M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

78
etodos Num´ ericos M.C. Luis Alejandro Benavides V´ azquez Facultad de Ciencias Qu´ ımicas Universidad Aut´ onoma de Nuevo Le´ on [email protected] Verano 2016 M.C. Luis Alejandro Benavides V´ azquez (FCQ-UANL) etodos Num´ ericos Verano 2016 1 / 78

Transcript of M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Page 1: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Metodos Numericos

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez

Facultad de Ciencias QuımicasUniversidad Autonoma de Nuevo Leon

[email protected]

Verano 2016

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 1 / 78

Page 2: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Introduccion

¿Que es un metodo numerico?

Un metodo numerico es un procedimiento mediante el cual se obtiene, casisiempre de manera aproximada, la solucion de ciertos problemas realizandocalculos puramente aritmeticos y logicos (operaciones aritmeticaselementales, calculo de funciones, consulta de una tabla de valores, etc.).

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 2 / 78

Page 3: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Introduccion

¿Que es un procedimiento?

El procedimiento consiste de una lista finita de instrucciones precisas queespecifican una secuencia de operaciones algebraicas y logicas (algoritmo),que producen o bien una aproximacion de la solucion del problema(solucion numerica) o bien un mensaje.La eficiencia en el calculo de dicha aproximacion depende, en parte, de lafacilidad de implementacion del algoritmo y de las caracterısticasespeciales y limitaciones de los instrumentos de calculo (loscomputadores). En general, al emplear estos instrumentos de calculo seintroducen errores llamados de redondeo.

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 3 / 78

Page 4: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Introduccion

Los errores numericos se pueden clasificar como

Errores de truncamiento: resultan del empleo de aproximacionescon calculos exactos.

Errores de redondeo: por utilizar numeros que tienen un lımite decifras significativas.

Error verdadero = Ev = valor verdadero – valor aproximado

Error relativo fraccional verdadero = error verdaderovalor verdadero

El error relativo porcentual verdadero se define como

Er =error verdaderovalor verdadero × 100%

El error aproximado se utiliza cuando no se conoce el valorverdadero. Se define por Ea =

error aprox.valor aprox. × 100%.

El error en los metodos iterativos con las aproximaciones actual y

anterior. Ei =aprox. actual – aprox. anterior

aprox. actual × 100%

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 4 / 78

Page 5: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Introduccion

Contenido

1 Introduccion2 Soluciones de ecuaciones de una variable

Metodos cerradosMetodos abiertos

3 Sistemas de ecuaciones linealesEliminacion GaussianaMetodo de JacobiMetodo de Gauss-Seidel

4 Sistemas de ecuaciones no linealesInteraccion de punto fijo

5 Diferenciacion e integracion numericaDiferenciacion numerica

6 Interpolacion lineal y polinomial7 Regresion lineal y no lineal con mınimos cuadrados8 Solucion de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 5 / 78

Page 6: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Soluciones de ecuaciones de una variable Metodos cerrados

El metodo de biseccion

Se basa en el teorema del valor intermedio, se conoce con el nombre demetodo de biseccion o de busqueda binaria. Supongamos que f es unafuncion continua definida en el intervalo [x1, x2] con f (x1) y f (x2) designos diferentes.Sea p el punto medio de [x1, x2], es decir,

p = a +b − a

2=

a + b

2

Para obtener una solucion f (x) = 0 (raız) dada la funcion f continua en elintervalo [x1, x2], donde f (x1) y f (x2) tienen signos opuestos.

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 6 / 78

Page 7: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Soluciones de ecuaciones de una variable Metodos cerrados

Algoritmo de biseccion

i = 1;f1 = f (x1);mientras i ≤ N0 hacer

xp = (x1 + x2)/2;fp = f (xp);si fp = 0 o (x2 − x1)/2 < TOL entonces

raız = xp;parar;

finsi f1 · fp > 0 entonces

x1 = xp;en otro caso

x2 = xp;fini = i + 1;

finM.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 7 / 78

Page 8: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Soluciones de ecuaciones de una variable Metodos cerrados

Desventajas metodo de biseccion

Al dividir el intervalo de x1 a x2 en mitades iguales, no se toman enconsideracion las magnitudes de f (x1) y f (x2). Por ejemplo, si f (x1) estamucho mas cercana a cero que f (x2), es logico que la raız se encuentremas cerca de x1 que de x2. Un metodo alternativo que aprovecha estavisualizacion grafica consiste en unir f (x1) y f (x2) con una lınea recta.

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 8 / 78

Page 9: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Soluciones de ecuaciones de una variable Metodos cerrados

El metodo de la falsa posicion

El metodo de la falsa posicion (o metodo de regla falsa) utiliza intervalos yesta basado en una idea para aproximarse en forma mas eficiente a la raız.Este metodo aprovecha la idea de unir dos puntos con una lınea recta. Lainterseccion de esta lınea con el eje x proporciona una mejor estimacion dela raız. Reemplaza la curva por una lınea recta da una posicion falsa de laraız. No es un metodo muy recomendado.Una solucion se da cuando f (x) = 0 dada la funcion continua f en elintervalo [x1, x2] donde f (x1) y f (x2) tienen signos opuestos.

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 9 / 78

Page 10: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Soluciones de ecuaciones de una variable Metodos cerrados

Algoritmo de la falsa posicion

i = 1;f1 = f (x1);f2 = f (x2);mientras i ≤ N0 hacer

xr = x2 − f2·(x1−x2)(f1−f2)

;

si |xr − x1| < TOL entoncesraız = xr ;parar;

finfr = f (xr );si fr · f2 > 0 entonces

x2 = xr ;f2 = fr ;

en otro casox1 = xr ;f1 = fr ;

fini = i + 1;

fin

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 10 / 78

Page 11: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Soluciones de ecuaciones de una variable Metodos abiertos

Metodo iteracion de punto fijo (sustituciones sucesivas)

Un punto fijo de una funcion g(x) es un numero α para el cual g(α) = α.Si tenemos una ecuacion de la forma normal f (x) = 0. Para utilizar elmetodo de punto fijo se expresa como x = g(x).Ejemplo: cos(x) − x = 0, ln(x) = 1

x .

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 11 / 78

Page 12: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Soluciones de ecuaciones de una variable Metodos abiertos

Convergencia de la iteracion de un punto fijo

Si una funcion g(x) cumple con los siguientes requisitos:

g(x) es continua con derivada continua.

g(x) esta definida en el intervalo [a, b] para todo x ∈ [a, b].

M1 = maxx∈[a,b] |g ′(x)| < 1.

Entonces:

La ecuacion x = g(x) tiene una solucion unica α en el intervalo [a, b].

La iteracion de un punto fijo xj+1 = g(x) converge a la solucion αpara cualquier valor x0 ∈ (a, b).

La velocidad de convergencia aumenta con la disminucion de |g ′(x)|.

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 12 / 78

Page 13: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Soluciones de ecuaciones de una variable Metodos abiertos

Algoritmo de punto fijo

i = 0;mientras i ≤ N0 hacer

xi = g(x0);si |x − x0| < TOL entonces

raız:x ;parar;

finx0 = x ;i = i + 1;

fin

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 13 / 78

Page 14: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Soluciones de ecuaciones de una variable Metodos abiertos

Metodo de la secante

Para encontrar una solucion para f (x) = 0 dadas las aproximacionesiniciales x0 y x1.

i = 2;q0 = f (x0);q1 = f (x1);mientras i ≤ N0 hacer

x = x1 − q1(x1 − x0)/(x1 − x0);si |x − x1| < TOL entonces

raız: = x ;finx0 = x1;q0 = q1;x1 = x ;q1 = f (x);

fin

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 14 / 78

Page 15: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Soluciones de ecuaciones de una variable Metodos abiertos

El metodo de Newton-Raphson

El metodo de Newton (o metodo de Newton-Raphson) es una de lastecnicas numericas para resolver un problema de busqueda de raıcesf (x) = 0 mas usadas por su rapidez.

xi+1 = xi −f (xi )

f ′(xi )para i ≥ 0.

Para obtener una solucion f (x) = 0 dada la funcion diferenciable f y unaaproximacion inicial x0.Desventajas:Se debe proponer un valor suficientemente cercano a la raız paraconverger. En la vida real resulta un tanto impractico ya que existenfunciones complejas lo que dificultara obtener la derivada. Si existe mas deuna raız no converge ya que f ′(x) = 0, provocando una division entre cero.

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 15 / 78

Page 16: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Soluciones de ecuaciones de una variable Metodos abiertos

Algoritmo de Newton-Rapshon

i = 0;mientras i ≤ N0 hacer

xi+1 = xi − f (xi)/f ′(xi );si |xi+1 − xi | < TOL entonces

raız: xi+1;parar;

fini = i + 1;

fin

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 16 / 78

Page 17: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Soluciones de ecuaciones de una variable Metodos abiertos

El metodo de Newton-Raphson mejorado

La ecuacion cambia para calcular la raız se agrega la segunda derivadaf ′′(x):

xi+1 = xi −f (xi )f ′(xi )

[f ′(xi )]2 − f (xi )f ′′(xi )para i ≥ 0.

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 17 / 78

Page 18: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Soluciones de ecuaciones de una variable Metodos abiertos

Problemas

El balance de masa de un contaminante en un lago bien mezclado seexpresa como:

Vdc

dt= W − Qc − kV

√c

Dados los valores de parametros V = 1× 106 m3, Q = 1× 105 m3/ano yW = 1× 106 g/ano, y k = 0.25 m0.5/ano, use el metodo deNewton-Raphson para resolver la concentracion en estado estable. Empleeel valor inicial de c = 4 g/m3. Realice cinco iteraciones.

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 18 / 78

Page 19: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Soluciones de ecuaciones de una variable Metodos abiertos

Ejemplos

Del problema anterior, la raız puede localizarse con iteracion del punto fijocomo:

c =

(

W − Qc

kV

)2

o bien como

c =W − kV

√c

Q

De las siguientes solo una convergera para valores iniciales de 2 < c < 6.Seleccione la que sea correcta y realice cinco iteraciones.

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 19 / 78

Page 20: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Soluciones de ecuaciones de una variable Metodos abiertos

Ejemplos

Suponga que se esta disenado un tanque esferico de almacenamiento deagua para un poblado pequeno de un paıs en desarrollo. El volumen dellıquido que puede contener se calcula con:

V = πh2[3R − h]

3

donde V = volumen [pie3], h = profundidad del agua en el tanque [pies], yR = radio del tanque [pies].Si R = 3 m, ¿a que profundidad debe llenarse el tanque de modo quecontenga 30 m3? Realice cinco iteraciones del metodo Newton-Rapshonpara determinar la respuesta.

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 20 / 78

Page 21: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales

Ecuacion (E1):

a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . .+ a1nxn = b1

Sistemas de Ecuaciones (forma general):

a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . .+ a1nxn = b1a12x1 + a22x2 + a23x3 + . . .+ a2nxn = b2

...an2x1 + an2x2 + an3x3 + . . .+ annxn = bn

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 21 / 78

Page 22: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de Ecuaciones (matriz):

Ax = b

a11 a12 a13 . . . a1na12 a22 a23 . . . a2n...

......

. . ....

an2 an2 an3 . . . ann

x1x2· · ·xn

=

b1b2· · ·bn

Sistemas de Ecuaciones (matriz aumentada)

a11 a12 a13 . . . a1n b1a12 a22 a23 . . . a2n b2...

......

. . ....

...an2 an2 an3 . . . ann bn

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 22 / 78

Page 23: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Sistemas de ecuaciones lineales

Solucion de ecuaciones lineales

Metodos Directos:

Eliminacion de Gauss o Gauss Jordan.Pivoteo.Sin Pivoteo.Sustitucion hacia atras.

Metodos Iterativos:

Jacobi.

Gauss-Seidel.

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 23 / 78

Page 24: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Sistemas de ecuaciones lineales Eliminacion Gaussiana

Eliminacion de Gaussiana

Un conjunto de n ecuaciones con n incognitas se reduce a un sistematriangular equivalente (iguales valores de la solucion).

a11x1 +a12x1 +a13x1 +a14x1 + . . . +a1n = b1+a122x1 +a123x1 +a124x1 + . . . +a12n = b12

+a233x1 +a234x1 + . . . +a21n = b21...

......

...an−2(n−1)(n−1)xn−1 +an−2

(n−1)n = bn−2n−1

+an−1nn = cn−1

n

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 24 / 78

Page 25: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Sistemas de ecuaciones lineales Eliminacion Gaussiana

Eliminacion de Gaussiana

Eliminacion Gaussiana (sin pivoteo):

a1ij = aij −aikakk

(akj)

donde a1ij es el elemento de la matriz reducida, aij es el elemento de lamatriz original, k es el elemento pivote.

{

k ≤ j ≤ n, donde n = columnas,k + 1 ≤ i ≤ m, donde m = renglones.

Eliminacion gausiana (sustitucion hacia atras):

Variable final: xmamnamm

xi =ain−

∑mj=i+1 aij xjaii

, para i = n− 1, n − 2, . . . , 1.

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 25 / 78

Page 26: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Sistemas de ecuaciones lineales Metodo de Jacobi

Metodo de Jacobi

Ax = b

(D + C )x = b

Dx + Cx = b

xi+1 =b − Cx

D

a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . .+ a1nxn = b1a12x1 + a22x2 + a23x3 + . . .+ a2nxn = b2

...an2x1 + an2x2 + an3x3 + . . .+ annxn = bn

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 26 / 78

Page 27: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Sistemas de ecuaciones lineales Metodo de Jacobi

Algoritmo de Jacobi

1 Despejamos x1 de la primera ecuacion, x2 de la segunda, etc.

x1 =b1 − [a12x2 + . . . + a1nxn]

a11

x2 =b2 − [a21x1 + . . . + a2nxn]

a22

2 Como vector solucion inicial se emplea el vector cero x(0).3 El calculo de x(1) se obtiene reemplazando x(0) en cada una de las

ecuaciones.4 Para calcular x(2) se sustituye x(1) en cada una de las ecuaciones, y

ası sucesivamente, hasta que el error sea menor al deseado.

Criterio de Convergencia:

|aii | >n

j=1,ji

|aij |

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 27 / 78

Page 28: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Sistemas de ecuaciones lineales Metodo de Gauss-Seidel

Gauss-Seidel

Es el metodo iterativo mas utilizado. Dado un conjunto de n ecuacionescon los elementos de la diagonal diferentes de cero, entonces se tiene:

x1 =b1 − a12x2 − a13x3 − . . . − a1nxn

a11,

x2 =b2 − a21x1 − a23x3 − . . . − a2nxn

a22,

x3 =b3 − a31x1 − a32x2 − . . . − a3nxn

a33,

... =...,

xn =cn − an1x1 − an2x2 − . . .− ann−1xn−1

ann.

Nota importante: Este metodo converge si el coeficiente de la diagonalprincipal en valor absoluto es mayor que la suma de los coeficientesrestantes en la ecuacion.

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 28 / 78

Page 29: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Sistemas de ecuaciones lineales Metodo de Gauss-Seidel

Convergencia Gauss-Seidel

ξa,i = |xi ,j − xi ,j−1

xi ,j| · 100% < ξs

Se empieza a solucionar tomando las variables xi con un valor inicial decero. Se sustituyen estos en la ecuacion de x1. Luego el valor calculado x1se sustituye en la ecuacion x2 para encontrar su nuevo valor. Este procesose repite hasta llegar a calcular xn

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 29 / 78

Page 30: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Sistemas de ecuaciones no lineales

Sistemas de ecuaciones no lineales

Sistema de ecuaciones:

f1(x1, x2, . . . , xn) = 0,

f2(x1, x2, . . . , xn) = 0,... ,

fn(x1, x2, . . . , xn) = 0.

Forma matricial:

F (x) = 0,

x = [x1, x2, . . . , xn].

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 30 / 78

Page 31: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Sistemas de ecuaciones no lineales Interaccion de punto fijo

Interaccion de punto fijo

Punto fijo una ecuacion:

f (x) = 0,

xi+1 = g(xi ),

Criterio de Convergencia:

|g ′(x)| < 1.

Punto fijo un sistema de ecuaciones:

f (x) = 0,

xi+1 = g(xi ),

Criterio de Convergencia:

|∂g ′

i (x)

∂(x)j| <

k

ndonde k < 1.

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 31 / 78

Page 32: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Sistemas de ecuaciones no lineales Interaccion de punto fijo

Ejercicios

El siguiente problema presenta un sistemas de ecuaciones generado por uncircuito electrico con una sola fuente de voltaje y cinco resistores.R1 = 450 ohm, R2 = 350 ohm, R3 = 520 ohm, R4 = 100 ohm, R5 = 1000ohm y V1 = 10 V.

V1 + R2(i1 − i2) + R4(i1 − i3) = 0,

R1i2 + R3(i2 − i3) + R2(i2 − i1) = 0,

R3(i3 − i2) + R5i3 + R4(i3 − i1) = 0.

Calcule las corrientes de la malla mediante el Metodo de Gauss-Seidelusando los valores de resistencia y voltaje dados.

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 32 / 78

Page 33: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Diferenciacion e integracion numerica

Diferenciacion e integracion numerica

El objetivo de esta seccion es usar algoritmos de metodos numericos, paracalcular derivadas e integrales de funciones difıciles de evaluaranalıticamente, e incluso, hay algunas en las que “no existe” su integralcomo es el caso de e−x2 y senx

x .

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 33 / 78

Page 34: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Diferenciacion e integracion numerica Diferenciacion numerica

Diferenciacion numerica

La derivacion numerica es una tecnica de analisis numerico para calcularuna aproximacion a la derivada de una funcion en un punto utilizando losvalores y propiedades de la misma.Por definicion la derivada de una funcion f(x) es:

f ′(x) = limh−>0

f (x + h)− f (x)

h.

Las aproximaciones numericas que podamos hacer (para h ¿ 0) seran:Diferencias hacia adelante:

f ′(x0) ≈f (x0 + h)− f (x0)

h.

Diferencias hacia atras:

f ′(x0) ≈f (x0)− f (x0 + h)

h.

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 34 / 78

Page 35: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Diferenciacion e integracion numerica Diferenciacion numerica

La aproximacion de la derivada por este metodo entrega resultadosaceptables con un determinado error. Para minimizar los errores se estimaque el promedio de ambas entrega la mejor aproximacion numerica alproblema dado:Diferencias centrales:

f ′(x0) ≈f (x0 + h)− f (x0 − h)

2h,

f ′′(x0) ≈f (x0 + h)− 2f (x0) + f (x0 − h)

h2.

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 35 / 78

Page 36: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Diferenciacion e integracion numerica Diferenciacion numerica

Metodos de Newton-Cotes

Las formulas de Newton-Cotes son los tipos de integracion numerica mascomunes. Se basan en la estrategia de reemplazar una funcion complicadao datos tabulados por un polinomio de aproximacion que es facil deintegrar:

I =

∫ b

a

f (x)dx ∼=∫ b

a

fn(x)dx

donde fn(x) es un polinomio de la formafn(x) = a0 + a1x + ...+ an−1x

n−1 + anxn, n es el grado del polinomio.

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 36 / 78

Page 37: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Diferenciacion e integracion numerica Diferenciacion numerica

Existen formas cerradas y abiertas de las formulas de Newton-Cotes. Lasformas cerradas son aquellas donde se conocen los datos al inicio y al finalde los lımites de integracion. Las formulas abiertas tienen lımites deintegracion que se extienden mas alla del intervalo de los datos.

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 37 / 78

Page 38: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Diferenciacion e integracion numerica Diferenciacion numerica

La regla del trapecio

La regla del trapecio es la primera de las formulas cerradas de integracionde Newton-Cotes.

I = (b − a)f (a) + f (b)

2

El error de truncamiento de la regla del trapecio es

Et = −(b − a)3

12f ′′

donde f ′′ es el valor promedio de la segunda derivada.

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 38 / 78

Page 39: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Diferenciacion e integracion numerica Diferenciacion numerica

Existen n segmentos del mismo ancho, h = b−an . Si a y b se designan

como x0 y xn, respectivamente, la integral completa se representara como:

I =

∫ x1

x0

f (x)dx +

∫ x2

x1

f (x)dx + ...

∫ xn

xn−1

f (x)dx

Sustituyendo la regla del trapecio en cada integral se obtiene

I = hf (x0) + f (x1)

2+ h

f (x1) + f (x2)

2+ ...+ h

f (xn−1) + f (xn)

2

Agrupando se obtiene

I =h

2[f (x0) + 2

n−1∑

i=1

f (xi ) + f (xn)]

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 39 / 78

Page 40: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Diferenciacion e integracion numerica Diferenciacion numerica

Otra forma de expresar la expresion anterior es

I ∼= (b − a)f (x0) + 2

∑n−1i=1 f (xi) + f (xn)

2n

El error de truncamiento de la regla del trapecio es

Ea =(b − a)3

12n2f ′′

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 40 / 78

Page 41: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Diferenciacion e integracion numerica Diferenciacion numerica

Reglas de Simpson

Otra forma de obtener una estimacion mas exacta de una integral consisteen usar polinomios de grado superior para unir los puntos.Por ejemplo, si hay otro punto a la mitad entre f (a) y f (b), los trespuntos se pueden unir con una parabola. Si hay dos puntos igualmenteespaciados entra f (a) y f (b), los cuatro puntos se pueden unir medianteun polinomio de tercer grado.

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 41 / 78

Page 42: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Diferenciacion e integracion numerica Diferenciacion numerica

Regla de Simpson 1/3

Esta regla consiste en tomar el area bajo una parabola que une dos puntos.

I = (b − a)f (x0) + 4f (x1) + f (x2)

6

I =h

3[f (x0) + 4f (x1) + f (x2)]

donde h = b−a2

Error de truncamiento Et = − (b−a)5

2880 f (4)

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 42 / 78

Page 43: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Diferenciacion e integracion numerica Diferenciacion numerica

La regla de Simpson se mejora al dividir el intervalo de integracion envarios segmentos de un mismo tamano.

I ∼= (b − a)f (x0) + 4

∑n−1i∈impares f (xi ) + 2

∑n−2j∈pares f (xj) + f (xn)

3n

donde n debe ser siempre par, entonces h = b−an .

El error de truncamiento es

Ea = −(b − a)5

180n4f (4)

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 43 / 78

Page 44: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Diferenciacion e integracion numerica Diferenciacion numerica

Regla de Simpson 3/8

Tercera formula de integracion cerrada de Newton-Cotes. Es posibleajustar un polinomio de Lagrange de tercer grado a cuatro puntos eintegrarlo.

I ∼=3h

8[f (x0) + 3f (x1) + 3f (x2) + f (x3)]

donde h = b−a3 .

Se expresa tambien como

I ∼= (b − a)f (x0) + 3f (x1) + 3f (x2) + f (x3)

8

El error de truncamiento es

Et = −(b − a)5

6480f (4)

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 44 / 78

Page 45: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Diferenciacion e integracion numerica Diferenciacion numerica

La regla de Simpson 3/8 se mejora al dividir el intervalo de integracion envarios segmentos de un mismo tamano.

I =3h

8[f (x0) + 3f (x1) + 3f (x2) + 2f (x3) + ...+ 3f (xn−1) + f (xn)]

donde n debe ser impar y siempre multiplicar por 2 los subindices que seanmultiplos de 3 excepto los extremos.

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 45 / 78

Page 46: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Diferenciacion e integracion numerica Diferenciacion numerica

Integracion con segmentos desiguales

Un metodo consiste en aplicar la regla del trapecio a cada segmento ysumar los resultados:

I = h1f (x0) + f (x1)

2+ h2

f (x1) + f (x2)

2+ ...+ hn

f (xn−1) + f (xn)

2

donde hi = el ancho del segmento i .

Nota: Podemos hacer lo mismo con las reglas de Simpson

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 46 / 78

Page 47: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Interpolacion lineal y polinomial

Interpolacion

Con frecuencia se encontrara con que tiene que estimar valores intermediosentre datos definidos por puntos.Los metodos se basan en la suposicion de que en la vecindad del valor x, lafuncion f(x) se puede aproximar a un polinomio P(x) y por lo tanto elvalor encontrado de P(x) sera un calor aproximado al valor verdadero dela funcion.El metodo mas conocido que se usa es la interpolacion polinomial.

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 47 / 78

Page 48: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Interpolacion lineal y polinomial

Interpolacion lineal

Es la forma mas simple consiste en unir dos puntos con una lınea recta.

f1(x) = f (x0) +f (x1)− f (x0)

x1 − x0(x − x0)

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 48 / 78

Page 49: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Interpolacion lineal y polinomial

Interpolacion cuadratica

Si se tienen tres puntos como datos, estos pueden ajustarse en unpolinomio de segundo grado. La forma conveniente para ello es

f2(x) = b0 + b1(x − x0) + b2(x − x0)(x − x1)

donde

b0 = f (x0)

b1 =f (x1)− f (x0)

x1 − x0

b2 =

f (x2)−f (x1)x2−x1

− f (x1)−f (x0)x1−x0

x2 − x0

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 49 / 78

Page 50: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Interpolacion lineal y polinomial

Forma general de los polinomios de interpolacion deNewton

El analisis anterior puede generalizarse para ajustar un polinomio den-esimo grado a n+ 1 datos. El polinomio es

fn(x) = b0 + b1(x − x0) + ...+ bn(x − x0)(x − x1)...(x − xn−1)

donde

b0 = f (x0)

b1 = f [x1, x0]

b2 = f [x2, x1, x0]...

bn = f [xn, xn−1, ..., x1, x0].

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 50 / 78

Page 51: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Interpolacion lineal y polinomial

donde las evaluaciones de la funcion colocadas entre parentesis sondiferencias divididas finitas.La primer diferencia dividida finita se expresa como

f [xi , xj ] =f (xi )− f (xj)

xi − xj

La segunda diferencia dividida finita es

f [xi , xj , xk ] =f [xi , xj ]− f (xj , xk)

xi − xk

La n-esima diferencia dividida finita es

f [xn, xn−1, ..., x1, x0] =f [xn, xn−1, ..., x1]− f (xn−1, xn−2, ..., x0)

xn − x0

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 51 / 78

Page 52: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Interpolacion lineal y polinomial

Interpolacion de Newton para datos igualmente espaciados

h = xi+1 − xi

k =x − x0

h

fn(x) = f (x0)+k∆f

1!+k(k−1)

∆2f

2!+. . .+k(k−1)(k−2) . . . (k−n+1)

∆nf

n!

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 52 / 78

Page 53: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Interpolacion lineal y polinomial

Polinomio de interpolacion de Lagrange

fn(x) = b0(x − x1)(x − x2) . . . (x − xn)

fn(x) =n

i=0

Li (x)f (xi )

Li (x) =∏

j=0,i =j

x − xjxi − xj

Segundo grado:

f2(x) = L0(x)f (x)f (x0) + L1(x)f (x1) + L2(x)f (x2)

L0(x) =x − x1x0 − x1

·x − x2x0 − x2

L1(x) =x − x0x1 − x0

·x − x2x1 − x2

L2(x) =x − x0x2 − x0

·x − x1x2 − x1M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 53 / 78

Page 54: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Regresion lineal y no lineal con mınimos cuadrados

Regresion por mınimos cuadrados

Encontrar un modelo que ajuste los datos tabulados

Media Muestral

x =1

n

n∑

i=1

xi

y =1

n

n∑

i=1

yi

Varianza

s2 =1

1− n

i=1

(xi − x)2

Desviacion estandar

s =

1

1− n

i=1

(xi − x)2

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 54 / 78

Page 55: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Regresion lineal y no lineal con mınimos cuadrados

Regresion lineal

Un ejemplo de aproximacion por mınimos cuadrados es ajustar una lınearecta a un conjunto de observaciones definidas por puntos:(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)).La expresion para la lınea recta es

y = a0 + a1x + e

donde a0 y a1 son coeficientes que representan la interseccion con el eje y

y la pendiente, respectivamente, e es el error o diferencia, entre el modeloy las observaciones.

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 55 / 78

Page 56: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Regresion lineal y no lineal con mınimos cuadrados

La estrategia consiste en minimizar la suma de los cuadrados de losresiduos entre la y medida y la y calculada con el modelo lineal

Sr =n

i=1

e2i =n

i=1

(yi − a0 − a1xi )2

Objetivo: Minimizar el error

∂Sr∂a0

= (−2)∑

(yi − a0 − a1x1) = 0

∂Sr∂a1

= (−2)∑

(yi − a0 − a1x1)x1 = 0

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 56 / 78

Page 57: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Regresion lineal y no lineal con mınimos cuadrados

Si observamos que∑

a0 = na0, expresamos un conjunto de dos ecuacioneslineales simultaneas con dos incognitas, llamadas ecuaciones normales:

na0 + (∑

xi )a1 =∑

yi

(∑

xi )a0 + (∑

x2i )ai =∑

xiyi

Resolviendo en forma simultanea

a1 =n∑

xiyi −∑

xi∑

yi

n∑

x2i − (∑

xi)2

a0 = y − a1x

donde y y x son las medias de x y y , respectivamente.

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 57 / 78

Page 58: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Regresion lineal y no lineal con mınimos cuadrados

Una “desviacion estandar” para la lınea de regresion se determina como

Sy/x =

Srn − 2

donde a Sy/x se le llama error estandar del estimado. Cuantifica ladispersion alrededor de la lınea de regresion.

Sea St la magnitud del error residual asociado con la variable dependienteantes de la regresion (

(yi − y)2), y Sr la suma de los cuadrados de losresiduos alrededor de la lınea de regresion (

(yi − ymod)2).

Coeficiente de determinacion.

r2 =St − Sr

St

r es conocido como el coeficiente de correlacion. En un ajuste perfecto,Sr = 0 y r = r2 = 1, significa que la lınea explica el 100% de lavariabilidad de los datos.

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 58 / 78

Page 59: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Regresion lineal y no lineal con mınimos cuadrados

Regresion No Lineal

Linealizacion: Es la transformacion (utilizando algebra) de los datostabulados de tal forma que sean compatibles con una recta.

Modelo Exponencial

y = aebx ,

ln y = ln a + bx ,

v = ln y ,

u = x ,

a0 = ln a,

a1 = b,

v = a0 + a1u.

Modelo de Saturacion

y =a

b + x,

1

y=

b + x

a=

b

a+

1

ax ,

v =1

y,

u = x ,

a0 =b

a,

a1 =1

a.

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 59 / 78

Page 60: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Regresion lineal y no lineal con mınimos cuadrados

Regresion polinomial

De forma general se puede resolver para un polinomio de m-esimo grado,

y = a0 + a1x + a2x2 + ...+ amx

m + e

en el que se tienen m+1 ecuaciones lineales simultaneas.

a0n + a1∑

x1 + a2∑

x21 + . . .+ am∑

xm1 =∑

yi

a0∑

x1 + a1∑

x21 + a2∑

x31 + . . .+ am∑

xm+11 =

x1yi

...

a0∑

xm1 + a1∑

xm+11 + a2

x21 + . . .+ am∑

x2m1 =∑

xm1 yi

El error estandar se formula como

Sy/x =

Srn− (m + 1)

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 60 / 78

Page 61: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Regresion lineal y no lineal con mınimos cuadrados

Regresion polinomio segundo grado

Ejemplo: Suponga que ajustamos un polinomio de segundo grado

y = a0 + a1x + a2x2 + e

Sr =n

i=1

(yi − a0 − a1xi − a2x2i )

2

Ecuaciones normales

(n)a0 + (∑

xi )a1 + (∑

x2i )a2 =∑

yi ,

(∑

xi)a0 + (∑

x2i )a1 + (∑

x3i )a2 =∑

xiyi ,

(∑

x2i )a0 + (∑

x3i )a1 + (∑

x4i )a2 =∑

x2i yi .

donde todas las sumatorias van desde i = 1 hasta n.

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 61 / 78

Page 62: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Regresion lineal y no lineal con mınimos cuadrados

Regresion lineal multiple

En el caso que de m dimensiones tenemos:

y = a0 + a1x1 + a2x2 + ...+ amxm + e

Ecuaciones

a0n + a1∑

x1 + a2∑

x2 + . . .+ am∑

xm =∑

yi

a0∑

x1 + a1∑

x21 + a2∑

x2 · x1 + . . .+ am∑

xm · x1 =∑

x1yi

...

a0∑

xm + a1∑

x1 · xm + a2∑

x2 · xm + . . .+ am∑

x2m =∑

xmyi

donde el error estandar se formula como

Sy/x =

Srn − (m + 1)

,

y el coeficiente de determinacion se calcula como

S − SM.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 62 / 78

Page 63: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Regresion lineal y no lineal con mınimos cuadrados

Los ingenieros ambientales que estudian los efectos de la lluvia acidadeben determinar el valor del producto ionico del agua kw como funcon dela temperatura . los coeficientes cientıficos sugieren la ecuacion siguientepara modelar dicha relacion

− log10 kw =a

ta+ b log10 Ta + cTa + d (1)

donde Ta es la temperatura absoluta (K), y a, b, c , y d son parametros.emplee los siguientes datos y la regresion:

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 63 / 78

Page 64: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Regresion lineal y no lineal con mınimos cuadrados

Regresion lineal multiple

Es mas sencillo resolver las ecuaciones normales si se expresa en notacionmatricial. El modelo en terminos de las observaciones puede escribirse ennotacion matricial como y = Xβ + ε, donde

El estimador de mınimos cuadrados de β es: β = (XTX )−1XT y

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 64 / 78

Page 65: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Solucion de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales

Ecuaciones diferenciales ordinarias

Se llama ecuacion diferencial aquella ecuacion que contiene una variabledependiente y sus derivadas con respecto a una o mas variablesindependientes.

dy

dx= f (x , y)

A partir de una condicion inicial se calcula la funcion y = f (x) conx = x0 + h. El metodo de un paso de forma general es:

Nuevo valor = valor anterior + pendiente× tamano de paso

yi+1 = yi + φh

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 65 / 78

Page 66: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Solucion de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales

Metodo de Taylor

Serie de Taylor

f (xi+1) = f (xi) + hf ′(xi) +h2

2!f ′′(xi ) + . . .+

hn

n!f (n)(xi)

Truncando en el 2do termino

f (xi+1) = f (xi ) + f ′(xi )h + Error

h = xi+1 − xi

φ = f ′(xi )

yi+1 = yi + φh

Ejemplody

dx= y2 cos(5x) + y sin(x); x = 0; y = 1

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 66 / 78

Page 67: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Solucion de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales

Metodo de Euler

yi+1 = yi + φh

φ = f (xi , yi )

h = xi+1 − xi

Ejemplo: Resolver desde t = 0 hasta t = 0.3 con h = 0.1

dy

dt= y sin3(t); con y(0) = 1.

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 67 / 78

Page 68: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Solucion de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales

Metodo de Euler Modificado

Es un metodo que mejora la aproximacion a la pendiente. Implica elcalculo de dos derivadas del intervalo, en el punto inicial y otra en el puntofinal.Ecuacion predictiva

yi+1 = yi + f (xi , yi )h

Ecuacion correctiva

yi+1 = yi +[f (xi , yi ) + f (xi+1, yi+1)]h

2

Ejemplo: Resolver desde t = 0 hasta t = 0.3 con h = 0.1

dy

dx= y sin3(t); con y(0) = 1.

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 68 / 78

Page 69: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Solucion de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales

Metodo de Runge-Kutta

Logran exactitud del procedimiento de la serie de Taylor sin necesitar delcalculo de la derivada de orden sueprior.

yi+1 = yi + φ(xi , yi , h)h

donde φ(xi , yi , h)h es la funcion de incremento descrita como

φ = a1k1 + a2k2 + . . . + ankn

donde las a son constantes y las k son

k1 = f (xi , yi )

k2 = f (xi + p1h, yi + q11k1h)

k3 = f (xi + p2h, yi + q21k1 + q22k1h)...

kn = f (xi + pn−1h, yi + qn−1,1k1h + qn−1,2k2h + . . . + 1n−1,n−1kn−1h)

donde las p y las q son constantes.M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 69 / 78

Page 70: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Solucion de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales

Metodo de Runge-Kutta

*Segundo orden

yi+1 = yi +h

2(k0 + k1)

donde

k0 = f (xi , yi )

k1 = f (xi + h, yi + hk0)

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 70 / 78

Page 71: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Solucion de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales

*tercer orden

yi+1 = yi +h

6(k1 + 4k2 + k3)

donde

k1 = f (xi , yi )

k2 = f (xi +h

2, yi +

h

2k1)

k3 = f (xi + h, yi − hk1 + 2hk2)

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 71 / 78

Page 72: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Solucion de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales

*cuarto orden

yi+1 = yi +h

6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)

donde

k1 = f (xi , yi )

k2 = f (xi +h

2, yi +

h

2k1)

k3 = f (xi +h

2, yi +

h

2k2)

k4 = f (xi + h, yi + hk3)

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 72 / 78

Page 73: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Solucion de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales

Ejemplos

Resolverdy

dx= −2y + 4e−x ; y(0) = 2,

de x = 0 a x = 1 con h = 0.2 mediante R-K de 4◦ orden.

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 73 / 78

Page 74: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Solucion de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales

Sistemas de ecuaciones diferenciales (1er orden)

dy1dx

= f1(x , y1, y2, . . . , yn)

dy2dx

= f2(x , y1, y2, . . . , yn)

...dyndx

= fn(x , y1, y2, . . . , yn)

Se deben conocer n condiciones iniciales y definir el paso de integracion h.Runge-Kutta 2do Grado

yj ,i+1 = yj ,i + (1

3k1,j +

2

3k2,j)h

k1,j = fj(xi , y1,i , y2,i , . . . , yn,i )

k2,j = fj(xi +3

4h, y1,i +

3

4hk1,1, y2,i +

3

4hk1,2, . . . , yn,i +

3

4hk1,j)

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 74 / 78

Page 75: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Solucion de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales

Un reactor por lotes no isotermico esta descrito por las siguientesecuaciones:

dc

dt= −e

−10T+273 · c

dT

dt= 1000e

−16T+273 · c − 10(T − 20)

Donde c es la concentracion del rectivo y T es la temperatura del reactor,inicialmente esta a 15◦C y tiene c = 1 mol/L de reactante. Encuentre la cy la T como funcion del tiempo.

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 75 / 78

Page 76: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Solucion de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales

Estado de orden superior

d3y

dx3− 3

d2y

dx2− y

dy

dx= 0

y(0) = 0, y ′(0) = 1, y ′′(0) = −1.

z1 = y ; f1 =dz1dx

= z2

d

dx

[

d

dx

(

dz1dx

)]

− 3d

dx

(

dz1dx

)

− z1dz1

dx= 0

d

dx

(

dz2dx

)

− 3dz2dx

− z1z2 = 0; f2 =dz2dx

= z3

dz3dx

− 3z3 − z1z2 = 0; f3 =dz3dx

= 3z3 + z1z2

Condiciones iniciales

z1(0) = 0, z2(0) = 1 z3(0) = −1

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 76 / 78

Page 77: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Solucion de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales

Metodo de diferencias finitas

Es el metodo mas comun para resolver EDO’s con condiciones defrontera.

Se utilizan las diferencias finitas en lugar de las derivadas(discretizacion de la ecuacion diferencial)

Se construye una retıcula (nodos) donde se ubican los puntos de lafuncion de estudio.

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 77 / 78

Page 78: M´etodos Num´ericos - GitHub Pages

Solucion de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales

Ejemplo

8d2y

dx2+ 16

dy

dx− 4y = 20, y(0) = 5, y(20) = 2

Dividir en 10 nodos h = ∆x = 2, h = xn−x02

Diferencias finitas

d2y

dx=

yi+1 − 2yi + yi−1

h2

dy

dx=

yi+1 − yi2h

M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 78 / 78