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INSTITUTO TECNOLGICO DE CELAYADEPARTAMENTO DE POSGRADO DE MECANICA

REPORTECalculo de la deformacin de estructuras mediante el mtodo de elemento finito en Matlab

Alumno Ing. Miguel Angel Corzo Velzquez

Titular M.I. Ral Lesso Arroyo

Celaya, Guanajuato, 24 de febrero de 2012

Mtodo de Elemento Finito con Matlab

DESARROLLO

PROBLEMA 01- ELEMENTOS LINEALESLa pieza solida de seccin irregular, se encuentra bajo las condiciones mostradas en la Fig. 1. De un lado tenemos el lado empotrado y en el otro extremo la fuerza F que desconocemos pero debemos calcular con la nica limitante de no sobrepasar la deformacin de 3 mm. Para la solucin se usara elementos lineales y cuadrticos, y el material de acero y aluminio

Extremo empotrado

FD=19 D=12 D=19 D=10

L=200

L=150

L=200

L=150

Fig. 1 Elemento bajo condiciones de carga (medidas en mm)

El problema cuenta con los siguientes datos para su resolucin: Datos F=F E = 70 Gpa E = 210 Gpa

La primera etapa para la resolucin del problema es la designacin de los nodos que tomaremos para nuestro anlisis.

Mtodo de Elemento Finito con Matlab

1

31 2

43

5

4

2

Fig. 2 Disposicin elegida para los nodos y elementos (circulo celeste)

la siguiente tabla: Elemento 1 2 3 4 Nodo 1 3 4 5 Nodo 3 4 5 2

Tabla 1. Conectividad de elementos

SOLUCION MEDIANTE MATLAB Ya definida la tabla de conectividad de elementos podemos proceder a la solucin del sistema mediante Matlab. Ya que se trata de un elemento con un grado de libertad las subrutinas a utilizar son las siguientes:

%Entrada de datos Analisis de un elemento E=210e9; Acero A1=pi*(.019)^2/4; A2=pi*(.012)^2/4; A3=pi*(.019)^2/4; A4=pi*(.01)^2/4; L1=.2; L2=.15; L3=L1; L4=L2;

Mtodo de Elemento Finito con Matlab

U=.003; %Evaluacion de las matrices locales de los elementos k1= LinearBarElementStiffness(E,A1,L1) k2= LinearBarElementStiffness(E,A2,L2) k3= LinearBarElementStiffness(E,A3,L3) k4= LinearBarElementStiffness(E,A4,L4) %Ensamblar matriz global del rigidez KG=zeros(5,5); KG=LinearBarAssemble(KG,k1,1,3) KG=LinearBarAssemble(KG,k2,3,4) KG=LinearBarAssemble(KG,k3,4,5) KG=LinearBarAssemble(KG,k4,5,2)

%Sustraccion de matrices de rigidez mediante la aplicaciones de la condiciones de %frontera KG1=[KG(3:5,1:2)] KG2=[KG(3:5,3:5)]

%Armar vector de desplazamientos u12=[0;-U]

u1 = u2 = 2 =

Mtodo de Elemento Finito con Matlab

%Obtencion de valores de u3,u4,u5 u345=inv(KG2)*(KG1*u12)

u3 = u4 = u5 = u3 =

UT=[0;U;u345]; FT=KG*UT

Fx1 = Fx2 = Fx3 = Fx4 = Fx5 =

El procedimiento para el aluminio es similar, por lo tanto la fuerza para producir dicha deformacin para los dos materiales es la siguiente:

FAcero FAluminio

= =

135.57 kN 45.19 kN

Mtodo de Elemento Finito con Matlab

PROBLEMA 02- ELEMENTO CUADRTICOLa estructura y el tipo de material es el mismo que el problema anterior con la diferencia que se utilizara elementos cuadrticos para su solucin.

1

2

3

4

1 6

3 7

4

8

5

9

2

Fig. 3 Disposicin elegida para los nodos y elementos (circulo celeste)

Elemento 1 2 3 4

Nodo 1 3 4 5

Nodo 3 4 5 2

Nodo 6 7 8 9

Tabla 2. Conectividad de elementos

SOLUCION MEDIANTE MATLAB Ya definida la tabla de conectividad de elementos, podemos proceder a la solucin del sistema mediante Matlab. Entrada de datos a Matlab %Entrada de datos Analisis de un elemento E=210e9; Acero A1=pi*(.014)^2/4; A2=pi*(.012)^2/4; A3=pi*(.019)^2/4; A4=pi*(.01)^2/4;

Mtodo de Elemento Finito con Matlab

L1=.2 L2=.15 L3=L1 L4=L2 U=.003 %Evaluacion de las matrices locales de los elementos

k1= QuadraticBarElementStiffness(E,A1,L1) k2= QuadraticBarElementStiffness(E,A2,L2) k3= QuadraticBarElementStiffness(E,A3,L3) k4= QuadraticBarElementStiffness(E,A4,L4)

%Ensamblar matriz global del rigidez KG=zeros(9,9); KG=QuadraticBarAssemble(KG,k1,1,3,6) KG=QuadraticBarAssemble(KG,k2,3,4,7) KG=QuadraticBarAssemble(KG,k3,4,5,8) KG=QuadraticBarAssemble(KG,k4,5,2,9)

%Sustraccion de matrices de rigidez mediante la aplicaciones de la condiciones de %frontera KG1=[KG(3:9,1:2)] KG2=[KG(3:9,3:9)]

%Armar vector de desplazamientos u12=[0;-U]

%Obtencion de valores de u u3456789=inv(KG2)*(KG1*u12)

Mtodo de Elemento Finito con Matlab

u3 = u4 = u5 = u6= u7 = u8 = u9=

UT=[0;U;u3456789]; %Obtencion del vector de fuerzas totales

FT=KG*UT

Fx1 = Fx2 = Fx3 = Fx4 = Fx5 = Fx6 = Fx7 = Fx8 = Fx9 =

El procedimiento para el aluminio es similar, por lo tanto la fuerza para producir dicha deformacin para los dos materiales es la siguiente:

FAcero FAluminio

= =

135.57 kN 45.19 kN

Mtodo de Elemento Finito con Matlab

PROBLEMA 03Para la siguiente estructura. Los miembros tiene una seccin transversal de 10 in2 y mdulo de elasticidad de E= 29x106 lb/in2. Determinar la defeccin de cada junta, el esfuerzo en cada miembro y las reacciones en la base.

Fig. 4 Elemento bajo condiciones de carga (medidas en in)

La primera etapa para la resolucin del problema es la designacin de los nodos que tomaremos para nuestro anlisis.

Mtodo de Elemento Finito con Matlab

21 19 20 17

22 1816

15 14 23

25 27 24 26

28

29

13

10

11 9 7

12

6 5

8

3 2 4

1

Fig. 2 Disposicin elegida para los nodos y elementos (circulo celeste)

Elemento 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Longitud 15 15 21.21 15 15 10.31 16 10.31 10

Nodo 1 1 1 2 3 3 4 4 5

Nodo 2 3 4 4 4 5 5 6 6

0 90 45 90 0 75.96 141.34 204.03 0

Mtodo de Elemento Finito con Matlab

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

10 14.14 10 10 14.14 10 10 11.18 11.18 5 11.18 10 10 10 11.18 10 11.18 5 10 11.18

5 5 6 7 8 13 7 7 9 9 9 11 12 8 10 14 8 10 15 10

7 8 8 8 13 14 13 9 10 12 11 12 13 14 14 15 10 15 16 16

90 45 90 0 135 0 90 153.43 26.56 90 153.43 0 0 90 153.43 0 26.56 90 0 26.56

Tabla 3. Conectividad de elementos

SOLUCION MEDIANTE MATLAB Ya definida la tabla de conectividad de elementos podemos proceder a la solucin del sistema mediante Matlab. Ya que se trata de un elemento con un grado de libertad las subrutinas a utilizar son las siguientes: %Dimensiones y material E=29e6;P=1e3; L1=15/12;L2=L1;L3=((15^2+15^2)^.5)/12;L4=L1;L5=L1;L6=((2.5^2+10^2)^.5)/12; L7=16;L8=L6;L9=10/12;L10=L9;L11=(200^.5)/12;L12=L9;L13=L9;L14=L11;L15=L9 L16=L9;L17=(125^.5)/12;L18=L17;L19=5/12;L20=L17;L21=L9;L22=L9;L23=L9; L24=L17;L25=L9;L26=L17;L27=L19;L28=L9;L29=L17; T1=0;T2=90;T3=45;T4=90;T5=0;T6=75.96;T7=141.34;T8=104.04;T9=0;T10=90; T11=45;T12=90;T13=0;T14=135;T15=0;T16=90;T17=153.44;T18=26.56;T19=90; T20=153.44;T21=0;T22=0;T23=90;T24=153.44;T25=0;T26=26.56;T27=90;T28=0; T29=26.56; A=10;

Mtodo de Elemento Finito con Matlab

%Evaluacion de matrices por elemento k1 = PlaneTrussElementStiffness(E,A,L1, T1); k2 = PlaneTrussElementStiffness(E,A,L2, T2); k3 = PlaneTrussElementStiffness(E,A,L3, T3); k4 = PlaneTrussElementStiffness(E,A,L4, T4); k5 = PlaneTrussElementStiffness(E,A,L5, T5); k6 = PlaneTrussElementStiffness(E,A,L6, T6); k7 = PlaneTrussElementStiffness(E,A,L7, T7); k8 = PlaneTrussElementStiffness(E,A,L8, T8); k9 = PlaneTrussElementStiffness(E,A,L9, T9); k10 = PlaneTrussElementStiffness(E,A,L10, T10); k11 = PlaneTrussElementStiffness(E,A,L11, T11); k12 = PlaneTrussElementStiffness(E,A,L12, T12); k13 = PlaneTrussElementStiffness(E,A,L13, T13); k14 = PlaneTrussElementStiffness(E,A,L14, T14); k15 = PlaneTrussElementStiffness(E,A,L15, T15); k16 = PlaneTrussElementStiffness(E,A,L16, T16); k17 = PlaneTrussElementStiffness(E,A,L17, T17); k18 = PlaneTrussElementStiffness(E,A,L18, T18); k19= PlaneTrussElementStiffness(E,A,L19, T19); k20= PlaneTrussElementStiffness(E,A,L20, T20); k21= PlaneTrussElementStiffness(E,A,L21, T21); k22= PlaneTrussElementStiffness(E,A,L22, T22); k23= PlaneTrussElementStiffness(E,A,L23, T23); k24= PlaneTrussElementStiffness(E,A,L24, T24); k25= PlaneTrussElementStiffness(E,A,L25, T25); k26= PlaneTrussElementStiffness(E,A,L26, T26); k27= PlaneTrussElementStiffness(E,A,L27, T27); k28= PlaneTrussElementStiffness(E,A,L28, T28); k29= PlaneTrussElementStiffness(E,A,L29, T29); %Ensamble de la matriz goblal de rigidez K=zeros(32,32); KG = PlaneTrussAssemble(K,k1,1,2); KG = PlaneTrussAssemble(KG,k2,1,3); KG = PlaneTrussAssemble(KG,k3,1,4); KG = PlaneTrussAssemble(KG,k4,2,4); KG = PlaneTrussAssemble(KG,k5,3,4); KG = PlaneTrussAssemble(KG,k6,3,5); KG = PlaneTrussAssemble(KG,k7,4,6); KG = PlaneTrussAssemble(KG,k8,4,6); KG = PlaneTrussAssemble(KG,k9,5,6); KG = PlaneTrussAssemble(KG,k10,5,7); KG = PlaneTrussAssemble(KG,k11,5,8); KG = PlaneTrussAssemble(KG,k12,6,8);

Mtodo de Elemento Finito con Matlab

KG = PlaneTrussAssemble(KG,k13,7,8); KG = PlaneTrussAssemble(KG,k14,8,13); KG = PlaneTrussAssemble(KG,k15,13,14); KG = PlaneTrussAssemble(KG,k16,7,13); KG = PlaneTrussAssemble(KG,k17,7,9); KG = PlaneTrussAssemble(KG,k18,9,10); KG = PlaneTrussAssemble(KG,k19,9,12); KG = PlaneTrussAssemble(KG,k20,9,11); KG = PlaneTrussAssemble(KG,k21,11,12); KG = PlaneTrussAssemble(KG,k22,12,13); KG = PlaneTrussAssemble(KG,k23,8,14); KG = PlaneTrussAssemble(KG,k24,10,14); KG = PlaneTrussAssemble(KG,k25,14,15); KG = PlaneTrussAssemble(KG,k26,8,10); KG = PlaneTrussAssemble(KG,k27,10,15); KG = PlaneTrussAssemble(KG,k28,15,16); KG = PlaneTrussAssemble(KG,k29,10,16) %Sustraer la matriz de desplazamientos

KG1=[KG(1:1,1:1) KG(1:1,5:32);KG(5:32,1:1) KG(5:32,5:32)] %Estableciendo vector de fuer