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Espacio tridimensional (3D)

Planos y rectas en R3

Sesión 15.1

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Planos y rectas en R3

Rectas en el espacio y sus formas de representar.

Planos en el espacio y sus ecuaciones.

Productos vectoriales

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Las formas: vectorial, paramétrica y simétrica son usadas para representar una recta en el espacio 3D.

v es el vector dirección paralelo a la recta , donde v=tP0P; tR

y

z

x

v= a; b; c PO(xo; yo; zo)

P(x; y; z)

OP0

O

OP

OP=<x; y; z>

OP0=<x0; y0; z0>

Sean:

Ecuaciones de una recta en el espacio

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Ecuaciones de una recta en el espacioSi es una recta que pasa por el punto Po(xo; yo; zo)y en la dirección del vector no nulo v = a; b; c,entonces un punto P(x; y; z) está en sí y sólo si

a, b y c son diferentes de cero

Vectorial:

Paramétrica:

czz

byy

axx 000

Simétrica:

Rt

ctzz

btyy

atxx

;

0

0

0

OP = OP0 + tv, tR

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a) Determine las ecuaciones paramétricas y simétrica de la recta que pasa por los puntos A(2; 4; -3) y B(3; -1; 1).

b) ¿En qué punto interseca esta recta al plano xy?

Determinación de la ecuación de la recta:1. Si se conoce dos puntos de la recta.

y

x

z

A=(2; 4; -3)

B=(3; -1; 1)

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2. Dado un punto de la recta y un vector director.

a) Determine una ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto (5; 1; 3) y que es paralela al vector i+4j-2k.

b) Determine otros dos puntos sobre la recta.

v=i+4j-2k

y

x

z

P0=(5; 1; 3)

Determinación de la ecuación de la recta:

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3. Dado un punto y una recta paralela.

Determine las ecuaciones paramétricas y simétrica de la recta que pasa por el punto A(1; -1; 1) y paralela a la recta con ecuaciones: x+2 = y/2 = z–3.

x+2 = y/2 = z–3

y

x

z

P0=(1; -1; 1)

Determinación de la ecuación de la recta:

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Planos en el espacioPara describir un plano en el espacio no basta hacerlo mediante la ubicación de un vector paralelo al plano.

y

x

z

P(x; y; z)

n

P0(x0; y0; z0)

y

x

z

v

P0(x0; y0; z0)

Sin embargo un vector perpendicular o “normal” n al plano especifica por completo su dirección.

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Planos en el espacio

y

x

z

P(x; y; z)

P0(x0; y0; z0)

0000 zzcyybxxa

Dado un plano, se cumple que el producto escalar del vector normal n y el vector P0P debe ser cero.

n=a; b; c

0 000 ;;;; zzyyxxcba

0 PPn 0

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Vectorial:

General: 0 dczbyax

Las ecuaciones de un plano son:

Planos en el espacio

P0 : Punto conocido (xo; yo; zo)P : Punto genérico (x; y; z)n : Vector normal <a; b; c>

Los coeficientes de x, y, z, son las componentes del vector normal <a; b; c>

0 PPn 0

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Ejemplos

1. Determine una ecuación del plano que pasa por el punto P(2; 4; -1) con un vector normaln = 2; 3; 4

2. Halle la ecuación del plano determinado por los tres puntos A(2; 1; –1), B(–2; 0; 3) y C(1; 4; 0).

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Producto vectorial

Dado los vectoresEl producto cruz o vectorial u v es:

u v1 2 3 1 2 3; ; ; ;u u u y v v v

i j k

u v 1 2 3

1 2 3

u u u

v v v

u v i j k2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1( ) ( ) ( )u v u v u v u v u v u v

Para ayudarnos a recordar la fórmula, usaremos la notación de determinante:

EjemploSi u = 4; -1; 2 y v = 1; -3; 2, halle u v.

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Propiedades del producto vectorialSi u, v y w son vectores y c es un número real, se cumple que:

u v = – (v u)

u (v + w) = u v + u w

(v + w) u = v u + w u

c(u v) = (cu) v = u (cv)

0 u = u 0 = 0

u u= 0

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Propiedades del producto vectorial

j k = i

i j = k

k i = j

Respecto a los vectores unitarios i, j, k se tiene que:

x

y

z

i

jk

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Características del producto vectorial

El producto u v es ortogonal a u y v.

0 v)vu(

0 u)vu(

u v

u

v

Si es el ángulo entre u y v (0 ), entonces:

|u v| = |u||v| sen senvh

u

v

área= b x h = |u||v|sen = |u v|

b

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Los alumnos deben revisar los ejercicios del libro Cálculo de Varias Variablesde Stewart.

Ejercicios: 2, 4, 14, 22, 28,34 y 38 de las páginas 792 y793, así como 24, 26, 28, 30, 32 y 34 de las páginas 802 y803.

Bibliografía

1717

ClassPadcombine: Propiedad distributiva.

1818

ClassPad

Para hallar la ecuación del plano determinado por los tres puntos A(9; 5; 4), B(2; 8; 5) y C(7; 2; 6).

 

 

Paso 3: u v Vector normal al

plano

Ecuación del plano

1919

ClassPaddotP: Realiza producto escalar.

u.v

202020

ClassPadcrossP: Realiza producto vectorial.

u v