REGLA DE TRES

Es una forma de resolucin de problemas de proporcionalidad entre tres o ms valores conocidos y una incgnita. En ella se establece una relacin de linealidad (Proporcionalidad) entre los valores involucrados. Adems la regla de tres permite operar al mismo tiempo elementos tan distintos como horas, kilmetros, numero de trabajadores o dinero invertido.

Para comprender mejor este mtodo de resolucin de problemas definiremos la Proporcionalidad.

Proporcin: es la igualdad entre dos cocientes. Cuando dos cocientes son iguales, el producto de los extremos es igual al producto de los medios. De la siguiente forma:

a/b = c/d

extremos a y d, medios b y c

Por tanto en la proporcin se cumple que: a*d=b*c

Se dice

que dos magnitudes son proporcionales cuando su cociente se

mantiene constante, es decir, si una de las dos magnitudes aumenta o disminuye, la otra magnitud tambin aumentar o disminuir en la misma medida. Por ejemplo: cuantos ms kilmetros recorra un auto, ms combustible gasta y, por tanto, se dice que ambas magnitudes son proporcionales, o sea que tienen un cociente constante.

REGLA DE TRES SIMPLE

En la regla de tres simple, se establece la relacin de proporcionalidad entre dos valores conocidos, y conociendo un tercer valor, calculamos un cuarto valor; de la siguiente forma.

Valores conocidos A y B AB XY Valor a calcular Y

Tercer valor conocido X

La relacin de proporcionalidad puede ser directa o inversa,

ser directa

cuando a un mayor valor de A habla un mayor valor de B, (a ms corresponde ms y a menos corresponde menos); y ser inversa cuando se ve, que aun mayor de A corresponde un menor valor de B (a ms corresponde menos y a menos corresponde ms), ejemplo:

Directa: A mayor cantidad de invitados tiene que haber mayor cantidad de comida. A mayor numero de compras mayor cantidad de dinero gastado A menor tiempo invertido menor trabajo realizado Inversa: A mayor descuento menor pago total A menor delincuencia mas seguridad A ms velocidad menor tiempo de viaje

Regla de tres simple directa:

Se fundamenta en una relacin de proporcionalidad. Consiste en que dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes directamente proporcionales, calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra magnitud. A1 C A2 X

A1 = C A2 X

X = A2 * C A1

Ejemplo:

1) En una tienda venden galletas. Si vende una docena gana Q. 15.00, entonces si venden 3 docenas Cundo es la ganancia? 1 doc. Q15 3 doc. X X =Q45 2) Una fbrica de refrescos produce 100 bebidas en 1 hora. Entonces si produce 350 bebida. Cunto tiempo tardara? 1 hora 100 bebidas X horas 350 bebidas X = 3.5 horas. 1 = 100 X = 350 X = 350 * 1 100

1 doc. = Q15 3 doc. = X

X = 3 * 15 1

3) Si en 5 horas recibimos 10 cursos cuantos cursos recibimos en 10 horas? 5 horas 10 cursos 10 horas X cursos X= 20 cursos 5 = 10 10 = X X= 10 * 10 5

Regla de tres simple inversa:

Consiste

en

que

dadas

dos

cantidades

correspondientes

a

magnitudes

inversamente proporcionales, calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra magnitud.

Es decir que a menos corresponde ms. De esta forma: A1 C A2 X

A2 = C A1 = X

X= A1 * C A2

Son magnitudes inversamente proporcionales, la velocidad y el tiempo:

A ms velocidad corresponde menos tiempo. A menos velocidad corresponde ms tiempo.

Ejemplos:

1) Un vehculo tarda en realizar un trayecto 6 horas si su velocidad es de 60 km/h, pero si la velocidad es de 120 km/h Cunto tiempo tardar? 6 horas 60 Km/h X horas 120 Km/h X= 3 2) Un grifo que mana 181 de agua por minuto tarda 14 horas en llenar un depsito. Cunto tardara si du caudal fuera de 71 por minuto? 18 l/min. 14 h 7 l/min. X h X = 36 horas

120 km/h = 6 h 60 Km/h = X h

X = 60 * 6 120

7 = 14 18 = X

X = 18 * 14 7

3) 3 obreros construyen un muro en 12 horas, cunto tardarn en construirlo 6 obreros? 3 obreros 12 h 6 obreros X h X = 6 horas.

6 = 12 3 X

X = 12 * 3 6

REPARTOS PROPORCIONALES:

En un reparto proporcional hay que repartir una cantidad proporcionalmente a otras, este reparto puede ser directo, si a una cantidad mayor corresponde otra mayor o inverso, si a una cantidad mayor le corresponde una menor.

Reparto proporcional directo:

A una mayor cantidad corresponde mayor proporcin. Ejemplo: Tres socios, Antonio, Jos y Ana pusieron para crear una empresa Q5000, Q8000, y Q10000 respectivamente. Tras un tiempo la empresa tiene Q2300 de beneficios. Qu cantidad corresponde a cada uno? Es claro que los beneficios se tienen que repartir proporcionalmente a la cantidad que se aporta y a mayor aportacin ms beneficios, el reparto proporcional es directo. Antonio = y Jos = y Ana = z = 1 10

x = y = z = x+y+z = 2300 5000 8000 10000 5000+8000+10000 23000 X = 1 luego 10x = 5000 => x = 500 5000 10 Y = 1 luego 10y = 8000 => y = 800 8000 10 Z = 1 10000 10 luego 10z = 10000 => z = 1000

Por tanto Antonio recibir Q500, Jos recibir Q800 y Ana Q10000.

Reparto proporcional inverso:

A una mayor cantidad corresponde menor proporcin.

Ejemplo:

Un padre quiere repartir Q15000 entre sus hijos de 3, 10 y 15 aos. Desea entregar a cada hijo una cantidad que sea inversamente proporcional a su edad. Qu cantidad corresponder a cada hijo?

Llamemos x, y, z a las cantidades que lo corresponde a los hijos de 3, 10 y 15 aos respectivamente

3 aos = x x 1 3 X 1 3 = y 1 10 =

10 aos = y z 1 15 =

15 aos = z x+y+z 1 + 1+ 1 3 10 15 = 15000 1 2 = 30000

= 30000 => x = 10000

Y = 30000 => y = 3000 1 10 Z 1 15 = 30000 => z = 2000

Por tanto al nio de 3 aos le corresponden Q10000, al de 10 aos Q3000 y al de 15 Q2000.

REGLA DE TRES COMPUESTA:

Se emplea cuando se realizan tres o ms magnitudes, de modo que a partir de las relaciones establecidas entre las magnitudes conocidas obtenemos la desconocida. Una regla de tres compuesta se compone de varias reglas de tres simples aplicadas sucesivamente. Varias reglas de tres simple directas y sucesivas formarn una regla de tres compuesta directa. Varias reglas de tres simple inversas y sucesivas formarn una regla de tres compuesta inversa. Varias reglas de tres simple, unas directas y otras inversas sucesivas formarn una regla de tres compuesta mixta.

Regla de tres compuesta Directa: Es la forma de regla de tres compuesta muy simple, cuando tenemos

magnitudes directamente proporcionales siguiente manera:

y podemos calcular la incgnita. De la

A1 B1 C1 D A2 B2 C2 x

A1 = B1 = C1 = D A2 B2 C2 x

X= A2 * B2 * C2 * D A1 * B1 * C1

Ejemplo:

1) Dos personas hacen un mueble cada 10 horas Cuntos muebles harn cuatro personas en 20 horas? 2 personas 10 horas 1 mueble 4 personas 20 horas x X = 2 * 10 = 1 4 * 20 = x 20 = 1 80 x 2 = 10 = 1 4 = 20 = x

x = 80 * 1 20

X=4

2) Nueve grifos abiertos durante 10 horas diarias han consumido una cantidad de agua por valor de Q20. Averiguar el precio del vertido de 15 grifos abiertos 12 horas durante los mismos das. 9 10 20 1512 X X= 20*180 = 40 90 9 * 10 * 20 15 12 X 90=20 180 X

X = Q40

3) El transporte de 150ton. De mineral de hierro a la distancia de 650Km., ha costado Q2600. Cunto costar el transporte de 225ton De la misma mercanca a la distancia de 200Km?

150 650Km 2600 225 200Km X

150 * 650 = 2600 225 200 X

X = 650*150 X= Q1200 650*150*2600 Regla de 3 Compuesta Inversa: Es la forma de regla de 3 compuesta en la que las proporcionalidades son inversas. De la siguiente forma:

A1 B1 C1 D A2 B2 C2 X

A2 = B2 = C2 = D A1 = B1 = C1 = X

En donde para calcular la incgnita realizamos el siguiente procedimiento: 1) 5 obreros trabajan 6 horas diarias, tardan 2 das en realizar un trabajo. Cuntos das tardarn en hacer el mismo trabajo Cuntos das tardarn en hacer el mismo trabajo 4 obreros, empleando 7 horas diarias. Sabemos que: 5 obreros 6hrs. Diarias 2 das 4 obrero 7hrs. Diarias X 4*7 = 2 56 X X = 2.14 das 28 = 2 30 X

2) 1 auto recorre 5 ciudades en 10 horas a una velocidad de 120 km/h. Cunto tardar en recorrer 4 ciudades a una velocidad de 140 km/h? 5 120 km/h 10 horas4 140 km/h

5 = 120 = 10 4 140 x

X

4 * 140 =10 5 * 120 = x X= 10.71h

560 = 10 600 x

x = 600*10 560

3) Dos albailes tardan 3 das en construir 6mt de profundidad de una cisterna. Cunto tardarn en construir 4 albailes 8 m? 2 6mt 3 das 4 8mt X 2=6=3 4=8=x

X=4*8 =3 2*6

X = 32 = 3 12

X = 1.125 das

APLICACIONES DE REGLA DE TRES:

Existen muchas operaciones que diariamente realizamos y en la que aplicamos regla de tres sin ser consciente de que lo estamos haciendo. Los casos o situaciones en las cuales aplicamos regla de tres o porcentajes son muy diversos. Descuentos en lo precios de artculos e incrementos. Clculo del IVA de los productos. Clculo de inters simple y compuesto Clculo del ndice de precios al consumo Como ejemplo del uso de la regla de tres pondremos la medicin realizada a las pirmides egipcias; aunque los egipcios fueron capaces de construir las pirmides, no saban cunto medan. Cuando Tales de Mileto visit Egipto, le preguntaron si l poda hacerlo. El sabio griego tom una vara y midi la proporcin entre la vara y su sombra. A continuacin, midi la sombra de la pirmide y, con una sencilla regla de tres, hall la altura de la construccin.

Regla de tres compuesta mixta Es una regla de tres compuestas en donde para resolver una operacin o problema se utiliza tanto la regla de tres simple directa como la inversa.

A1 B1 C1 D A2 B2 C2 X

A1 = B2 = C1 = D A2 = B1 = C2 = X

X= A2 * B1 * C2 * D A1 * B2 * C1

Ejemplo: Si 8 obreros realizan en 9 das trabajando a razn de 6 horas por da un muro de 30 m. cuntos das necesitarn 10 obreros trabajando 8 horas diarias para realizar los 50 m de muro que faltan? A ms obreros, menos das Inversa A ms horas, menos das Inversa A ms metros, ms das Directa.

8 obreros 9 das 6 horas 30 m 10 obreros x das 8 horas 50 m

10 * 8 * 30 = 9 8 6 50 x

1=9 x

x= 9

Otros Mtodos de Resolucin de Reglas de Tres Regla de tres Mediante Proporciones

Otra forma de resolver una regla de tres mediante las proporciones. Una proporcin es la igualdad entre dos cocientes: (a/b = c/d).

Aplicando las proporciones al clculo del cuarto trmino, o incgnita, de una regla de tres tendramos: (a/b = c/x). Como el producto de los extremos (a y x) es igual al producto de los medios (b y c), a * x = b * c, de donde obtendramos el valor de la incgnita o cuarto trmino. Ejemplo: Si John compr 15 dulces por 60 centavos. Cunto le constarn a Mary 25 dulces? (15 dulces/25 dulces) = (60 centavos/x centavos) Luego 15*X = 60 *25, de donde X = 60*25/15 = 100 centavos = 1 quetzal.

-

La regla de tres reduciendo a la unidad

Con este mtodo lo que buscamos es que una de las razones (a, b, c d) sea 1 para simplificar los clculos. Ejemplo: Si John compr 15 dulces por 60 centavos. Cunto le constarn a Mary 25 dulces? Si por 15 dulces John pag 60 centavos, por un dulce pag 60/15= 4 centavos. Como queramos saber cunto le habra costado comprar 25 dulces, tendremos que multiplicar 25*4=100 centavos, o, lo que es lo mismo, 1 quetzal. En este ejemplo, hemos calculado el precio de un dulce para poder calcular el precio de cualquier nmero de dulces tan slo multiplicando el precio unitario por el nmero de dulces comprado.

-

Regla de tres prctico o por algoritmo de signos

Con este mtodo nos ahorraremos el convertir una regla de tres compuesta en varias simples solamente identificando que elementos son directos e inversos. Esto lo hacemos as: Usaremos + y para marcar donde hay proporcin directa y donde inversa respectivamente. Identificamos en pares que tipo de proporcin es, si directa o inversa. La incgnita no tiene signo y arriba de ella siempre va ir un ms. Establecemos cada relacin con el que se busca. Entonces la incgnita sera igual a el producto de todos los que tienen + dividido el producto de todos los que tiene menos. 3 hombres trabajando 8 horas diarias han hecho 80 m de una obra en 10 das.

Cuntos das necesitan 5 hombres que trabajan 6 horas diarias para hacer 60 m? Hombres 3+ 5horas /da 8+ 6m 80 60+ das 10 + x

X= 3* 8 * 60 * 10 5 * 6 * 80

x= 6

BILBIOGRAFA

http://www.ematematicas.net/porcentajes.php?a=1&tp=3 http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_tres http://www.vitutor.com/di/p/a_5.html http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Proporcionalidad.html http://www.ematematicas.net/porcentajes.php?a=1&tp=6 http://www.ematematicas.net/porcentajes.php?a=1&tp=6&d=pi http://www.hiru.com/matematicas/regla-de-tres Y diferentes notas utilizadas a lo largo de los ciclos educativos bsicos y diversificado.