Metodos Numericos para Solucion de Ecuaciones

Diferenciales Parciales Elıpticas

Abel Palafox Gonzalez, Jose Luis Alonzo Velazquez

Resumen

En aplicaciones o proyectos de investigacion tales como dinamica departıculas o elastostatica, a menudo se presentan ecuaciones o sistemas deEcuaciones Diferenciales Parciales Elıpticas. Adicionalmente, las Ecuacio-nes Diferenciales a resolver pueden no tener una solucion explıcita y teneralta dimensionalidad. Nuestro objetivos es entonces, estudiar las propieda-des de este tipo de ecuaciones, ası como metodos numericos y estrategiasde implementacion para la solucion de las mismas. Primero, presentare-mos brevemente algunos aspectos teoricos importantes de las EcuacionesElıpticas tomando como primer caso de estudio a la ecuacion de Poisson.Presentaremos resultados obtenidos con el metodo de Diferencias Finitas.Hablaremos con detalle del metodo de Elemento Finito aplicado a casosparticulares de Ecuaciones Diferenciales Parciales Elıpticas.

1. Introduccion

Las Ecuaciones Diferenciales Parciales aparecen muy frecuentemente en mo-delos que pretenden explicar un fenonemo fısico. El creciente desarrollo de he-rramientas computacionales, permite resolver problemas que anteriormente noeran tratables. Sin embargo, aun existen muchas limitantes que impiden obtenersoluciones precisas.

En problemas como dinamica de partıculas o elastostatica, se presentanEcuaciones Diferenciales Elıpticas. Consideramos de suma importancia paranuestros fines, estudiar este tipo de ecuaciones e identificar esquemas compu-tacionales para aproximar soluciones de forma numerica.

Actualmente, los metodos que se utilizan en terminos generales, son: Dife-rencias Finitas, Elementos Finitos y Volumen Finito. El metodo de VolumenFinito, esta fuera de los alcances de este proyecto. El metodo de DiferenciasFinitas ası como Elementos Finitos seran de nuestro estudio a lo largo del pre-sente proyecto. Cabe senalar que nuestra atencion se centrara en el metodo delos Elementos Finitos.

2. Diferencias Finitas

2.1. La Ecuacion de Poisson

El origen de las Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP) Elıpticas en dosdimensiones espaciales es la ecuacion de Poisson:

uxx + uyy = f(x, y) (1)

1

en un dominio Ω. Equivalentemente, la ecuacion (1) puede ser escrita como:

∇2u = f(x, y)

donde ∇2 es el operador Laplaciano:

∂2

∂x2+

∂2

∂y2.

La ecuacion homogenea correspondiente a la ecuacion (1) es la ecuacion deLaplace:

∇2u = 0. (2)

Las soluciones a la ecuacion de Laplace son llamadas funciones armonicas yestan intimamente relacionadas con el area de analisis complejo.

Para determinar completamente la solucion a (1), es necesario especificaruna condicion de frontera en la solucion. Esta condicion debe ser de uno de losdos tipos siguientes:

Condicion de tipo Dirichlet:

u = b1, en ∂Ω (3)

Condicion de tipo Newmann:

∂u

∂n= b2, en ∂Ω (4)

con n el vector normal en ∂Ω.

Las EDP’s con condiciones de frontera son llamados problemas de valores en lafrontera.

En un contexto fısico, la ecuacion (1) describe el estado estable de distribu-cion de temperatura de un objeto ocupando el dominio Ω. La solucion u(x, y)representa la temperatura estable del dominio Ω con fuentes de calor y cuencasdados por f(x, y). La condicion de Dirichlet representa una temperatura fijaen la frontera ∂Ω, mientras que la condicion de tipo Newmann representa elflujo de calor. La condicion de Newmann con b2 = 0 representa una fronteraperfectamente aislada.

Observacion: La EDP (1) con condicion Newmann (4) debe de cumplir lacondicion de integrabilidad : ∫∫

Ω

f =

∫∂Ω

b2.

La condicion de integrabilidad tiene la interpretacion fısica de que las fuentesde calor en la region se deben balancear con el flujo de calor en la frontera paraque exista una temperatura estable.

Cabe senalar que la solucion a (1) con condicion Newmann esta determinadahasta una constante arbitraria. Esto significa, fısicamente, que la temperaturapromedio de un cuerpo no puede ser determinada a partir de los flujos de caloren la frontera y las fuentes de calor y cuencas solamente.

2

Definicion: La ecuacion diferencial elıptica general (cuasilineal) de segundoorden en dos dimensiones, es una ecuacion que puede ser escrita de la forma:

a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + d(x, y, u, ux, uy) = f(x, y) (5)

donde a, c > 0 y b2 < acObservese que la definicion requiere que la forma cuadratica

a(x, y)ξ2 + 2b(x, y)ξη + c(x, y)η2

sea positiva para todos valores de (ξ, η) y todos los valores de (x, y) en Ω.Notemos que la solucion a (1) tiene dos derivadas mas que f . Esta propie-

dad (que la solucion sea mas diferenciable que los datos y que esta gananciaen diferenciabilidad de la solucion es igual al orden del operador diferencial)caracteriza a una ecuacion o sistema de EDP’s elıpticas.

2.2. Estimaciones de Regularidad para Ecuaciones Elıpti-cas

Presentaremos estimaciones que muestran como la suavidad de las solucionesdependen en los datos. Por simplicidad se supone que los coeficientes a, b, c, dde la ecuacion (5) son constantes.

Se puede demostrar [Strikwerda2004] que:

‖u‖2s+2 ≤ Cs(‖f‖2s + ‖u0‖20) (6)

para s entero no negativo, Cs constante y la norma ‖·‖2s definida como:

‖u‖2s =∑

s1+s2≤s

‖∂s1x ∂s2y u‖2.

Esta estimacion es llamada estimacion de regularidad. Enuncia que si todas unasolucion de (1) existe en L2, i.e. si ‖u‖0 es finito y la funcion f tiene todas lasderivadas de orden s en L2(R2), entonces la funcion u tiene s+ 2 derivadas enL2(R2).

2.3. Principios Maximos

Los principios maximos son un conjunto de herramientas utiles para el es-tudio de Ecuaciones Elıpticas de segundo orden. La utilidad de los principiosmaximos esta restringida a las ecuaciones de segundo orden debido a que las se-gundas derivadas de una funcion dan informacion de la funcion en los extremos.Los siguientes dos teoremas son expresiones de Principios Maximos.

Teorema 2.1 Sea L un operador elıptico de segundo orden definido por Lφ =aφxx+2bφxy+cφyy, i.e. los coeficientes a y c con positivos y b satisface b2 < ac.Si una funcion u satisface Lu ≥ 0 en un dominio acotado Ω, entonces el valormaximo de u en Ω esta en la frontera de Ω.

Este teorema puede ser visto como una extension en dos dimensinoes delsiguiente resultado: Si una funcion de una variable tiene segunda derivada posi-tiva en un intervalo cerrado, entonces esa funcion debe alcanzar su valor maximoen los lımites del intervalo. Por otro lado, si la segunda derivada es negativa, elmınimo ocurre en las fronteras.

3

Teorema 2.2 Si la ecuacion elıptica auxx+2buxy+cuyy+d1ux+d2uy+eu = 0se mantiene en un dominio Ω, con a, c positivas y e no positiva, entonces lasolucion u(x, y) no puede tener un maximo local en el interior de Ω.

Cabe destacar, que se dispone de la segunda derivada de la solucion u, almenos de manera local, debido a la condicion de suavidad que caracteriza alas Ecuaciones Elıpticas. Por otro lado, tanto los Principios Maximos como lasEstimaciones de Regularidad, se preservan en la solucion bajo un esquema deDiferencias Finitas. Este hecho nos permite tener estimaciones locales de lasolucion numerica.

2.4. Aplicacion de Diferencias Finitas

La derivada de una funcion g puede aproximarse con:

g′(x) ≈g(x+ 1

2h)− g(x− 12h)

h

esto aproximacion se conoce como Diferencia Finita Central. Ahora bien, analo-gamente podemos aproximar la segunda derivada como:

g′′(x) ≈g′(x+ 1

2h)− g′(x− 12h)

h

≈g(x+2 1

2h)−g(x− 12h+ 1

2h)

h − g(x−2 12h)−f(x− 1

2h+ 12h)

h

h

≈ g(x+ h)− 2g(x) + g(x− h)

h2

Entonces, para la Ecuacion de Poisson en una dimension tenemos que:

f(x) =∂2

∂x2u ≈ u(x+ h)− 2u(x) + u(x− h)

h2.

Tomando una discretizacion de un intervalo [x0, xn] en n pasos equidistantesde tamano h, tendıamos que:

f(xi) ≈u(xi+1)− 2u(xi) + u(xi−1)

h2∀i ∈ 0, . . . , n.

Equivalentemente, tenemos que:

u(xi) ≈u(xi+1) + u(xi−1)− h2f(xi)

2∀i ∈ 0, . . . , n.

Observemos que lo anterior puede ser escrito en forma matricial (Ax = b)como sigue:

−2 1 0 . . . 01 −2 1 . . . 0...

. . .. . .

. . ....

0 . . . 0 1 −2

u = h2f

La matriz de este sistema resulta ser tridiagonal, simetrica y positiva defini-da. Por tanto, para encontrar la solucion u al sistema posemos utilizar metodos

4

numericos clasicos como: directos (LU, Cholesky, etc.) o iterativos (Gauss-Seidel,Gradiente Conjugado). La precision de la aproximacion en este caso estas deter-minada por el tamano de la discretizacion (O(h2)). Por tanto, para una buenaestimacion, requerimos un gran numero de puntos xi. Una estrategia recomenda-ble para la solucion del sistema, es utilizar un metodo que explote la estructuratridiagonal de la matriz, ya que consiste predominantemente de ceros.

Ejemplo en 1D

Consideremos la siguiente ecuacion:

∂2

∂x2u(x) = 5 sin(7x),

u = 10 en: ∂Ω

definida en: Ω = [−π, π],En este caso la solucion analıtica es:

u(x) = − 5

35sin(7x) + 10.

Presentamos en la Figura 1 la solucion obtenida con nuestra implementacionde diferencias finitas (linea punteada) tomando 100 puntos equiespaciados en elintervalo Ω junto con la solucion analıtica (linea continua). El error relativo eneste caso es de: 9,99300779445e−07 en 6759 iteraciones del metodo Gauss-Seidel.

3 2 1 0 1 2 39.0

9.5

10.0

10.5

11.0

Figura 1: Solucion a la Ecuacion de Poisson por el metodo de Diferencias Finitas

Presentamos tambien, como archivos adjuntos, videos de las soluciones ob-tenidas tanto en 1D como en 2D.

3. El metodo de los elementos finitos

El metodo de los elementos finitos (MEF en espanol o FEM en ingles) esun metodo numerico general para la aproximacion de soluciones de ecuacionesdiferenciales parciales muy utilizado. Este consiste en crear una lattice que cubrael objeto de estudio y sobre esta se imponen condiciones en las cuales funciones

5

o ecuaciones de norma situadas en cada nodo nos permiten interpolar los valoresde la funcion buscada en el objeto. El metodo se basa fuertemente en el hecho depoder hacer diferencias finitas. Hay muchos metodos para obtener dicha latticey relacionar un nodo con otro. En la siguiente seccion se puede ver una brevedescripcion del metodo utilizado.

3.1. Ejemplo. El proceso de transferencia de calor

El proceso de transferencia de calor (conductividad termica) se determinapor la ley de Fourier : el vector de densidad de un flujo calorıfico W es propor-cional al gradiente de temperatura u = u(x), ası que

W = −k∇u

donde k = k(x) es el coeficiente de conductividad termica. La densidad del flujocalorıfico es igual a la cantidad de calor que pasa en la unidad de tiempo a travesde la unidad de superficie isotomica.

3.2. Principio de conservacion

El principio de conservacion para el caso bidimensional nos dice que

q(xi) +dq

dxi= Q(xi) + q(xi)

por otro lado el flujo es la razon de cambios de temperaturas con lo cual tenemosla ecuacion

Q+

3∑i=1

d

dxi

(k∂ϕ(xi)

∂xi

)= 0.

Suponiendo que k es constante en cada direccion y escribiendo u = ϕ(x) laecuacion de transferencia de calor viene dada por la expresion

∂u

∂t− k

(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2+∂2u

∂z2

)= 0

o lo que es lo mismo∂u

∂t− k∇2u = 0.1

3.3. El metodo de Galerkin y Residuos ponderados

El metodo Galerkin proporciona una forma sistematica de obtener aproxi-maciones finitas.

Paso 1: Primero definimos las funciones de forma que seran la base de nuestrosespacio vectorial. Dicho espacio vectorial es un espacio polinomico en quela base de dicho espacio esta formada por funciones de forma Ni, que dadoel conjunto de nodos del dominio de referencia se definen como:

Ni(ξj) =

1 i = j0 i 6= j

1En la literatua se podra encontrar el simbolo de la divergencia como ∇2 o ∆.

6

Esto permite definir de manera unıvoca unas funciones de forma sobre eldominio real sobre el que se define el problema:

∀(ξ, η) ∈ Ω : Ni(ξ, η) = (N(e)i F (e))(ξ, η)

Estas funciones se pueden extender a todo el dominio, gracias a que elconjunto de subdominios o elementos finitos constituye una particion detodo el dominio:

Ni : Ω→ Rd, ∀x ∈ Ω(e) ⊂ Ω : Ni(x) = Nei (x)

Donde Ω es el espacio de referencia.

Paso 2: Resolucion de las ecuaciones, primero notemos que podemos hacerintegrales mediante cuadraturas aplicadas a estas funciones de forma conciertos pesos, una de las formulas que vimos enc lase es:∫

Ω

f dΩ =

n∑e=1

∫Ω(e)

f dΩ =

n∑e=1

∫Ω

(f F (e))JF (e) dΩ

≈NPI∑m=1

wmf(ξm)JF (e)(ξm)

Donde:

Ω ⊂ Rd son el domino sobre el que se plantea el problema.

Ω(e), Ω, representan a cada uno de los elementos finitos y al dominioisoparametrico que da la forma de los elementos finitos.

f : Rd → R, f := f F (e), representan la funcion que debe integrarsey su expresion sobre el dominio isoparametrico.

F (e) : Ω→ Ω(e), la aplicacion que relaciona el dominio isoparametricocon cada elemento finito.

wm, ψm, son los pesos y los puntos de integracion usados para inte-gracion gaussiana.

n, nPI , son el numero total de elementos y el numero de puntos deintegracion por elemento.

Paso 3: Definicion de las funciones de forma Este paso es una consecuenciade los dos anteriores. Habiendo elegido el tipo de funciones de forma ne-cesarios para satisfacer los requerimientos de continuidad que plantea eloperador diferencial a resolver y habiendo realizado la discretizacion delas variables independientes surge de su combinacion la definicion de lasfunciones de forma.

Paso 4: Calculo de la matriz del sistema y del miembro derecho. Ku = f .

Paso 5: Resolucion del sistema de ecuaciones anterior mediante algun metodonumerico.

7

Paso 6: Recalculo de la solucion para obtener una mejor solucion en el losnodos.

Paso 7: Una de las ecuaciones de forma que utiliza es: Es el triangulo de 3nodos y el cuadrilatero de 4 nodos.

4. Preproceso, Calculo y Postproceso

Preproceso, que consiste en la definicion de geometrıa, generacion de lamalla, las condiciones de contorno y asignacion de propiedades a los ma-teriales y otras propiedades. En ocasiones existen operaciones cosmeticasde regularizacion de la malla y precondicionamiento para garantizar unamejor aproximacion o una mejor convergencia del calculo.Aquı usando el software GiD e imponiendo condiciones de frontera conse-guiremos un mallado de nuestro objeto de estudio.

Calculo, el resultado del preproceso, en un problema simple no-dependientedel tiempo, permite generar un conjunto de N ecuaciones y N incognitas,que puede ser resuelto con cualquier algoritmo para la resolucion de siste-mas de ecuaciones lineales. Cuando el problema a tratar es un problemano-lineal o un problema dependiente del tiempo a veces el calculo consisteen una sucesion finita de sistemas de N ecuaciones y N incognitas quedeben resolverse uno a continuacion de otro, y cuya entrada depende delresultado del paso anterior.

Postproceso, el calculo proporciona valores de cierto conjunto de funcionesen los nodos de la malla que define la discretizacion, en el postproceso secalculan magnitudes derivadas de los valores obtenidos para los nodos, yen ocasiones se aplican operaciones de suavizado, interpolacion e inclusodeterminacion de errores de aproximacion.

Elemento Triangular de 3 Nodos:Cada uno de los elementos triangulares sera pasado a coordenadas naturales,

para facilitar el computo.

Para este caso la geometrıa quedara mallado po triangulos, ahora hay quever cuales seran nuestras funciones de forma (interpolacion) en las coordenadasnaturales:

8

N1(ξ, η) = 1− ξ − η

N2(ξ, η) = ξ

N3(ξ, η) = η

Por lo tanto las parciales correspondientes seran:

∂N1

∂ξ= −1

∂N1

∂η= −1

∂N2

∂ξ= 1

∂N2

∂η= 0

∂N3

∂ξ= 0

∂N3

∂η= 1

Como las parciales no depende de ξ o η el computo sera mucho mas sencillopara este caso. A continuacion muestro los resultados obtenidos.

Para el caso en que el mallado es por cuadrilateros nuestras funciones deforma en las coordenadas naturales:

N1(ξ, η) =(1− ξ)(1− η)

4

N2(ξ, η) =(1 + ξ)(1− η)

4

N3(ξ, η) =(1 + ξ)(1 + η)

4

N4(ξ, η) =(1− ξ)(1 + η)

4

Por lo tanto las parciales correspondientes seran:

∂N1

∂ξ=−(1− η)

4

∂N1

∂η=−(1− ξ)

4

∂N2

∂ξ=

(1− η)

4

∂N2

∂η=−(1 + ξ)

4

∂N3

∂ξ=

(1 + η)

4

∂N3

∂η=

(1 + ξ)

4

∂N4

∂ξ=−(1 + η)

4

∂N4

∂η=

(1− ξ)4

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Como las parciales depende de ξ o η el computo sera un poco mas complicadopara este caso, por lo cual utilizaremos cuadraturas. Se puede ver un poco sobrecuadraturas al final de este trabajo.

Entre las bondades de esta implementacion es que la matriz resultante essimetrica y rala, es decir tiene muchos ceros, una matriz rala es una matriz quetiene la siguiente forma

Para este trabajo hemos considerado la difusion de calor en una superficiecuadrada con las siguientes condiciones de Dirichlet y Newman

10

Obteniendo el siguiente resultado, el cual es comparable con los resultadosobtenidos con diferencias finitas.

11

5. Oscilador Armonico

En esta parte ejemplifico a detalle los tres metodos de aproximacion sobreun problema especifico, el calculo de una cota inferior de la energıa minima deun sistema. El ejemplo de batalla sera el oscilador armonico cuantico.

El oscilador armonico se puede emplear para estudiar sistemas que realicenpequenas oscilaciones en torno a una posicion de equilibrio. En particular, eloscilador armonico cuantico se puede emplear para estudiar las oscilaciones delos atomos de una molecula diatomica, como la de hidrogeno, H2.

El oscilador armonico es uno de los casos en los que se puede obtener unasolucion analıtica sencilla de la ecuacion de Schrodinger. Es la razon por la cualnos interesa trabajar como primera aproximacion a nuestro problema, en meto-dos que resuelvan dicha ecuacion numericamente, y poder ası validar nuestrosalgoritmos.

La ecuacion asociada al oscilador armonico que estudiaremos en este reportees: (

−1

2∆ +

|x|2

2

)Ψ = EΨ

Cuya ecuacion correspondiente al suponer el sistema en una, dos y tres di-mensiones serıa respectivamente:(

−1

2

d2

dx2+x2

2

)Ψ = EΨ(

−1

2

d2

dx2− 1

2

d2

dy2+x2 + y2

2

)Ψ = EΨ(

−1

2

d2

dx2− 1

2

d2

dy2− 1

2

d2

dz2+x2 + y2 + z2

2

)Ψ = EΨ

Calcularemos la energıa minima del sistema llevandolo a un problema devalores propios y resolveremos dicho problema mediante tres metodos de discre-tizacion que son:

Diferencias Finitas.

Volumen Finito.

Metodo del Elemento Finito.

Todos los metodos tendran una malla que dependera de la dimension delsistema, pero cada coordenada correra en el intervalo [a, b] = [−5,5, 5,5], ten-dremos el valor de la funcion en la frontera es decir en los extremos de dichointervalo, supondremos que la solucion es Ψ = u, con lo cual nuestras ecuacionesquedaran en funcion de u.

12

5.1. Diferencias Finitas

1D

Bueno ahora desarrollemos las diferencias finitas sobre el problema conside-rando el sistema en una dimension:(

−1

2

d2

dx2+x2

2

)Ψ = EΨ

Consideremos una particion del intervalo [a, b] en n+ 1 subintervalos, todosellos de longitud h = b−a

n+1 , a = x0 < x1 < . . . < xn+1 = b. Calcularemos, en cadauno de los puntos xi, una aproximacion del valor de u(xi), a la que llamaremosui. Conocemos los valores u0 y un+1 (pues deben coincidir, respectivamente, conlos datos ua y ub), de forma que nuestras incognitas son u1, u2, . . . , un. Para estousaremos diferencias centrales, es decir la siguiente aproximacion de la derivadade segundo orden:

d2u

dx2≈ ui+1 − 2ui + ui−1

h2

⇒ −1

2

(ui+1 − 2ui + ui−1

h2

)+x2

2ui = λui, i = 1, 2, . . . , n

⇒ − 1

2h2ui+1 +

(1

h2+x2

2

)ui −

1

2h2ui−1 = λui, i = 1, 2, . . . , n

Con lo cual tenemos los coeficientes de la matriz de diferencias finitas, for-mando un sistema Au = f . La matriz A es tridiagonal y definida positiva.

A continuacion el ejemplo para una malla de 10 elementos.

16 -0.33 0 0 0 0 0 0 0 0-0.33 9.8 -0.33 0 0 0 0 0 0 0

0 -0.33 5.3 -0.33 0 0 0 0 0 00 0 -0.33 2.3 -0.33 0 0 0 0 00 0 0 -0.33 0.86 -0.33 0 0 0 00 0 0 0 -0.33 0.86 -0.33 0 0 00 0 0 0 0 -0.33 2.3 -0.33 0 00 0 0 0 0 0 -0.33 5.3 -0.33 00 0 0 0 0 0 0 -0.33 9.8 -0.330 0 0 0 0 0 0 0 -0.33 16

2D

Bueno ahora desarrollemos las diferencias finitas sobre el problema conside-rando el sistema en dos dimensiones:(

−1

2

d2

dx2− 1

2

d2

dy2+x2 + y2

2

)Ψ = EΨ

Consideremos un mallado del intervalo [a, b]× [a, b], particionando en n+ 1subintervalos cada intervalo [a, b], todos ellos de longitud h = b−a

n+1 , a = x0 <x1 < . . . < xn+1 = b. Calcularemos, en cada uno de los puntos (xi, yj),

13

una aproximacion del valor de u(xi, yj), a la que llamaremos uij . Conoce-mos los valores de u en la frontera, de forma que nuestras incognitas sonu11, u21, . . . , un1, u12, u22, . . . , un2, u1n, u2n, . . . , unn. Para esto usaremos diferen-cias centrales, es decir la siguiente aproximacion de las derivadas de segundoorden:

d2ui,jdx2

≈ ui+1,j − 2ui,j + ui−1,j

h2

d2ui,jdy2

≈ ui,j+1 − 2ui,j + ui,j−1

h2

⇒ −1

2

(ui+1,j − 2ui,j + ui−1,j

h2+ui,j+1 − 2ui,j + ui,j−1

h2

)+

(x2 + y2

2

)uij = λuij

i = 1, 2, . . . , n j = 1, 2, . . . , n

⇒ − 1

2h2ui+1,j−

1

2h2ui,j+1+

(2

h2+x2 + y2

2

)ui,j−

1

2h2ui−1,j−

1

2h2ui,j−1 = λui,j

i = 1, 2, . . . , n j = 1, 2, . . . , n

Con lo cual tenemos los coeficientes de la matriz de diferencias finitas, for-mando un sistema Au = f . La matriz A es pentagonal y simetrica.

A continuacion el ejemplo para una malla de 3 elementos.

30 -0.017 0 -0.017 0 0 0 0 0-0.017 15 -0.017 0 -0.017 0 0 0 0

0 -0.017 30 0 0 -0.017 0 0 0-0.017 0 0 15 -0.017 0 -0.017 0 0

0 -0.017 0 -0.017 0.066 -0.017 0 -0.017 00 0 -0.017 0 -0.017 15 0 0 -0.0170 0 0 -0.017 0 0 30 -0.017 00 0 0 0 -0.017 0 -0.017 15 -0.0170 0 0 0 0 -0.017 0 -0.017 30

3D

Bueno ahora desarrollemos las diferencias finitas sobre el problema conside-rando el sistema en tres dimensiones:(

−1

2

d2

dx2− 1

2

d2

dy2− 1

2

d2

dz2+x2 + y2 + z2

2

)Ψ = EΨ

Consideremos un mallado del intervalo [a, b] × [a, b] × [a, b], particionandoen n + 1 subintervalos cada intervalo [a, b], todos ellos de longitud h = b−a

n+1 ,a = x0 < x1 < . . . < xn+1 = b. Calcularemos, en cada uno de los puntos(xi, yj , zk), una aproximacion del valor de u(xi, yj , zk), a la que llamaremos uijk.Conocemos los valores de u en la frontera, de forma que nuestras incognitas sonu111, u211, . . . , un11, u121, u221, . . . , un21, u1nn, u2n, . . . , unnn. Para esto usaremosdiferencias centrales, es decir la siguiente aproximacion de las derivadas de se-gundo orden:

d2ui,j,kdx2

≈ ui+1,j,k − 2ui,j,k + ui−1,j,k

h2

14

d2ui,j,kdy2

≈ ui,j+1,k − 2ui,j,k + ui,j−1,k

h2

d2ui,j,kdz2

≈ ui,j,k+1 − 2ui,j,k + ui,j,k−1

h2

⇒ −1

2

(ui+1,j,k − 2ui,j,k + ui−1,j,k

h2+ui,j+1,k − 2ui,j,k + ui,j−1,k

h2

+ui,j,k+1 − 2ui,j,k + ui,j,k−1

h2

)+

(x2 + y2 + z2

2

)uijk = λuijk

i = 1, 2, . . . , n j = 1, 2, . . . , n k = 1, 2, . . . , n

⇒ − 1

2h2ui+1,j,k −

1

2h2ui,j+1,k −

1

2h2ui,j,k+1 +

(3

h2+x2 + y2 + z2

2

)ui,j

− 1

2h2ui−1,j,k −

1

2h2ui,j−1,k −

1

2h2ui,j,k−1 = λui,j,k

i = 1, 2, . . . , n j = 1, 2, . . . , n k = 1, 2, . . . , n

Con lo cual tenemos los coeficientes de la matriz de diferencias finitas, for-mando un sistema Au = f . La matriz A es pentagonal y simetrica.

A continuacion el ejemplo para una malla de 3 elementos.

45 -0.017 0 -0.017 · · · 0 0 0 0-0.017 30 -0.017 0 · · · 0 0 0 0

0 -0.017 45 0 · · · 0 0 0 0-0.017 0 0 30 · · · 0 0 0 0

......

......

. . ....

......

...0 0 0 0 · · · 30 0 0 -0.0170 0 0 0 · · · 0 45 -0.017 00 0 0 0 · · · 0 -0.017 30 -0.0170 0 0 0 · · · -0.017 0 -0.017 45

Resultados

Los siguientes resultados, fueron obtenidos en una laptop,con 2 GB de me-moria RAM disponible y al construir las matrices de manera llena, rapidamentese limito la cantidad de particiones.

15

N E0

11 0.46760221 0.49126831 0.49601841 0.49774051 0.49854261 0.49898271 0.49924881 0.49942291 0.499540101 0.499624201 0.499905301 0.499958401 0.499976501 0.499985601 0.499989701 0.499992801 0.499994901 0.4999951001 0.4999962001 0.4999993001 0.5000004001 0.5000005001 0.5000006001 0.5000007001 0.5000008001 0.5000009001 0.50000010001 0.500000

N E0

2 0.0660433 3.4352864 0.2598415 1.4122956 0.5430707 0.9917188 0.7937849 0.92277310 0.90726311 0.93520421 0.98253731 0.99206741 0.99548051 0.99708461 0.99796371 0.99849781 0.99884691 0.999086101 0.999258201 0.9994833014015016017018019011001

N E0

2 0.0990653 5.1529294 0.3897615 2.1184346 0.8146077 1.4875968 1.1906769 1.38415910 1.36088911 1.40278421 1.47380831 1.4800364151617181911012013014015016017018019011001

Para 1D se obtiene energıa mınima .5, para 2D se obtiene energıa mınima1, para 3D se obtiene energıa mınima 1.5. Los casos 1D y 2D coinciden con losresultados del artıculo., Y el caso 2D, no tengo con que comparar, pero es lamisma construccion de la matriz, ası que presumiblemente esta correcto el valorobtenido.

16

5.2. Volumen Finito

1D

Bueno ahora desarrollemos volumen finito sobre el problema:(−1

2

d2

dx2+x2

2

)Ψ = EΨ

Para ello integramos la ecuacion diferencial sobre un volumen finito, es decir,un trozo de intervalo (1D), cuya forma concreta dependera de la malla. Parala malla consideremos una particion del intervalo [a, b] en n + 1 subintervalos,todos ellos de longitud h = b−a

n+1 , a = x0 < x1 < . . . < xn+1 = b. Calcularemosla integral de la ecuacion diferencial en cada uno de los intervalos [xi− 1

2, xi+ 1

2]

con centro en el punto xi, obteniendo una aproximacion de la integral con elvalor de u(xi), a la que llamaremos ui. Conocemos los valores u0 y un+1 (puesdeben coincidir, respectivamente, con los datos ua y ub), de forma que nuestrasincognitas son u1, u2, . . . , un.

Para esto en el caso de la segunda derivada(laplaciano) integraremos y des-pues utilizaremos la aproximacion de la derivada de primer orden:∫ x

i+12

xi− 1

2

d2

dx2Ψ =

d

dxΨ(xi+ 1

2)− d

dxΨ(xi− 1

2) ≈

(ui+1 − ui

h− ui − ui−1

h

)Y para el caso de cualquier funcion sera el perımetro del intervalo por el

valor de la funcion en el punto xi, es decir:∫ xi+1

2

xi− 1

2

f ≈ h · f(xi)

Por lo tanto al desglosar la ecuacion:∫ xi+1

2

xi− 1

2

(−1

2

d2

dx2+x2

2

)Ψ =

∫ xi+1

2

xi− 1

2

EΨ

Resultan terminos que podemos integrar con las reglas que hemos propuesto:∫ xi+1

2

xi− 1

2

(−1

2

d2

dx2

)Ψ +

∫ xi+1

2

xi− 1

2

(x2

2

)Ψ =

∫ xi+1

2

xi− 1

2

EΨ

Ahora al integrar cada parte de la siguiente ecuacion como se a descrito:

⇒ −1

2

(ui+1 − ui

h− ui − ui−1

h

)+ h

x2

2ui = λhui

⇒ − 1

2h2ui+1 −

(1

h2+x2

2

)ui −

1

2h2ui−1 = λui

Con lo cual tenemos los coeficientes de la matriz de diferencias finitas, lacual es identica a la obtenida por el metodo de diferencias finitas.

17

2D

Bueno ahora desarrollemos volumen finito sobre el problema:(−1

2

d2

dx2− 1

2

d2

dy2+x2 + y2

2

)Ψ = EΨ

Para ello integramos la ecuacion diferencial sobre un volumen finito, es decir,un trozo de superficie (2D), cuya forma concreta dependera de la malla. Pa-ra la malla consideremos un mallado del intervalo [a, b] × [a, b], particionandoen n + 1 subintervalos cada intervalo [a, b], todos ellos de longitud h = b−a

n+1 ,a = x0 < x1 < . . . < xn+1 = b. Calcularemos, en cada uno de los puntos(xi, yj), una aproximacion del valor de u(xi, yj), a la que llamaremos uij . Co-nocemos los valores de u en la frontera, de forma que nuestras incognitas sonu11, u21, . . . , un1, u12, u22, . . . , un2, u1n, u2n, . . . , unn.

Para esto en el caso de la segunda derivada(laplaciano) integraremos y des-pues utilizaremos la aproximacion de la derivada de primer orden:∫ y

j+12

yj− 1

2

∫ xi+1

2

xi− 1

2

d2

dx2Ψ =

∫ yj+1

2

yj− 1

2

d

dxΨ(xi+ 1

2, y)− d

dxΨ(xi− 1

2, y)

≈∫ y

j+12

yj− 1

2

(Ψ(xi+1, y)−Ψ(xi, y)

h− Ψ(xi, y)−Ψ(xi−1, y)

h

)

≈ h ·(ui+1,j − ui,j

h− ui,j − ui−1,j

h

)= ui+1,j − 2ui,j + ui−1,j∫ y

j+12

yj− 1

2

∫ xi+1

2

xi− 1

2

d2

dy2Ψ =

∫ xi+1

2

xi− 1

2

d

dyΨ(x, yj+ 1

2)− d

dyΨ(x, yj− 1

2)

≈∫ y

i+12

yi− 1

2

(Ψ(x, yj+1)−Ψ(x, yj)

h− Ψ(x, yj)−Ψ(x, yj−1)

h

)

≈ h ·(ui,j+1 − ui,j

h− ui,j − ui,j−1

h

)= ui,j+1 − 2ui,j + ui,j−1

Y para el caso de cualquier funcion sera el area de la region por el valor dela funcion en el punto (xi, yj), es decir:∫ y

j+12

yj− 1

2

∫ xi+1

2

xi− 1

2

f ≈ h2 · f(xi, yj)

Por lo tanto al desglosar la ecuacion:

∫ yj+1

2

yj− 1

2

∫ xi+1

2

xi− 1

2

(−1

2

d2

dx2− 1

2

d2

dy2+x2 + y2

2

)Ψ =

∫ yj+1

2

yj− 1

2

∫ xi+1

2

xi− 1

2

EΨ

Resultan terminos que podemos integrar con las reglas que hemos propuesto:∫ yj+1

2

yj− 1

2

∫ xi+1

2

xi− 1

2

(−1

2

d2

dx2

)Ψ +

∫ yj+1

2

yj− 1

2

∫ xi+1

2

xi− 1

2

(−1

2

d2

dy2

)Ψ+

18

∫ yj+1

2

yj− 1

2

∫ xi+1

2

xi− 1

2

(x2

2

)Ψ +

∫ yj+1

2

yj− 1

2

∫ xi+1

2

xi− 1

2

(y2

2

)Ψ =

∫ yj+1

2

yj− 1

2

∫ xi+1

2

xi− 1

2

EΨ

Ahora al integrar cada parte de la siguiente ecuacion como se a descrito:

⇒ −1

2(ui+1,j − 2ui,j + ui−1,j + ui,j+1 − 2ui,j + ui,j−1)+h2

(x2 + y2

2

)ui,j = λh2ui,j

⇒ − 1

2h2ui+1,j−

1

2h2ui,j+1+

(2

h2+x2 + y2

2

)ui,j−

1

2h2ui−1,j−

1

2h2ui,j−1 = λui,j

i = 1, 2, . . . , n j = 1, 2, . . . , n

Con lo cual tenemos los coeficientes de la matriz de diferencias finitas, lacual es identica a la obtenida por el metodo de diferencias finitas.

3D

Bueno ahora desarrollemos volumen finito sobre el problema:(−1

2

d2

dx2− 1

2

d2

dy2− 1

2

d2

dz2+x2 + y2 + z2

2

)Ψ = EΨ

Para ello integramos la ecuacion diferencial sobre un volumen finito, es decir,un trozo de volumen (3D), cuya forma concreta dependera de la malla. Para lamalla consideremos un mallado del intervalo [a, b]× [a, b]× [a, b], particionandoen n + 1 subintervalos cada intervalo [a, b], todos ellos de longitud h = b−a

n+1 ,a = x0 < x1 < . . . < xn+1 = b. Calcularemos, en cada uno de los puntos(xi, yj , zk), una aproximacion del valor de u(xi, yj , zk), a la que llamaremos uijk.Conocemos los valores de u en la frontera, de forma que nuestras incognitas sonu111, u211, . . . , un11, u121, u221, . . . , un21, u1nn, u2n, . . . , unnn.

Para esto en el caso de la segunda derivada(laplaciano) integraremos y des-pues utilizaremos la aproximacion de la derivada de primer orden:∫ z

k+12

zk− 1

2

∫ yj+1

2

yj− 1

2

∫ xi+1

2

xi− 1

2

d2

dx2Ψ =

∫ zk+1

2

zk− 1

2

∫ yj+1

2

yj− 1

2

d

dxΨ(xi+ 1

2, y, z)− d

dxΨ(xi− 1

2, y, z)

≈∫ z

k+12

zk− 1

2

∫ yj+1

2

yj− 1

2

(Ψ(xi+1, y, z)−Ψ(xi, y, z)

h− Ψ(xi, y, z)−Ψ(xi−1, y, z)

h

)

≈ h2 ·(ui+1,j,k − ui,j,k

h− ui,j,k − ui−1,j,k

h

)= h · (ui+1,j,k − 2ui,j,k + ui−1,j,k)

∫ zk+1

2

zk− 1

2

∫ yj+1

2

yj− 1

2

∫ xi+1

2

xi− 1

2

d2

dy2Ψ =

∫ zk+1

2

zk− 1

2

∫ xi+1

2

xi− 1

2

d

dyΨ(x, yj+ 1

2, z)− d

dyΨ(x, yj− 1

2, z)

≈∫ z

k+12

zk− 1

2

∫ xi+1

2

xi− 1

2

(Ψ(x, yj+1, z)−Ψ(x, yj , z)

h− Ψ(x, yj , z)−Ψ(x, yj−1, z)

h

)

≈ h2 ·(ui,j+1,k − ui,j,k

h− ui,j,k − ui,j−1,k

h

)= h · (ui,j+1,k − 2ui,j,k + ui,j−1,k)

19

∫ zk+1

2

zk− 1

2

∫ yj+1

2

yj− 1

2

∫ xi+1

2

xi− 1

2

d2

dz2Ψ =

∫ yj+1

2

yj− 1

2

∫ xi+1

2

xi− 1

2

d

dzΨ(x, y, zk+ 1

2)− d

dzΨ(x, y, zk− 1

2)

≈∫ y

j+12

yj− 1

2

∫ xi+1

2

xi− 1

2

(Ψ(x, y, zk+1)−Ψ(x, y, zk)

h− Ψ(x, y, zk)−Ψ(x, y, zk−1)

h

)

≈ h2 ·(ui,j,k+1 − ui,j,k

h− ui,j,k − ui,j,k−1

h

)= h · (ui,j,k+1 − 2ui,j,k + ui,j,k−1)

Y para el caso de cualquier funcion sera el area de la region por el valor dela funcion en el punto (xi, yj , zk), es decir:∫ z

k+12

zk− 1

2

∫ yj+1

2

yj− 1

2

∫ xi+1

2

xi− 1

2

f ≈ h3 · f(xi, yj , zk)

Por lo tanto al desglosar la ecuacion:

∫ zk+1

2

zk− 1

2

∫ yj+1

2

yj− 1

2

∫ xi+1

2

xi− 1

2

(−1

2

d2

dx2− 1

2

d2

dy2− 1

2

d2

dz2+x2 + y2 + z2

2

)Ψ

=

∫ zk+1

2

zk− 1

2

∫ yj+1

2

yj− 1

2

∫ xi+1

2

xi− 1

2

EΨ

Resultan terminos que podemos integrar con las reglas que hemos propuesto:∫ zk+1

2

zk− 1

2

∫ yj+1

2

yj− 1

2

∫ xi+1

2

xi− 1

2

(−1

2

d2

dx2

)Ψ +

∫ zk+1

2

zk− 1

2

∫ yj+1

2

yj− 1

2

∫ xi+1

2

xi− 1

2

(−1

2

d2

dy2

)Ψ+

∫ zk+1

2

zk− 1

2

∫ yj+1

2

yj− 1

2

∫ xi+1

2

xi− 1

2

(−1

2

d2

dz2

)Ψ +

∫ zk+1

2

zk− 1

2

∫ yj+1

2

yj− 1

2

∫ xi+1

2

xi− 1

2

(x2

2

)Ψ+

∫ zk+1

2

zk− 1

2

∫ yj+1

2

yj− 1

2

∫ xi+1

2

xi− 1

2

(y2

2

)Ψ +

∫ zk+1

2

zk− 1

2

∫ yj+1

2

yj− 1

2

∫ xi+1

2

xi− 1

2

(z2

2

)Ψ

=

∫ zk+1

2

zk− 1

2

∫ yj+1

2

yj− 1

2

∫ xi+1

2

xi− 1

2

EΨ

Ahora al integrar cada parte de la ecuacion como se a descrito:

⇒ −1

2h · (ui+1,j,k − 2ui,j,k + ui−1,j,k + ui,j+1,k − 2ui,j,k + ui,j−1,k

+ui,j,k+1 − 2ui,j,k + ui,j,k−1) + h3

(x2 + y2 + z2

2

)ui,j,k = λh3ui,j,k

⇒ − 1

2h2ui+1,j,k −

1

2h2ui,j+1,k −

1

2h2ui,j,k+1 +

(3

h2+x2 + y2 + z2

2

)ui,j

− 1

2h2ui−1,j,k −

1

2h2ui,j−1,k −

1

2h2ui,j,k−1 = λui,j,k

i = 1, 2, . . . , n j = 1, 2, . . . , n k = 1, 2, . . . , n

Con lo cual tenemos los coeficientes de la matriz de diferencias finitas, lacual es identica a la obtenida por el metodo de diferencias finitas.

20

5.3. Metodo del Elemento Finito

Ahora desarrollaremos el metodo del elemento finito sobre el problema:(−1

2

d2

dx2+x2

2

)Ψ = EΨ

Integrando con la tecnica de residuos ponderados con una funcion de peso φtenemos que:

−1

2

∫ M

−MΨ′(x)φ(x)dx+

1

2

∫ M

−Mx2Ψ(x)φ(x)dx = λ

∫ M

−MΨ(x)φ(x)dx

Ahora integrando por partes tenemos que:

1

2

∫ M

−MΨ′(x)φ

′(x)dx+

1

2

∫ M

−Mx2Ψ(x)φ(x)dx− φψ

′

|M−M= λ

∫ M

−MΨ(x)φ(x)dx

Ahora usando la interpolacion de elemento finito Ψ(x) =∑N+1j=0 φj(x)ψj

podemos aproximar los valores de Ψ y Ψ′

con lo cual tenemos que:

1

2

N+1∑j=0

(∫ M

−Mφ′

i(x)φ′

j(x)

)ψjdx

1

2

N+1∑j=0

(∫ M

−Mx2φi(x)φj(x)

)ψjdx− φψ

′

|M−M=

λ

N+1∑j=0

(∫ M

−Mx2φi(x)φj(x)

)ψjdx

Ahora considerando un elemento interno tenemos que:

1

2

N+1∑j=0

(∫ xi+1

xi

φ′

i(x)φ′

j(x)

)ψjdx

1

2

N+1∑j=0

(∫ xi+1

xi

x2φi(x)φj(x)

)ψjdx =

λ

N+1∑j=0

(∫ xi+1

xi

x2φi(x)φj(x)

)ψjdx

Para calcular cada entrada he usado cuadratura gaussiana de orden 4.Con lo cual tenemos los coeficientes de la matriz del metodo de elementos

finito. Mi metodo basado en Cholesky para calcular el eigenvalor a fallado, loque he hecho es generar las matrices y con matlab calcular los eigenvalues, acontinuacion el resultado para N = 10 me da que E0 = 2,8646.

Para la version 2D y 3D intentare reparar esto para no depender de matlab.De lo contrario generare archivos que pueda leer matlab y la instruccion corres-pondiente.

21

6. Integracion por Cuadraturas

Nota historica:En las formulas de integracion se considera usualmente que los espaciamien-

tos son iguales, es decir que la variable independiente x esta dividida en in-tervalos equiespaciados. Gauss observo que a falta de exigir la condicion deconocimiento de la funcion f(x) en valores predeterminados, una formula detres terminos requerirıa seis parametros y corresponderıa a una formula de in-tegracion polinomica de grado cinco. Las formulas gaussianas pueden aplicarsecuando la funcion f(x) se conoce explıcitamente si por el contrario, se conocenvalores equiespaciados de la funcion ya que estas han sido evaluadas experimen-talmente, se deben usar las formulas de integracion numerica.

Figura 2: Funcion evaluada en puntos no necesariamente equidistantes.

Integrar por cuadraturas significa que dada f(x) una funcion definida enun intervalo [a, b] vamos a aproximar el valor de la integral de f(x) en [a, b]utilizando la evaluacion de f(x) en ciertos puntos de [a, b]. Es decir, una formulade integracion numerica se puede escribir como∫ b

a

f(x)dx ≈n∑i=0

wif(xi)

donde xi representa los puntos de evaluacion de f(x) y wi el peso de cada puntode evaluacion.

El objetivo de este metodo es aproximar la funcion f(x), por un polinomioPn(x) que sea ortogonal con respecto a una funcion de peso dada, en el intervalode integracion, es decir:

f(x) = Pn(x) +Rn(x)∫ b

a

f(x)dx =

∫ b

a

Pn(x)dx+

∫ b

a

Rn(x)dx ≈n∑i=0

wif(xi)

Donde w(x) son funciones de peso, Pn(x) es el polinomio seleccionado y Rn(x)es el residuo originado por la aproximacion, y los xi son los ceros del polinomio,que se encuentran en el intervalo.

22

Hay varias cuadraturas que tienen que ver con los polinomios que definenlos coeficientes de aproximacion y el intervalo de integracion, dare una lista deejemplos tıpicos con sus respectivas formulas para calcular los pesos y dominiosde integracion.

Cuadratura Intervalo PesoGauss-Legendre [a, b] = [−1, 1] w(z) = 1

Gauss-Chebyshev [a, b] = [−1, 1] w(z) = (1− z2)−12

Gauss-Jacobi [a, b] = [−1, 1] w(z) = (z − 1)a(z + 1)b

Gauss-Laguerre [a, b] = [0,+∞) w(z) = zae−z

Gauss-Hermite [a, b] = (−∞,+∞) w(z) = e−z2

Una formula de integracion numerica se denomina exacta de orden M si,para cualquier polinomio P (x) de grado menor o igual que M la formula esexacta. La formula de cuadratura de Gauss que utiliza n puntos es exacta deorden M = 2n− 1.

6.1. Cuadratura de Gauss

La cuadratura gaussiana es una cuadratura que selecciona los puntos de laevaluacion de manera optima y no en una forma igualmente espaciada, cons-truida para dar el resultado de una polinomio de grado 2n−1 o menos, elegiblespara los puntos xi y los coeficientes wi para i = 1, . . . , n. El dominio de talcuadratura por regla es de intervalo [−1, 1] dada por:∫ 1

−1

f(x) dx ≈n∑i=0

wif(xi)

Tal cuadratura dara resultados precisos solo si f(x) es aproximado por unpolinomio dentro del rango [−1, 1]. Si la funcion puede ser escrita como f(x) =w(x)g(x), donde g(x) es un polinomio aproximado y w(x) es conocido.∫ 1

−1

f(x)dx =

∫ 1

−1

w(x)g(x)dx ≈n∑i=0

wig(xi)

Cuando integramos sobre un intervalo arbitrario [a, b] podemos hacer uncambio de variable para llegar a una integral en el intervalo [−1, 1]∫ b

a

f(x) dx =b− a

2

∫ 1

−1

f

(b− a

2x+

a+ b

2

)dx

usando las cuadraturas a esta expresion llegamos a∫ b

a

f(x) dx ≈ b− a2

n∑i=0

wif

(b− a

2xi +

a+ b

2

)

23

Pesos y puntos de integracion

Veamos como se construye la formula de Cuadratura de Gauss utilizando unsolo punto: ∫ 1

−1

f(x)dx = w0f(x0)

Para calcular w0 y x0 vamos a exigir que la formula se exacta para polinomiosde grado 0 y 1,es decir∫ 1

−1

1dx = 2 = w0f(x0) = w0 · 1⇒ w0 = 2

∫ 1

−1

xdx = 0 = w0f(x0) = 2 · x0 ⇒ x0 = 0

Se denominan polinomios de Legendre Ln(x) a la familia de polinomios dadapor L0(x) = 1, L1(x) = x, y para n = 2, 3, . . .

nLn(x) = (2n− 1)xLn−1(x)− (N − 1)Ln−2(x)

Con ello en mente tenemos el siguiente teorema:Sean xkk=1,...,n los ceros del polinomio de Legendre Ln(x). Si definimos

wk =

∫ 1

−1

∏i 6=k(x− xi)∏i 6=k(xk − xi)

dx

entonces la formula de integracion numerica generada por los puntos xk y wkes exacta hasta el orden 2n− 1 en el intervalo [−1, 1].

Con este teorema ya tenemos una manera completa de hacer integracionnumerica sobre intervalos acotados basada en cuadraturas Gauss-Lengendre.La demostracion de dicho teorema queda pendiente.

Figura 3: Puntos de Gauss dependiendo de la funcion de forma y grado de lafuncion.

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Lista de coeficientes de wi y puntos xi para n = 1, . . . , 5

Numerode puntos Puntos Pesos

n xi wi1 x1 = 0 w1 = 2

2 x1 = −1/√

3 w1 = 1

x2 = 1/√

3 w2 = 13 x1 = −0,77459663 w1 = 0,55555

x2 = 0 w2 = 0,88888x3 = 0,7745966 w3 = 0,55555

4 x1 = −0,861136311 w1 = 0,3478548451x2 = −0,33998104 w2 = 0,6521451549x3 = 0,33998104 w3 = 0,6521451549x4 = 0,861136311 w4 = 0,3478548451

5 x1 = −0,90617984 w1 = 0,23692688509x2 = −0,53846931 w2 = 0,4786286705x3 = 0 w3 = 0,56888888x4 = 0,53846931 w4 = 0,4786286705x5 = 0,90617984 w5 = 0,23692688509

Ejemplo

Aproxime la integral f(x) = x3 + 2x2 de 1 a 5 cuando n = 2 mediante elmetodo de cuadratura de Gauss y despues comparemos con el resultado exacto.∫ 5

1

(x3 + 2x2) dx

∫ 5

1

(x3 + 2x2) dx = 238,66667

n = 22n− 1 = 2(2)− 1 = 3Con n = 2 podemos resolver la integral con exactitud para todos los polino-

mios de grado igual o menor a 3 para f(x)

b− a2

∫ 1

−1

f

(b− a

2x+

a+ b

2

)dx =

5− 1

2

∫ 1

−1

f

(5− 1

2x+

5 + 1

2

)dx = 2

∫ 1

−1

f (2x+ 3) dx

≈ 2

2∑i=1

wif(2xi + 3) = 2(w1f(2x1 + 3) + w2f(2x2 + 3)) = 238,66667

6.2. Hermite

Cuando el intervalo [a, b] es infinito, es decir, a = −∞ o b =∞, hay que em-plear otros metodos para aproximar las integrales. En el caso [a, b] = (−∞,∞),

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se utilizan los ceros de los denominados polinomios de Hermite. En este caso, laformula de integracion numerica aproxima la integral de la siguiente forma:∫ ∞

−∞e−x

2

f(x)dx ≈n∑i=0

wif(xi)

Polinomios de Hermite

Los polinomios de Hermite vienen definidos en toda la recta real. Definimoslos polinomios de Hermite por:

Hn = (−1)net2 dn

dtne−t

2

, n ∈ N.

Resulta que cada Hn es un polinomio de grado n, ademas se tiene que

Hn(−t) = (−1)nHn(t).

Ası los primero 5 polinomios de Hermite son:H0(t) = 1H1(t) = 2tH2(t) = 4t2 − 2H3(t) = 8t3 − 12tH4(t) = 16t4 − 48t2 + 12

Quisieramos poder definir un espacio de funciones con base estos polinomios,para eso necesitamos que sean ortogonales entre si.

Para eso usaremos la funcion de peso ω(t) = e−t2

, con el usual productointerno

〈Hm, Hn〉 =

∫ ∞−∞

Hm(t)Hn(t)ω(t)dt

Asumiendo que n ≥ m tenemos que

〈Hm, Hn〉 = (−1)n∫ ∞−∞

Hm(t)dne−t

2

dtndt

Ahora para poder integrar esta expresion utilizaremos integracion por partes,obteniendo

〈Hm, Hn〉 = (−1)n+12m

∫ ∞−∞

Hm−1(t)dn−1e−t

2

dtn−1dt

Por lo tanto usando induccion sobre m tenemos que:

〈Hm, Hn〉 = (−1)m(−1)n2mm!

∫ ∞−∞

H0(t)dn−me−t

2

dtn−mdt

De aquı si tenemos la desigualdad estricta n > m, entonces

〈Hm, Hn〉 = (−1)m(−1)n2mm!

∫ ∞−∞

H0(t)dn−m−1e−t

2

dtn−m−1dt|∞−∞ = 0

Si n = m

26

〈Hm, Hn〉 = 2mm!

∫ ∞−∞

e−t2

dt = 2mm!√π

Por lo tanto el conjunto Hn forma una base ortogonal del espacio defunciones.

Ademas podemos definir el conjunto de funciones Fn(t) = Hnet2/2√

2nn!√π

, con el

cual se cumple que ∫ ∞−∞

Fn(t)Fm(t)dt = δnm

La relacion de recurrencia nos permite poder crear un funcion recursiva, paraformar los polinomios de hermite.

double hermite(double x, int n)

if(n==0) return 1.0;

if(n==1) return 2*x;

return (2*x*hermite(x, n-1)-2*(n-1)*hermite(x, n-2));

7. Conclusiones

Hoy en dıa contamos con computadoras muy poderosas, que hace anos nisiquiera se podıan imaginar estas computadoras en tan corto tiempo y a pesar deello los metodos para la resolucion de ecuaciones con algoritmos programables yaestaban bastante estudiados, sin embargo aun hoy en dıa hay muchas ecuacionesque no somos capaces de resolver, unicamente confiando con el poder de lacomputadora, es por ello que mencionamos la siguiente lista de hechos:

Para resolver EDP’s se requieren metodos numericos eficientes.

El incremento en poder de computo permite atacar problemas que ante-riormente eran intratables.

Un analisis previo de las EDP’s a resolver contribuyen a elegir adecuada-mente el metodo numerico a utilizar.

Es indispensable comprender el fundamento teorico de los esquemas desolucion numerica.

Aun con el poder de computo disponible, existen problemas fuera de nues-tro alcance. Es necesario estudiar a fondo las EDP’s asociadas para inten-tar obtener buenos resultados.

Necesitamos estudiar mas fondo los problemas para que le sea factible a unacomputadora poder darnos buenas aproximaciones a las soluciones que desea-mos. De lo contrario a pesar del gran poder que tienen actualmente no seransolubles sin el analisis apropiado. Es por ello que debemos hacer un esfuerzopor entender el marco teorico en el que viven los problemas que queremos re-solver ası como de las capacidades reales que tiene la computadora, con el finde obtener soluciones utiles que nos acerquen mas a una mejor comprensionde nuestro entorno.

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Referencias

[Strikwerda2004] J. C. Strikwerda, Finite difference Schemes and Partial Diffe-rential Equations. SIAM. 2004.

[Ciarlet2002] P. G. Ciarlet, The Finite Element Method for Elliptic Problems.SIAM. 2002.

[Samarskii2007] A. A. Samarskii, P. N. Vabishchevich. Numerical Methods forSolving Inverse Problems of Mathematical Physics. Inverse and Ill-PosedSeries. Walter de Gruyter. 2007. Berlin.

[Agbezuge] Finite Element Solution of the Poisson equation with DirichletBoundary Conditions in a rectangular domain

[1] http://es.wikipedia.org/wiki/Oscilador_arm%C3%B3nico

Definicion de Wikipedia 07/12/2012.

[articulo01] FINITE VOLUME DISCRETIZATIONS FOR EIGENVALUEPROBLEMS WITH APPLICATIONS TO ELECTRONIC STRUCTURECALCULATIONS. XIAOYING DAI , XINGAO GONG , ZHANG YANG, DIER ZHANG , AND AIHUI ZHOU, 2011 Society for Industrial andApplied Mathematics,MULTISCALE MODEL. SIMUL,Vol. 9, No. 1, pp.208-240.

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