Ejercicios desarrollados

Que propiedades de las relaciones binarias se cumplen?

La relación R se puede escribir de la siguiente manera:

R = { (a, b) ε Z x Z / a ≤ b + 1 }

Lic. Martha Campos V. -1-

Reflexiva

R = { (a, b) ε Z x Z / a ≤ b + 1 }

Para todo a ε Z, (a, a) ε R

En efecto: a ≤ a + 1 es cierto siempre para cualquier valor

que tome a ( Z = Entero)

(a, a) ε R Por tanto R es reflexiva

SimétricaPara todo (a, b) ε R, si (a, b) ε R, entonces (b, a) ε R

En efecto:

Si (a, b) ε R a ≤ b + 1

b ≥ a - 1

(b, a) ε R Por tanto R no es simétrica

Lic. Martha Campos V. -2-

(b, a) ε R Por tanto R no es simétrica

Contraejemplo

2 ≤ 7 + 1 7 ≤ 2 + 1

a b b a

TransitivaSi (a, b) ε R y (b, c) ε R entonces (a, c) ε R

En efecto:

Si (a, b) ε R a ≤ b + 1b ≤ c + 1Si (b, c) ε R

a + b ≤ b + 1 + c + 1

a ≤ c + 2 ≤ c + 1

Lic. Martha Campos V. -3-

(a, c ) ε R Por lo tanto R no es Transiti va

Contraejemplo:

(2, 1) ε R, pues 2 ≤ 1 + 1

(1, 0) ε R, pues 1 ≤ 0 + 1

Luego no es cierto que 2 ≤ 0 + 1, en consecuencia (2, 0) ε R

Antisimétrica

Si (a, b) ε R y (b, a) ε R entonces a = b

En efecto:

Si (a, b) ε R a ≤ b + 1 a = b b ≤ b + 1

b ≤ a + 1 b = a a ≤ a + 1Si (b, a) ε R

Lic. Martha Campos V. -4-

b ≤ a + 1 b = a a ≤ a + 1Si (b, a) ε R

Por lo tanto R es Antisimétrica

Ambas serán ciertas siempre que a = b

Reflexiva

La relación R se puede escribir de la siguiente manera:

R = { (a, b) ε Z x Z / kεZ, a = bk }

Para todo a ε Z, (a, a) ε R

Lic. Martha Campos V. -5-

Para todo a ε Z, (a, a) ε R

Como existe 1 ε Z, tal que a = a 1

(a, a) ε R Por lo tanto R es reflexiva

Simétrica

En efecto:

Para todo (a, b) ε R, si (a, b) ε R, entonces (b, a) ε R

Si (a, b) ε R a = b k

b = a 1/ k

,k ε Z

,pero como 1/k ε Z

Lic. Martha Campos V. -6-

(b, a) ε R Por lo tanto R no es simétrica

Transitiva

En efecto:

Si (a, b) ε R a = b k1

b = c k2

,k1 ε Z

, k2 ε Z

Si (a, b) ε R y (b, c) ε R entonces (a, c) ε R

Si (b, c) ε R

Lic. Martha Campos V. -7-

(a, c) ε R Por lo tanto R es transitiva

a = ( c k2 )k1 = c )k1. k2) , k = k1.k2 ε Z

Antisimétrica

En efecto:

Si (a, b) ε R a = b k1

b = a k2

,k1 ε Z

, k2 ε ZSi (b, a) ε R

a = ( a k2 )k1 = a )k1. k2)

Si (a, b) ε R y (b, a) ε R entonces a = b

Lic. Martha Campos V. -8-

a = b Por lo tanto R es antisimétrica

a = ( a ) = a

Para que la igualdad se cumpla k1= 1 y .k2 = 1 ε Z

Relación Binaria

Una relación binaria en un conjunto A se define como un subconjunto R del producto A x A.

R = { (x, y) ε A x A / x ε A e y ε A }

Propiedades:

Reflexiva

Lic. Martha Campos V. -9-

Reflexiva

Simétrica

Transitiva

Antisim étrica

Relación de Equivalencia

� Reflexiva

� Simétrica

� Transitiva

Relación de Orden

Lic. Martha Campos V.-

10-

� Reflexiva

� Antisimétrica

� Transitiva