7Unidad: Números

En el transcurso de esta unidad, junto con tus compañeros, deberánconstruir una recta numérica. El objetivo es tener una representaciónvisual de los números, que será un apoyo para el estudio de la unidad.

Esta recta numérica se construirá con algunos elementos de losconjuntos numéricos que irás estudiando.

Para comenzar, debemos tener claro qué es una recta numérica, es decir, por qué en una línea rectaes posible representar los números. Para ello, el profesor dirigirá esta conversación de tal maneraque, entre todos puedan, lograra una descripción clara de ella.

PROYECTO 1LA RECTA NUMÉRICA

Para construir la recta numérica debemos definir el segmento unidad, lo que permitirá poder teneruna representación consistente y que permite que si una recta numérica no es igual a otra, ambassean igualmente válidas.

La recta numérica

Segmento Unidad

8 Unidad: Números

Para la construcción de la recta numérica, necesitan los siguientes materiales:

• La Recta Numérica.• Cartulinas de colores.• Plumones.• Cinta Adhesiva.• Regla.• Tijeras.

Con la cinta adhesiva peguen la recta numérica en una de las murallas de la sala de clases. La ideaes que esta parte de la sala quede destinada a esta actividad.

Comencemos a construir

Recorten pequeños rectángulos de cartulina, pueden ser todos del mismo color o de colores diferentes.Respecto a las cartulinas de color ROJO, AZUL, AMARILLO Y VERDE, éstas serán utilizadas enla unidad de Variaciones Proporcionales, así que les recomendamos no utilizar esos colores en laconstrucción de la recta numérica. En cada trozo de cartulina escriban un número natural. Haganun rectángulo un poco más grande para escribir el cero.

Comenzarán ubicando el cero, cuya posición ya está marcada en la recta numérica. Continuarán sólocomo los Números Naturales. Para ello, con una regla determinen la longitud del segmento unidad,se recomienda que sea mayor a 15 cm. Hacia la derecha del cero, marquen la ubicación de losnaturales a la distancia determinada por el segmento unidad.

En una cartulina más grande dibujen el segmento unidad, del largo elegido, como se ve en la siguienteimagen:

Continuarán representados los demás conjuntos numéricos en la recta numérica a medida que avancenen el estudio de la unidad. Recuerden que este es un proyecto que depende de todo grupo y ustedestienen toda la libertad de adornarlo como quieran, siempre manteniendo la idea de recta numérica.

9Unidad: Números

Como todo, la matemática tiene historia, y en particular este singularnúmero que en palabras simples nos dice “nada”, nos indica “vacío”,representa “ausencia”.Te has preguntado alguna vez ¿Quién inventó el cero? ¿O de dondeviene su particular simbología? O Quizás ¿cuál fue la necesidad porintroducir este número? Pues bien, te invitamos a descubrir e investigaresta historia que resulta ser novedosa y entretenida.

PROYECTO 2LA HISTORIA DEL CERO

Este proyecto consiste en recopilar cierta información sobre la historia del cero: imágenes, anécdotas,biografías de matemáticos involucrados, curiosidades, etc. En la siguiente tabla presentamos fechasimportantes de la historia del cero y al lado de cada fecha verás palabras y nombres claves que teorientarán en la búsqueda.

Para buscar información, el curso de dividirá en grupos de máximo 3 alumnos(as). Cada grupo sehará cargo de uno de estos hitos de la historia del cero. Como son pocas las fechas presentadas, losgrupos que coincidan en estas fechas, pueden complementarse, abarcando cada uno áreas distintasdel tema.

Como productos finales se espera un pequeño informe que contenga un resumen sobre la historiadel cero de acuerdo con la información que debieron buscar. Este no puede superar las 3 páginas.

Si algún grupo encontró imágenes o anécdotas que quiera compartir las puede pegar junto con larecta numérica que se construirá en la sala de clases.

1700 y 700 a. C. La civilización Babilónica. El cero posicional. Las Tablillas de Kish.

130 d.C. Ptolomeo y su obra Almagesta (o Almagest)

500 d.C. Aryabhata y la palabra kha.

650 d.C. Los matemáticos indios Brahmagupta, Mahavira y Bhaskar.

665 d.C. El sistema de numeración de la civilización Maya.

850 d.C. El árabe Al-khawarismi, y su obra Ibn Ezra.

1200 d.C. Leonadro de Pisa, Fibonacci.

10 Unidad: Números

Los orígenes de los números se remontan a la prehistoria, algunosdescubrimientos arqueológicos nos muestran evidencia de que laidea de número es más antigua que cualquiera de losdescubrimientos tecnológicos.

El concepto de número surgió como consecuencia de la necesidadpráctica de contar. En algunas civilizaciones se contaba con losdedos, hilos, y principalmente con piedras, de aquí el origen dela palabra Cálculo, que en latín se escribe Calculus y significa“Cuenta con piedras”.

Cada civilización ha utilizado diferentes símbolos para representarlos números. A continuación, te presentamos algunas deestas.

GUÍA 1HISTORIA DE LOS NÚMEROS

A partir del año 2.000 a de C, esta civilización descubre las ventajas de un sistema posicional, queles permite escribir cualquier número con sólo dos símbolos, para el 1, que en comparacióncon nuestra escritura actual es una T y para el 10 que actualmente podría ser el signomenor <.

Babilonia

11Unidad: Números

Por ejemplo el número 24 se representaba como:20 + 4 = 24

Los babilonios empleaban un sistema de numeración sexagesimal, basada en potencias de 60, esdecir, el número 60 era representado con el mismo símbolo que para la unidad. La diferencia se hacegráfica, se debe escribir en forma separada del resto de los símbolos.

Ejemplo

Estos son algunos ejemplos de la notación utilizada en Babilonia:

En Egipto alrededor del año 3000 a. C. los escribas inventaron un sistema de representación aditivaen la que cada unidad se escribía con un trazo vertical, la decena se representaba con la forma deuna U invertida o arco, para las centenas utilizaban un símbolo muy parecido al 9 actual y paramillares (mil en la actualidad) y centenas de millares (cien mil actualmente) correspondía unjeroglífico específico: mil es representado por la flor de lotos, diez mil es un dedo señalando, 100.000un pez lota y 1.000.0000 una persona asombrada.

Egipto

12 Unidad: Números

Por ejemplo la imagen muestra una escritura egipcia del siglo3000 a. C., donde se expresa el número 366:

300 + 60 + 6

Por ejemplo la representación del número 3737 sería:

En el año 1450 a. C. la numeración de la civilización China, formaba parte de la escritura Shang,era un sistema decimal que utilizaba el criterio posicional y careció, durante todo el períodoestudiado, de un signo específico para el cero.

China

En esta civilización, tomaron de los egipcios el sistema de numeración y lo acomodaron a sussímbolos hacia el año 600 a. C. Utilizaron trazos verticales para representar los números hastael 4, y letras para el 5 (penta), 10 (deka), 100 (hekatón) y 1.000 (Khiloi), convirtiéndose en unsistema acrofónico, en el que las letras que representaban al número correspondían con la inicialde la palabra (escrita en alfabeto griego de la época) con la que se les denominaba. Así mismo,los símbolos del 50, 500 y 5.000 se obtenían añadiendo, en el interior del signo (5), lossímbolos de (10) , (100) y (1.000).

Griegos

13Unidad: Números

Un número, durante la dinastía Shang, se formaba combinando los nueve primeros signos de laimagen anterior, con los cuatro últimos correspondientes a las potencias de diez. Así, el número65.372 se descompone en:

Cabe destacar que le escritura China, y no sólo la de siglos pasado, se hace en forma vertical, esdecir, desde arriba hacia abajo. Así 65.372 se escribe con los símbolos de la siguiente manera:

En los años 50 a. C., los romanos crearon su simbologíapara representar los números, a través, de un sistemaaditivo cuyos símbolos son de origen latín.

Las letras griegas (phi), (theta) y (psi), quese usaron para los números 1.000, 100 y 50,respectivamente, con el paso del tiempo fueronevolucionando con las letras latinas M, C, L. En losdos primeros casos ayudó el hecho de que M seainicial del numeral latino mille y C, la de centum(1.000 y 100, respectivamente).

Romanos

La mitad de acabó identificándose con el valor de 500, que posteriormente fue D (ver figura).Se ha pensado que el número 5 se identificó con la V, por un antiguo pictograma en forma demano abierta que representaría el número cinco en esos años. La X, asociada a 10, es en realidaduna doble V.

107100300015000106270300000500060 ·+·+·+·=++++ ....

14 Unidad: Números

El siguiente esquema resume la notación de los números romanos:

Letras I V X L C D M

Valores 1 5 10 50 100 500 1000

Ejemplo: el número 74 que es representado por LXXIV. El cuatro es representado por IV, quequiere decir que a V le restamos una unidad.

Letras L X X IV

Valores 50 + 10 + 10 + 4

En el siglo XII, los mayas idearon un sistema donde la unidad se representaba por un punto. Dos,tres, y cuatro puntos servían para 2, 3 y 4. El 5 era una raya horizontal, a la que se añadían lospuntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se usaban dos rayas, y de la misma formase continúa hasta el 19, con 3 rayas y 4 puntos. La siguiente imagen representa la numeraciónMaya:

Mayas

Hasta aquí parece ser un sistema de base 5 aditivo, pero en realidad, considerados cada uno comoun solo signo, estos símbolos constituyen las cífras de un sistema de base 20, en el que hay quemultiplicar el valor de cada cifra por 1, 20, 202, 203 ... es decir por potencias de 20, según el lugarque ocupe, y sumar el resultado. Es por tanto un sistema posicional que se escribe de arriba abajo,empezando por el orden de magnitud mayor.

15Unidad: Números

La numeración Hindú evolucionó del los años 350 a.C, hasta los años 1.200 d. C., básicamente,era una numeración posicional, que no utilizaba muchos símbolos, y fue la primera en incluir uncero al que llamaron Sunya. Se representa por los siguientes símbolos que se acercan más a lanotación actual.

India

Es así como los Hindú, ya utilizaban símbolos muy parecidos a los actuales para representar el1, 4 y 6. Alrededor de los siglos VI y VIII la numeración Hindú pasó a la Arábiga, produciéndoseel cambio más importante, la utilización de la notación posicional.

A través del francés Gerberto, esta numeración se trasladó a Europa, y él fue el responsable dedifundirlo. Posteriormente el italiano Leonardo Fibonacci entró en contacto con los númerosHindúes durante un viaje al norte de África en 1202. Sus tratados fueron divulgados por loscomerciantes, que enseguida entendieron las excelencias del nuevo sistema para llevar sucontabilidad, y así se propagó por Europa, donde evolucionaron hasta llegar a la numeraciónactual.

La numeración actual es una numeración posicional, en base 10. Cuenta con 10 símbolos quese denominan “dígitos” ya que se pueden numerar con los dedos.

La numeración Europea o Actual

510410610510351041006000.105000.1003645.352 1234 +·+·+·+·=+·+·+·+·=

11010 =

A través de la combinación de estos dígitos es posible generar todos los números. Cada posicióndentro de un número está asociado a una potencias 10. La primera posición de la derecha esla unidad, luego la decena ( ), centena ( ) y así va en aumento hacia la izquierda.

Por ejemplo, el números 352.645, se descompone en las siguientes potencias de 10, cada unamultiplicada por el dígito correspondiente:

210100 =

16 Unidad: Números

1. Escribe la fecha de tu cumpleaños (dd/mm/aaaa) utilizando la numeración de la civilización griega:

Trabajando con la historia

2. Escribe la suma de las edades de 3 de tus compañeros en números romanos:

3. ¿Cuál de las escrituras antes descritas se puede encontrar con mayor frecuencia en el entornoque nos rodea? da un ejemplo.

Actividad IA continuación se presentan dos números expresado a través del sistema de numeración egipcio.Completa cada tabla para determinar cuál es el número expresado.

Número en escritura egipcia:

Figura Cantidad Producto Resultado

Uno 1 x 100.000 100.000

Seis 6 x 1.000 6.000

Numeración Actual

17Unidad: Números

Número en escritura egipcia:

Figura Cantidad Producto Resultado

Uno 1 x 1.000.000 1.000.000

Numeración Actual

Actividad IILa numeración de la civilización china, es una de las más parecidas a la nuestra, por ser un sistemade numeración posicional y decimal.

Numeración China

18 Unidad: Números

Según el número expresado en la figura anterior y lo que has leído...

1. Determina cuál es el número expresado en el sistema de numeración Shang y exprésalo en lanumeración actual.

2. Descompone el número encontrado en potencias de base 10. Sigue el ejemplo propuesto en lanumeración actual

3. Observando el ejemplo y con lo que has leído, explica brevemente la relación que existe entrela numeración China y la actual

19Unidad: Números

Es un hecho indiscutible que los números forman parte de nuestra vida cotidiana, como lo fue enun comienzo de la historia, donde los primeros comerciantes lo utilizaron para poder contabilizarsu mercadería. Han sido utilizados para expresar cantidad, como por ejemplo, el ganado que poseían,las tierras, etc. Seguramente de la necesidad de contar es que nace el primer conjunto de números,el conjunto de los números naturales que se denotan con la letra IN.

Ya sabes operar con los números naturales, sumar, restar, multiplicar y dividir, es por esto quequeremos que pongas en práctica tus conocimientos y realices las siguientes actividades que tienencomo objetivo que conozcas otras aplicaciones de los números naturales.

GUÍA 2¿Y SI SÓLO FUERAN LOS NATURALES?

Los cuadrados mágicos son ordenaciones de números en celdas formando un cuadrado, de tal modoque la suma de cada una de sus filas, de cada una de sus columnas y de cada una de sus diagonalesdé el mismo resultado.

Completa los siguientes cuadrados con los números que están debajo del cuadrado, recuerda queestos no se pueden repetir en una misma fila, ni columna, además las cifras de las diagonales, filasy columnas del cuadrado deben sumar lo mismo.

Cuadrados Mágicos

Cuadrados mágicos de 3x3

Las diagonales, filas y columnas suman 21: Las diagonales, filas y columnas suman 30:

Cuadrado Mágico de 4x4Las diagonales, filas y columnas deben sumar 68:

Para realizar las siguientes actividades, reúnanse en grupos de 4 compañeros y/o compañeras.

20 Unidad: Números

Completa con los números naturales 3, 4, 7, 8, 9 la siguiente estrella de tres puntas de manera quelos segmentos que conforman la estrella sumen 15:

Estrella mágica

1. Dadas las siguientes figuras, completa en cada una, la cuarta y quinta figura para generara unsecuencia de imágenes se sigan un cierto patrón.

¿Cómo continúa?

1)

2)

3)

4)

21Unidad: Números

1. Cada una de las siguientes sucesiones de números tienen una cierta regla de formación. Deacuerdo a la regla que encontraste para cada caso, completa los espacios en cada una de lassucesiones y describe con tus palabras la regla determinada:

a. 2, 4, 6, 8, , , , 16,

b. 1, 3, 5, 7, , , 13, 15,

c. 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, , 100,

d. 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, , , ,

Observa detalladamente la figura, que corresponde a la representación gráfica de los NúmerosTriangulares estudiado por Pitágoras en el siglo VI a.C.:

Números Triangulares

Dibuja los 8 primeros números triangulares (ojo que comienza en 1) y escribe bajo cada unocuántos puntos lo conforman.

22 Unidad: Números

Números depuntos

1

1

2

3

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Considerando sólo la cantidad de puntos, escribe una secuencia de 12 números que sigan estecomportamiento.

Describe con tus palabras la manera como determinaste los demás valores, sin dibujar el triángulo.

Supongamos que con 4 palitos de fósforos construyes un cuadrado, luego con 7 palitos construyes2 cuadrado, y con 10 fósforos haces 3 cuadrados, como lo muestra la figura.

Con palitos

Siguiendo la secuencia construye 4 cuadrados ¿Cuántos palitos se necesitan? ¿y para 5? Dibujaaquí los cuadrados y escribe el número de palitos:

23Unidad: Números

Considerando sólo el total de palitos para cada caso completa la tabla:

Describe con tus palabras la regla de formación que existe tras el número de palitos:

Las siguientes preguntas corresponden a ejercicios tipo SIMCE, en cada una de las preguntasmarca la alternativa correcta.

Practicando lo aprendido

Números depalitos

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Números decuadrados

1. Observa lo que sucede en estas operaciones:

1111491231113912

11291

=+·=+·

=+·

De acuerdo con lo anterior, ¿cuál de las siguientes alternativas corresponde a 11111?a.b.c.d.

2. Si

a. 123454321b. 12345654321c. 1234567654321d. 1234554321

6912345 +·

594123 +··

691234 +·

591234 +·

1211111 =·12321111111 =·

?1111111111entonces,123432111111111 =·=·

24 Unidad: Números

Macarena tiene un congelador nuevo. Al momento de conectarlo a la corriente este estaba atemperatura ambiente que en ese momento correspondía a 18º y cada una hora la temperatura delcongelador baja 4º. Completa la tabla con las temperaturas registradas:

¿Y qué hacemos ahora?

3. Observa los siguientes números: 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 ...

Esta sucesión fue creada por Fibonacci, y sigue un cierto patrón de comportamiento.Continuando con dicho patrón, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es o son verdaderas?

I. Los dos siguientes valores son 89 y 144.

II. Los dos siguientes valores son 83 y 131.

III. La sucesión: 3 3 6 9 15 24 39 63 ... sigue el mismocomportamiento que la de Fibonacci.

a. Sólo I b. Sólo II c. Sólo I y III d. Sólo II y III

HoraTemperatura

118º

2 3 4 5

1. ¿Qué temperatura tendrá el congelador luego de 6 horas? ¿y en 7 horas?

2. La pregunta anterior, ¿tiene respuesta en los números naturales?

25Unidad: Números

Como ya sabemos, el conjunto de los números naturales, nos permite contar y enumerar diversoselementos. Pero existen problemas que no es posible resolver sólo con los números naturales. Enesta guía estudiaremos otro conjunto numérico, que nos permitirá resolver otros problemas y desafíos.

GUÍA 3INTRODUCCIÓN A

En un canal de televisión, el informe de temperaturas mínimas, para el día 1 de agosto, dice losiguiente:

El tiempo

De acuerdo a la información entregada, responde las siguientes preguntas:

1. ¿En que ciudad se observó la mayor temperatura?

Ciudad Tº Mínima

Arica 15º C

Iquique 13º C

Calama 0º C

Antofagasta 10° C

Caldera 6º C

La Serena 7º C

Valparaíso 9º C

Santiago 3º C

Juan Fernández 12º C

Ciudad Tº Mínima

Curicó -1º C

Chillán -2º C

Concepción 1º C

Temuco -2º C

Valdivia -1º C

Osorno -4º C

Puerto Montt -4º C

Coyhaique -9º C

Punta Arenas -6º C

2. ¿En que ciudad se observó la menor temperatura?

3. ¿Qué tipo de número permite expresar temperaturas bajo cero?

4. ¿Y la temperatura sobre cero?

26 Unidad: Números

En la siguiente tabla se presentan algunos personajes que forman parte de la historia de la humanidadcon sus respectivas fechas de nacimiento1:

Algunos personajes en el tiempo

Ordena, en la siguiente recta numérica, las temperaturas de cada una de las ciudades que figurabanen el cuadro anterior:

De acuerdo con esta información responde:

5. ¿Cuál es el personaje más antiguo en la lista?

Nombre Año de Nacimiento

Ramses II 1326 a de C.

Alejandro Magno 365 a. de C.

Carlomagno 742

Cristóbal Colón 1451

Albert Einstein 1879

Juan Pablo II 1920

Julio César 100 a. de C.

Napoleón Bonaparte 1769

Cleopatra 70 a. de C.

6. ¿Cuál es el personaje más actual en la lista?

7. ¿Cómo expresarías numéricamente el año de nacimiento de Julio Cesar (sin a. de C.)?

http://www.portalmundos.com/mundohistoria/hombres/hombres.htmhttp://www.artehistoria.com/frames.htm?http://www.artehistoria.com/historia/personajes.htm

1

27Unidad: Números

Pamela y Roberto, recibieron una buena noticia, serán padres. Ante esta esperada noticia,comenzaron a sacar las cuentas con respecto a las cosas que necesitarán para el bebé.Dentro de su lista había lo siguiente:

Una ansiada espera

9. ¿Cuánto dinero necesitan en total para cubrir los gastos?

8. ¿Cuál es el número que te permite hacer la distinción entre las fechas de nacimiento antesde Cristo y después de Cristo?

Ordena en la recta numérica los años de nacimiento de cada uno de estos personajes.

10. ¿Les sobra o les falta dinero para suplir los gastos?

11. Si les falta dinero, ¿cómo podemos expresar esto numéricamente? ¿Y en el caso que lessobre?

Ellos tenían ahorrados $730.000 para la ocasión, con los que comprarían estos artículos y pagaríanla hospitalización.

De acuerdo a estos datos, responde:

Hospitalización $600.000Coche $ 49.900Cuna $ 44.990

Mamadera $ 2.300Porta bebé $ 19.990

Silla de bebé para el auto $ 59.990Andador $ 36.000

Manta $ 3.990

28 Unidad: Números

Como puedes apreciar, existen muchos problemas y situaciones que no pueden ser expresadas porlos números naturales.Para dar solución a estas situaciones, utilizamos los Números Enteros, los cuales permiten ampliardichas posibilidades utilizando números positivos y negativos. Por ejemplo:

• Distinguir entre una deuda y una ganancia.• Las temperaturas bajo cero y sobre cero.• Estar sobre o bajo el nivel del mar, entre otras.

Completando esta tabla de acuerdo a lo señalado:

Resumiendo

SituaciónRepresenta un

Nº Positivo Nº Negativo

Expresiónnumérica

Primer Subterráneo. -1

Francisca obtuvo $1000 de ganancia en una inversión.

Leo perdió $500 en una apuesta.

En la Antártica hay 5º bajo cero.

Alejandro Magno murió en el año 323 a. de C.

El Inter. de Milán hizo 3 goles.

Francisco debe $35.000

Un buzo se encuentra a 20m bajo el nivel del mar.

Cristóbal Colón murió en el año 1506 d. de C.

Calama se encuentra a 4000m sobre el nivel del mar.

Junto con tu profesor y compañeros, logren un común acuerdo de las características principales delConjunto de los Números Enteros:

Pasando en limpio

29Unidad: Números

Cuando hablamos de una relación de orden en , queremos decir que establecemos un tipo decomparación entre los números enteros, que nos permitirá decidir si un número es mayor o menorque otro.

Antes de definir esta relación, partiremos estudiando las dos partes fundamentales de un número:el signo y el valor absoluto.

GUÍA 4ORDENANDO LOS ENTEROS

En geografía, la superficie del mar es el punto de referencia para determinar la altitud o profundidadde localidades y accidentes geográficos como volcanes, montañas, planicies, además de los accidentessubmarinos. Esto se denomina nivel del mar.

Observa la figura 1. En ella verás un velero, una gaviota, un buzo y un tesoro.

El signo

Figura 1.

1. El tesoro está ubicado a 18 metros bajo el nivel del mar y lo expresamos como -18m ¿Quérepresenta el signo ´ – ´ en este caso?

2. Por otra parte los banderines del velero se encuentra a 25 metros sobre el nivel del mar, lo quese expresa como +25m ó 25m, ¿qué representa el signo ´ + ´ en este caso?

3. ¿Cuáles son los elementos que se encuentran sobre el nivel del mar?

30 Unidad: Números

4. ¿Cuáles son los elementos que se encuentran bajo el nivel del mar?

Si se desea ubicar un número entero a distinto de cero, en la recta numérica, será el signo de a quiendeterminará a qué lado del cero se encuentre. Distinguimos dos casos:

• Números positivos. En el caso que el signo de a sea positivo (+), el número está a laderecha del cero.

• Números negativos. Si el signo de a es negativo (-), el número se encuentra a la izquierdadel cero.

En resumen

5. ¿Qué posición representa el cero en la imagen?

6. De acuerdo con lo que observas en la imagen, discute con tus compañeros y profesor la siguientepregunta: ¿Tiene signo el cero? Escribe aquí la justificación.

Considerando la figura 1,

7. ¿Qué valores se encuentran a la derecha del cero, es decir positivos?

8. ¿Qué valores a la izquierda, o bien, son negativos?

9. Ahora, reflexiona con tus compañeros la importancia del signo en un número. ¿es lo mismodecir -18 que 18?

Figura 2.

31Unidad: Números

Ya sabes lo que indica el signo de un número, ahora debemos determinar su ubicación exacta enla recta numérica, siempre teniendo como punto de referencia el cero.

Considerando nuevamente la figura 1 del comienzo responde las siguientes preguntas:

1. ¿Cuál es la distancia que hay entre la gaviota y la superficie del mar?

El valor absoluto como distancia

2. ¿Cuál es la distancia que hay entre el buzo y la superficie del mar?

3. ¿Cuál de los elementos presente se encuentra a mayor distancia de la superficie? ¿cuál está máscerca?

4. ¿Cuál está más alejado de la superficie del mar: el tesoro o los banderines del velero?

5. ¿Cuál esta más alejado de la superficie del mar: el buzo o la gaviota?

En este estudio, la distancia que existe entre un número a y el cero la representaremos a través elvalor absoluto y se expresará como . Como se refiere a una distancia, el valor absoluto siemprees positivo.Ejemplo:La distancia entre 15 y 0 en la recta numérica es de 15 unidades, entonces .Ahora, las distancia entre -15 y 0, también es de 15 unidades en la recta, luego .

Expresa tus respuestas de las preguntas anteriores utilizando valor absoluto.

En resumen

a

1515 =

1515 =−

32 Unidad: Números

1. Determina el valor absoluto para los siguientes números enteros:

Practica

Junto con un compañero respondan las siguientes preguntas que están dirigidas a poder representarlos enteros negativos en la recta numérica, buscando una relación con los enteros positivos.

Determina el valor absoluto y signo de cada número:

Figura 3.

Por lo tanto, en los números es posible distinguir 2 partes fundamentales: el signo y el valorabsoluto.

Ejemplo

Sintetizando

a)

d)

b)

e)

c)

f)

=8

=10 =0

=– 15 =– 46

=– 7

Hasta el momento, en la recta numérica que se está construyendo en la sala de clases, sólo estánrepresentados los números naturales y el cero:

En la recta numérica

Donde el signo determina y el

valor absoluto .

Tabla 1.

33Unidad: Números

Observa los siguientes pares de números:

Dados dos números enteros a y b, decimos que a es menor que b si la diferencia entre b y a es unnúmero natural, es decir

El orden de los enteros

1. Según la Tabla 1, los números de cada par entregado tienen en común:

-1; 1 -2; 2 -3; 3 -4; 4 -5; 5

El valor absoluto El signo

2. Entonces, en la recta numérica ambos números se encuentran a

3. Los números de cada par entregado se diferencian en:

El valor absoluto El signo

4. Lo que significa que en la recta numérica los números se ubican a

5. Lleguen a un consenso de cómo se deben ubicar los enteros negativos en la recta numéricautilizando regla y compás:

ba < INab ∈−si

Ejemplo:• 10 < 15, ya que 15 – 10 = 5, y 5 es un números natural.

• -18 < -16, ya que , y 2 es un números natural.

• -22 < 5, ya que , y 27 es un números natural.

( ) 218161816 =+−=−−−

( ) 27225225 =+=−−

34 Unidad: Números

Esto te puede ser útil. Una manera de saber cuándo utilizar el signo > (mayor) o el < (menor) esnotar que la parte ancha del signo siempre indica hacia el número mayor.

Ejemplo:

• 13 es menor que 24 y se expresa 13 < 24.Si alargáramos las líneas del signo, podemos imaginar que éste encierraal número mayor.

• 45 es mayor que 30 y se expresa 45 > 30.Nuevamente, al alargar las líneas del signo, observamos la misma idea.

1. Agrega el signo > (mayor), < (menor) o = (igual), donde corresponda y justifica tu respuesta.

Practica

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

-5 -10

-5 -2

1 -2

-10 1

14 24

1212

135 −−

384 −

1717−

3525 −−

1. Para el caso de los números negativos que se observan en la imagen:

a. ¿Cuál es el menor número negativo? .b. ¿Cuál es el mayor número negativo? .c. ¿Cuál de los dos se encuentra a mayor distancia del cero?d. Sabes que -5 < -3, ¿cuál se encuentra a mayor distancia del cero?

2. Entre dos números enteros negativos, ¿cuál se encuentra a mayor distancia del cero?

3. ¿Ocurre lo mismo con los números positivo?

4. Entre dos números enteros positivos, ¿cuál se encuentra a mayor distancia del cero?

35Unidad: Números

El orden de los números enteros queda reflejado en la recta numérica donde los números se ordenande izquierda a derecha de manera creciente, es decir, de menor a mayor.

Analiza

El número mayor El número menor

Junto con un compañero analicen la siguiente situación.

Se tienen dos números enteros, cuyos valores absolutos son 20 y 30. ¿Es posible con esta informacióndecir qué número es mayor? ¿Por qué?

Si No

El número mayor El número menor

Para dar respuesta a la pregunta anterior, respondan:¿Cuáles son los pares de números cuyos valores absolutos son 20 y 30?

Para cada par de números determina cuál es el mayor y justifica tu respuesta.

36 Unidad: Números

GUÍA 5OPERATORIA EN

Muchas veces has resuelto multiplicaciones tales como , donde cada uno de los factoreses un número natural, que representan una suma iterada:

La multiplicación ¿Una suma resumida?

1553333335 veces

=·=++++

Es decir, si sumamos 5 veces 3, es lo mismo que multiplicar 3 por 5.

Ahora, siguiendo el mismo procedimiento:

1. Representa la multiplicación como una suma iterada.5)3( ·−

2. Representa la multiplicación como una suma iterada.3)5( ·−

3. ¿Se puede representar la multiplicación como una suma iterada? Discute con tuscompañeros.

)5()3( −·−

La multiplicación de números enteros, no representa una suma iterada, como pudiste comprobar.Esta situación ha llevado a plantear una regla general para multiplicar números positivos y negativos,dejando de lado la interpretación de la multiplicación como una suma iterada.La regla para multiplicar números enteros es conocida como: “La regla de los signos”.

1553 =·

37Unidad: Números

La regla de los signos, fue definida por un matemático Francés llamadoNicolás Chuquet. En 1484 escribió una obra llamada “La triparticiónen la ciencia de los números”.En la Primera parte de este libro se dan explícitamente las reglas de lossignos y la operación con números enteros.

Un poco de Historia

Esta regla, como bien dice su nombre, opera sobre los signos de los números que se están multiplicando,es decir, se multiplican los números independiente del signo de cada uno, y luego se operan lossignos según la siguiente tabla:

La regla de los signos

Escribe con tus palabras una manera de recordar la regla de los signos.

Regla Símbolo Ejemplo

Cuando se multiplican dos números positivos,su resultado siempre es positivo.

Cuando se multiplican dos números negativos,su resultado siempre es positivo.

Cuando se multiplican un número negativo y unpositivo, su resultado siempre es negativo.

Cuando se multiplican un número positivo y un negativo, siempre resulta un número negativo.

+=+·+

+=−·−

−=+·−

−=−·+

2847 =·

( ) ( ) 1535 =−·−

( ) 1628 −=·−

( ) 5496 −=−·

38 Unidad: Números

En la bolsa de comercio dieron el siguiente informe acerca de laspérdidas y ganancias de diferentes empresas:

La bolsa de comercio

1. Determina el valor de las siguientes multiplicaciones.

Practica lo aprendido

Empresa Ganancia ó pérdidapor acción

Micane Perdió $3

Triste fue mi agonía Perdió $1

Perico de los Palotes S.A. Ganó $4

Bebidas mi sed Perdió $8

Tu tienda Ganó $5

Amiguis Ltda. Ganó $ 2

Procar Ganó $1

Industrias Girasol Perdió $7

( ) =−· 34

( ) =·− 915

( ) =·− 41550

( ) ( ) =−··− 3182

=··· 4444

( ) ( ) ( ) =−·−·− 222 ( ) ( ) =·−·− 101010

( ) ( ) ( ) ( ) =−·−·−·− 1111

( ) ( ) =−··− 555

( ) ( ) =−·− 2104

=· 2415

( ) ( ) =−·− 65

39Unidad: Números

De acuerdo a los datos entregados completa la siguiente tabla, que representa las pérdidas oganancias totales que obtendrá cada empresa:

Por ejemplo:

La empresa Micane posee 10.200 acciones, perdió $3 por cada acción , por lo tanto lapérdida total se calcula:

. La empresa Micane perdió $30.600.

( )3−

( ) 600.303200.10 −=−·

EmpresaCantidad

deacciones

Micane 10.200 Perdió

Triste fue mi 77.500agonía

Perico de los 20.100 4Palotes S.A.

Bebidas Mi sed 30.000

Tu tienda 17.500

Amiguis Ltda. 50.000

Procar 11.500

Industrias 12.300Girasol

Pérdida oGanancia

numéricamenteTotal en pérdidas o

gananciasLa empresa

ganó o perdiódinero

3−

1−

( ) 600.303200.10 −=−·

1. ¿Qué empresa obtuvo más ganancias?

2. ¿Qué empresa generó más pérdidas?

40 Unidad: Números

La palabra electricidad proviene de la palabra griega elektron, quequiere decir “ámbar”. El ámbar es una resina petrificada, y losantiguos sabían que si se frotaba una pieza de ámbar con una tela,ella atraería el polvo o fragmentos pequeños de hojas. Un objeto degoma, una varilla de vidrio o una regla de plástico frotada con unatela también presenta este efecto ámbar, o electricidad estática, quees como se llama hoy.

Las cargas eléctricas1

Si frotamos con energía una regla de plástico con un trozo de tela podrásrecoger con facilidad pequeños trozos de papel. En este caso decimos quela regla tiene una carga eléctrica.

Existen sólo dos tipos de cargas eléctricas, que Benjamín Franklin (1706-1790) bautizó como cargas positivas y cargas negativas.

Se sabe que si dos objetos tienen la misma carga eléctrica se repelen (puedes verlo al intentarjuntar dos reglas que hayas frotado previamente), es decir,

• Cuando un objeto tiene carga positiva (+) y el otro tiene .

• Cuando un objeto tiene carga negativa (-) y el otro tiene .

En cambio, si dos objetos tienen cargas opuestas, se atraen, es decir,

• Cuando un objeto tiene carga positiva (+) y el otro tiene .

• Cuando un objeto tiene carga negativa (-) y el otro tiene .

Para determinar la fuerza con que dos objetos se atraen o repelen, se multiplican los valoresde sus correspondientes cargas (en este caso estamos sintetizando las Ley de Coulomb, porsentidos prácticos).

1. Dos partículas cargadas están en línea. La carga de la Partícula 1 es igual a -3.0µC y la cargade la partícula 2 es +4.0µC.

a. ¿Cuál es el signo de la carga de cada partícula?

b. De acuerdo con esto, las partículas ¿se atraen o repelen?

Información extraída del libro Física, Principios con aplicaciones, Douglas Giancoli, 1997.1

41Unidad: Números

c. Determina la fuerza entre las partículas.

2. En otro caso se tiene una partícula con una carga igual a -3.0µC y otra partícula con cargaigual a -5.0µC.

a. ¿Cuál es el signo de la carga de cada partícula?

b. De acuerdo con esto, las partículas ¿se atraen o repelen?

c. Determina la fuerza entre las partículas.

d. ¿Cuál es el signo de la fuerza?

d. ¿Cuál es el signo de la fuerza?

En general,

• Dos objetos se atraen cuando tienen:

Carga y carga .

Carga y carga .

Y el signo de la fuerza será .

• Dos objetos se repelen cuando tienen:

Carga y carga .

Carga y carga .

Y el signo de la fuerza será .

42 Unidad: Números

GUÍA 6UN PASEO POR

En la Guía 2: ¿Y si sólo fueran los naturales?, completaste cuadrados mágicos de 3x3 y de 4x4,pero con números naturales. A continuación, te presentamos uno con números enteros.

Completa el cuadrado mágico utilizando los siguientes valores:

Cuadrados Mágicos

Donde cada fila, columna y diagonal debe sumar –2:

3 –3 –7 –5 2 –1 1 7

–8 6 5

–2 0

–4

–64

Para construir un cuadrado mágico de 3x3, existe un método que consiste en elegir tres númerosenteros, llamémoslos a, b, c y luego operarlos de acuerdo a lo que aparece en cada celda del siguientecuadrado:

Construyendo un cuadrado mágico

ba + ( )cba +−

( )cba −−

ca +

a ( )cba −+

ba −ca − ( )cba ++

Desarrolla los pasos que te ayudarán a construir tu cuadrado mágico:

1º Elige tres números enteros diferentes:

a= b= c=

43Unidad: Números

2º Realiza cada una de las operaciones indicadas en la tabla, considerando los valores elegidospara a, b y c.

3º Ahora completa tu cuadrado mágico, reemplazando los valores obtenidos en cada operación,según el cuadro general.

Operaciones Reemplazando los valores de a, b, c. Resultado

( )cba +−

( )cba −−

ca +

( )cba −+

ba −

ca −

( )cba ++

ba +

ba + ( )cba +−

( )cba −−

ca +

a ( )cba −+

ba −ca − ( )cba ++

Verifica si tu cuadrado mágico cumple con las características de tal, realizando las sumas decada:

columna:

fila:

diagonal:

44 Unidad: Números

Si está correcto, en una hoja aparte escribe tu cuadrado mágico, pero bórrale algunos valorese intercámbialo con un compañero. Recuerda decirle con qué valores completarlo y la sumaresultante.

1. Un automóvil sale de la ciudad A hacia el norte. Recorre 28 km, luego retrocede 30 km ynuevamente avanza 125 km para llegar a la ciudad B. ¿A qué distancia se encuentra A de B?

a) 125 km b) 203 km c) 123 km d) 130 km

Aplicando lo que aprendí

2. El valor de la expresión es:

a) -1 b) 0 c) 2 d) 1

( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]{ } =−·+−++−+·−·−− 1011111111

3. La señora Isidora compró 20 metros de género a $3.570 el metro. Si recibió $ 600 de vuelto,¿qué expresión representa la cantidad con la que pagó la señora Isidora?

a) b) c) d) ( )570.320600 ·− ( )570.320600 ·+ 5703600 .+ ( ) 600570.320 −·

4. Cristóbal y Juan jugaban en el computador y decidieron asignar los siguientes puntajes:

Observa que los valoresnegativos significan que pierdenpuntos y los positivos ganan.

Cuando terminaron de jugar, Cristóbal había logrado pasar sólo 1 nivel, perdió 2 vidas, descubrió2 pistas y cayó en 3 trampas. Juan, pasó 2 niveles, perdió 2 vidas, cayó en 1 trampa y descubrió 3pistas.

¿Quién suma mayor cantidad de puntos?

PuntosPasar un nivel 25Perder una vida –20Encontrar una pista 15Caer en una trampa –10

Cristóbal Juan Empataron

¿Cuánto es la diferencia de puntaje entre ambos?

a) 0 puntos b) 30 puntos c) 45 puntos d) 60 puntos

45Unidad: Números

El Ludo matemático, es un juego que consiste en avanzar y retroceder en el tablero de la Figura 1,de acuerdo a las operaciones que allí se observan: sumas, restas y multiplicaciones.

Para empezar:• Forma grupos de cuatro personas como máximo.• Cada grupo debe tener un tablero (Figura 1) y un dado.• Cada jugador contará con una Hoja de registros (figura 2) y dos fichas de igual color.

Ludo matemático

Reglas de juego:• Cada jugador ubicará sus fichas en el cuadrado del mismo color.• El jugador puede mover cualquiera de las dos fichas por turno.• Se debe dar una vuelta completa al tablero, con cada una de las fichas. El jugador que

llegue a la meta con sus dos fichas es el ganador.

Cómo jugar:• Parte el jugador que saque el número mayor en el dado.• El jugador avanza tantos casilleros como indique el dado. En el casillero donde quedó, realiza

la operación correspondiente con el número obtenido en el dado. Ejemplo: - En el dado salió 5, se avanzan 5 lugares. - Si en el casillero dice: + (2), se realiza la operación. - Luego avanza 7 puestos más y espera el siguiente turno.Ojo: Si el resultado de la operación es negativo, debes retroceder, si es positivo debesavanzar.

• Cada operación realizada para las fichas 1 y 2 se deben escribir en la hoja de registros.• Para ganar, las dos fichas deben llegar a la meta.

Ojo: para llegar a la meta, debes obtener en el dado el número exacto de casilleros, encaso contrario, sólo pasas y retrocedes los lugares necesarios.

¡¡¡¡ MUCHA SUERTE !!!!

Figura 1 Figura 2