RELACIÓN DE ENUNCIADOS DE LOS EJERCICIOS RESUELTOS · 2020. 4. 23. · de la letra y con cuidado....

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RELACIÓN DE ENUNCIADOS DE LOS EJERCICIOS RESUELTOS: 1- Calcular las derivadas en los puntos que se indica: a) b) c) d) 2-Calcula la derivada de las funciones: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) r) s) 3- Calcula la derivada de las siguientes funciones: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o)

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RELACIÓN DE ENUNCIADOS DE LOS EJERCICIOS

RESUELTOS:

1- Calcular las derivadas en los puntos que se indica:

a)

b)

c)

d)

2-Calcula la derivada de las funciones:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)

r)

s)

3- Calcula la derivada de las siguientes funciones:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

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p)

q)

r)

s)

4- Calcula las derivadas de las siguientes funciones:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)

r)

s)

t)

5- Calcula las derivadas de las siguientes funciones:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

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6- Utiliza la regla de la cadena para resolver estas derivadas de funciones compuestas:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

7- Dada la parábola , hallar los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del

primer cuadrante.

8- Dada la curva de ecuación , halla las coordenadas de los puntos de dicha curva en los

que la tangente forma con el eje OX un ángulo de 45°.

9- Determinar los valores del parámetro b, para qué las tangentes a la curva de la función

en los puntos de abscisas x = 1, x = 2 sean paralelas.

10- Calcular los puntos en que la tangente a la curva es paralela al eje OX.

11- Se ha trazado una recta tangente a la curva , cuya pendiente es 3 y pasa por el punto (0,−2).

Hallar el punto de tangencia.

12- Dada la función , hallar el ángulo que forma la recta tangente a la gráfica de la función f(x)

en el origen, con el eje de abscisas.

13- Calcular la ecuación de la tangente y de la normal a la curva f(x) = ln (tg (2x)) en el punto de abscisa: x =

π/8.

14- Hallar los coeficientes de la ecuación , sabiendo que su gráfica pasa por (0, 3) y por (2, 1).,

y en este último punto su tangente tiene de pendiente 3.

15- Sea la función definida por . Calcula los valores de a, b, c y d

sabiendo que verifica:

a) El punto (0,1) es un punto de inflexión de la gráfica de .

b) tiene un mínimo local en el punto de abscisa .

c) La recta tangente a la gráfica de en el punto de abscisa tiene pendiente 1.

16- Se sabe que la función definida por tiene extremos relativos en los

puntos (0,0) y (2,2). Calcula a, b, c y d.

17- La recta tangente a la gráfica de la función definida por en el punto (1,-6)

es paralela a la recta de ecuación .

a) Determina las constantes m y n.

b) Halla la ecuación de dicha recta tangente.

18- Sea la función definida por . Comprueba que la recta de ecuación

es la recta tangente a la gráfica de en el punto de abcisa .

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19- Sean y las funciones definidas por y . Se sabe

que las gráficas de se cortan en el punto P(-1,2) y tienen en ese punto la misma tangente.

a) Calcula los valores de a, b y c.

b) Halla la ecuación de dicha recta tangente.

20- Dada la función definida por:

Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de en su punto de inflexión.

21- Sea la función real definida por dónde hace referencia al

logaritmo neperiano de x.

a) Determina, si existen, los puntos de la gráfica de en los que la recta tangente a la gráfica de es

paralela a la recta de ecuación .

b) Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de en el punto de abscisa

.

22- Sea la función definida por

. Halla las ecuaciones de las rectas tangente y

normal a la gráfica de la función en los puntos de abscisa y .

23- Se considera la función real definida por dónde hace referencia al

logaritmo neperiano de x. Comprueba que la recta de ecuación es la recta normal a la

gráfica de en el punto de abscisa .

24- La potencia en vatios consumida por cierto aparato eléctrico, en función de su resistencia x en ohmios,

viene dada por la expresión:

Hallar la potencia máxima y la resistencia con la que esta potencia es posible.

25- Dada la función :

a) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.

b) Halla, si existen, los máximos, mínimos y puntos de inflexión de esta función.

c) Encuentra el/los punto(s) en el que la tangente a la gráfica de esta función es paralela a la recta de

ecuación .

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EJERCICIOS RESUELTOS DE DERIVADAS.

1- Calcular las derivadas en los puntos que se indica:

e)

Para encontrar la derivada en x=5 primero derivamos la función y luego vemos cuánto vale la derivada en el punto x=5.

f)

Para encontrar la derivada en x=1 primero derivamos la función y luego vemos cuánto vale la derivada en

el punto x=1

g)

Para encontrar la derivada en x=1 primero derivamos la función y luego vemos cuánto vale la derivada en el punto x=1

h)

Para encontrar la derivada en x=1 primero derivamos la función y luego vemos cuánto vale la derivada en el punto x=3

2-Calcula la derivada de las funciones:

t)

u)

v)

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w)

x)

y)

z)

aa)

bb)

Nota: Para ésta derivada y para la siguiente lo que vamos a hacer es multiplicar primero los polinomios y luego derivamos el resultado.

cc)

dd)

Nota: Para ésta derivada, lo primero que vamos a hacer es dividir los dos polinomios y después derivar el resultado.

ee)

ff)

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gg)

hh)

ii)

Nota: Para resolver esta derivada, lo que vamos a hacer es meter la x dentro de la raíz, y luego derivar el resultado.

jj)

kk)

Nota: Para resolver esta derivada, lo primero que vamos a hacer es resolver el producto de raíces y después derivar el resultado.

ll)

Nota: Para resolver esta derivada, lo primero que vamos a hacer es resolver la potencia del numerador, y luego derivar el resultado.

3- Calcula la derivada de las siguientes funciones:

t)

u)

v)

w)

x)

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y)

z)

aa)

bb)

cc)

dd)

ee)

ff)

gg)

hh)

ii)

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jj)

kk)

ll)

mm)

4- Calcula las derivadas de las siguientes funciones:

u)

v)

w)

x)

y)

z)

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Nota: la función tangente de x (tg(x)) es igual al seno de x dividido entre el coseno de x.

Nota: Recuerda que . Es una identidad fundamental de la trigonometría.

Otra opción:

aa)

bb)

cc)

dd)

ee)

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ff)

gg)

Nota: Recuerda que el logaritmo neperiano del número e es 1, así que

hh)

ii)

Nota: Como estamos derivando respecto de la x, tienes que pensar en la a como en un número cualquiera.

jj)

Nota: Cuando veas una función parecida a ésta, lo que tienes que hacer es pensar que estamos

multiplicando.

kk)

ll)

mm)

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nn)

5- Calcula las derivadas de las siguientes funciones:

j)

Nota: En este caso vamos a realizar la derivada de una multiplicación, y los factores a su vez son sumas.

Recuerda que

k)

Nota: Aquí lo primero que se tiene que hacer es la derivada de la suma. Como uno de los sumandos es una

multiplicación, a continuación haremos la derivada de una multiplicación.

l)

Nota: Aquí lo primero que se tiene que hacer es la derivada de la suma. Como uno de los sumandos es una

división, después haremos la derivada de la división.

m)

Nota: En este caso lo primero que hay que realizar es la derivada de una multiplicación. Como uno de los

factores son varias sumas, después se hará la derivada de las sumas.

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n)

Nota: Lo primero que vamos a realizar es la derivada de una división.

o)

Primero se hace la derivada de la suma y luego la derivada del cociente.

p)

Primero se hace la derivada de la resta y luego la derivada del cociente:

q)

Primero se hace la derivada de la resta y después la derivada de la multiplicación. Recuerda que .

r)

Primero se hace la derivada de la multiplicación y después la derivada de la resta.

s)

Primero se hace la derivada de la suma y después la derivada de la división.

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6- Utiliza la regla de la cadena para resolver estas derivadas de funciones compuestas:

m)

Cambiamos el interior de la función por la variable y obtenemos:

n)

Cambiamos el interior de la función por la variable y obtenemos:

o)

Cambiamos el interior de la función por la variable y obtenemos:

p)

Cambiamos el interior de la función (en este caso ) por la variable u y obtenemos:

q)

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Cambiamos el interior de la función (en este caso ) por la variable u y obtenemos:

r)

Aquí antes de recurrir a la regla de la cadena vamos a simplificar la derivada resolviendo primero la derivada de una suma que aparece:

Para resolver la derivada vamos a realizar aparte la derivada de , y después añadiremos el resultado al

ejercicio. Para ello, vamos a cambiar la función interior (en este caso ) por la variable . Con esto

obtenemos:

Ahora añadimos el resultado al ejercicio:

s)

Para resolver esta derivada, primero resolveremos la derivada de la multiplicación:

Ahora resolveremos cada derivada por separado y las uniremos en el resultado final:

t)

Para resolver esta derivada, primero resolveremos la derivada de la división que aparece aquí:

Ahora resolveremos la derivada por separado y la uniremos al resto en el resultado final:

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u)

Cambiamos el interior de la función (en este caso ) por la variable u y obtenemos:

v)

Cambiamos el interior de la función (en este caso

) por la variable u y obtenemos:

La mejor forma de solucionar este ejercicio es efectuar todas las operaciones por separado y después unirlas

en la solución final:

w)

Cambiamos el interior de la función (en este caso ) por la variable u y tenemos:

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La mejor forma de solucionar este ejercicio es efectuar todas las operaciones por separado y después unirlas

en la solución final. Pero sin duda te has dado cuenta de que la segunda derivada que tienes que realizar

también es la derivada de una función compuesta. Pues entonces realizamos lo mismo: Volvemos a cambiar

la función interior (en este caso es ) por la variable u y seguimos trabajando:

Ahora lo incorporamos todo al resultado final:

x)

Cambiamos el interior de la función (en este caso

) por la variable u y tenemos:

La mejor forma de solucionar este ejercicio es efectuar todas las operaciones por separado y después unirlas

en la solución final. Pero sin duda te has dado cuenta de que la segunda derivada que tienes que realizar

también es la derivada de una función compuesta. Pues entonces realizamos lo mismo: Volvemos a cambiar

la función interior (en este caso es

) por la variable u y seguimos trabajando:

Para solucionar la derivada que nos ha quedado, tenemos que calcular la derivada de la división:

Ahora la unimos a la derivada anterior:

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Nota: Como has podido comprobar, éstas derivadas son tremendamente largas y complicadas. No creo que en un

examen te vayan a poner estos monstruos, pero en este caso viene muy bien para explicar la regla de la cadena ¿te has

dado cuenta de que, aunque se complican cada vez más, siempre se consiguen de la misma manera? No te preocupes

por la complejidad de una derivada y ten paciencia, lo único que te hace falta para resolverla es seguir los pasos al pie

de la letra y con cuidado.

7- Dada la parábola , hallar los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del

primer cuadrante.

La ecuación de una recta siempre es del tipo , con m la pendiente de la recta y n la ordenada en el origen.

La bisectriz del primer cuadrante se corresponde con la recta de ecuación y=x, con lo que la pendiente (la "m") de la

recta es 1. Utilizando la fórmula de la recta tangente:

y sabiendo que es la pendiente de la recta tangente a la función en el punto , lo que tenemos que hacer es

buscar los puntos de la función en los que su derivada sea 1.

Ahora obligamos a que la derivada valga 1 y despejamos la x para averiguar los puntos:

O sea, que en

la tangente de x es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.

8- Dada la curva de ecuación , halla las coordenadas de los puntos de dicha curva en los

que la tangente forma con el eje OX un ángulo de 45°.

La ecuación de una recta es siempre del tipo con m la pendiente de la recta y n la ordenada en el origen.

La pendiente de una recta ("m") es siempre la tangente del ángulo que forma con el eje OX, así que cuando una recta

forma con el eje OX un ángulo de 45º la pendiente de la recta es . O sea que estamos buscando los

puntos en los que la pendiente de las tangentes de la función valga 1. Utilizando la fórmula de la recta tangente:

y sabiendo que es la pendiente de la recta tangente a la función en el punto , lo que estamos buscando son los

puntos en los que la derivada de la función es 1.

Ahora obligamos a que la derivada valga 1 y despejamos la x para averiguar los puntos:

O sea, que en

la tangente de x forma un ángulo de 45º con el eje OX.

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9- Determinar los valores del parámetro b, para qué las tangentes a la curva de la función

en los puntos de abscisas x = 1, x = 2 sean paralelas.

Dibuja un eje de coordenadas y en este eje haz unas cuantas rectas paralelas ¿te has fijado en que todas estas rectas

tienen la misma pendiente (inclinación)? pues eso es lo que pasa con las rectas paralelas, que tienen la misma pendiente. Ahora utilizamos la fórmula de la recta tangente:

Como sabemos que es la pendiente de la recta tangente a la función en el punto , deducimos que dos rectas

tangentes son paralelas cuando la derivada de la función vale lo mismo en estos puntos. Lo que tenemos que calcular

es cuánto tiene que valer b para que las derivadas en x=1 y x=2 valgan lo mismo.

Lo primero es calcular la derivada de f(x):

Ahora lo que hacemos es calcular el valor de la derivada en ambos puntos:

Y ahora obligamos a que las derivadas en ambos puntos sean iguales y resolvemos la ecuación:

O sea, que b puede valer 0 y

.

10- Calcular los puntos en que la tangente a la curva es paralela al eje OX.

Dibuja un eje de coordenadas y luego una recta tangente al eje OX ¿te has fijado en que la pendiente (la inclinación)

de la recta es 0? pues eso es lo que estamos buscando, estamos buscando los puntos dónde la pendiente de la recta es 0. Para eso vamos a utilizar la ecuación de la recta tangente:

Como sabemos que es la pendiente (la inclinación) de la recta tangente a la función en el punto , lo que

tenemos que ver es en qué puntos de la función su derivada vale 0.

Lo primero es derivar f(x):

Y ahora obligamos a que la derivada valga 0, y resolvemos la ecuación:

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Así pues, los puntos dónde la tangente es paralela al eje OX son x=3 y x=-1

11- Se ha trazado una recta tangente a la curva , cuya pendiente es 3 y pasa por el punto (0,−2).

Hallar el punto de tangencia.

Si la pendiente de la recta tangente es 3, eso quiere decir que en el punto de tangencia la derivada de la función vale

3. Entonces lo que tenemos que hacer es derivar la función e igualarla a 3 para despejar la x.

Bien, como podemos ver, nos han salido dos puntos en la x (+1 y -1), pero el punto de tangencia sólo puede ser uno

¿con cuál nos quedamos? Para eso vamos a utilizar la fórmula de la recta tangente con cada punto para generar dos

tangentes, y veremos cuál de las dos es la que pasa por el punto (0,-2).

Cuando

Cuando

Ahora comprobamos cuál de las rectas pasa por el punto (0,-2):

No es cierto, por lo tanto el punto x=-1 no es el punto de tangencia.

Cierto, por lo tanto el punto x=1 es el punto de tangencia.

12- Dada la función , hallar el ángulo que forma la recta tangente a la gráfica de la función f(x)

en el origen, con el eje de abscisas.

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La ecuación de una recta es siempre del tipo con m la pendiente (la inclinación) de la recta y n la

ordenada en el origen. La pendiente de una recta ("m") es siempre la tangente del ángulo que forma con el eje OX, así

que cuando queremos calcular el ángulo que forma una recta con la horizontal lo mejor es averiguar la pendiente de

la recta y hacerle la inversa de la tangente (el arco tangente). La ecuación general de la recta tangente a una función en un punto es:

Como sabemos que es la pendiente (la inclinación) de la recta tangente a la función en el punto , lo que

tenemos que ver es cuál es la derivada de la función en el origen (coordenada x=0) y después hacerle el arco tangente.

Así pues, la tangente en el punto x=0 tiene de pendiente 1. El ángulo que forma la recta con el eje OX es:

El ángulo que forma la recta tangente a es de 45º

13- Calcular la ecuación de la tangente y de la normal a la curva f(x) = ln (tg (2x)) en el punto de abscisa: x =

π/8.

La ecuación de la recta tangente a una curva en un punto es la siguiente:

La ecuación de la recta normal a una curva en un punto es la siguiente:

La principal dificultad que tenemos aquí es el cálculo de la derivada, en la que hay que utilizar la regla de la cadena:

Ahora aplicamos las ecuaciones para la recta tangente y la recta normal:

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Para la recta tangente:

Para la recta normal:

14- Hallar los coeficientes de la ecuación , sabiendo que su gráfica pasa por (0, 3) y por (2, 1).,

y en este último punto su tangente tiene de pendiente 3.

Bien, sabemos que la función pasa por los puntos (0,3) y (2,1), por lo tanto sabemos que

y que , entonces podemos sacar dos ecuaciones:

ya hemos calculado un coeficiente, vamos con la segunda ecuación:

Ya sabemos cuánto vale c, pero para calcular a y b nos va a hacer falta una ecuación mas ¿de dónde la sacamos?

Sabemos que en el punto x=2 la función tiene una tangente de pendiente 3, por lo tanto la derivada de la función en el punto x=2 tiene que valer 3. Lo que hay que hacer es derivar la función, igualarla a 3 y resolver la ecuación:

Ya tenemos la otra ecuación: Ahora resolvemos el sistema:

Los coeficientes de la ecuación son a=2, b=-5 y c=3. La ecuación de la función es, por lo tanto

15- Sea la función definida por . Calcula los valores de a, b, c y d

sabiendo que verifica:

d) El punto (0,1) es un punto de inflexión de la gráfica de .

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e) tiene un mínimo local en el punto de abscisa .

f) La recta tangente a la gráfica de en el punto de abscisa tiene pendiente 1.

A partir de las pistas que nos dan, tenemos que calcular a, b, c y d. La primera pista que nos dan es que el punto (0,1)

es un punto de inflexión de f(x). Eso significa en primer lugar que, como (0,1) es un punto de su gráfica (porque es el

punto de inflexión) f(0)=1. Y en segundo lugar, que como es punto de inflexión, la segunda derivada en ese punto

tiene que ser cero.

Bien, ya sabemos que d vale 1. Ahora buscaremos la segunda derivada y la igualaremos a cero.

Bien, ya tenemos tanto b como d. Ahora seguiremos con las siguientes pistas para encontrar el resto de los valores. la

segunda pista nos dice que f(x) tiene un mínimo local en el punto de abscisa x=1. Eso significa que la primera

derivada en este punto debe ser cero.

Por último, la tercera pista nos indica que la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto de abscisa x=2 tiene

pendiente 1. Esto quiere decir que la primera derivada de f en el punto x=2 tiene que ser 1.

Como te has fijado, se ha formado un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Solucionándolo encontraremos a

y c.

Entonces sabemos que:

La función que buscamos es, por lo tanto:

16- Se sabe que la función definida por tiene extremos relativos en los

puntos (0,0) y (2,2). Calcula a, b, c y d.

A partir de las pistas que nos dan tenemos que calcular a, b, c, y d. La primera pista que nos dan nos indica que

nuestra función tiene un extremo relativos en el punto (0,0). Esto significa dos cosas: En primer lugar que el punto

(0,0) pertenece a la función, por lo que , y en segundo lugar que, al tener un extremo relativo en ese punto,

la derivada en tiene que valer 0, o sea . Viendo esto tenemos:

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Bien, ya tenemos dos parámetros calculados, y los otros dos saldrán de la siguiente pista: Nos indican que también

tiene otro extremo relativo en el punto (2,2), y también significa que el valor de la función cuando x vale 2 es 2 y que

la derivada en el punto es 0 al tener un máximo relativo. Es decir, que y .

Se ha formado un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Solucionándolo encontraremos a y b.

Por lo tanto, ya hemos calculado todos los parámetros.

Y la función que buscamos es:

17- La recta tangente a la gráfica de la función definida por en el punto (1,-6)

es paralela a la recta de ecuación .

c) Determina las constantes m y n.

d) Halla la ecuación de dicha recta tangente.

El enunciado nos dice que la gráfica de en el punto (1,-6) es paralela a la recta de ecuación . Esto nos da

dos pistas: La primera que el punto (1,-6) pertenece a la función ( y la segunda que, al ser ambas rectas

paralelas, las dos pendientes son iguales. La pendiente de es -1, así que la pendiente de la recta tangente a

nuestra función en el punto (1,-6) es también -1, y que la derivada de nuestra función en el punto es -1

. Conociendo esto podemos ya calcular m y n:

Se ha formado un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Solucionándolo encontraremos m y n.

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Por lo tanto, ya hemos calculado todos los parámetros.

Y la función que buscamos es:

18- Sea la función definida por . Comprueba que la recta de ecuación

es la recta tangente a la gráfica de en el punto de abcisa .

La mejor forma de comprobar si la recta es la tangente a la gráfica de en el punto

es precisamente calculando dicha tangente en este punto y viendo si es igual a la recta que nos dan. La

expresión de la recta tangente a una función en un punto dado es:

Siendo la coordenada x del punto que te dan, en este caso . Calcularemos ahora la función y la derivada en

el punto en dicho punto:

La recta tangente a la función es, por lo tanto:

Como podemos ver, la recta tangente a la función en el punto es efectivamente la

recta de ecuación .

19- Sean y las funciones definidas por y . Se sabe

que las gráficas de se cortan en el punto P(-1,2) y tienen en ese punto la misma tangente.

c) Calcula los valores de a, b y c.

d) Halla la ecuación de dicha recta tangente.

A partir de las pistas que nos dan en el enunciado deberemos calcular los valores de a, b y c. Se nos dice que las

gráficas de se cortan en el punto (-1,2). Eso significa que este punto pertenece a las dos funciones, y que, por lo

tanto, y que . También el enunciado nos dice que en este punto las dos tienen la misma

tangente, por lo tanto tienen la misma derivada y

Ya sabemos que c=2. Ahora igualaremos las dos derivadas y volveremos a despejar.

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Ahora también sabemos que . Por la primera ecuación también sabemos que , por lo que

. Las funciones son: y

20- Dada la función definida por:

Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de en su punto de inflexión.

Lo primero que tenemos que hacer es encontrar su punto de inflexión para después determinar la ecuación de la recta

tangente en dicho punto. Para encontrar su punto de inflexión deberemos estudiar su curvatura, así que primero

calcularemos su dominio y después derivaremos dos veces la función.

Como se trata de una función que tiene un denominador con variables (es decir, que el denominador no es una

constante), igualaremos el denominador a cero y resolveremos la ecuación. El dominio es precisamente el conjunto

menos los puntos resultado de la ecuación.

que no existe, por lo tanto .

Ya tenemos la segunda derivada, vamos ahora a estudiar su curvatura.

1

En esta tabla tenemos que situar los puntos en los que la función no es continua, los puntos en los que la función es

continua pero no derivable y los puntos en los que la segunda derivada se hace cero. Como estamos trabajando con

una función elemental, los puntos dónde la función no es continua y los puntos dónde la función es continua pero no

derivable son aquellos que se salen del dominio de la función (por eso lo hemos calculado al principio del ejercicio).

Dicho dominio era el conjunto de los números reales , así que no es necesario poner ningún punto de este tipo. Sin

embargo, sí que hay un punto en el que la segunda derivada es cero ( , así que hay que poner dicho punto en la

tabla. Ahora estudiaremos la curvatura en cada uno de los intervalos que hemos determinado:

Para elegimos :

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Para elegimos :

La tabla queda completada de esta forma:

1

Cóncava Convexa

Como podemos ver, en la curvatura cambia de signo, por lo tanto tenemos un punto de inflexión. El punto que

estamos buscando es . Ahora vamos a determinar la ecuación de la recta tangente en este punto. Dicha

ecuación siempre es de la forma:

Con el punto en el que estamos determinando la recta tangente (en este caso ) y y los valores

de la función y de la derivada en dicho punto respectivamente:

La recta tangente a esta función en su punto de inflexión es, por lo tanto:

21- Sea la función real definida por dónde hace referencia al

logaritmo neperiano de x.

c) Determina, si existen, los puntos de la gráfica de en los que la recta tangente a la gráfica de es

paralela a la recta de ecuación .

d) Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de en el punto de abscisa

.

Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente. Entonces, averiguando la pendiente de la recta

podemos saber la pendiente de la recta tangente a la que se refiere el enunciado.

La pendiente que tiene nuestra tangente es ¿pero eso de qué nos sirve? La pendiente de la tangente a una función

en un punto es precisamente el valor de la derivada en este punto. Así pues, como la pendiente es , la derivada en

ese punto vale precisamente eso. Estamos buscando puntos de la función que tengan una derivada de valor .

Calcularemos la derivada, la igualaremos a y despejaremos la ecuación.

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El punto de la gráfica de en los que la recta tangente a la su gráfica es paralela a la recta

es , o ).

Las rectas tangente y normal a la gráfica de una función en un punto siempre siguen la forma:

Siendo el valor de la función en el punto que te dan, el valor de la derivada en dicho punto y la

coordenada x del punto. Como nos están pidiendo la ecuación de la recta tangente y normal a la gráfica de en el

punto :

La recta tangente es, por lo tanto:

Y la recta normal es:

22- Sea la función definida por

. Halla las ecuaciones de las rectas tangente y

normal a la gráfica de la función en los puntos de abscisa y .

Las rectas tangente y normal a la gráfica de una función en un punto siempre siguen la forma:

Siendo el valor de la función en el punto que te dan, el valor de la derivada en dicho punto y la

coordenada x del punto. Primero calularemos la ecuación de la recta tangente y normal a la gráfica de en el

punto :

La recta tangente es, por lo tanto:

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Y la recta normal es:

23- Se considera la función real definida por dónde hace referencia al

logaritmo neperiano de x. Comprueba que la recta de ecuación es la recta normal a la

gráfica de en el punto de abscisa .

La mejor forma de comprobar si efectivamente la recta de ecuación es la recta normal a la gráfica

de f en el punto de abscisa es precisamente calculando la ecuación de la recta normal a esta función en dicho

punto y comparándola para ver si son iguales. La ecuación de una recta normal a la gráfica de una función en un

punto dado siempre tiene la siguiente forma:

Siendo la coordenada x del punto que te dan (en este caso ), y y los valores de la función y de

la derivada en dicho punto respectivamente. Por lo tanto, vamos a calcular estos valores para desarrollar la ecuación

de la normal:

Teniendo estos valores, ahora calculamos la ecuación de la recta normal en el punto :

Como puedes ver, la ecuación efectivamente es la ecuación normal a la gráfica de la función

en el punto .

24- La potencia en vatios consumida por cierto aparato eléctrico, en función de su resistencia x en ohmios,

viene dada por la expresión:

Hallar la potencia máxima y la resistencia con la que esta potencia es posible.

Para encontrar la potencia máxima del aparato lo primero que tenemos que hacer es estudiar la monotonía de la

función de la potencia. Lo primero es determinar el dominio de la función, que como es una función racional, será

todos los números reales excepto los que anulan al denominador:

Una vez tenido el dominio, calculamos su derivada y la igualamos a cero.

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Ya tenemos la derivada, vamos ahora a estudiar su monotonía.

-12 12

En esta tabla tenemos que situar los puntos en los que la función no es continua, los puntos en los que la función es

continua pero no derivable y los puntos en los que la derivada se hace cero. Como estamos trabajando con una

función elemental, los puntos dónde la función no es continua y los puntos dónde la función es continua pero no

derivable son aquellos que se salen del dominio de la función (por eso lo hemos calculado al principio del ejercicio).

Dicho dominio era , así que es necesario incorporar este punto. Además hay un punto en el que la

derivada es cero ( , así que también hay que poner dicho punto en la tabla. Ahora estudiaremos la monotonía

en cada uno de los intervalos que hemos determinado:

Para elegimos :

Para elegimos :

Para elegimos :

La tabla queda completada de esta forma:

-12 12 Decreciente Creciente M Decreciente

Como podemos ver tenemos dos puntos en los que la derivada cambia de signo: en y en . Como

estamos buscando un máximo, estamos buscando el punto en el que la función pasa de creciente a decreciente. En

este caso, sólo hay un punto que cumpla con lo que necesitamos: . La potencia se vuelve máxima cuando

. Pero ¿Cuánta potencia es la potencia máxima? Sólo tenemos que calcular para calcularlo.

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La potencia se vuelve máxima con una resistencia de 12 ohmios y tiene un valor de 0,0023 watios

25- Dada la función :

d) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.

e) Halla, si existen, los máximos, mínimos y puntos de inflexión de esta función.

f) Encuentra el/los punto(s) en el que la tangente a la gráfica de esta función es paralela a la recta de

ecuación .

Para estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función (es decir, la monotonía), primero

necesitamos estudiar su dominio y su derivada:

Como podemos ver, se trata en realidad de una división. El dominio de este tipo de funciones está formado por

cualquier valor real menos aquellos que anulen al denominador:

Ya tenemos el dominio, ahora calcularemos la derivada;

Ya tenemos la derivada, vamos ahora a estudiar su monotonía.

0 4

En esta tabla tenemos que situar los puntos en los que la función no es continua, los puntos en los que la función es

continua pero no derivable y los puntos en los que la derivada se hace cero. Como estamos trabajando con una

función elemental, los puntos dónde la función no es continua y los puntos dónde la función es continua pero no

derivable son aquellos que se salen del dominio de la función (por eso lo hemos calculado al principio del ejercicio).

Dicho dominio era , así que no es necesario incorporar ningún punto porque no hay ninguno que se escape del

dominio. Por otro lado, hay dos punto en el que la derivada es cero ( , así que también hay que poner

dicho punto en la tabla. Ahora estudiaremos la monotonía en cada uno de los intervalos que hemos determinado:

Para elegimos :

Para elegimos :

Para elegimos :

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La tabla queda completada de esta forma:

0 4

Decreciente Creciente Decreciente

Así pues los intervalos de decrecimiento son y el intervalo de crecimiento es .

Para que una función tenga un extremo en un punto se tienen que cumplir dos condiciones: En primer lugar tiene que

existir un cambio de signo en la derivada (es decir, que la monotonía debe cambiar de creciente a decreciente o

viceversa) y en segundo lugar la función debe ser continua en ese mismo punto. si utilizamos la información de

monotonía que hemos sacado en el primer apartado y te fijas bien, hay un cambio en el signo de la derivada en el

punto , es decir, que la función pasa de decreciente a creciente en ese punto. Como además la función es

continua en este punto (recordemos que el dominio de la función es , y que una función elemental como ésta es

continua en su dominio), podemos asegurar que tenemos un mínimo en . De la misma forma, podemos

observar que la función pasa de creciente a decreciente en , y como la función es continua en este punto (

pertenece también al dominio), podemos asegurar que tenemos un máximo en .

Para encontrar los puntos de inflexión vamos a necesitar hacer un estudio de la curvatura de la función (trabajar con

la segunda derivada) porque un punto de inflexión debe cumplir dos condiciones: En primer lugar tiene que existir un

cambio de signo en la segunda derivada (la curvatura debe cambiar de cóncava a convexa y viceversa) y la función

debe ser continua en ese mismo punto (si te fijas bien, es muy parecido a cómo tratábamos los máximos y los

mínimos, pero con la segunda derivada en lugar de la primera). De esta forma, vamos a calcular la segunda derivada:

Ya tenemos la segunda derivada, vamos ahora a estudiar su curvatura.

0 2 6

En esta tabla tenemos que situar los puntos en los que la función no es continua, los puntos en los que la función es

continua pero no derivable y los puntos en los que la segunda derivada se hace cero. Como estamos trabajando con

una función elemental, los puntos dónde la función no es continua y los puntos dónde la función es continua pero no

derivable son aquellos que se salen del dominio de la función (por eso lo hemos calculado al principio del ejercicio).

Dicho dominio era , así que no es necesario incorporar ningún punto porque no hay ninguno que se escape del

dominio. Por otro lado, hay dos punto en el que la segunda derivada es cero ( , así que también

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hay que poner dicho punto en la tabla. Ahora estudiaremos la monotonía en cada uno de los intervalos que hemos

determinado:

Para elegimos :

Para elegimos :

Para elegimos :

Para elegimos :

La tabla queda completada de esta forma:

0 2 6

Convexa Convexa Cóncava Convexa

Bien, para que una función tenga un punto de inflexión se deben de cumplir dos condiciones: En primer lugar que la

segunda derivada cambie de signo en ese punto (es decir, que la curvatura cambie de cóncava a convexa y viceversa)

y que la función sea continua en ese punto. Como podemos ver, hay dos puntos en los que la función cambia su

curvatura: y (en el primero la función cambia de convexa a cóncava y en el segundo de cóncava a

convexa). Como además el dominio de es la función es continua en estos dos puntos, por lo que tiene puntos

de inflexión en y .

Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente, por lo que la recta que es paralela a debe tener su misma

pendiente (es decir, 0). Como en una recta tangente a una función en un punto la pendiente de dicha recta siempre es

la derivada a dicha función en dicho punto, estamos buscando los puntos de la función en los que la derivada vale

cero. Esos puntos ya los hemos encontrado en puntos anteriores de este ejercicio (cuando hemos estudiado la

monotonía de la función) así que ya sabemos que los puntos que tienen una tangente paralela a la recta de

ecuación son y .