M etodos Num ericos para las Ecuaciones Diferenciales ... · calcular las componentes de un vector...

Metodos Numericos para las Ecuaciones Diferenciales. Curso 2014-2015.Eliseo Chacon Vera. Grado en Matematicas. Universidad de Murcia.

Relacion de ejercicios 2:

Ejercicios computacionales sobre ordenes de convergencia y estabilidad

Las tecnicas de programacion requeridas en lo que sigue se basan principalmente encalcular las componentes de un vector de manera recursiva, bien dependiendo solo delvalor previo o bien de mas de uno de los valores previos.

Observacion: Dado un campo de velocidades los distintos metodos numericosexistentes se pueden ver como herramientas a nuestra disposicion para poder calcularuna curva que siga este campo de velocidades. Cada una de estas herramientas se puede“sintonizar”con la curva buscada a traves del parametro h > 0 y se describe de acuerdolas propiedades siguientes

1. Orden de convergencia, es decir, error ∼ O(hp). Cuanto mayor p mejor

2. Restricciones de estabilidad sobre el parametro h > 0 necesarias para el calculobuscado. Normalemente, existe h? > 0 que depende del campo de velocidades y delmetodo usado tal que si h ≥ h? el metodo produce oscilaciones y divergencia. Elvalor h? no se puede conocer en general pero se puede predecir a base de calculossobre soluciones exactas conocidas.

La propiedad del orden suele ser la mas importante pero a mayor orden el metodo es mascomplicado. Por otro lado, a veces puede compensar un metodo de menor orden (massencillo de programar) porque tenga una menor restriccion de estabilidad.

Algunos ejemplos de metodos de la familia de Runge-Kutta:

Metodo de Heun (RK2):

k1 = f(tn, yn)

k2 = f(tn + h, yn + h k1)

yn+1 = yn +h

2(k1 + k2)

Metodo de Runge-Kutta (RK3):

k1 = f(tn, yn)

k2 = f(tn +1

2h, yn +

1

2h k1)

k3 = f(tn +3

4h, yn +

3

4h k2)

yn+1 = yn +h

9(2 k1 + 3 k2 + 4 k3).

1


Metodo clasico de Runge-Kutta (RK4):

k1 = f(tn, yn)

k2 = f(tn +1

2h, yn +

1

2h k1)

k3 = f(tn +1

2h, yn +

1

2h k2)

k4 = f(tn + h, yn + h k3)

yn+1 = yn +h

6(k1 + 2 k2 + 2 k3 + k4)

Algunos ejemplos de metodos multipaso:

Adams-Bashforth explıcito (AB2) de dos pasos:Dados y0, y1 calcular para n ≥ 0

yn+1 = yn + h{3

2f(tn, yn)− 1

2f(tn−1, yn−1)}

Adams-Bashforth explıcito (AB3) de tres pasos:Dados y0, y1, y2 calcular para n ≥ 0

yn+1 = yn +h

12{23 f(tn, yn)− 16f(tn−1, yn−1) + 5f(tn−2, yn−2)}

Adams-Bashforth explıcito (AB4) de cuatro pasos:Dados y0, y1, y2, y3 calcular para n ≥ 0

yn+1 = yn +h

24{55 f(tn, yn)− 59f(tn−1, yn−1) + 37f(tn−2, yn−2)− 9f(tn−3, yn−3)}

Adams-Moulton implıcito (AM2) de dos pasos:Dados y0, y1 calcular para n ≥ 0

yn+1 = yn +h

12{5 f(tn+1, yn+1) + 8f(tn, yn)− f(tn−1, yn−1)}

Adams-Moulton implıcito (AM3) de tres pasos:Dados y0, y1, y2 calcular para n ≥ 0

yn+1 = yn +h

24{9f(tn+1, yn+1) + 19 f(tn, yn)− 5f(tn−1, yn−1) + f(tn−2, yn−2)}

Metodo BDF (Backward Differentiation formulas) de dos pasos (BDF2):Dados y0, y1, y2 calcular para n ≥ 0

yn+1 − 2yn +1

2yn−1 = hf(tn+1, yn+1)

2


Comprobaremos computacionalmente los ordenes de convergencia como sigue:Usamos como medida del error e(h) = maxn{|yn− y(tn)|} para h = T/N . Si e(h) ≈ C hp,calculamos el orden p del metodo usando

p ≈log( e(h)

e(h/2)

)log(2)

=

log( e(N)

e(2N)

)log(2)

.

Observacion: Dada la longitud del intervalo de calculo T > 0 y para dimensionalizarlos vectores, al programar daremos N primero y despues calcularemos h = T/N . Si elejercicio nos da h > 0 primero, entonces calculamos N = T/h.

Ejercicios:

1. La ecuacion diferencial{d

dty(t) = t2 − a y, t > 0,

y(0) = 1,

tiene por solucion y(t) = −e−at(y0− 2/a3) + (a2t2− 2at+ 2)/a3. Para a = 1 aproxi-marla en el intervalo [0, 1] usando el metodo de Crank-Nicolson (observar que f eslineal en y), el metodo de Heun, RK3 y el metodo clasico de Runge-Kutta de cuartoorden.

En cada metodo y con N dado calculamos el error absoluto entre el vector de la so-lucion exacta y la calculada, a continuacion repetimos el calculo con 2N . Reproducey completa las siguientes tablas

N 10 100 500 1000Error con CN

Error con Heun 0.0027 2.5587e-005 1.0199e-006 2.5486e-007Error con RK3Error con RK4 1.0506e-006 1.0144e-010 1.6243e-013 1.0214e-014

N vs. 2N 10 vs. 20 100 vs. 200 500 vs. 1000 1000 vs. 2000Orden con CN

Orden con Heun 2.0317 2.0032 2.0006 2.0003Orden con RK3Orden con RK4 4.0279 4.0029 3.9912 1.6656

¿Que observas y que explicacion puedes dar?

3


2. Se quiere reproducir la solucion de y′(t) = 10 y(t) con y(0) = 1 en el intervalo [0, T ]con T = 4 y usando el metodo de Euler explıcito. Tomando h = T/N observar laevolucion del calculo para valores crecientes de N en comparacion con la solucionexacta. Realizar el mismo estudio para el problema y′(t) = −10 y(t) con los mismosdatos y confirmar los resultados teoricos.

3. Resolver los siguientes problemas usando el metodo de Euler progresivo con pasosh = 0.2, 0.1, 0.05 (obtener N). Calcular el error absoluto usando la solucion verda-dera y(t). Observar el decaimiento del error conforme se disminuye h.

a) y′(t) = [cos(y(t))]2, 0 ≤ t ≤ 10, y(0) = 0. exacta : y(t) = atan(t).

b) y′(t) = −y(t)2, 1 ≤ t ≤ 10, y(1) = 1. exacta : y(t) = 1/t.

Observar que en el primer apartado T = 10 y en el segundo T = 9.

4. Para el sistema lineal x′(t) = Ax(t) +G(t), (t > 0), x(0) = (1, 1)′ y donde

A =

(1 −22 1

)G(t) =

(−2e−t + 2−2e−t + 1

)sabemos que la solucion verdadera es x(t) = (e−t, 1)′. Escribir las ecuaciones explıci-tamente y usar los metodos de Euler explıcito, implıcito y Crank-Nicolson en [0, 10]para los valores de h dados por h = 0.1, 0.05 y h = 0.0025.

5. Para el sistema lineal x′(t) = Ax(t), (t > 0), x(0) = x0 dado y donde

A =

−82.72 −58.03 −49.82−58.03 −40.83 −34.88−49.82 −34.88 −30.44

.

queremos aplicar el metodo de Euler progresivo. Dar la restriccion sobre el paso detiempo para obtener un calculo estable.

6. Resolver el problema

y′(t) = λ y(t) +1

1 + t2− λ atan(t), y(0) = 0

que tiene como solucion y(t) = atan(t). Usar los metodos de Euler explıcito, implıci-to y Crank-Nicolson con los valores λ = −1,−10,−50 y distintos pasos de tiempoh. Comentar los resultados.

7. El problema

y′(t) = λ y + (1− λ) cos(t)− (1 + λ) sin(t), y(0) = 1.

Tiene solucion exacta y = sin(t)+cos(t). Resolver este problema usando los metodosde Euler explıcito e implıcito con distintos valores de λ y de h para 0 < t < 5

4


a) λ = −1; h = 0.5, 0.25, 0.125, (T = 5, luego equivale a dar N = 10, 20, 40)

b) λ = 1; h = 0.5, 0.25, 0.125,

c) λ = −5; h = 0.5, 0.25, 0.125, 0.0625,

d) λ = 5; h = 0.5, 0.25, 0.125, 0.0625

Comentar los resultados en terminos de la dependencia con respecto a λ de lassiguientes cuestiones

a) Valores optimos o criticos de h (dado N, h=T/N), ampliar el rango de valoresde h si es necesario.

b) Orden de convergencia.

c) Fijado un error global, que esfuerzo (en terminos de h o N) necesita cadametodo para alcanzarlo.

8. La importancia del orden de convergencia de un metodo numerico se puede ver enla Figura 1 generada aproximando la solucion de la ecuacion diferencial{

d

dty(t) = k cos(k t) y(t), t > 0,

y(0) = y0,

para k = 7, y0 = 2 y considerando el intervalo de tiempo [0, 20] (solucion exactay(t) = y0 e

sin(k t)).

a) Reproducir tablas similares a las del ejercicio 1 para los metodos multipaso AB2y AM3 (observar que f es lineal en y) y determinar el orden de convergenciade los mismos. Para inicializar estos metodos usar la solucion exacta, esto esusar y0 = y(0), y1 = y(h) etc...

b) Reproducir el efecto en la Figura 1 (obtenido con metodos de tipo Runge-Kutta) pero ahora usando los metodos multipaso arriba mencionados.

9. Las componentes x1, x3 y x5 del sistema lineal x′(t) = Ax(t), (t > 0), x(0) = x0donde

A =

0 1 0 0 0 0−2 0 1 0 0 00 0 0 1 0 01 0 −2 0 1 00 0 0 0 0 10 0 1 0 −1 0

.

representan angulos de giro en un sistema fısico. Resolver el problema en [0, 20] condato inicial x0 = (−0.05, 0, 0, 0, 0.1, 0) usando Euler explıcito, Euler implıcito yCrank-Nicolson. Usar las facilidades en algebra lineal que da MATLAB en cuantoa notacion matricial e inversion de matrices y reproducir la Figura 2. Comparar lasnecesidades de cada metodo, en cuanto a la restriccion sobre h, para reproducir lamisma.

5


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

5

Euler explicito Orden 1 vs Solucion verdadera (k=7, y0=2) N= 200 h= 0.1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

5

Euler mejorado Orden 2 vs Solucion verdadera (k=7, y0=2) N= 200 h= 0.1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

5

Runge−Kutta Orden 3 vs Solucion verdadera (k=7, y0=2) N= 200 h= 0.1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

5

Runge−Kutta Orden 4 vs Solucion verdadera (k=7, y0=2) N= 200 h= 0.1

Euler orden 1

Verdadera

Euler orden 2

Verdadera

RK orden 3

Verdadera

RK orden 4

Verdadera

Figura 1: Solucion verdadera y aproximada para k = 7, y0 = 2, T = 20 y h = 0.1 o bienN = 200.

6


Figura 2: Evolucion de los angulos de giro

10. En el intervalo temporal t ∈ [1, 10] la ecuacion diferencial ordinaria

t3 y′′′(t)− t2 y′′(t) + 3 t y′(t)− 4 y(t) = 5t3 log(t) + 9t3

con datos iniciales y(1) = 0, y′(1) = 1, y′′(1) = 3 tiene por solucion

y(t) = −t2 + t cos(log(t)) + t sin(log(t)) + t3 log(t)

a) Transformar esta ecuacion en un sistema de ecuaciones diferenciales de primerorden

b) Aproximar la solucion en una particion uniforme del intervalo [1, 10] medianteel siguiente metodo de Runge-Kutta de tres etapas (RK3)

yn+1 = yn +h

4(k1 + 3 k3)

k1 = f(tn, yn),

k2 = f(tn +1

3h, yn +

1

3h k1),

k3 = f(tn +2

3h, yn +

2

3h k2).

c) Realizar un estudio del error y del orden de convergencia del metodo en elintervalo [1, 10] completando las siguientes tablas e indicar el orden de precisionaproximado del metodo que se obtiene

N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Error con RK3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

N vs. 2N . . . . . . vs.. . . . . . . . . . . . vs. . . . . . . . . . . . . vs. . . . . . .Orden con RK3

7


Indicar que norma vectorial se esta usando.

d) Determinar computacionalmente la restriccion de estabilidad sobre el parame-tro h cuando este metodo se aplica a este problema.

11. Las ecuaciones de Newton para el movimiento de una partıcula en orbita plana ycon una excentricidad ε ∈ [0, 1) vienen dadas por

x′′(t) = − x(t)

r(t)3, x(0) = 1− ε, x′(0) = 0

y′′(t) = − y(t)

r(t)3, y(0) = 0, y′(0) =

√1 + ε

1− ε,

donde r(t) =√x(t)2 + y(t)2.

a) Transformandolo a un sistema de primer orden resolverlo con el metodo deEuler en el intervalo t ∈ [0, 20].

b) Para excentricidad nula, e = 0, la solucion exacta es

x(t) = cos(t), y(t) = sin(t)

pero para e ∈ (0, 1) no hay formula cerrada. Comprobar que la solucion a esteproblema se puede escribir en la forma

x(t) = cos(u(t))− ε, y(t) =√

1− ε2 sin(u(t))

donde u(t) es la solucion de la ecuacion de Kepler.

u(t)− ε sin(u(t))− t = 0.

c) Usar el metodo de Newton para resolver la ecuacion de Kepler y obtener lasolucion (x(t), y(t)) que tomaremos como exacta.

d) Vamos a aumentar el orden de convergencia de Euler progresivo. Implementarel metodo clasico de Runge-Kutta (RK4) de cuarto orden y compararresultados.

e) Calcular la evolucion de la constante de error tanto para x como para y en elintervalo propuesto y verificar el orden de convergencia de los dos metodos.

12. Resolver el sistema {y′1(t) = −100y1 + y2, y1(0) = 1y′2(t) = y1 − 100y2, y2(0) = 0

por el metodo de Euler explıcito, implıcito y por el metodo de Crank-Nicolson en elintervalo [0, 1] con paso uniforme h = 1/10 y h = 1/100. comparar con la solucionexacta. Hacer estimaciones de error rigurosas y compararlas con los errores reales.

8


13. El sistema {y′1(t) = y1 − 2 y2 + 4 cos(t)− 2 sin(t) y1(0) = 1y′2(t) = 3y1 − 4y2 + 5 cos(t)− 5 sin(t), y2(0) = 2

posee por solucion exacta

y1(t) = cos(t) + sin(t), y2(t) = 2 cos(t).

a) Escribirlo como un problema de la forma

d

dt~y = A~y + ~G(t)

b) Aproximar la solucion por el metodo de Euler explıcito en el intervalo [0, 1] conpaso uniforme h = 1/10 y h = 1/100. comparar con la solucion exacta. Hacerestimaciones de error rigurosas y compararlas con los errores reales.

14. La solucion general de la ecuacion{d

dty(t) = 10 y + 11 t− 5 t2 − 1, 0 < t ≤ 3,

y(0) = y0,

viene dada por y(t; y0) = y0 e10 t + t2/2− t por lo que tenemos un campo de trayec-

torias muy expansivo.

Comparar la importancia del orden de precision al resolver con Euler explıcitoy con RK4 en el caso y0 = 0. Obtener los resultados graficos de la Figura3 comparando la solucion exacta y la aproximada y observa como se deberestringir h para poder obtener la solucion.

Para un valor de h lo suficientemente pequeno como para resolver bien elproblema en el caso y(0) = 0, por ejemplo h = 10−4, observa la discrepanciaentre las soluciones numericas obtenida para y0 6= 0 y la exacta del problemaoriginal para y0 = 0. ¿Que se puede decir de la sensibilidad del problemarespecto al dato inicial?

15. El siguiente ejemplo fue propuesto por Dahlquist y Bjorck en 1974.{y′(t) = 100 (sin(t)− y(t)), 0 < t ≤ 3,y(0) = 0.

a) Comprobar (no hace falta demostrar) que la solucion de la edo{y′(t) = a (sin(t)− y(t)), 0 < t,y(0) = y0

9


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−0.5

0

0.5

1

1.5Solucion exacta y aproximada con N= 10000, h = 0.0003

Exacta

Aprox.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−0.5

0

0.5

1

1.5Solucion exacta y aproximada con N= 5000, h = 0.0006

Exacta

Aprox.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−25

−20

−15

−10

−5

0

5Solucion exacta y aproximada con N= 2500, h = 0.0012

Exacta

Aprox.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−400

−300

−200

−100

0

100Solucion exacta y aproximada con N= 1250, h = 0.0024

Exacta

Aprox.

Figura 3: Soluciones exacta y aproximada para distintos valores de h

es

y(t) = e−a ty0 +sin(t)− a−1cos(t) + a−1e−a t

1 + a−2.

Para a >> 1 el modo transitorio exponencial e−a t decae muy rapido. Estemodo debe ser capturado bien por el metodo explıcito y esto nos lleva a unvalor de h excesivamente pequeno.

b) Reproducir las graficas de la Figura 4 y explicar la razon del valor crıtico deN en torno a 155 para Euler explıcito.

c) Observar computacionalmente la dificultad adicional y0 6= 0.

d) Realizar una tabla de errores y ordenes de convergencia para comparar Eulerexplıcito, Euler implıcito y Crank-Nicolson para este problema.

e) Observar tanto analıtica como computacionalmente que se tiene el mismo re-sultado cualitativo con el ejemplo mas simple{

y′(t) = a (1− y(t)), 0 < t,y(0) = y0

10


0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1Dahlquist−Bjorck ejemplo (f(t,y)=−100(sin(t)−y). Euler implicito, N= 140

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−2

−1

0

1

2x 10

6Dahlquist−Bjorck ejemplo (f(t,y)=−100(sin(t)−y). Euler explicito, N= 140

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8


0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5Dahlquist−Bjorck ejemplo (f(t,y)=−100(sin(t)−y). Euler explicito, N= 150

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8


0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5Dahlquist−Bjorck ejemplo (f(t,y)=−100(sin(t)−y). Euler explicito, N= 160

Figura 4: Resultados para el problema de Dahlquist y Bjorck con Euler explıcito e implıcito

11


16. Prothero-Robinson propusieron un problema similar en torno a 1967:{y′(t) = L (ϕ(t)− y(t)) + ϕ′(t), 0 < t,y(0) = y0

La solucion exacta esy(t) = e−L t(y0 − ϕ(0)) + ϕ(t)

y otra vez el modo rapido e−L t para L >> 1 debe ser capturado correctamente.Aquı ϕ(t), es el modo estacionario, y puede ser una funcion suave sin cambiosbruscos. Pero incluso en el caso en el que y0 = ϕ(0) y aparentemente el modo rapidono esta en la solucion, si que se encuentra presente en el campo de velocidadesasociado y es preciso calcular con precision para no caer en una trayectoria vecinaque se aleje rapidamente de la buscada.

Ejercicio: Disenar un experimento numerico que cumpla y0 = ϕ(0) y realizar unagrafica donde se vea la solucion estacionaria ϕ(t) y como todas las soluciones vecinasse aproximan exponencialmente a ella. Ver los ejemplos en las Figuras 5 y 6.

17. Para t > 0 consideramos el sistema lineal de edos{x′1(t) = −298x1(t) + 99 x2(t),x′2(t) = −594x1(t) + 197x2(t).

Para los datos iniciales x1(0) = −1/2 y x2(0) = 1/2 calcular la solucion exacta.Aproximarla numericamente usando Euler explıcito e implıcito reproduciendo lasgraficas de la Figura 7 que se adjuntan. Identificar el modo rapido y el lento

12


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−1

−0.5

0

0.5

1Prothero−Robinson Euler implicito, N= 130

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−2

−1

0

1

2x 10

11 Prothero−Robinson Euler explicito, N= 130

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−1

−0.5

0

0.5


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−1

−0.5

0

0.5

1Prothero−Robinson Euler explicito, N= 150

Figura 5: Euler Explıcito e implıcito sobre la ecuacion de Prothero-Robinson

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5−4

−2

0

2


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5−5

0

5Prothero−Robinson Euler explicito, N= 150

Figura 6: Comportamiento de las curvas vecinas a la fase transitoria

13


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−1

0

1

2

3

4

5Sistema Stiff 2D (f(t,y)=(−298*x+99*y,−594*x+197*y) Euler implicito, N= 200

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−2

0

2

4

6

8Sistema Stiff 2D (f(t,y)=(−298*x+99*y,−594*x+197*y) Euler explicito, N= 200

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−1

0

1

2

3

4

5Sistema Stiff 2D (f(t,y)=(−298*x+99*y,−594*x+197*y) Solucion exacta

x1

x2

x1

x2

x1=exacta

x2=exacta

3*exp(−t)−3*exp(−100t)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

0

2

4

6

Sistema Stiff 2D (f(t,y)=(−298*x+99*y,−594*x+197*y) Euler implicito, N= 200

x1

x2

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

0

2

4

6

Sistema Stiff 2D (f(t,y)=(−298*x+99*y,−594*x+197*y) Euler explicito, N= 200

x1

x2

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

0

2

4

6

Sistema Stiff 2D (f(t,y)=(−298*x+99*y,−594*x+197*y) Solucion exacta

x1=exacta

x2=exacta

3*exp(−t)−3*exp(−100t)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−1

0

1

2

3

4


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−6

−4

−2

0

2

4x 10

30 Sistema Stiff 2D (f(t,y)=(−298*x+99*y,−594*x+197*y) Euler explicito, N= 100

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−1

0

1

2

3

4


x1

x2

x1

x2

x1=exacta

x2=exacta

3*exp(−t)−3*exp(−100t)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−1

0

1

2

3

4


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−5

0

5

10Sistema Stiff 2D (f(t,y)=(−298*x+99*y,−594*x+197*y) Euler explicito, N= 150

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−1

0

1

2

3

4


x1

x2

x1

x2

x1=exacta

x2=exacta

3*exp(−t)−3*exp(−100t)

Figura 7: Calculos sobre el intervalo temporal [0,3]

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M etodos Num ericos para las Ecuaciones Diferenciales ... · calcular las componentes de un vector...

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