Rectas y Planos

Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de Matematica

Coordinacion de MAT022

Guıa de Rectas y Planos

1. Sean A (0, 1, 2) , B (1,−1, 5) y C (1, 0, 1)

(a) Hallar las ecuaciones simetricas de la recta que pasa por B y es paralela a la recta

−x+ 2

2= 2y + 3 =

3− z4

Rpta: −x+12 = 2y + 1 = −z+5

4

(b) Hallar las ecuaciones parametricas de la recta que pasa por C y es perpendicular a la recta que pasa porA y B.

Rpta:

x = 1 + sy = 0− sz = 1− s

s ∈ R

2. Determine el angulo entre los planosΠ1 : z = 2− 6x− 7yΠ2 : z = 1− 8x+ 7y

Rpta: ](Π1,Π2) = π2 ,

3π2

3. Encuentre dos planos cuya interseccion sea la recta x = 3 + 2ty = 1− tz = 1 + 4t

con t ∈ R

Rpta: Π1 : − x+ 2y + z = 0 y Π2 : 13 (2x+ 8y + 3z) = 3

4. Encuentre la ecuacion del plano que pasa por el punto P0(1, 1, 1) y que contiene a la recta formada por lainterseccion de los planos:

Π1 : x+ y − z = 1

Π2 : 2x− y + 2z = −1

Rpta: x+ y + z − 1 = 0

5. Encontrar la ecuacion cartesiana del plano que es perpendicular a la recta L1, y contiene a la recta L2, donde:

L1 :x+ 2

−3=y − 2

1=z + 1

2

L2 : x = 1 + 2t, y = 1 + 4t, z = 1− t

Rpta: No existe el plano pedido.

6. Encontrar la ecuacion del plano cuyos puntos equidistan de (2,−1, 1) y (3, 1, 5).

Rpta: x+ 2y + 4z = 292

7. Encuentre un valor de m ∈ R de modo que los vectores −→a =−→i −−→j +2

−→k ,−→b = 3

−→i +−→j y −→c = −m2−→i +2

−→k

sean coplanares.

8. Encuentre ecuacion del plano paralelo a la direccion dada por −→w = 3i− j + 3k y que contenga a la recta deecuaciones x+ y = 3, 2y + 3z = 4

Rpta: z = 76x+ 1

2y + 136

MAT022 Primer Semestre 2014 1


9. Demostrar que si un plano intersecta los ejes coordenados en los puntos (a, 0, 0) , (0, b, 0) y (0, 0, c) entoncessu ecuacion es:

x

a+y

b+z

c= 1

10. Calcule la distancia del origen al plano x− 2y + 2z = 6

Rpta: d = 2

11. Determine la proyeccion de la recta x = 3 + 2ty = 1− tz = 1 + 4t

con t ∈ R

sobre el plano de ecuacion2x+ y − z = 2

Rpta: x = 11 + 20sy = −3 + 9sz = 17 + 49s

con s ∈ R

12. Determine la ecuacion del plano que pasa por los puntos (0, 0, 1); (1, 2, 1), y es tal que forma con los planoscoordenados un tetraedro de volumen maximo.

Rpta: V = C2

3 , luego si C −→ ±∞, el plano resultante corresponde a z = 1 que es paralelo al plano XY ygenera un tetraedro de volumen infinito.

13. Hallar la ecuacion de un plano que este a distancia√

11 del plano

x+ y + 2z = 3

Rpta: x+ y + 2z = 3±√

66

14. Hallar la distancia del punto A = (a, b, c) a la recta−−→OP =

−−→OP 0 + t

−→d , t ∈ R

Rpta: Luego, dist(A,−−→OP ) = ‖~v⊥‖, donde ~v⊥ es un vector perpendicular a la recta tal que A −

−−→OP 0 =

((A−−−→OP 0) · ~d)

~d

‖~d‖2+ ~v⊥.

15. Una partıcula se lanza desde (0, 0, 0) ∈ R3 siguiendo la direccion −→v = (1, 1, α), para que choque con el planoΠ : x+ y + z = 5, determine el punto de impacto y la distancia recorrida por la partıcula.

Rpta: La distancia recorrida corresponde a la norma del vector 5α+2 (1, 1, α) − (0, 0, 0) que corresponde a

5√2α2

|2+α| .

16. Encuentre la ecuacion del plano Π que cumple simultaneamente con:

(a) (0, 0, 0) ∈ Π

(b) Π⊥Π1 donde Π1 = {(x, y, z) ∈ R3/x+ y − z = 1}(c) Π//L donde L = {(x, y, z) ∈ R3/x+ y + z = 0 ∧ x+ 2y − z = 1}

Rpta: Π : − 3x+ 4y + z = 0

17. Sea L la interseccion de los planos

M1 : 2x+ y − z + 3 = 0, M2 : x− y + 2x+ 1 = 0

Encuentre el angulo que forma L con la normal al plano: M3 x+ y + z = 0

Rpta: ] = arccos( 53√11

) = 59.8332◦



18. Dados el punto A = (2, 0, 1) y la recta

L :−−→OP = (1, 2, 3) + t(−2,−1, 1), t ∈ R

(a) Encuentre la ecuacion del plano que pasa por A y es perpendicular a L

(b) Encuentre la ecuacion vectorial de la recta que pasa por A, e intercepta perpendicularmente a L

Rpta:

(a) −2x− y − z + 3 = 0

(b) La ecuacion vectorial es x

yz

∈ R3 :

xyz

=

201

+ λ

−175

λ ∈ R

19. Una partıcula P se mueve en el espacio de modo que en el instante t :−−→OP = (1−t)−→i +(2−3t)

−→j +(2t−1)

−→k

(a) Verifique que P se mueve en una recta.

(b) Encuentre una direccion de la trayectoria.

(c) ¿En que instante t0 iniciara en el plano 2x+ 3y + 2z = 1?

Rpta:

(a) Derivando la funcion de la trayectoria en el tiempo, obtenemos ddt

−−→OP = −i− 3j+ 2k que corresponde al

vector velocidad, como este es constante, la partıcula se mueve en una recta.

(b) La direccion corresponde al vector director de la recta−−→OP , es decir (−1,−3, 2).

(c) Debemos encontrar t0 tal que el punto (1− t0, 2− 3t0,−1 + 2t0) pertenece al plano 2x+ 3y + 2z = 1, esdecir t0 = 5

7

20. Encuentre la ecuacion del plano que contiene a los puntos A = (1, 2, 3) y B = (2,−3, 4) y sea ortogonal alplano de ecuacion 3x+ 2y − z = 0. ¿Cual es la distancia al origen?

Rpta: La ecuacion del plano es: 3x + 4y + 17z = 62 y la distancia del plano al origen es |λ| donde λ es talque λ√

314(3, 4, 17) · (3, 4, 17) = 62 es decir λ = 62√

314

21. Desde el origen (0, 0, 0) de un sistema de coordenadas sale una partıcula (con velocidad constante), moviendose

sobre la recta que tiene vector director −→v =−→i −−→j + α

−→k (α parametro real)

(a) Determine la ecuacion parametrica de la recta en que se mueve la partıcula.

(b) En el mismo sistema de coordenadas determine la ecuacion de un plano π que pasa por P1 = (1, 0, 0),P2 = (0, 2, 0) y P3 = (0, 0, 3).

(c) Determine el punto del plano π en el cual la partıcula lo impacta. Determine la distancia recorrida porla partıcula desde el origen hasta impactar el plano. ¿Para que valor de α, la partıcula recorre la mınimadistancia para impactar al plano π?

Rpta:

(a) La ecuacion parametrica de la recta esx = 0 + ty = 0− tz = 0 + αt

(b) π : 2x+ y + 23z = 2

(c) De manera analoga al ejercicio 15 obtenemos:



• Punto de impacto: 63+2α (1,−1, α).

• Distancia recorrida: ‖ 63+2α (1,−1, α)‖ = 6

√2+α2

|3+2α| .

• Distancia mınima: Se calcula minimizando la cantidad 6√2+α2

|3+2α| .

El resultado obtenido es α∗ = 43 , donde el valor mınimo es ≈ 2.05798

22. Considere los planos Π1 : x− z =√

2 y Π2 : x+ y = 2√

2.

(a) Calcule el angulo mas pequeno (agudo) que forman los planos Π1 y Π2

(b) Encuentre la forma parametrica de la recta L, en que se intersectan los planos Π1 y Π2.

(c) Encuentre la ecuacion del plano Π que bisecta el angulo agudo que forman los planos Π1 y Π2 y queusted calculo en (1)

Rpta:

(a) cos](Π1,Π2) = 1√2√2, luego ](Π1,Π2) = π

3 .

(b)

L =

x = t

y = −t+ 2√

2

z = t−√

2

, t ∈ R

(c) Π : 2x+ y − z = 3√

2

23. Sea Π1 el plano 2x − y + 3z = α, α ∈ R. Sea Π2 el plano que contiene a los puntos (1, 1, 2) y (0, 1, 3) y es

paralelo al vector −→v =−→i + 1/2

−→j . Sea Π3 el plano que contiene al punto (1, 1,−1) y sea perpendicular a la

recta:

L :x− 1

1=y − 5

1=z − 3

2

Determine α ∈ R de modo que la interseccion Π1 ∩Π2 ∩Π3 sea una recta.

Rpta: α = 1

24. Sea M el plano cuya ecuacion cartesiana es: ax + by + cz + d = 0. Establezca en cada caso, la relacion quedeben satisfacer los coeficientes a, b, c, d de modo que

(a) M sea paralelo al plano 2x− y + x = 7

(b) M es perpendicular al vector−→d = −−→i + 3

−→j + 5

−→k

(c) M intercepta a los ejes coordenados en x = 2, y = −1, z = 1

(d) M contenga la recta L : x = 2y = z

Rpta:

(a) (a, b, c) = α(2,−1, 1), α 6= 0 y d ∈ R.

(b) −a+ 3b+ 5c = 0 y d ∈ R.

(c)

2a+ d = 0−b+ d = 0c+ d = 0

=⇒

abcd

= b

− 1

21−11

b ∈ R

(d) a = − b2 − c y d = 0.

25. Sean l1 y l2 las rectas de interseccion de los respectivos planos

{3x− y − 5 = 04x− z − 4 = 0

y

{y + z − λ = 0x− y − 1 = 0



(a) Demuestre que las direcciones de l1 y l2 son perpendiculares

(b) ¿Para que valor(es) de λ, las rectas l1 y l2 determinan un plano? Justifique su respuesta.

Rpta:

(a) ~v1 = (1, 3, 4) y ~v2 = (1, 1,−1). Claramente son perpendiculares

(b) λ = −5.

26. Encontrar el angulo formado por los planos:

Ax+By + Cz +D = 0 y ax+ by + cz + d = 0

Rpta: cos] = Aa+Bb+Cc√(A2+B2+C2)(a2+b2+c2)

27. Encontrar la distancia mınima desde el punto P = (7, 5,−10) a la superficie de la esfera:

(x− 1)2 + (y + 1)2 + (z − 2)2 = 4

Rpta: d =√

270− 2

28. Determinar la ecuacion del plano paralelo al plano M : x + 3y − z − 5 = 0, tal que el punto (−1, 1, 1)equidiste de ambos planos.

Rpta: x+ 3y − z = 2

29. Encontrar la ecuacion cartesiana del plano tangente a la esfera: (x− 3)2 + (y− 2)2 + (z− 1)2 = 38 en el punto(2, 1,−5).

Rpta: x+ y + 6z + 27 = 0

30. Encontrar la ecuacion de la familia de planos Mα que pasan por P = (0, 0, 1) y forman un angulo de π/4 conel plano XY

Rpta: Mα = {Los planos cosαx+ sinαy + z = 1 : α ∈ (0, 2π]}

31. Encuentre la distancia del origen al punto de interseccion del plano Π con la recta L donde:

Π : 3x− 2y + z = 0

L = −→x = (1 + t, 2t− 1, 1 + 3t), t ∈ R

Rpta: d =√

117

32. Sean los puntos A = (1, 1, 1), B = (−2, 1, 3) y C = (λ,−1, 0). Determinar el valor de λ, tal que el plano quecontiene los tres puntos, no intersecte el eje y.

Rpta: λ = 52

33. Sea el plano Π : ax− y + bz = 2 y la recta

l :x− 1

3=

y

−1=z − 1

2

Determinar a, b ∈ R tal que l//Π y (1,−1, 1) ∈ Π

Rpta: a = −3 y b = 4

34. Encontrar la(s) ecuacion(es) del (de los) plano(s) paralelo(s) al eje z, que contengan el punto (−1, 2, 1) y queequidiste(n) una unidad del origen

Rpta: Sea Π : ax + by + z = d, entonces como el plano debe ser paralelo al eje z, obtenemos que c = 0.Reemplazando el punto se obtiene que d = 2b − 1. La ultima condicion nos dice que ± el vector normal

unitario al plano, debe pertenecer al plano, por lo que ± 1+b2√b2+1

= d = 2b− 1, cuya solucion es b = 0 o b = 43 ,

de donde se obtiene que d = −1 o d = 53 respectivamente.



35. Sea Π : ax + by + cz + d = 0 un plano. Determine, en cada caso, las condiciones que deben satisfacera, b, c, d ∈ R para que

(a) Π sea paralelo al eje z

(b) Π contenga al eje z

(c) Π sea paralelo al plano π1 : 2x+ 3y − z + 4 = 0

(d) Π sea perpendicular a la recta l : 2−x2 = y − 3 = 2z

Rpta:

(a) c = 0 y a, b, d ∈ R(b) c = 0, d = 0 y a, b ∈ R(c) (a, b, c) = α(2, 3,−1), α ∈ R \ {0} y d cualquiera.

(d) (a, b, c) = α(−2, 1, 1/2), α ∈ R \ {0} y d cualquiera.

36. ¿Existe un plano perpendicular al vector −→v = (3, 5, 6) que sea paralelo a la recta x1 = y

2 = z3? Justifique

claramente su respuesta.

Rpta: No existe tal plano.

37. Dado los planos Π1 : x+ y+ z = 1 y Π2 : x− y+ 2z = −1, y la recta L1 de vector director (1, 1, 0) y que pasapor el origen O.

(a) Encuentre la recta L2 = {P ∈ R3 : P = P0 + λ−→v , λ ∈ R} que resulta de la interseccion en R3 de losplanos Π1 y Π2.

(b) Encuentre un vector no nulo ortogonal a L1 y L2.

(c) Tome O ∈ L1 y P0 ∈ L2 y calcule el modulo de la proyeccion del vector−−→OP 0 sobre la direccion normal

calculada en b).

Rpta:

(a) L2 =

P ∈ R3 : P =

010

+ λ

−312

, λ ∈ R

(b) ∣∣∣∣∣∣

i j k1 1 0−3 1 2

∣∣∣∣∣∣ = (2,−2, 4)

(c)−−→0P0 = (0, 1, 0)

‖ proy−−→0P0−−−−−→(2,−2,4)

‖ = ‖ − 2

122(1,−1, 2)‖ = ‖ − 1

3(1,−1, 2)‖ =

√6

3


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