de Gauss . . . . . . . . . . . . 1654.2.3. Método de Eliminación de Gauss-Jordan . . . . . . . . 1744.2.4. Método de Gauss Compacto . . . . . . . . . . . . . . . 1794.2.5. Métodos de Descomposición . . . . . . . . . . . . . . . 1884.2.6. Método de Doolittle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1904.2.7. Método de Crout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1944.2.8. Método de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2024.2.9. Métodos [L] · [D] · [U ] y [L] · [D] · [L]T . . . . . . . . . 209

4.3. Métodos Iterativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2104.3.1. Matriz Dominante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2104.3.2. Método de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2134.3.3. Método de Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . 2164.3.4. Convergencia de los Métodos de Jacobi y Gauss-Seidel 223

4.4. Aplicación a la Estática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2244.4.1. Armaduras o Celośıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

5. Sistemas de Ecuaciones No Lineales 2295.1. EL Método de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . 229

5.1.1. Convergencia del Método de Newton-Raphson . . . . 2345.1.2. Observaciones del Método de Newton-Raphson . . . . 2345.1.3. Ejemplo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

5.2. Aplicación a la Mecánica de Materiales . . . . . . . . . . . . . 2395.2.1. Modelo Elasto-Plástico con Endurecimiento . . . . . . 2395.2.2. Deformación de una Viga Sometida a Flexión . . . . . 2425.2.3. Estrategia Incremental . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

6. Aproximación e Interpolación 2556.1. Interpolación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2556.2. Aproximación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2556.3. Razones para Aproximar e Interpolar . . . . . . . . . . . . . . 2556.4. Tipos de Funciones de Aproximación e Interpolación . . . . . 2576.5. Interpolación Pura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

16 ÍNDICE GENERAL

6.5.1. Observaciones del Método de Interpolación Pura . . . 2626.5.2. Pseudocódigo de la Matriz de Vandermonde . . . . . . 2646.5.3. Ejemplo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

6.6. Polinomio Interpolante de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . 2666.6.1. Observaciones del Polinomio Interpolante de Lagrange 268

6.7. Interpolación por Mı́nimos Cuadrados . . . . . . . . . . . . . 2696.7.1. Observaciones del Método de Mı́nimos Cuadrados . . 2726.7.2. Ejemplo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2746.7.3. Ejemplo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

6.8. Spline Cúbico o Trazador Cúbico . . . . . . . . . . . . . . . . 2796.8.1. Condiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2826.8.2. Error de la Aproximación con un Trazador Cúbico . . 2896.8.3. Ejemplo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

7. Diferenciación e Integración Numérica 2957.1. Diferenciación Numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

7.1.1. Fórmula de la Primera Diferencia Progresiva . . . . . 2967.1.2. Fórmula de la Primera Diferencia Regresiva . . . . . . 2997.1.3. Fórmula de la Primera Diferencia Central para f ′(x) . 3017.1.4. Fórmula de la Primera Diferencia Central para f”(x) . 3047.1.5. Observaciones de las Fórmulas de Diferenciación . . . 307

7.2. Integración Numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3107.3. La Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3117.4. Cuadraturas de Newton-Cotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

7.4.1. La Regla del Trapecio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3137.4.2. Integración Compuesta por la Regla del Trapecio . . . 3157.4.3. Ejemplo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3187.4.4. Regla de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3207.4.5. Integración Compuesta por la Regla de Simpson . . . 3277.4.6. Ejemplo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3297.4.7. Observaciones de las Fórmulas de Newton-Cotes . . . 331

7.5. Cuadraturas Gaussianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3367.5.1. Función de Peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3377.5.2. Funciones Ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3377.5.3. Polinomios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . 3397.5.4. Cuadratura de Gauss-Legendre . . . . . . . . . . . . . 3417.5.5. Ejemplo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

7.6. Integrales Múltiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3477.6.1. Ejemplo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3527.6.2. Ejemplo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

ÍNDICE GENERAL 17

8. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 3618.1. Definición de Ecuación Diferencial Ordinaria . . . . . . . . . 361

8.1.1. Condiciones de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . 3628.2. Solución del Problema de Valores Iniciales . . . . . . . . . . . 3638.3. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden . . . . . 3638.4. Métodos de Un Paso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

8.4.1. Método de Euler Hacia Adelante . . . . . . . . . . . . 3668.4.2. Método de Euler Hacia Atrás . . . . . . . . . . . . . . 3758.4.3. Método de Crank-Nicolson o Trapezoidal . . . . . . . 3788.4.4. Método de Heun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3818.4.5. Métodos Expĺıcitos e Impĺıcitos . . . . . . . . . . . . . 3858.4.6. Análisis de los Métodos de Un Paso . . . . . . . . . . 385

8.5. Métodos de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3948.5.1. Observaciones de los Métodos de Runge-Kutta . . . . 3998.5.2. Ejemplo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4018.5.3. Pseudocódigo del Método de Runge-Kutta (4to Orden) 4048.5.4. Métodos de Cálculo del Error de Truncamiento . . . . 404

8.6. Sistemas de Ecuaciones Ordinarias de Primer Orden . . . . . 4068.6.1. Método de Runge-Kutta Generalizado (4to Orden) . . 4068.6.2. Observaciones del Método Generalizado (R-K) . . . . 4098.6.3. Ejemplo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

8.7. Aplicación a la Mecánica de Fluidos . . . . . . . . . . . . . . 4148.7.1. Solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415

8.8. Solución de Problemas de Valores de Contorno . . . . . . . . 4178.8.1. Unicidad de la Solución . . . . . . . . . . . . . . . . . 4198.8.2. Ejemplo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421

8.9. El Método de Disparo Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4218.9.1. Ejemplo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427

8.10. El Método Lineal de Diferencias Finitas . . . . . . . . . . . . 4288.10.1. Observaciones del Método Lineal de Diferencias Finitas4328.10.2. Ejemplo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432

9. Ecuaciones Diferenciales Parciales 4379.1. Ecuaciones Diferenciales Parciales Parabólicas . . . . . . . . . 442

9.1.1. Ecuación Diferencial Parabólica Simple . . . . . . . . 4429.1.2. Forma Expĺıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4439.1.3. Ejemplo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4489.1.4. Forma Impĺıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451

9.2. Ecuaciones Diferenciales Parciales Eĺıpticas . . . . . . . . . . 4589.2.1. Ecuación Diferencial Parcial Eĺıptica Lineal . . . . . . 459

18 ÍNDICE GENERAL

9.2.2. La Ecuación de Laplace en un Rectángulo . . . . . . . 4629.2.3. Tratamiento Alternativo de los Puntos de Frontera . . 4659.2.4. Ejemplo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466

9.3. Ecuaciones Diferenciales Parciales Hiperbólicas . . . . . . . . 4679.4. Los Métodos Teta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471

9.4.1. Estabilidad de los Métodos Teta . . . . . . . . . . . . 4759.5. Aplicación a la Mecánica de Materiales . . . . . . . . . . . . . 478

9.5.1. Solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4799.6. Aplicación a la Mecánica de Suelos . . . . . . . . . . . . . . . 485

9.6.1. Solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4869.7. Aplicación a la Transferencia de Calor . . . . . . . . . . . . . 490

9.7.1. Deducción de la Ecuación Diferencial . . . . . . . . . . 4919.7.2. Solución Anaĺıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4969.7.3. Ejemplo de Aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5079.7.4. Solución Mediante “Los Métodos Teta” . . . . . . . . . 5079.7.5. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512