Repaso Diferencias Finitas

8/19/2019 Repaso Diferencias Finitas

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INTRODUCCIÓN A DIFERENCIAS FINITAS

Andrés BotallaDiego Cortez

Mauro Cañibano

INTRODUCCIÓN

El objetivo de este trabajo es desarrollar didácticamente las características ypropiedades de las diferencias finitas, que constituyen una herramienta

fundamental para la resolución de otros tipos de problemas, ya sea en el ámbitoeconómico o actuarial, por ejemplo, en sumación, interpolación, resoluciónnumérica de ecuaciones diferenciales, entre otros. Acerca de este último, se haceuna presentación al final.

1. DIFERENCIA DESCENDENTE

1.1 Definición

La diferencia descendente se define como D y aplicada a una función, f(x),provoca:

)()()( x f h x f x f -+=D

Ésa es la diferencia descendente de primer orden de f(x). La diferenciadescendente de segundo orden se define como:

[ ] [ ] )()(2)2()()()()(2

x f h x f h x f x f h x f x f x f ++-+=-+D=DD=D

Y la diferencia descendente de orden n:

)()( 1

x f x f nn -DD=D

A continuación se muestran en una tabla las sucesivas diferencias de unafunción para cada uno de sus argumentos:



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Gráfico 1

Hay n+1 argumentos. En este caso n+1=5.Entonces habrán n diferenciasdescendentes, en este caso 4. El primer argumento es el que tiene n diferencias,es decir, se puede calcular su diferencia enésima, en este caso la diferenciacuarta.Se observa que se llama diferencia descendente porque las sucesivasdiferencias de los argumentos de una función se encuentran en la diagonaldescendente de la tabla.

1.2 Propiedades del operador D

1) Exponentes )()( x f x f q pq p DD=D +

2) Conmutativa )()( x f x f pqq p DD=DD

3) Asociativa )()()()()( x f x f x f r q pr q pr q p DDD=DDD=DDD

4) Diferencia de una constante 0=Dk Ya que

Cuando se aplica la definición de diferencias no hay variable independiente adesplazar en h, por ende sólo queda k. Y cuando se resta f(x), es decir k, sucedeque el resultado de la operación es cero.

5) Distributiva respecto de la suma de funciones ponderadas por constantes:

Sea

donde las as son constantes (1,2,..,p)

0=-=D k k k

å=

=+++=

p

s

s s p p x f a x f a x f a x f a x f 1

2211 )()(...)()()(



13

[ ] )()()()()()()()()()( x f h x g x f x g x g h x f x g x f x g x f D++D=D++D=D

[ ] )()()()()()( x g x f h x g h x f x g x f -++=D

åå==

D=D=D

n

s

sn

s

n

s

s snn x f a x f a x f

11

)()()( para n=1,2,3…

La demostración se hace por inducción matemática completa, que consiste encomprobar que cierta propiedad vale para el primer elemento de un conjuntoordenado de infinitos elementos, por hipótesis inductiva se supone que vale para elelemento n-1, y se prueba que necesariamente vale para el elemento n. Entoncesvale para todo elemento del conjunto.

Se prueba que vale para n=1

Aplicando definición de diferencias:

Por hipótesis inductiva, se supone que vale para cuando n= n-1

åå=

-

=

-- D=D=D

n

s

sn

s

n

s

s snn

x f a x f a x f

1

1

1

11)()()(

Se prueba que vale para n=n

6) Diferencia de primer orden de un producto de funciones

Aplicando la definición de diferencias

como

)()()(

)()()(

x g x g h x g

x f x f h x f

+D=+

+D=+

D

D

[ ] ååååå=====

D=-+=-+=D=D

n

s

s s

n

s

s

n

s

s s

n

s

s s

n

s

s s x f a x f h x f a x f ah x f a x f a x f

11111

)()()()()()()(

[ ] ååå å

ååå

==

-

= =

--

=

-

=

-

=

D=-+D=D-+D=

=úúú

û

ù

êêê

ë

é

DD=úúú

û

ù

êêê

ë

é

DD=D=D

n

s

sn

s

n

s

s sn

s

n

s

n

s

sn

s sn

s

n

s

sn s

n

s

s sn

n

s

s snn

x f a x f h x f a x f ah x f a

x f a x f a x f a x f

11

1

1 1

11

1

1

1

1

1

)()()()()(

)()()()(



14

)()(

)()()()(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

x g h x g

h x g x f x g h x f

x g

x f

h x g

h x f

x g

x f

+

+-+=-

+

+=ú

û

ùêë

éD

[ ] [ ])()()()()()()()()()()()()( x f x f x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f D+D+D=DD+D+D=D

[ ] [ ])()(

)()()()(

)()(

)()()()()()(

)(

)(

h x g x g

x g x f x g x f

x g h x g

x g x g x f x g x f x f

x g

x f

+

D+D=

+

+D-+D=ú

û

ùêë

éD

reemplazando

[ ] [ ][ ] )()()()()()()()( x g x f x g x g x f x f x g x f -+D+D=D

despejando y sacando factor común

7) Diferencia de primer orden de un cociente de funciones:

)()(

)()()()(

)(

)(

h x g x g

x g x f x g x f

x g

x f

+

D+D

=úû

ù

êë

é

D

Aplicando al definición de diferencias y obteniendo común denominador

como

)()()(

)()()(

x g x g h x g

x f x f h x f

+D=+

+D=+

reemplazando sólo en el numerador y operando

El operador D es la contraparte en tiempo discreto de dt d

.1.3 Operador desplazamiento o de Boole

También conocido como operación traslación, lag, backward o forward según elexponente que presente. Aplicado a f(x) produce la siguiente transformación:

)()( h x f x Ef +=

[ ] [ ] )2()()()(2 h x f h x f E x Ef E x f E +=+==

)()( 1 x f E E x f E nn -=



15

å=

=+++= p

s

s s p p x f a x f a x f a x f a x f 1

2211 )()(...)()()(

Algunas de sus propiedades son:

Exponentes: )()( x f E E x f E q pq p =+

Conmutativa: )()( x f E E x f E E pqq p =

Asociativa:)()()( x f E E E x f E E E x f E E E r q pr q pr q p ==

Distributiva respecto de una suma de funciones ponderadas por constantes:

donde las as son constantes (1,2,..,p)

ååå===

=+==

p

s

sn

s

p

s

s s

p

s

s snn

x f E anh x f a x f a E x f E

111

)()()()(

Por definición del operador desplazamiento

åå==

==

p

s

sn

s

p

s

s snn

x f E a x f a E x f E

11

)()()(

1.4 Diferencia de operaciones y funciones especiales

1.4.1 Diferencia de un producto de funciones

Sea una función (!) = "(!).#(!) aplicando el operador diferencia y ladefinición:

$(!) = "(! + %). #(! + %) & "(!). #(!)

Sabiendo que

$"(!) = "(! + %) & "(!), entonces "(! + %) = $"(!) + "(!)

se reemplaza en la función anterior "(! + %) y #(! + %):

$(!) = '*$"(!) + "(!),.($#(!) + #(!))- & "(!).#(!) distribuyendo:

$(!) = $"(!). $#(!) + $"(!). #(!) + "(!). $#(!) + "(!). #(!) & "(!).#(!)



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sacando factor común !("), aunque se puede también hacer alternativamentecon !("):

#(") = $(").(!(") + !(")) + $("). !(")

!(" + %)

La expresión definitiva es :#(") = $("). ! ("+%)+$("). !(")

1.4.2 Diferencia de un cociente de funciones

Sea una función #(") = &(')*(')

, aplicando el operador diferencia y la definición:

#(") = $(" + %)!("+%) , $(")!(")

sacando denominador común:

#(") = $(" + %). !(") , $(").!("+%)

!(").!("+%)

realizando la misma sustitución de $(" + %) y !("+%) que se hizo con elproducto:

#(") =-$(") + $(")/. !(") , $(").(!(") + !("))

!(").!("+%)

distribuyendo:

#(") = $("). !(") + $("). !(") , $("). !(") , $(").!(")!(").!("+%)

La expresión definitiva es:

#(") =$("). !(") , $("). !(")

!(").!("+%)

1.4.3

Diferencia de una función exponencial

Sea una función $(") = 0'. Entonces la diferencia de primer orden será:

0' = 0'12 , 0' = 0'. 02 , 0' = (02 , 3). 0'

La diferencia de segundo orden:

40' = (0') = [0'. (02 , 3)]

sacando fuera del operador(02 , 3) por ser una constante:

40' = (02 , 3). 0' = (02 , 3). (02 , 3). 0' = (02 , 3)4. 0'



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Ahora pasamos a obtener la diferencia enésima mediante el principio deinducción matemática completa, ya probamos que sirve para n=1 y n=2 entoncesplanteamos como hipótesis inductiva que se cumple para n-1 y tratamos deverificarlo para n:

Hip) !"#$% = ($& ' 1)!"#$% Entonces: !$% =(!"#$%)

reemplazando por la hipótesis inductiva:

!$% = [($& ' 1)!"#$%] sacando la constante fuera del operador y aplicando la definición:!$% = ($& ' 1)!"#$% = ($& ' 1)!"#. ($& ' 1). $%

y así queda demostrado que:

!$% = ($& ' 1)!. $% 1.4.4

Diferencia de una función logarítmica

Sea una función *(+) =log(-(+)) aplicando el operador diferencia y ladefinición:

*(+) =log(-(+ / 0))'log(-(+)) aplicando la propiedad de resta de logaritmos (log($) 'log(2) =log(34):

*(+) =log( -(+ / 0) -(+) ) sustituyendo -(+ / 0) por la expresión equivalente -(+) /-(+):

*(+) =log5-(+) / -(+) -(+) 6= l og5-(+) -(+) / -(+)

-(+)6

se llega así a la expresión definitiva:

*(+) =log5-(+) -(+) / 16

1.4.5 Diferencia de un polinomio

Sea una función

-(+)=

7$8

. +8!89: , polinomio genérico de grado p , aplicando

el operador diferencia y la propiedad de la diferencia de la suma ponderada porconstantes:

-(+) = ; $8. +8!

89:= ;$8. +8

!

89:



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Se aplica la definición sobre la parte que quedó afectada por el operador:

!" = (! + #)" $ !" Utilizando la fórmula del binomio de Newton para reexpresar el primer término

y separando el primer sumando de la suma:

!" = %&'*, - !"./ 0 #/"/12 3 $ !" = !" + %&'*,- !"./ 0 #/

"/14 3 $ !"

reemplazando en la expresión original:

5(!) = &6"07"12 %&'*, - !"./ 0 #/"

/14 3 Se puede observar que esta expresión es otro polinomio, cuyo mayor

exponente de !, es decir el grado del polinomio, es * $ 8.Con esto se concluye que la diferencia de un polinomio de grado n, es un

polinomio de grado n-1, pero la expresión final no resulta muy intuitiva nimanejable, debido a que hay dos sumas, el uso del binomio de Newton y losnúmeros combinatorios. Es por eso que se intenta expresar a los polinomios deuna manera distinta para facilitar los cálculos, como se verá a continuación.

1.5 Funciones factoriales

Como vimos, la diferencia de funciones polinómicas son complicadas de hallar,pero estas pueden ser transformadas en funciones factoriales, cuyas diferenciasson mucho más simples de calcular.

Las funciones factoriales son productorios, que pueden ser de manera descendenteo ascendentes.

Las formas más simples de estas expresiones vienen dadas cuando u(x) = x y sedesarrollan de la siguiente manera:Factorial descendente [u(x)=x]:

(!) = !"

#$ = ! % (! & ') % (! &2') % … % (! &*' + ')

Factorial ascendente [u(x)= x]:

,(!) = !

"

$ = ! % (! + ') % (! +2') % … % (! +*' & ') Donde n indica la cantidad de factores del producto, y h o –h el incremento o

decremento de x.



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A partir de aquí se introduce una nueva notación que cumple la misma funciónque los paréntesis, corchetes y llaves, que consiste en agregar una barra arriba dela expresión en lugar de usar los paréntesis. Por ejemplo ! 1" , en vez de (n – 1).Entonces se pueden re-expresar las definiciones de la siguiente forma:

#($) = $%

&' = $ * ($ ! +) * ($ !2+) * … (! " # " 1$ %) (1)

'(!) = !*

+ = ! (! , %) (!,2%) … (! , # " 1$ %) (2)

Ahora si en (1) y (2) se invierte el orden de los factores, aplicando las definicionesdadas se deduce que:

!*

+ = (! " # " 1$ %)*

-+ respectivamente

y en particular, para n=1

!.

+ = !.

-+ = !

Para el caso de la función factorial descendente con h=1, se utiliza la siguientenotación: !

*

-. = !(/) = ! (! " 1) (! " 2) … (! " # , 1)

y en particular, si x = n #*

-. = #(/) = # (# " 1) (# " 2) … 1 = # 0

1.6 Diferencias de funciones factoriales

En las diferencias de esta sección, se consideran funciones en x con

3 != %

1.6.1 Factorial descendente

La primera diferencia para !4

-+ , para s=1;2;3…. es por definición:

3!4

-+=(! , %)4

-+ " !4

-+

Como(! , %)

4

-+ = (! , %) ! (! " %) … (! " 5 " 6$ %) (! " 5 " 2$ %) =

(! , %) !4-.

-+ y

!4

-+ = ! (! " %) … (! " 5 " 6$ %) (! " 5 " 2$ %) (! " 5 " 1$ %)

= !4-.

-+ (! " 5 " 1$ %)

lo subrayado se toma como factor común.



20

Entonces:

!"

#$ = !"#%#$ & [(! + ') & (! * , * 1- ')] = !

"#%#$ & [,']

. /#0 = /0.

/#2#0

Se comprueba lo que se dijo al principio acerca de lo simple que es hallar ladiferencia de una función factorial y su similitud con las derivadas de 3(!) =!4 35(!) = ,!467

Si se calculan las diferencias de los órdenes sucesivos de! 8#$para n= 1;2;3…

se nota que esta función es un polinomio de grado n, donde el coeficiente quemultiplica a !9 es uno. Con lo cual 9!

8#$ = :;'9

la primera diferencia de ! "#$ , para (s = 1;2;3;…)

! 8#$ = :'!

8#%#$

!8#%#$ = (: * 1)'!

8#<#$

la diferencia de orden 2 es:

>! 8#$ = ?!

8#$@ = :'!

8#%#$ = :'(: * 1)'!

8#<#$

si se utiliza la notación de factoriales descendentes con h=1, : & (: * 1) = : (>) queda la siguiente expresión:

>! 8#$ = :(>)'>!8#<#$

en general, para la diferencia de orden p:

1.6.1 Factorial ascendente

La primera diferencia para !"$ , para s=1;2;3;…, teniendo en cuenta que:

!"$ = (! + , * 1- ')

"#$

Es !"$ = (! + , * 1- ')

"#$

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