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UNIVERSIDAD POLITCNICA DE VICTORIA

ALUMNO:ALAN EMMANUEL GUZMN GARZA

CARRERA:ING. MECATRNICA

Asignatura: ESTANCIAS PROFESOR:DR. ROGER MIRANDA COLORADO

FECHA:22/07/11

REPORTE ESTANCIASANLISIS DEL LUGAR GEOMTRICO DE LAS RAICESLa respuesta transitoria de un sistema en lazo cerrado est relacionada con la ubicacin de los polos y ms si el sistema tiene una ganancia variable por tanto es importante conocer como se mueven los polos en lazo cerrado en el plano s conforme vara la ganancia de lazo. W. R. Evans diseo un mtodo para encontrar las races de la ecuacin caracterstica (polos), el nombre a este mtodo es conocido como mtodo del lugar geomtrico de las races, el cual sirve para graficar las races de la ecuacin caracterstica para todos los valores de un parmetro del sistema. Con este mtodo es posible predecir los efectos que tiene en la ubicacin de los polos en lazo cerrado, variar el valor de la ganancia o agregar polos o ceros en lazo abierto. Con el mtodo del lugar geomtrico de las races se busca que los valores de s que hacen que la funcin de transferencia alrededor del lazo sea igual a -1 deben satisfacer la ecuacin caracterstica del sistema. Existen sistemas de control que pueden tener ms de un parmetro que deba ajustarse; para un sistema de dos parmetros el lugar de las races se llama contornos de las races. Mediante el mtodo del lugar geomtrico de las races, es posible determinar el valor de la ganancia de lazo K que formar el factor de amortiguamiento relativo de los polos dominantes en lazo cerrado en la forma sugerida. GRFICA DEL LUGAR GEOMTRICO DE LAS RAICES Condiciones de ngulo y magnitud.

Fig. 1 Sistema de Control

La funcin de transferencia para la Fig.1 en lazo cerrado es:

. (1)

Para obtener la ecuacin caracterstica para este sistema en lazo cerrado se tiene que hacer el denominador del segundo miembro de la ecuacin (1) que sea igual a cero. o . (2)

Dado que es una cantidad compleja la ecuacin (2) se divide en dos ecuaciones igualando los ngulos y magnitudes de ambos miembros, para obtener:

Condicin de ngulo: . (3) Condicin de magnitud: . (4) Los valores de s que cumplen tanto las condiciones de ngulo como las de magnitud son las races de la ecuacin caracterstica, o los polos en lazo cerrado. El lugar geomtrico de las races es una grfica de los puntos del plano complejo que slo satisfacen la condicin de ngulo. Los polos en lazo cerrado que corresponden a un valor especfico de la ganancia se determinan a partir de la condicin de magnitud. En los casos se escribe como contiene un parmetro de ganancia K, y la ecuacin caracterstica

Aqu, los lugares geomtricos de las races para el sistema son los lugares geomtricos de los polos en lazo cerrado conforme la ganancia K vara de cero a infinito. Si se obtiene mediante

en donde

son los polos complejos conjugados, el ngulo de

es

en donde se miden en sentido contrario al de las manecillas del reloj, como se aprecia en la Fig.2 (a) y (b). La magnitud de G(s)H(s) para este sistema es

en donde

y

son magnitudes de las cantidades complejas respectivamente, de acuerdo a la Fig. 2

Fig. 2 (a) y (b) Diagramas que muestran la medicin de ngulos de los polos y los ceros en lazo abierto para el punto de prueba s. Los lugares geomtricos de las races siempre son simtricos al eje real, debido a que los polos complejos conjugados y ceros complejos conjugados en lazo abierto, si existen.

Las partes del eje real que pertenecen al lugar geomtrico son aquellas que se encuentran a la izquierda de un nmero impar de polos y ceros. Considerando que la funcin de transferencia a lazo abierto tiene polos y ceros, y que para los sistemas en donde n > m, se tiene un cierto nmero de ramas que comienzan en los polos pero, debido a que existen ms polos que ceros, dichas ramas se dirigen a ceros en el infinito a lo largo de asntotas.

El nmero de asntotas se expresa en la Ec.5

, se determina como la diferencia entre polos y ceros, tal como

y la ubicacin de su punto de partida como se expresa en la Ec.6

y del ngulo de las mismas

como se expresa en la Ec.7

-1) El punto o los puntos del eje real en el cual las races se despegan del eje y se convierten en races imaginarias se conocen como puntos de ruptura y ocurren cuando hay multiplicidad de races en un tramo, es decir, si dos o ms races se van acercando a medida que aumenta K, llega un punto en donde se encuentran y son iguales. Es all en donde, al seguir aumentando K, dichas races se convierten en races imaginarias y se despegan del eje real. Tomando en consideracin lo anterior se determina que el punto ruptura ocurre cuando se llega a un valor mximo de K despus del cual las races dejan de ser reales. Para obtener analticamente dicho punto se debe reescribir la ecuacin caracterstica despejando el valor de K, tal como se muestra en la Ec.8.

A partir de all es posible obtener el mximo de derivando dicha ecuacin y encontrando el valor de las races, , para las cuales la Ec. 9 sea cero.

=0 (9)

Cabe destacar que no todas las races que son soluciones de dicha ecuacin representan puntos de ruptura, eso se determina partiendo de un anlisis que indique cuales de los tramos del eje real presentan multiplicidad de races.

PASOS PARA LA CONSTRUCCIN DEL LUGAR GEOMTRICO DE LAS RACES Paso 1 Dibujar sobre el Plano s los polos y ceros del lazo abierto. Paso 2 Determinar que parte del eje real pertenece al lugar geomtrico. A partir de la condicin de ngulo se determina que las partes del eje real que pertenecen al lugar geomtrico son aquellas que se encuentran a la izquierda de un nmero impar de polos y ceros. Paso 3 Determinar el nmero de asntotas, , la ubicacin de su punto de partida, , y del ngulo de las mismas, , utilizando las Ec. 5, 6 y 7, respectivamente. Paso 4 Si existe, calcular los puntos de ruptura o despegue del eje real. Paso 5 Dibujar diseo completo del lugar geomtrico de las races. Paso 6 Si existe, calcular el corte con el eje imaginario.

Utilizando el procedimiento anterior se puede obtener, de forma rpida y eficaz, el diseo del lugar geomtrico de las races de la ecuacin caracterstica a lazo cerrado cuando se vara K desde cero a infinito.

El siguiente ejemplo presenta la forma de obtener el lugar geomtrico de las races siguiendo los pasos anteriores. Ejemplo Para un sistema de control como el mostrado en la Fig. 3 es necesario conocer el lugar geomtrico de las races para variaciones de K. Se solicita que realice lo anterior para la siguiente funcin de transferencia a lazo abierto. a)

Fig. 3 Esquema de Retroalimentacin Simple

Solucin Para el caso propuesto se desarrollar el esbozo del lugar geomtrico utilizando el procedimiento anterior, paso a paso, para finalmente presentar tambin el lugar exacto con la ayuda del uso de MATLAB. Paso 1 Dibujar sobre el Plano s los polos y ceros del lazo abierto.

Fig. 4 Polos y ceros en el Plano s.

Paso 2 Determinar que parte del eje real pertenece al lugar geomtrico. A partir de la condicin de ngulo se determina que las partes del eje real que pertenecen al lugar geomtrico son aquellas que se encuentran a la izquierda de un nmero impar de polos y ceros.

Fig. 5 Partes del Eje Real que pertenecen al Lugar Geomtrico de las races (LGR) Paso 3 Determinar el nmero de asntotas, , la ubicacin de su punto de partida, del ngulo de las mismas, , utilizando las Ec. 5, 6 y 7, respectivamente. ,y

Paso 4 Si existe, calcular los puntos de ruptura o despegue del eje real. Como se puede observar en la Fig.5, de las ramas del lugar geomtrico que se encuentran sobre el eje real, solamente aquella que se encuentra entre s = 0 y s = 1 contiene dos races que debern despegarse y dirigirse al infinito a travs de las asntotas, las otras dos ramas estn completas pues comienzan en un polo y terminan en un cero. Es por ello que solamente existir un punto de ruptura y debe encontrarse entre s = 0 y s = 1.

(10)

De todas las races que satisfacen la Ec. 10 solamente la raz

est dentro de los lmites posibles, por tanto ese es el punto de ruptura. Paso 5 Dibujar el diseo completo del lugar geomtrico de las races. Ya quedando determinado cuales de ramas del lugar geomtrico estn completas, pues comienzan en un polo y tienen en sus cercanas un cero en donde terminar. Adems, ya se conoce el punto de ruptura, por lo tanto es posible realizar el diseo del lugar, tal como se muestra en la Fig.6.

Fig. 6 Diseo de Lugar Geomtrico de las races (LGR)

Paso 6 Si existe, calcular el corte con el eje imaginario. Como se puede observar, segn el diseo mostrado en la Fig.6, el lugar geomtrico no cruza hacia el semiplano derecho, por lo tanto no existe corte con el eje imaginario y el sistema a lazo cerrado es estable para todo valor de , lo cual podra ser comprobado utilizando el Criterio de Routh-Hurwitz. Finalmente se presenta en la Fig. 7el lugar geomtrico exacto gracias al uso del MATLAB.

Fig. 7 Lugar Geomtrico Exacto

CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUISTLa operacin bsica al aplicar el criterio de Nyquist es un Mapeo del plano S al plano F(s). Sea el sistema de lazo cerrado que se ve en la Fig. No. 8. La funcin transferencia de lazo cerrado es:

Fig. 8 Sistema en Lazo Cerrado Se tendr estabilidad cuando todas las races de la ecuacin caracterstica

estn en el semiplano izquierdo s. El criterio de estabilidad de Nyquist relaciona la respuesta de frecuencia de lazo abierto a la cantidad de ceros y polos de que hay en el semiplano derecho s. Este criterio debido a H. Nyquist es til en ingeniera de control porque se puede determinar grficamente de las curvas de respuesta de lazo abierto la estabilidad absoluta del sistema de lazo cerrado, sin necesidad de determinar los polos de lazo cerrado. Se pueden utilizar para el anlisis de estabilidad las curvas de respuesta de frecuencia de lazo abierto obtenida analticamente o experimentalmente. Esto es muy conveniente porque al disear un sistema de control frecuentemente sucede que para algunos componentes no se conoce la expresin matemtica y solo se dispone de datos de su caracterstica de respuesta de frecuencia. Se supone que la funcin transferencia de lazo abierto es representable como una relacin de polinomios en s. Para un sistema fsicamente realizable, el grado del polinomio denominador de la funcin transferencia de lazo cerrado, debe ser mayor o igual al del polinomio numerador. Esto significa que el lmite de es cero o una constante para cualquier sistema fsicamente construible, al tender s hacia infinito.

La ecuacin caracterstica del sistema que se ve en la Fig. No.8 es

En un camino cerrado continuo dado en el plano s que no pasa por ningn punto singular, corresponde una curva cerrada en el plano F(s). La cantidad y sentido de lazos o rodeos alrededor del origen en el plano F(s) por una curva cerrada, representa una funcin importante en lo que sigue, pues ms adelante se ha de relacionar la cantidad y sentido de lazos o rodeos con la estabilidad del sistema.

Sea, por ejemplo, la siguiente funcin transferencia de lazo abierto:

La ecuacin caracterstica es

La funcin F(s) es analtica en cualquier parte del plano s, excepto en sus puntos singulares. A cada punto de anlisis en el plano s, corresponde un punto en el plano F(s). Ejemplo, Si , entonces F(s) es:

Entonces el punto plano F(s).

en el plano s se transforma en el punto

en el

As, para un trayecto cerrado continuo dado en el plano s, que no atraviesa ningn punto singular, corresponde una curva cerrada en el plano F(s). La Fig.9 (a) muestra representaciones conformes de las lneas y de las lneas en el semiplano superior s, al plano F(s). Por ejemplo, la lnea en el semiplano superior se transforma en la curva indicada por en el plano F(s). La Fig. 9(b) muestra representaciones conformes de las lneas y las lneas en el semiplano inferior s al plano F(s). Se hace notar que para un valor dado de la curva para frecuencias negativas es simtrica respecto al eje real con la curva para frecuencias positivas con referencia a las Figuras 9 (a) y (b) se ve que para el trayecto ABCD en el plano s recorrido en el sentido horario, la curva correspondiente en el plano F(s) es A'B'C'D'. Las flechas en las curvas indican los sentidos de recorrido. En forma similar, el recorrido DEFA en el plano s, se transforma en la curva D'E'F'A' en el plano F(s). Debido a la propiedad de la transformacin conforme, los ngulos correspondientes en el plano s y en el plano F(s) son iguales y tienen el mismo sentido. (Por ejemplo, como las lneas, AB y BC se cortan entre s en ngulos rectos en el plano, tambin se cortan en ngulos rectos en el punta B' las curvas A'B' y B'C' en el plano F (s.)) Con referencia a la Fig. 9 (c), se ve que en el contorno cerrado ABCDEFA en el plano s, la variable s comienza en el punto A y toma a lo largo de su camino valores en sentido horario hasta retornar al punto de partida A. La curva correspondiente en el plano F(s) queda indicada por A'B'C'D'E'F'A'. Si se define el rea a la derecha del contorno como su interior, cuando el punto representativo s, se desplaza en la direccin horaria, como contenido en el contorno y al rea a la izquierda como exterior, el rea sombreada en la Fig.9 (c) est encerrada por el contorno ABCDEFA y est dentro de l. La Fig. 9 (c) se puede ver que cuando el contorno en el plano s, incluye dos polos de F(s), el lugar de F(S) incluye el origen del plano F(s) dos veces en la direccin antihorario. La cantidad de encierros del origen en el plano F(s) depende del contorno cerrado en el plano s. Si este contorno incluye dos ceros y dos polos de F(s), el lugar geomtrico F(s)

no incluye el origen, como puede verse en la Fig. 9 (d). Si este contorno contiene solamente un cero, el lugar geomtrico correspondiente de F(s) engloba el origen una vez en la direccin de las manecillas del reloj. Fig.9 (e) muestra est detalle. Por ltimo, si el contorno cerrado en el plano s no incluye ni ceros ni polos, entonces el lugar de F(s) no incluye el origen del plano F(s). Tambin se puede ver esto en la Fig.9 (e).

Fig.9 Mapeos conformes de las retculas en el plano s dentro del plano F(s).

Se hace notar que para cada punto en el plano s, excepto para los puntos singulares, hay slo un punto correspondiente en el plano F(s); es decir, el mapeo del plano s dentro del p plano F(s) es uno a uno. Sin embargo, el mapeo del plano F(s) en el plano s, puede no sea uno a uno, de manera que para un punto dado en el plano F(s), puede corresponder ms de un punto en el plano s. Por ejemplo, el punto B' en el plano F(s) en la Fig. 9 (b), corresponde tanto al punto (- 3, 3) como al punto (0, - 3) en el plano s. Del anlisis precedente, se puede ver que el sentido en el que se rodea el origen en el plano F(s) depende de si el contorno en el plano s incluye un polo o un cero. Se hace notar que la ubicacin de un polo o cero en el plano s, sea en la mitad derecha o izquierda del plano s, no produce ninguna diferencia, pero si la produce el rodeo de un polo o un cero. Si el contorno del plano s incluye k ceros y k polos es decir igual cantidad de cada uno, la correspondiente curva cerrada en el plano F(s) no encierra el origen del plano F(s). La discusin precedente es una explicacin grfica del teorema de representacin, que es la base del criterio de estabilidad de Nyquist.

Criterio de estabilidad de Nyquist Se puede resumir el siguiente criterio de estabilidad de Nyquist, basado en el anlisis previo, analizando los rodeos del punto - 1 + j0 por el lugar de estabilidad de Nyquist [para un caso especial en que lazo tiene k polos en el semiplano s positivo y Criterio de no tiene ni polos ni ceros

sobre el eje j]: en el sistema que se presenta en la Fig. 1, si la funcin transferencia de

para que el lugar tenga estabilidad, a variar desde - a , debe rodearse k veces el punto - 1 + j0 en sentido antihorario.

Observaciones sobre el criterio de estabilidad de Nyquist 1. Se puede expresar este criterio como Z=N+P Donde cantidad de ceros de en el semiplano derecho de s cantidad de circunscripciones del punto - 1 + j0 en sentido horario cantidad de polos de en el semiplano derecho de s Si no es cero, para un sistema de control estable se debe tener significa que hay que tener encierros antihorarios del punto ,o . lo que

Si

no tiene polos en el semiplano derecho de s,

.

Fig.10 Regin encerrada por un diagrama de Nyquist Por tanto, para que haya estabilidad, no debe haber encierros del punto por el lugar de En este caso no es necesario considerar el lugar en todo el eje , pues basta la porcin de frecuencia positiva. Se puede determinar la estabilidad del sistema viendo si el punto esta rodeado por el diagrama de Nyquist de En la Fig. 10, se ve la regin incluida en el diagrama de Nyquist. Para tener estabilidad, el punto - 1 + j0 debe quedar fuera de la zona sombreada. 2. Hay que ser muy cuidadoso al verificar la estabilidad de sistemas de lazo mltiple pues pueden incluir polos en el semiplano s derecho. (Se hace notar que si bien un lazo interior puede ser inestable, se puede hacer estable todo el sistema de lazo cerrado con un diseo adecuado.) No basta con la simple inspeccin de los encierros del punto - 1 + j0 por el lugar de para detectar inestabilidad en sistemas de lazo mltiple. Sin embargo, en esos casos se puede determinar fcilmente si hay o no algn polo en el semiplano derecho de s, aplicando el criterio de estabilidad de Routh al denominador de Si se incluyen en funciones trascendentes, tales como el retardo de trasporte , debe aproximarse mediante una expansin en serie antes de aplicar el criterio de estabilidad de Routh. Una forma de expansin en serie de puede ser:

Como primera aproximacin, slo tomamos los primeros dos trminos del numerador y el denominador, o bien

Esto da una buena aproximacin al retardo de transporte para el rango de frecuencias [Se hace notar que el valor de es siempre la unidad y que el retardo de fase de se aproxima mucho al retardo de transporte dentro del rango de frecuencias indicado.] 3. Si el lugar de pasa por el punto , hay ceros de la ecuacin caracterstica o polos de lazo cerrado sobre el eje . Esto no es conveniente en sistemas de control prcticos. En un sistema de lazo cerrado bien diseado ninguna de las races de la ecuacin caracterstica debe estar sobre el eje .

Bibliografas - Ingeniera de Control Moderna, Autor: Katsuhiko Ogata, 3ra Edicin, Editorial: Pearson. - Pagina Web: http://prof.usb.ve/montbrun/LGR.pdf