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UNIVERSIDAD POLITCNICA DE VICTORIA

ALUMNO:ALAN EMMANUEL GUZMN GARZA

CARRERA:ING. MECATRNICA

Asignatura: ESTANCIAS PROFESOR:DR. ROGER MIRANDA COLORADO

FECHA:22/07/11

REPORTE ESTANCIASANLISIS DEL LUGAR GEOMTRICO DE LAS RAICESLa respuesta transitoria de un sistema en lazo cerrado est relacionada con la ubicacin de los polos y ms si el sistema tiene una ganancia variable por tanto es importante conocer como se mueven los polos en lazo cerrado en el plano s conforme vara la ganancia de lazo. W. R. Evans diseo un mtodo para encontrar las races de la ecuacin caracterstica (polos), el nombre a este mtodo es conocido como mtodo del lugar geomtrico de las races, el cual sirve para graficar las races de la ecuacin caracterstica para todos los valores de un parmetro del sistema. Con este mtodo es posible predecir los efectos que tiene en la ubicacin de los polos en lazo cerrado, variar el valor de la ganancia o agregar polos o ceros en lazo abierto. Con el mtodo del lugar geomtrico de las races se busca que los valores de s que hacen que la funcin de transferencia alrededor del lazo sea igual a -1 deben satisfacer la ecuacin caracterstica del sistema. Existen sistemas de control que pueden tener ms de un parmetro que deba ajustarse; para un sistema de dos parmetros el lugar de las races se llama contornos de las races. Mediante el mtodo del lugar geomtrico de las races, es posible determinar el valor de la ganancia de lazo K que formar el factor de amortiguamiento relativo de los polos dominantes en lazo cerrado en la forma sugerida. GRFICA DEL LUGAR GEOMTRICO DE LAS RAICES Condiciones de ngulo y magnitud.

Fig. 1 Sistema de Control

La funcin de transferencia para la Fig.1 en lazo cerrado es:

. (1)

Para obtener la ecuacin caracterstica para este sistema en lazo cerrado se tiene que hacer el denominador del segundo miembro de la ecuacin (1) que sea igual a cero. o . (2)

Dado que es una cantidad compleja la ecuacin (2) se divide en dos ecuaciones igualando los ngulos y magnitudes de ambos miembros, para obtener:

Condicin de ngulo: . (3) Condicin de magnitud: . (4) Los valores de s que cumplen tanto las condiciones de ngulo como las de magnitud son las races de la ecuacin caracterstica, o los polos en lazo cerrado. El lugar geomtrico de las races es una grfica de los puntos del plano complejo que slo satisfacen la condicin de ngulo. Los polos en lazo cerrado que corresponden a un valor especfico de la ganancia se determinan a partir de la condicin de magnitud. En los casos se escribe como contiene un parmetro de ganancia K, y la ecuacin caracterstica

Aqu, los lugares geomtricos de las races para el sistema son los lugares geomtricos de los polos en lazo cerrado conforme la ganancia K vara de cero a infinito. Si se obtiene mediante

en donde

son los polos complejos conjugados, el ngulo de

es

en donde se miden en sentido contrario al de las manecillas del reloj, como se aprecia en la Fig.2 (a) y (b). La magnitud de G(s)H(s) para este sistema es

en donde

y

son magnitudes de las cantidades complejas respectivamente, de acuerdo a la Fig. 2

Fig. 2 (a) y (b) Diagramas que muestran la medicin de ngulos de los polos y los ceros en lazo abierto para el punto de prueba s. Los lugares geomtricos de las races siempre son simtricos al eje real, debido a que los polos complejos conjugados y ceros complejos conjugados en lazo abierto, si existen.

Las partes del eje real que pertenecen al lugar geomtrico son aquellas que se encuentran a la izquierda de un nmero impar de polos y ceros. Considerando que la funcin de transferencia a lazo abierto tiene polos y ceros, y que para los sistemas en donde n > m, se tiene un cierto nmero de ramas que comienzan en los polos pero, debido a que existen ms polos que ceros, dichas ramas se dirigen a ceros en el infinito a lo largo de asntotas.

El nmero de asntotas se expresa en la Ec.5

, se determina como la diferencia entre polos y ceros, tal como

y la ubicacin de su punto de partida como se expresa en la Ec.6

y del ngulo de las mismas

como se expresa en la Ec.7

-1) El punto o los puntos del eje real en el cual las races se despegan del eje y se convierten en races imaginarias se conocen como puntos de ruptura y ocurren cuando hay multiplicidad de races en un tramo, es decir, si dos o ms races se van acercando a medida que aumenta K, llega un punto en donde se encuentran y son iguales. Es all en donde, al seguir aumentando K, dichas races se convierten en races imaginarias y se despegan del eje real. Tomando en consideracin lo anterior se determina que el punto ruptura ocurre cuando se llega a un valor mximo de K despus del cual las races dejan de ser reales. Para obtener analticamente dicho punto se debe reescribir la ecuacin caracterstica despejando el valor de K, tal como se muestra en la Ec.8.

A partir de all es posible obtener el mximo de derivando dicha ecuacin y encontrando el valor de las races, , para las cuales la Ec. 9 sea cero.

=0 (9)

Cabe destacar que no todas las races que son soluciones de dicha ecuacin representan puntos de ruptura, eso se determina partiendo de un anlisis que indique cuales de los tramos del eje real presentan multiplicidad de races.

PASOS PARA LA CONSTRUCCIN DEL LUGAR GEOMTRICO DE LAS RACES Paso 1 Dibujar sobre el Plano s los polos y ceros del lazo abierto. Paso 2 Determinar que parte del eje real pertenece al lugar geomtrico. A partir de la condicin de ngulo se determina que las partes del eje real que pertenecen al lugar geomtrico son aquellas que se encuentran a la izquierda de un nmero impar de polos y ceros. Paso 3 Determinar el nmero de asntotas, , la ubicacin de su punto de partida, , y del ngulo de las mismas, , utilizando las Ec. 5, 6 y 7, respectivamente. Paso 4 Si existe, calcular los puntos de ruptura o despegue del eje real. Paso 5 Dibujar diseo completo del lugar geomtrico de las races. Paso 6 Si existe, calcular el corte con el eje imaginario.

Utilizando el procedimiento anterior se puede obtener, de forma rpida y eficaz, el diseo del lugar geomtrico de las races de la ecuacin caracterstica a lazo cerrado cuando se vara K desde cero a infinito.

El siguiente ejemplo presenta la forma de obtener el lugar geomtrico de las races siguiendo los pasos anteriores. Ejemplo Para un sistema de control como el mostrado en la Fig. 3 es necesario conocer el lugar geomtrico de las races para variaciones de K. Se solicita que realice lo anterior para la siguiente funcin de transferencia a lazo abierto. a)

Fig. 3 Esquema de Retroalimentacin Simple

Solucin Para el caso propuesto se desarrollar el esbozo del lugar geomtrico utilizando el procedimiento anterior, paso a paso, para finalmente presentar tambin el lugar exacto con la ayuda del uso de MATLAB. Paso 1 Dibujar sobre el Plano s los polos y ceros del lazo abierto.

Fig. 4 Polos y ceros en el Plano s.

Paso 2 Determinar que parte del eje real pertenece al lugar geomtrico. A partir de la condicin de ngulo se determina que las partes del eje real que pertenecen al lugar geomtrico son aquellas que se encuentran a la izquierda de un nmero impar de polos y ceros.

Fig. 5 Partes del Eje Real que pertenecen al Lugar Geomtrico de las races (LGR) Paso 3 Determinar el nmero de asntotas, , la ubicacin de su punto de partida, del ngulo de las mismas, , utilizando las Ec. 5, 6 y 7, respectivamente. ,y

Paso 4 Si existe, calcular los puntos de ruptura o despegue del eje real. Como se puede observar en la Fig.5, de las ramas del lugar geomtrico que se encuentran sobre el eje real, solamente aquella que se encuentra entre s = 0 y s = 1 contiene dos races que debern despegarse y dirigirse al infinito a travs de las asntotas, las otras dos ramas estn completas pues comienzan en un polo y terminan en un cero. Es por ello que solamente existir un punto de ruptura y debe encontrarse entre s = 0 y s = 1.

(10)

De todas las races que satisfacen la Ec. 10 solamente la raz

est dentro de los lmites posibles, por tanto ese es el punto de ruptura. Paso 5 Dibujar el diseo completo del lugar geomtrico de las races. Ya quedando determinado cuales de ramas del lugar geomtrico estn completas, pues comienzan en un polo y tienen en sus cercanas un cero en donde terminar. Adems, ya se conoce el punto de ruptura, por lo tanto es posible realizar el diseo del lugar, tal como se muestra en la Fig.6.

Fig. 6 Diseo de Lugar Geomtrico de las races (LGR)

Paso 6 Si existe, calcular el corte con el eje imaginario. Como se puede observar, segn el diseo mostrado en la Fig.6, el lugar geomtrico no cruza hacia el semiplano derecho, por lo tanto no existe corte con el eje imaginario y el sistema a lazo cerrado es estable para todo valor de , lo cual podra ser comprobado utilizando el Criterio de Routh-Hurwitz. Finalmente se presenta en la Fig. 7el lugar geomtrico exacto gracias al uso del MATLAB.

Fig. 7 Lugar Geomtrico Exacto

CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUISTLa operacin bsica al aplicar el criterio de Nyquist es un Mapeo del plano S al plano F(s). Sea el sistema de lazo cerrado que se ve en la Fig. No. 8. La funcin transferencia de lazo cerrado es:

Fig. 8 Sistema en Lazo Cerrado Se tendr estabilidad cuando todas las races de la ecuacin caracterstica

estn en el semiplano izquierdo s. El criterio de estabilidad de Nyquist relaciona la respuesta de frecuencia de lazo abierto a la cantidad de ceros y polos de que hay en el semiplano derecho s. Este criterio debido a H. Nyquist es til en ingeniera de control porque se puede determinar grficamente de las curvas de respuesta de lazo abierto la estabilidad absoluta del sistema de lazo cerrado, sin necesidad de determinar los polos de lazo cerrado. S