RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL A UNA CURVA NORMALEN UN PUNTO

Sea f : R R en una funcion derivable en x = a. Considerando la interpretaciongeometrica de f (a), se tiene las siguientes definiciones:

Definicion 5. (Recta tangente)

Se llama recta tangente a la grafica de f en el punto P (a; f(a)) a la recta cuyaecuacion es.

Definicion 6. (Recta normal)

La recta que pasa por el punto P (a; f(a)) y que es perpendicular a la rectatangente de la grafica de f en P se llama recta normal la grafica de f en el punto P

Si f (a) 6= 0. la ecuacion de la recta normal es PN : y f(a) = 1f(a)

1NSi f(a) = 0.laecuaciondelasrectasmnormalesLN : x a = 0

Ejemplo 12.

Dada f(x) = x2 2x + 3 halle las ecuaciones de la recta tangente y la rectanormal a la grafica de f en el punto P (2, 3)

Solucion

la pendiente de la recta tangente es

PN = f(2) = lm

h0f(2 + h) f(2)

h= lm

h0(h + 2) = 2

luego, las ecuaciones de la recta tangente y normal a la grafica de f en el puntoP (2, 3)

Lt : y 3 = 2(x 2) Lt : 2x y 1 = 0Ln : y 3 = 1

2(x 2) Ln : x + 2y 8 = 0

Ejemplo 13.

Sea f(x) = 2 x x2 Determine la ecuacion de la recta tangente y la grafica dela f que es paralela a la recta L : x y 4 = 0

Solucion

f (2) = lmh0

f(x + h) f(x)h

= lmh0

(1 2x h) = 1 2x

Con la recta L dependiente mL = 1 es paralela a la recta tangente. entoncesmt = f(x) = 1 2x = mL = 1 de donde se obtiene que x = 1en el punto de tangencia es P (1; f(1)) = P (1; 2) Por consiguiente a la accion dela recta tangente es Lt : x y + 3 = 0.

1

Ejemplo 14.

Dada f(x) = 2x3 + 3x2 36x + 1, determine las ecuaciones de tangentes hori-zontales a la grafica de f .

Solucion

La tangente es horizontal si f(x) = 0.

Si el lado es facil verificar que f (x) = 6x2 + 6x 36 = 6(x 2)(x + 3)

f (x) = 0 = (x 2)(x + 3) = 0 = x = 2x = 3Tanto e los puntos P (2,43) y Q(3, 82) las tangentes de f son semejantes y susecuaciones son respectivamente:

Lt : y = 43 Lt : y = 82

Ejemplo 15.

La resta L es normal a la grafica de la f(x) = x2 4 en Q(a : f(a)) por el puntoP (33, 0). determine Q a la ecuacion de L.

Solucion

f(x) = 2x. La pendiente de Mr de la recta tangente a la grafica de f en el puntoQ(a, f(a)) es mr = f

(a) = 2a.En otro lado la pendiente de la recta L que pasa por los puntos P (33, 0) y f(a) es

ml =f(a) 0a 33 =

a2 4a 33

Dado en cuenta que l es perpendicular a la Reta Tangente. entonces

ml =1

f(a) 2a3 7a 33 = 0 (a 3)(2a2 + 6a + 11) = 0

En consecuencia. a = 3 es la unica raz real de la ecuacion.

Q(3, 5) y L : x + 6y 33 = 0

2

REGLA DE DERIVACION

Teorema 1.

Sea f y g dos funciones derivables en xy sea k una constante

entonces, las funciones kf, f + g, f g, fg.1g

yf

gson derivables en x, y se tiene:

D1 : (kf)(x) = k[f (x)]

D2 : (f g)(x) = f (x) g(x)

D3 : (f.g)(x) = f (x).g(x) + f(x).g(x)

D4 :

(1

g

)(x) = g

(x)[g(x)]2

. si g(x) 6= 0

D5 :

(1

g

)(x) =

g(x).f (x) f(x).g(x)[g(x)]2

. si g(x) 6= 0

Demostracion

(Se demostrara que el teorema es valido para x = a.)

D1 : (kf)(a) = lm

xa(kf)(x) (kf)(a)

x a = lmxakf(x) kf(a)

x a= lm

xaf(x) f(a)

x a = k[f(a)]

D2 Ejercicio.

D3 como f y g son derivables en a, entonces son continuas en a. En particularlmxa g(x) = g(a) y

(f, g)(a) = lmxa

f, g(x) f, g(a)x a = lmxa

f(x).g(x) f(a).g(a)x a

= lmxa

f(x) f(a)x a g(x) + f(a)

g(x) g(a)x a

f(a).g(a) + f(a).(a)

como y es derivable en a y g(a) = 0. entonces por el teorema de conservacion del

3

signo existe B(a.r) tal que para todo x B(a, r) .g(x) se tiene el mismo signo que

luego para x B(a, r) se tiene

(1

g)(a) = lm

xa

(1

g)(x) (1

g)(a)

x a = lmxa

1

g(x) 1g(a)

x a= lm

xa[g(x) g(a)

x a ][1

g(a)g(x)] = g(a)

[g(a)]2

comof

g= f.

1

gy f y g son derivables en a entonces

1

gyf

gson derivables en a. luego.

4