Glosario

Glosario Números Reales

La Recta Numérica

Valor Absoluto

Ecuaciones e Inecuaciones con Valor Absoluto

Exponentes y Propiedades

Radicales y Propiedades

Radicación

Números Reales Se representan con la letra R.

El conjunto de los Números Reales (R ) está integrado por:

El conjunto de los Números Racionales (Q) que corresponden a la unión de todos los números cuya

expresión decimal es finita, infinita periódica o infinita semiperiódica.

El conjunto de los Números Irracionales (I) que está formado por la unión de todos los números que admiten

una expresión infinita no periódica.

Entonces, se llaman Números Reales a todos aquellos que se pueden expresar en forma decimal finita o

infinita; es decir, el conjunto de los Números Reales (R) está formado por los elementos del conjunto Q

unido con I.

Recta Numérica La recta numérica es un gráfico unidimensional de una línea en la que los números

enteros son:

Mostrados como puntos especialmente marcados que están separados uniformemente.

Frecuentemente es usada como ayuda para enseñar la adición y la sustracción simples, implicando

especialmente números negativos.

Está dividida en dos mitades simétricas por el origen, es decir el número cero. En la recta

numérica mostrada arriba, los números negativos se representan en rojo y los positivos en

morado.

Valor Absoluto En matemática, el valor absoluto o módulo1 de un número real es su valor numérico sin

tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor

absoluto de 3 y de -3.

El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes

contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede

generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados,

cuerpos o espacios vectoriales.

Ecuaciones e Inecuaciones con

Valor Absoluto ECUACIONES

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros,

en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados

mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o

constantes; y también variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras

operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se

pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuación:

La letra x representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 son

constantes conocidas. Resolver una ecuación es encontrar los valores de las incógnitas que la

satisfacen, y se llama solución de una ecuación a cualquier valor de dichas variables que cumpla

la igualdad planteada. Para el caso dado, la solución es:

Todo problema matemático puede expresarse en forma de una o más ecuaciones. Sin embargo

no todas las ecuaciones tienen solución, ya que es posible que no exista ningún valor de la

incógnita que haga cierta una dada igualdad. También puede ocurrir que haya varios o incluso

infinitos conjuntos de valores que la satisfagan.

INECUACIONES Una inecuación es una expresión matemática la cual se caracteriza por tener los signos de desigualdad;

siendo una expresión algebraica nos da como resultado un conjunto en el cual la variable independiente puede

tomar el valor cualesquiera de ese conjunto cumpliendo esta desigualdad; a este conjunto se le conoce como

Intervalo.

En matemáticas, una inecuación es una expresión referida al tamaño u orden relativo de dos objetos. La

notación a < b significa que a es menor que b; y la notación a > b quiere decir que a es mayor que b. Estas

relaciones son conocidas con el nombre de inecuaciones estrictas, contrastando con a = b (a es menor o igual a

b); y a = b (a es mayor o igual que b).

Exponentes y Propiedades El exponente o potencia surge al considerar un número como factor tantas veces como se desee.

Los exponentes indican que un número se esta multiplicando por si mismo n veces.

Así 33 indica que se quiere realizar la operación (3)(3)(3) y se lee 3 al cubo. a2, indica que la base a, se va a

multiplicar por sí misma 2 (exponente) veces. Y se lee a al cuadrado. x4 indica que el número x se va a utilizar

como factor 4 veces, es decir (x)(x)(x)(x) y se lee x a la cuarta potencia.

Para exponentes mayores a 3, se lee, para cualquier variable x, x4;; “x a la cuarta”,x7; “x a la séptima”, y así

sucesivamente.

Un número puede descomponerse en n factores deseados

a0 = 1

a1 = a

a2 = aa

a3 = aa2 = aaa

a4 = aa3 = aaaa

an = aan-1 = aa…a n factores

de donde puede obtenerse la regla del producto para los exponentes: a3 a2 = a3 + 2 = a5

Regla del producto para exponentes:

Para toda variable a,b; pertenecientes al conjunto de números naturales, entonces xaxb = xa + b

Como puedes ver, en un producto de expresiones, se conserva la base y se suman los exponentes.

Se considera importante señalar que la regla del producto para exponentes solo puede utilizarse en aquellas

expresiones que tienen la misma variable como base.

Cualquier variable x0 = 1

Considerando otros ejemplos

(a0)3 = a0 a0 a0 = a0+0+0 = (a0)3 = 1

De los ejemplos anteriores se puede obtener la regla de potencia para los exponentes.

Regla de potencia para los exponentes:

Para toda variable a,b; (xa)b = xab (xy)a = xaya para y diferente de 0

Hay que tener cuidado en los casos en que la variable x = 0 ya que 00 es un número indefinido. Es decir, la base

nunca puede ser cero, en ningún caso. Es conveniente aprender aquí a expresar el número 1 en términos de

fracciones. Dicha forma de expresión será muy útil posteriormente. Así el 1 puede expresarse como una

expresión fraccional donde el denominador es idéntico al numerador.

Exponente negativo: xmx-m = xm-m = x0 = 1

Para que este resultado sea congruente con las reglas hasta aquí mencionadas, entonces es necesario que x-m, sea

el inverso multiplicativo de xm. Es decir que es necesario que , resultado que es congruente con las propiedades

mencionadas. Entonces se puede dar la siguiente definición:

Regla del cociente

Ejemplo: (32) (3-2) = 32 - 2 = 30 = 1

Para finalizar con este apartado, tenemos el siguiente teorema:

RESUME

Radicales y Propiedades Un radical es una expresión de la forma

n√¯a.

Simplificación de radicales si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los

exponentes) del radicando, se obtiene un radical equivalente.

Reducción de radicales a índice común un radical es una expresión de la forma , en la que n y a ; con tal

que cuando a sea negativo, n ha de ser impar.

Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene un

radical equivalente.

1 Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice.

2 Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus

exponentes correspondientes.

Extracción de factores fuera del signo radical

Se descompone el radicando en factores. Si: Un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se

deja en el radicando. Un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando. Un

exponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el índice. El cociente obtenido es el exponente

del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando.

Introducción de factores dentro del signo radical

Se introduce los factores elevados al índice correspondiente del radical

an√¯b= n√¯anb

Suma de radicales

Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantes, es decir, si son

radicales con el mismo índice e igual radicando.

an√¯k+ bn√¯k+ cn√¯k=(a+b+c) n√¯k

Radicación La racionalización de radicales consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite

facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones.

Podemos distinguir tres casos:

Racionalización del tipo

Se multiplica el numerador y el denominador por √¯c

Racionalización del tipo

Se multiplica el numerador y el denominador por n√¯c n-m

Racionalización del tipo , y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical.

Se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.

El conjugado de un binomio es igual al binomio con el signo central cambiado:

También tenemos que tener en cuenta que: "suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados".